Geo Bidange

7/21/2019 Geo Bidange

1/36

GE R2 66009(LIN) 1

I. GARIS SEJAJAR DAN PERBANDINGAN SEHARGA

A. Dua Garis Sejajar Dipotong Garis Transversal

Jika diketahui dua garis sejajar , yaitu gdan hdipotong oleh garis k,maka akan

terbentuk pasangan-pasangan sudut

berikut ini :

A. Sudut-sudut sehadap :

A1 dan B1

A2 dan B2

A3 dan B3

A4 dan B4

Sepasang sudut yang sehadapmempunyai besar yang sama.

B. Sudut-sudut bertolak belakang:

A1 dan A4

A2dan A3

B1 dan B4

B2 dan B3Sepasang sudut yang bertolak belakang mempunyai besar yang sama.

C. Sudut-sudut berseberangan dalam :

A3 dan B2

A4 dan B1Sepasang sudut yang berseberangan dalam mempunyai besar yang sama.

D. Sudut-sudut berseberangan luar :

A2 dan B3

A1 dan B4;Sepasang sudut yang berseberangan luar mempunyai besar yang sama.

E. Sudut-sudut sepihak dalam :

A4 dan B2

A3 dan B1Sepasang sudut sepihak dalam jumlahnya 180

0

F. Sudut-sudut sepihak luar :

A2 dan B4

A1 dan B3Sepasang sudut sepihak luar jumlahnya 180

0.

g A 1 23 4

h B 1 23 4

k


2/36

GE R2 66009(LIN) 2

B. Perbandingan Seharga Garis-garis

Dalil : Jika beberapa garis sejajar memotong suatu garis atas bagian-bagian yang sama, maka

garis-garis sejajar tersebut juga akan memotong atas bagian-bagian yang sama garis-

garis yang lain.

Diketahui :

CDBCAB

DSCRBQAP

//////

Buktikan : RSQRPQ

Bukti :

Buatlah garis-garis sejajar AD dan

masing-masing melalui titikP, Q, &R

Terbentuklah jajaran genjang :

APEB AB = PE

BQFC BC = QF

CRGD CD = RG

dan diketahui AB = BC = CD

Sehingga : PE = QF = RG

Perhatikan PEQ , QFR , dan RGS .

1. RGQFPE

2. GRSFQREPQ

(EP//FQ//GRdipotongPSsudut-sudut sehadap )

3. RSGQRFPQE

(AP//BQ//CR//DSdipotongPSsudut-sudut sehadap)

Karena PEQ QFR RGS ( s sd sd ), akibatnya RSQRPQ

Contoh (aplikasi)

Diketahui segmen segmen garisAB. BagilahABatas tiga bagian yang sama panjang

- Melalui titik Abuat sebarang garisg

- Ukurkan tiga segmen garis yang sama panjang dan berturutan padag (AP=PQ=QR)

- Hubungkan titikBdanR

- Tarik GarisDQ//BRdan CP//BR

Maka menurut dalil diatas : AC=CD=DB

A

B

C

D

P

Q

R

S

E

F

G


3/36

GE R2 66009(LIN) 3

Dalil : Jika sebuah garis yang dipotong oleh 3 buah garis sejajar maka bagian-bagian

(potongan-potongan) yang terbentuk akan sebanding dengan bagian-bagian dari garis

lain yang dipotong oleh 3 garis sejajar tersebut.

Diketahui : AP//BQ//BC memotong ACdan

PRBuktikan : AB : BC = PQ : QR

Bukti ;

MisalkanABdibagi atas nbagian yang sama

panjang danBCdibagi atas mbagian yang

sama oleh garis-garis //.

MakaPQjuga akan dipotong oleh garis-garis

// tersebut atas nbagian yang sama dan QR

atas mbagian yang sama sehingga PQ : QR

= n : m

AB:BC= n:m

JadiPQ:QR=AB:BC= n:m

TerbuktiAB:BC=PQ:QR

Dalil : Dalam suatu segitiga, jika digambar sebuah garis // dengan salah satu sisinya dan

memotong kedua sisi yang lain maka garis tersebut akan membagi kedua sisi tersebut

atas perbandingan seharga

Diketahui : ABC dan DE//AB.

Buktikan :

1. CD:DA=CE:EB

2. CD:CA= CE:CB

3.DE : AB= CD : CA = CE : CB

Bukti :

1. Gambarlah garis h melalui C // DE , maka CD:DA = CE:EB

2. CD : DA = CE : EB

a1 : a2 = b1 : b2

a1 =2

1.2

b

ba

a2 =1

2.1

b

ba


4/36

GE R2 66009(LIN) 4

CD : CA = a1 : (a1 + a2)

=2

1.2

b

ba:

2

21.2

b

aba

=2

1.2

b

ba:

2

2.21.2

b

baba

=2

1.2

b

ba:

2

)21(2

b

bba

=2

1.2

b

ba

2

2

a

b :

2

)21(2

b

bba

2

2

a

b

= b1 : (b1 + b2)

= CE : (CE + EB)

Jadi CD : CA = CE : CB

3. Gambarlah garisEF // CA , maka BE : EC = BF : FA

DE : AB = DE : (AF+FB)

= AF : (AF+FB)=

: (

)

=

:

=

:

=

:

=

:

DE : AB = EC : BC

Contoh :

Diketahui : ACB, DE // CB,

AD =12cm,AC=32cm,AE=15cm .

