Amalia Dewi Lestari

Amalia Dewi Lestari

TRANSFORMASI

Definisi TransformasiMisalkan V suatu bidang Euclid, memetakan dari v ke v. T disebut sebagai transformasi jika dan hanya jika T sebuah Fungsi Bijektif.Syarat Tranformasi1. Bidang Euclide (v ke v)2. Fungsi3. Bijektifa. Fungsi Surjektifb. Fungsi InjektifPostulat1. Ada 2 buah titik yaitu titik A dan titik B hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

2. Perpanjangan suatu garis akan membentuk sebuah sinar.

3. Sebuah titik dapat membuat suatu lingkaran dengan jarak garis tertentu.

4. Semua sudut siku-siku besarnya sama .5. Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus akan membuat sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, dua garis ini jika diperpanjang akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.

FUNGSIFungsi merupakan jenis khusus dari relasi. fungsi disebut juga sebagai pemetaan atau transformasi. Contoh Fungsi Contoh Bukan Fungsi

Fungsi Surjektif / Onto / Pada Apabila anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A.

Fungsi Injektif / One-one Function / satu-satu

F memenuhi A ke B , memenuhi memenuhi

Contoh Soal1. Misal V bidang Euclide dan A sebuah titik tertentu pada V ditetapkan T sebagai berikut:a) b) Jika dan , , Q merupakan titik tengah ruas garis .Apakah relasi T merupakan Tranformasi ?Penyelesaian : Fungsi v ke vArtinya untuk setiap unsur v wajib memiliki peta di v. Ambil sebarang titik pada v yaitu titik P, Titik A yang diketahui sebagai titik tertentu pada v, Sehingga terdapat dua kondisi (1) , (2) Untuk Titik P pada V, berakibat , sehingga

Untuk

Titik , Q titik tengah , ; Q merupakan titik tengah tunggal / unik, sehingga fungsi v ke v. BijektifFungsi SurjektifAmbil sebarang , karena merupakan titik tertentu pada V, dari memunculkan dua kondisi yaitu : (1) , (2) Untuk Sudah jelas bahwa P mempunyai prapeta, yaitu titik A itu sendiri.Untuk

Secara Geometri terdapat pada bidang V. terdapat titik M yang merupakan prapeta dari P yaitu T(M) = P, T(M) merupakan titik tengah. Karena mempunyai prapeta oleh fungsi T. sehingga T(M) merupakan fungsi Pada / Onto / Surjektif. Injektif Ambil sebarang titik P dan Q . Sehingga mengakibatkan bahwa T(P)=T(Q). sehingga memunculkan kondisi :1. 2. 3. 4.

Untuk

Maka T(P) = P = A, sedangkan , Jadi dan . Untuk

Maka T(Q) = Q = A, sedangkan , Jadi dan . Untuk dan Misal dan

dan Karena maka maka Sehingga berarti dan Dengan demikian .dan merupakan kolinier (tidak segaris) dengan P merupakan titik tengah AP dan Q merupakan titik tengah AQ, sehingga P = Q.Jadi untuk setiap sehingga memperoleh P = Q dengan demikian T merupakan Fungsi Satu - satu / Injektif.Kesimpulan :Karena T fungsi Pada & Injektid maka T merupakan fungsi Bijektif dengan demikian relasi T merupakan Transformasi.

2. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclide V. A sebuah titik yang terletah ditengah antara g dan h.Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut :Apabila maka a) Apakah daerah nilai T ?b) Apakah buktikan c) Apakah T Injektif ?Pemyelesaian :a) Daerah nilai T A terletak ditengah antara g dan h maka

daerah nilai T adalah semua titik sepanjang garis h.b) Apakah buktikan

Lihat dan (Bertolak belakang) (kareana A berada ditengah g dan h ) (karena A berada ditengah g dan h) (sisi, sudut, sisi)Perbandingan sehingga c) T Injektif

Ambil z titik x dan y dengan . Akan dibuktikan Misal Sehingga garis x garis dan dalam hal ini, maka garis x A dan garis yA memiliki dua titik sekutu yaitu

Ini berarti bahwa garis dan berhimpit sehingga berakibat x = y.Hal ini kontradiksi maka permisalan salah yang benar T. Injektif.