Tentukan : AB

Jawab : AD : DC = AE : EB

12 : (32-12) = 15 : EB

EB = (15 . 20)/12= 25

Jadi AB = AE + EB

= 15 cm + 25 cm

AB = 40 cm


5/36

GE R2 66009(LIN) 5

II. LUKISAN DASAR PADA GEOMETRI

Siapkan peralatan berikut ini untuk membuat Lukisan Geometri

1. Pencil yang runcing

2. Mistar/penggaris panjang dan dua penggaris siku-siku ( 600dan 450)

3. Jangka

4. Busur derajat

5. Karet penghapus

A. Menggambar Menggunakan Mistar :

1. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik pada

garis tersebut

Diketahui : garisgdan titikPpadag

Lukis : garis hmelalui P dan g

Lukisan :

1. Ambil penggaris siku-siku

2. Letakkan penggaris siku-siku tsbhingga salahsatu sisi siku-sikunya

berimpit pada garisgdan sudut siku-

siku penggaris berimpit dengan titikP.

3. Tarik garis hsepanjang sisi siku-siku

yang lain.

2. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik di

luar garis

Diketahui : garisgdan titikPdi luar g


Lukisan :

1. Ambil penggaris siku-siku

2. Letakkan penggaris siku-siku tsb

hingga salah satu sisi siku-sikunya

berimpit pada garisgdan sisi siku-

siku yang lain melelui titikP .

3. Tarik garis hsepanjang sisi siku-siku

yang melelui titikPtersebut.

3.

Menggambar garis-garis sejajar Diketahui : garis g

Lukis : garis h // g

Lukisan :

1. Ambil penggaris panjang dan sebuah

penggaris siku-siku.

2. Letakkan penggaris siku-siku

sedemikian sehingga sisi siku-sikunys

berimpit dengan garisg. Letakkan

penggaris panjang pada salah satu sisi

siku-sikunya.

3. Geser penggaris siku-siku ke atas(bawah), sesuai dengan letak garis h

yang diinginkan, tarik garis sepanang

sisi miring penggaris siku-siku tsb.

gP

h

g

.P

g


6/36

GE R2 66009(LIN) 6

B. Menggambar Menggunakan Jangka :

1. Menggambar sudut yang kongruen dengan sudut yang diketahui

Diketahui : A = Lukis : P = A

Lukisan :1. Gambar sebuah garis ldan tentukan titik P pada

garis tsb.

2. Berpusat di A buatlah busur dengan jangka

sehingga memotong kakikaki A di titik B danC, dengan jari-jari yang sama dan berpusat di P

buatlah busur t yang memotong ldi Q

3. Menggunakan jangka ukurlah ruas garis BC.

4. Pada Q ukurkan panjang ruas garis BC pada

busur t di R

5. Hubungkan titik P dan R, maka terbentuklah QPR yang kongruen dengan A

2. Membagi dua sama besar sebuah sudut (garis bagi sudut)

Diketahui : A = Lukis : garis bagi A sehingga A1= A2Lukisan :

1. Berpusat di A buatlah busur dengan jangka

sehingga memotong kakikaki A di titik B danC.2. Berpusat di B dan C buatlah busur dengan jari-

jari yang sama pada daerah interior sudut A,

hingga berpotongan di satu titik misalkan P.

3. Buatlah garis dari A ke P, maka garis AP ini

adalah garis bagi A. Terbentuk dua buah sudutyaitu BAP dan CAP dimana BAP =CAP atau A1= A2

3. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik pada

garis tersebutDiketahui : garisgdan titikPpada g

Lukis : garis hmelalui P dan gLukisan :

1. Berpusat di P buatlah busur dengan

jangka sehingga memotong garisgdi titik

B dan C.

2. Berpusat di B dan C buatlah busur

dengan jari-jari yang sama hingga

berpotongan di satu titik misalkan Q.

3. Hubungkan P dan Q dengan sebuah garis

h

4. Garis hmelalui P dan gP

g

A

A

l


7/36

GE R2 66009(LIN) 7

4. Menggambar sebuah garis tegak lurus pada suatu garis dan melalui sebuah titik di

luar garis

Diketahui : garisgdan titikPdi luar g


Lukisan :

1. Berpusat di P buatlah sebuah busursehingga memotong garisgdi titik B dan

C.

2. Berpusat di B dan C buatlah busur

dengan jari-jari yang sama hingga

berpotongan di satu titik misalkan Q

(pada arah yang berlawanan dengan P).

3. Hubungkan P dan Q dengan sebuah garis

h

4. Garis hmelalui P dan g

5. Menggambar garis sumbu suatu ruas garis

Diketahui : ruas garisAB

Lukis : garis sumbu ruas garisAB

Lukisan :

1. Berpusat di A dan B buatlah busur

dengan jari-jari yang sama hingga saling

berpotongan di dua titik yaitu P dan Q

2. Hubungkan titik P dan Q dengan sebuah

garis dan memotong AB di T, maka

garis PQ AB dan AT= TB

3. PQ adalah sumbu AB

6. Menggambar garis sejajar

Diketahui : garisgLukis : garis h // g

Lukisan :

1. Gambar sebuah garis lyang memotong

garisgdi titik P

2. Tentukan sebuah titik Q pada l, dimana

akan digambar garis yang sejajarg.

3. Gambar (pindahkan) sudut P pada sudut

Q, dimana garis lsebagai salah satu kaki

sudut Q.

4. Perpanjang kaki sudut yang lain dari sudut

Q yang terbentuk dan beri nama h, makah//g

.P

A B

g

g


8/36

GE R2 66009(LIN) 8

Didasarkan pada dalil-dalil geometri dan menggunakan lukisan dasar, maka dapat

dibuat/dikonstruksi bangun-bangun geometri secara tepat dan akurat, misalkan menggambar ruas

garis dengan perbandingan tertentu, menggambar garis-garis sejajar, membuat sudut dengan besar

tertentu, menggambar sebuah segitiga yang diketahui komponen-komponennya.

C. Menggambar/melukis Segitiga (Gambar dan tuliskan langkah-langkahnya !)

1. Melukis segitiga jika diketahui dua buah sisi dan sudut yang diapitnya (ss.sd.ss)

Diketahui: sisi b

sisi c

sudut

Lukis : Segitiga ABC

Lukisan :

2. Menggambar segitiga jika diketahui sebuah sisi dan dua sudut pada sisi tersebut (sd.ss.sd)

Diketahui: sisi c

sudut sudut


Lukisan :

b

c

c


9/36

GE R2 66009(LIN) 9

3. Menggambar segitiga jika diketahui sebuah sisi dan sebuah sudut pada sisi serta sudut

dihadapan sisi tersebut.

Diketahui: sisi b

sudut sudut

Lukis : Segitiga ABCLukisan :

4. Menggambar segitiga jika diketahui ketiga buah sisinya (ss.ss.ss)

Diketahui: sisi a

sisi b

sisi c


Lukisan :

c

c

ba


10/36

GE R2 66009(LIN) 10

III. SEGITIGA

Segitiga adalah bangun datar bersisi tiga.

Sisi dihadapan A adalah sisi aSisi dihadapan B adalah sisi bSisi dihadapan C adalah sisi c

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 1800

(A + B + C = 1800)

A. KLASIFIKASI

1. Berdasarkanjenis sudut-nya :

Segitiga Lancip Segitiga Siku-siku Segitiga Tumpul

Segitiga Lancip(ABC) adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip.Segitiga Siku-siku (KLM) adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudutsiku-siku (K = 900). Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa) dan

sisi-sisi pada sudut siku-siku disebut sisi/kaki siku-siku.Segitiga Tumpul (PQR) adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan suduttumpul (1800< P > 900).

2. Berdasarkan panjang sisi-nya :

Segitiga Sembarang- ABC - adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang(AB BC CA) .

Segitiga Samakaki(isosceles triangle) - DEF - adalah segitiga yang kedua sisinyasama panjang (DF=EF).

Segitiga Samasisi(equilateral triangle) - GHI - adalah segitiga yang ketiga sisinya samapanjang (GH = HI = IG).

A B

C

K

M

L

R

P Q

A B

C

a

c

b

A B

C F

ED

G H

I


11/36

GE R2 66009(LIN) 11

B. KONGRUENSI (SAMA DAN SEBANGUN)

Definisi : dua buah bangun dikatakan sama dan sebangun jika sama ukuran dan sama bentuk,

artinya sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama

besar (kongruen).

Definisi : ABC dan PQR sama dan sebangun, dinotasikanABC PQR , jika sisi-sisiyang bersesuaian sama ( AB=PQ, BC=QR, AC=PR) dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

( A=P, B=Q, C=R ).

Dalil-dalil :

1. Dua segitiga kongruen jika dua buah sisi dan sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut

pada kedua segitiga tersebut kongruen (ss.sd.ss).

Pada ABC dan PQR jika AC=PR, AB=PQ dan CAB=RPQ, maka ABCPQR

2. Dua segitiga kongruen jika dua buah sudut dan sebuah sisi diantaranya pada kedua segitiga

tersebut kongruen (sd.ss.sd).

Pada ABC dan PQR jika CAB = RPQ , ABC = PQR dan AB=PQ, maka ABC

PQR

A B

C R

P Q

A B

C R

P Q

A B

C R

P Q


12/36

GE R2 66009(LIN) 12

3. Dua segitiga kongruen jika dua buah sudut dan sebuah sisi dihadapan salah satu sudut pada

kedua segitiga tersebut kongruen (ss.sd.sd).