Tugas Ada sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan pusat A pada bidang euclide ditetapkan relasi T sebagai berikut : sehingga Apakah relasi T suatu transformasi.

Penyelesaian :

Fungsi V ke VKarena A merupakan titik pusat pada V maka , dari , memunculkan kondisi : 1. 2. .3. P diluar lingkaran. 4. P pada lingkaran.Untuk Artinya tidak ada Q yang memenuhi untuk , .Bukan fungsi V ke V karena bukan V ke V sehingga relasi T bukan Transformasi.

SoalDikrtahui sebuah titik K dan ruas garis dan sebuah garis g sehingga g//dan jarak antara K dan adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antar K dan g. ada padanan T dengan daerah asal dan daerah nilai g sehingga apabila maka a) Apakah bentuk himpunan peta peta kalau bergerak pada ?b) Buktikan bahwa T injektifc) Apabila E dan F dua titik pada , apakah dapat dikatakan tentang jarak jika dan ?Penyelesaian :a)

Himpunannya adalah semua titik pada garis gb)

Atau Asumsikan Maka ada dua titik G dan E pada AB dengan akan dibuktikan .Misalkan dan pada garis pada garis Maka dan memiliki dua titik sekutu jadi dan berimpit, sehingga . Hal ini kontradiksi, maka permisalan salah dan yang benar Kesimpulan : T adalah injektif.

c)

dan

ContohMisalnya diketahui garis g pada bidang V. lihat transformasi yang ditetapkan sebagai berikut :a) Jika maka b) Jika maka sehingga sumbu di Jika transformasi T ini suatu Isometri atau bukan.Penyelesaian :Ambil dua titik sembarang pada bidang V. p dan q, Misalkan dan Dan permisalan ini memerlukan kondisia) g sumbu dari b) g sumbu dari sehingga PM=PM sehingga PM=QM

Hubungan untukP dan Q P dan MP dan QQ dan NLihat dan (siku-siku) (berhimpit) lihat dan (sisi, sisis, sisi) dan (siku-siku) (siku-siku)Karena titik P dan Q merupakan sebarang titik di P, maka setiap pasang titik P dan Q berlaku sehingga T yang ditetapkan tadi adalah transformasi.ISOMETRIDefinisi IsometriMisalkan T suatu Transformasi. T ini disebut isometric jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik P dan Q anggota dari bidang Euclide berlaku bahwa dimana dan Sifat-sifat Isometri1. Memetakan garis menjadi garis Andaikan s sebuah garis dan T sebuah isometri akan dibuktikan T(S) = S, AS dan BS maka T(A) = A, T(B) = B dan T(S) = S

1. Akan dibuktikan h SAx + xB = ABKarena T transformasi, maka ada x sehingga T(x) = xT suatu isometri maka Ax = Ax Bx = Bx AB = ABDidapat Ax + xB + AB = Ax + xB + ABIni berarti bahwa A, x, B segaris pada S dan berarti pada x = T(x) S atau h. jadi, untuk setiap x h maka x S sehingga h S1. Akan dibuktikan S h. Ambil y S maka y S sehingga T(y) = y

Misal A S, y S, dan B S dan Ay + yB = ABKarena T suatu transformasi, maka ada y sehingga T(y) = y

T suatu isometri, maka Ay = Ay yB = yB AB = ABDidapat Ay + yB + AB = Ay + yB + ABIni berarti bahwa A, y, B segaris karena h garis melalui AB maka y A, y S dan y S maka S h.Kesimpulan : jika S sebuah garis maka S= T(S) adalah sebuah garis dan S = S.1. Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis Misal terdapat ABC

Andaikan T(A) = A, T(B) = B, T(C) = C (lihat gambar A)Menurut (a) maka dan adalah garis lurus.Oleh karena