Pada ABC dan PQR jika CAB = RPQ , ACB = PRQ dan AB = PQ , maka

ABC PQR

4. Dua segitiga kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut

kongruen (ss.ss.ss).

Pada ABC dan PQR jika AB=PQ ; BC=QR dan AC=PR, maka ABC PQR

C. KESEBANGUNAN (SIMILARITAS)

Definisi : Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang seletak kongruen dan sisi-sisi

yang seletak sebanding.

Definisi : ABC dan PQR sebangun, dinotasikanABC PQR , jika sudut-sudut yangseletak sama besar ( A=P, B=Q, C=R ) dan sisi-sisi yang seletak sebanding (AC : AB :BC = PR : PQ : QR)

Dalil : Pada dua segitiga yang sebangun sisi-sisi yang seletak sebanding jika dan hanya jika sudut-

sudut yang seletak kongruen.

ABC PQR , AC : AB : BC = PR : PQ : QR A=P, B=Q, C=R

A B

C R

P Q

A B

C R

P Q

A B

C R

P Q


13/36

GE R2 66009(LIN) 13

Pembuktian :

Diketahui : A=P, B=Q dan C=RBuktikan : AC : AB : BC = PR : PQ : QR

Bukti :

Pindahkan PQR ke ABC sehinggaR berimpit dengan C, maka :

P=P ; Q=QPR = PR ; QC = QR

Diketahui A=P dan B=Q makaA=P dan B=Q, sehinggaAB//PQ dan akibatnya :

AC:PC = BC:QC atau

AC : BC = PC : QC atau

AC : BC = PR : QR ........... (1)Dengan cara yang sama dapat diperoleh

AB : AC = PQ : PR (jikaP berimpit dengan A) ........... (2)

AB : BC = PQ : QR ( jika Q berimpit dengan B) ........... (3)Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :

AC : AB : BC = PR : PQ : QR (terbukti)

Diketahui : AC : AB : BC = PR : PQ : QR

Buktikan : A=P, B=Q dan C=RBukti :

Ukurkan CP = RP pada CA danCQ=RQ pada CB, maka

AC:BC=PC:QC atau AB//PQ,

sehingga :

A=P ; B=Q ....(1)

AC : AB : BC = PR : PQ : QR dan CP = RP & CQ=RQ sehingga PQ = PQ dan

CPQ RPQ (ss.ss.ss), akibatnya P=P, Q=Q dan C=R ....(2)

Dari (1) dan (2), maka dapat diperoleh : A=P, B=Q dan C=R (terbukti)

Dalil : Dua buah segitiga sebangun jika terapat 2 pasang sudut seletak yang sama.

Diketahui : ABC dan PQR dan A=P ; B=Q

Buktikan : ABC PQR

R

P Q

A B

C

P Q

R

P Q

A B

C

P Q


14/36

GE R2 66009(LIN) 14

Bukti :

A = P dan B = Q, maka A + B = P + Q

C = 1800(A + B) dan R = 1800(P + Q), sehingga C =RJadi :

A=P ; B=Q dan C =R, maka AC : AB : BC = PR : PQ : QR sehingga

dapat disimpulkan bahwa ABC PQR.

Dalil : Dua buah segitiga sebangun jika terdapat sepasang sudut yang seletak sama besar dan sisi-

sisi pada kedua sudut tersebut sebanding.

Diketahui : ABC dan PQR , A=P dan AB : AC = PQ: PR

Buktikan : ABC PQR

Bukti :

Pindahkan PQR pada ABC sehingga sudut P berimpit dengan sudut A, makaQ=Q dan R=R

Pada ABC : AQ= PQ ; AR = PR dan AB:PQ=AC:PR, sehingga AB:AQ=AC:ARakibatnya QR//BC

QR//BC dipotong AC, maka ARQ = ACB sehingga R = C .....(1)

QR//BC dipotong AB, maka AQ R= ABC sehingga Q = B .....(2) Dari (1), (2) dan diketahui P = A maka disimpulkan bahwa ABC PQR

R

P Q

A B

C

R

P Q

A B

C


15/36

GE R2 66009(LIN) 15

D. SEGITIGA SIKU-SIKU

DALIL PYTHAGORAS :

Pada sebuah segitiga siku-siku maka berlakulah bahwa kuadrat sisi miring sama dengan

jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.

Diketahui ABC siku-siku di A,maka :

Segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya merupalan bilangan asli, dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus Pythagoras, berikut ini : a2= b2+ c2,diubah menjadi b2= a2- c2atau

b

2

=( a + c )( a - c) atau dalam bentuk perbandingan : (a+c) : b = b : (a-c). Sebut saja masing-masing ruas sebagai m : ndengan m& nadalah bilangan asli, maka m > nkarena a+c > a-c.

Jadi : (a+c) : b = m : n n(a+c)=mb na+nc-mb = 0 danb : (a-c) = m : n m(a-c)=nb ma-mc-nb = 0adalah dua persamaan homogen dengan a, b dan c yang tidak diketahui, sehingga diperoleh

:

m n a b c m n a b c

2 1 5 3 4 6 5 51 11 60

3 1 10 8 6 7 1

3 2 13 5 12 7 2

4 1 17 15 8 7 4

5 2 29 21 20 7 6

5 4 41 9 40 7 1

6 1 37 35 12 8 2

Pada ABC : Jika a2= b2+ c2denganaadalah sisi terpanjang pada segitiga, maka ABC adalah

segitiga siku-siku dengan A sebagai sudut siku-sikunya.

Jika a2< b2+ c2denganaadalah sisi terpanjang pada segitiga, maka ABC adalahsegitiga lancip.

Jika a2>b2+ c2denganaadalah sisi terpanjang pada segitiga, maka ABC adalahsegitiga tumpul.

AB

C

a

c

b

a2= b

2+ c

2


16/36

GE R2 66009(LIN) 16

SEGITIGA SIKU-SIKU ISTIMEWA :

1. Segitiga siku-siku dengan sudut : 300600900

A = 900B = 300

C = 600

Perbandingan sisi-sisinya :

a: b : c= 2 : 1 : 3

2. Segitiga siku-siku dengan sudut : 450900450(segitiga siku-siku samakaki)

A = 900

B = 450

C = 450Perbandingan sisi-sisinya :

a: b : c= 2 : 1 : 1

E. GARIS-GARIS ISTIMEWA

1.

Garis Tinggi :

Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga dan tegak luruspada sisi dihadapannya. ta: garis tinggi yang ditarik dari titik sudut A pada sisi

dihadapannya (sisi a)

Ketiga garis tinggi segitiga berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik tinggi. Panjang garis tinggi yang ditarik dari dua titik sudut segitiga berbanding terbalik

dengan sisi dihadapannya.

Panjang garis tinggi : s

AB

C

a

c

b

AB

C

a

c

b

C

A B

a

c

b

tc

ta

tb

D

ET

F


17/36

GE R2 66009(LIN) 17

2. Garis Berat

Garis berat adalah garis yang ditarik dari satu titik sudut segitiga ke pertengahan sisidihadapannya.zaadalah garis berat yang ditarik dari titik sudut A.

Ketiga garis berat segitiga berpotongan disatu titik yaitu titik berat, denganperbandingan dua banding satu, dimana bagian yang besar terletak pada titik sudut.

AF = FB ; BD = DC ; AE = EC

AZ : ZD = BZ : ZE = CZ :ZF = 2 : 1

3. Garis Bagi

Garis bagi dibedakan atas garis bagi dalamdan garis bagi luar. Garis bagi dalamadalah garis yang membagi sudut-sudut dalam segitiga atas dua bagian yang sama

besar ( da, db, dc), sedang garis bagi luar membagi sudut luar segitiga atas dua

bagianyang sama besar ( la, lb, lc).

Ketiga garis bagi dalam pada segitiga berpotongan di satu titik yang merupakan titikpusat lingkaran dalamsegitiga

Setiap titik pada garis bagi berjarak sama terhadap kedua kaki sudutnya.

R

PQ

K

M

L

R

P QA B

C

Z

a

b

c

DE

F


18/36

GE R2 66009(LIN) 18

Panjang garis bagi dalam :

da2= b.c a1.a2

db2= a.c b1.b2

dc2= a.bc1.c2

Garis bagi luar

4.

Garis Sumbu

Garis sumbu adalah pada segitiga adalah garis yang tegak lurus dan membagi duasama panjang suatu sisi segitiga.

Ketiga garis sumbu segitiga berpotongan di satu titik yang merupakan pusat lingkaranluar segitiga (OA = OB = OC = jari-jari lingkaran luar segitiga) .

A B

C

O

C

A B

DE

F

da

a1

a2

b

c

A B

C

la

lb

lc


19/36

GE R2 66009(LIN) 19

F. DALIL MENELAOS, CEVA & STEWART

Garis Transversal adalah sebuah garis yang memotong setiap sisi atau perpanjangan sisi

suatu bangun.

Garisgadalah garis transversal

Transversal sudut adalah garis transversal yang melalui satu titik sudut.

Garis transversal sudut yang ditarik dari ketiga titik sudut segitiga dan berpotongan disatu

titik.

1. Dalil MENELAOS :jika sebuah transversal segitiga ABC memotong sisi-sisi AB, BC, CA

di titik P, Q dan R maka berlakulah :

Kebalikan Dalil Menelaos : Jika pada segitiga ABC terdapat titik P pada sisi AB, titik Q

pada sisi BC, titik R pada sisi AC dan

, maka titik P, Q dan R

terletak pada sebuah garis.

A

B

Cg

A

B

Cg

A

B

C

AB

C

A

B

C

g

A

B

C

P

R Q


20/36

GE R2 66009(LIN) 20

2. Dalil CEVA : Pada segitiga ABC dibuat tiga transversal sudut yang memotong sisi AB, BC,

dan CA berturut-turut di P, Q dan R; jika ketiga transversal sudut tersebut berpotongan

disatu titik, maka berlakulah :

Kebalikan Dalil Ceva : Pada segitiga ABC, jika titik P, Q dan R bertutut-turut terletak

pada AB, BC, dan AC sehingga

, maka garis AQ, BR dan CP

melalui sebuah titik

3. Dalil STEWART :

Pada segitiga ABC ditarik sebuah transversal sudut dari titik A hingga memotong sisi BC di

D, maka panjang segmen garis AD dapat di hitung dengan :

AD2 . BC = AB2 . CD + AC2 . BDCD . BD . BC

Dalil Stewart :

sa2.a = b

2.a1+ c

2.a2a1.a2.a

sb2.b = a

2.b1+ c

2.a2b1.b2.b

sc2.c = a

2.c1+ b

2.c2c1.c2.c

C

AB

R Q

P

O

AB

E D

F

C

a1 a

a2b1

b2

c1 c2

b

c

sa

sc

sb


21/36

GE R2 66009(LIN) 21

IV. SEGIEMPAT

Segiempat adalah bangun datar bersisi empat. Segiempat dikelompokkan atas segiempat

beraturan dan segiempat tak beraturan.

A. Segiempat Tak Beraturan

ABCD adalah bangun segi-4 tak beraturan.

AB, BC, CD dan DA : sisi

A, B, C, dan D : titik sudut

AC dan BD : diagonal

Jumlah sudut-sudut dalam segi-4 adalah 3600. Buktikan !

B. Segiempat Beraturan

1. JAJAR GENJANG : adalah segi-4 yang sisi-sisinya sepasang-sepasang sejajar.

Sifat-sifat :

1. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar

3. Kedua diagonal saling memotong ditengah-tengah

2. PERSEGI PANJANG : adalah suatu jajar genjang yang salah satu sudutnya siku-siku.

Sifat-sifat :


2. Keempat sudutnya siku-siku

3. Kedua diagonalnya sama panjang


3. BELAH KETUPAT : adalah suatu jajar genjang yang dua sisinya berturutan sama panjang.

Sifat-sifat :


2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar


4. Kedua diagonal saling berpotongan tegak lurus

5. Diagonalnya membagi sudut atas dua bagian yang sama

A B

C

D

A B

CD

A B

CD

D

A

B

C


22/36

GE R2 66009(LIN) 22

4. PERSEGI (BUJUR SANGKAR) adalah segi-4 yang keempat sisinya sama panjang dan

sudutnya siku-siku.

Sifat-sifat :


2. Keempat sudutnya siku-siku

3. Kedua diagonalnya sama panjang

4. Kedua diagonal saling memotong ditengah-tengah5. Kedua diagonal saling berpotongan tegak lurus

6. Diagonalnya membagi sudut atas dua bagian yang sama

5. TRAPESIUM adalah segi-4 yang sepasang sisinya sejajar.

Sifat-sifat :

1. Sepasang sisinya sejajar (AB//DC)

2. Sisi tegak : AD dan BC

3. CE : tinggi trapesium

Trapesium samakaki :

1. Kedua sisi tegak sama panjang (AD=BC)

2. Kedua sudut alasnya sama besar (A = B )3. Kedua diagonalnya sama panjang (AC = BD)

Trapesium siku-siku :1. Salah dua sudutnya siku-siku

6. LAYANG-LAYANG adalah segi-4 yang sepasang-sepasang sisinya sama panjang.

Sifat-sifat :

1.

Sepasang sisinya sama panjang (AB=BC dan CD=DA)2. Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus

3. Salah satu diagonalnya ( BD) membagi dua sama

panjang diagonal lainnya (AC).

4. Sepasang sudut yang berhadapan sama besar (A=C)

D

A B

C

D

A B

C

E

D

B

C

AE

D

A B

C

A

B

C

D


23/36

GE R2 66009(LIN) 23

V. LUAS BANGUN DATAR

Luas bangun datar adalah daerah/permukaan yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun yang tertutup.

Persegi/bujur-sangkar satuan adalah bangun persegi yang panjang sisinya

satu satuan dan mempunyai luas sebesar satu satuan luas. Jika panjang sisiadalah 1 cm, maka luas persegi adalah 1cm persegi ( 1 cm2).

Luas suatu bangun adalah banyaknya bujur-sangkar satuan yang terdapat pada permukaan bangun

tersebut.

Luas : 6 x 6 satuan luas Luas : 9 x 6 satuan luas

Luas bujur-sangkar bersisi S adalah panjang sisi xsisiatau

S2.

Luas persegi-panjang dengan panjangPdan lebarL

adalah panjang x lebaratau Px L

LUAS SEGITIGA : x panjang alasx panjang tinggi

S S2

P xLL

P

alas

tinggi


24/36

GE R2 66009(LIN) 24

Segitiga-segitiga yang mempunyai panjang alas dan tinggi sama, maka luasnya juga sama

LUAS JAJARAN GENJANG : panjang alasx tinggi

LUAS BELAH KETUPAT : x diagonal pendekx diagonal panjang

LUAS TRAPESIUM : tinggixjumlah sisi-sisi sejajar = t (a+b)

LUAS LAYANG-LAYANG : x diagonal pendekx diagonal panjang

alas

tinggi

alas

tinggi

diagonal pendek

diagonal pendek

diagonal panjang

diagonal panjang

a

b

t


25/36

GE R2 66009(LIN) 25

VI. SEGI BANYAK

Segi banyak ( segin ) adalah bangun yang dibatasi oleh n buah sisi. Segindikelompokkan

atas segi n tak beraturan dan segi n beraturan. Unsur-unsur segi n : sisi , titik sudut dan

diagonal. Diagonal adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak berturutan.

Pada segi-nterdapat nbuah sisi dan nbuah titik sudut. Segi-banyak disebut juga POLIGON

.

Nama-nama poligon menurut banyaknya sisi :

Banyak sisi Nama poligon Banyaknya sisi Nama poligon

3 segitiga 8 oktagon

4 segiempat 9 nonagon

5 pentagon 10 dekagon

6 heksagon 12 dodekagon

7 heptagon n n-gon

Dalil : Dari sebuah titik sudut suatu segindapat ditarik n-3 buah diagonal.

Bukti :

Pada suatu segi-n, tentukan sebuah titik-sudut, misal

sudutA. Buatlah ruas garis melalui titikAdan titik sudut

yang lain, maka terdapat 1n buah ruas garis. Dua

ruas garis (yang titik-titiknya berturutan dengan A)

merupakan 2 buah sisi dari segin tersebut. Jadi

banyaknya ruas garis yang merupakan diagonal yang

melalui titikAadalah (n-1)2 = n - 3

titik sudut

diagonal

sisi


26/36

GE R2 66009(LIN) 26

Dalil : Banyaknya diagonal dalam seginadalah n (n-3)

Bukti :

Pada segi-n, dari satu titik sudut dapat dibuat (n-3)diagonal. Dari nbuah titik sudut dapat dibuat

n( n-3) diagonal. Setiap diagonal dihitung/digambar dua kali, satu dibuat berdasarkan titik sudut

sebagai pangkal ruas garis dan satu lagi dibuat berdasarkan titik sudut sebagai ujung ruas garis.

Jadi banyak semua diagonal yang dapat dibuat dalam seginadalah n (n-3)buah diagonal.

Dalil : Jumlah sudut dalam suatu seginadalah (n-2).1800

Bukti :

Dalam segi n , tentukan satu titik sudut dan gambarkan

semua diagonal yang melalui titik sudut tersebut , maka

akan terbentuk sebanyak (n-2) buah segitiga.

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800, maka

jumlah sudut dari (n-2)buah segitiga adalah (n-2).1800.

Jadi jumlah sudut-sudut dalam segin adalah (n-2).1800

SEGI-BANYAK BERATURAN

Segi banyak beraturan adalah segi-nyang semuasisinya sama panjang atau semua sudutnya sama

besar.

Dalil : Besar sebuah sudut-dalam segi-n beraturan adalah 1/n.(n-2).1800

Bukti : Jumlah sudut-sudut dalam segin adalah (n-2).1800. Pada segi-nberaturan, besar nbuah

sudut-dalam-nya sama besar, maka besar setiap sudut-dalam segi-n adalah :

1/nx (n-2)1800.

Dalil : Jumlah semua sudut-luar seginberaturan adalah 3600

Bukti : Besar sebuah sudut-dalam dan sebuah sudut-luar segi nadalah 1800. Terdapat nbuah

titik sudut, maka jumlah npasangan sudut-dalam dan sudut-luar segi-nadalah n x 1800.

Sedangkan jumlah nsudut-dalam segin adalah (n-2) x 1800. Jadi jumlah nsudut-luar

seginadalah (n x 1800)((n-2) x 1800)= 2 x 1800= 3600.

Segi enam beraturan

sudut- luar

sudut- dalam


27/36

GE R2 66009(LIN) 27

VII. LINGKARAN

Lingkaranadalah kumpulan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu

yang disebut pusat lingkaran.

Unsur-unsur lingkaran :

O : pusat lingkaran

OA = OB = OC : jari-jari (radius)

AC : garis tengah (diameter)

ED , EF : talibusur

AOB : sudut pusat

DEF : sudut kelilingm : juring atau sektor

n : tembereng

: busur kecil : busur besar

Jika suatu jari-jari (garis tengah) yang tegak luruspada suatu talibusur ( OD AB ) , maka :

o AM = BM

o OAM = OBM

o AOM = BOM

Jika OM AB dan ON DC dan OM = ON, makapanjang talibusur AB = talibusur DC

Jika dua buah busur sama panjang , maka:

o Sudut pusatnya sama besar (AOB=COD)o Talibusurnya sama panjang (AB=CD)

o Talibusur berjarak sama ke posat lingkaran

(OM=ON)

Dalam suatu lingkaran, panjang suatu busur dan luassuatu juring sebanding dengan besar sudut-sudut

pusatnya.

O

C

B A

D

E

F

m

n

O

A BM

C

D

O

A

B

M

CD N

O

A

B

CD


28/36

GE R2 66009(LIN) 28

O

N

M

P

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnyaterletak pada keliling lingkaran dan kaki sudutnya

merupakan talibusur lingkaran () . Sudut pusat lingkaran adalah sudutyang titik

sudutnya berada pada pusat lingkaran (). Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang

sama besarnya sama. Sudut keliling besarnya sama dengan setengah dari

sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

=

Sudut yang terbentuk dari perpotongan talibusurdan berada di luar lingkaran : P

Sudut yang terbentuk dari perpotongan talibusurdan berada di dalam lingkaran : CQB

Garis singgung lingkaran: garis yang memotong lingkaran di satu titik.

Garis singgung dan jari-jari saling tegak lurus .

OM PM dan ON PN.

Dari satu titik P di luar lingkaran, dapat ditarik dua garis

singgung pada lingkaran tersebut.

Terbentuklah bangun layang-layang garis singgung

PMON, dengan : PM = PN dan PNO = PMO =900

Garis singgung persekutuan

g

O1

O2M

O2O1 M

A

C

B

D

g1

g2

g3

P

A

B

C

D

Q


29/36

GE R2 66009(LIN) 29

Lingkaran-lingkaran yang bersinggungan dari dalam mempunyai sebuah garis singgung

persekutuan (g) , sedang lingkaran-lingkaran yang bersinggungan di luar mempunyai 3 buah garis

singgung persekutuan (g1, g2, dan g3 ). Garis singgung g1 tegak lurus pada garis yang

menghubungkan pusat-pusat lingkaran tersebut (g1O1O2). Panjang garis singgung AB=CD.

Terdapat dua buah garis singgung persekutuan pada dua buah lingkaran yang saling berpotongan

(g1, dan g2). AB = CD. PQ adalah talibusur persekutuan dan tegak lurus pada O1O2( garis

sentral) . Jika kedua lingkaran tidak saling berpotongan, maka terdapat 4 buah garis singgung

yaitu 2 garis singgung luar (g1, dan g2) , dengan AB=CD dan 2 garis singgung dalam (g3, dan g4)

dengan EF=GH.

LINGKARAN DAN SEGITIGA

Titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah

perpotongan garis sumbu setiap sisi-sisinya yang

merupakan talibusur lingkaran. Panjang jari-jari

lingkaran tersebut adalahR.

, denganL= luas segitiga

Segitiga-segitiga yang salah satu sisinya adalah

garis tengah suatu lingkaran, pastilah merupakan

segitiga siku-siku, dengan sudut siku-sikunya

berada pada keliling lingkaran.

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang

menyinggung sisi-sisi segitiga dari sebelah dalam,

atau sisi-sisi segitiga tsb merupakan garis singgung

lingkaran. Jika panjang jari-jari lingkaran dalam

segitiga adalah r, maka , denganL= luas

segitiga dan s= keliling segitiga

O2O1

Q

g1

g2

A

C

B

D

P

O1

g1

g2g4

g3

O2

A

B

C

D

E

F

H

G

ab

cA B

C

R

tc

A B

C

o

D

E

F


30/36

GE R2 66009(LIN) 30

R

Keliling lingkaranadalah panjang busur pada lingkaran penuh = 2 R , denganR : jari-jari lingkaran dan = 3,14159265....

Luas lingkaran= R2

LINGKARAN DAN SEGIEMPAT

Segiempat Talibusuradalah segiempat yang sisi-sisinya merupakan talibusur-talibusur dalam

satu lingkaran.

ABCD adalah segiempat talibusur.

AB, BC, CD dan DA adalah talibusur

Pada segiempat talibusur berlakulah :

DAB = BCE A + C = 1800 B + D = 1800 Jumlah sudut dalam segi-4 talibusur =3600

Dalil Ptolomeus: Pada segiempat talibusur, hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan

jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.

AC x BD = AB x DC +AD x BC

Segiempat Garis-singgungadalah segiempat yang sisi-sisinya merupakan garis singgung pada

satu lingkaran

ABCD adalah segiempat garis singgung.

AB, BC, CD, dan DA adalah garis-garis singgung

pada lingkaran yang berpusat di O.

Pada segi-4 garis-singgung berlakulah jumlah sisi-

sisi yang berhadapan sama panjang.

AB + CD = AD + BC

A B

C

D

E

A B

CD

O

R

R


31/36

GE R2 66009(LIN) 31

SOAL-SOAL

A. SUDUT

1. Jumlah A dan B adalah .192 16' 48". Keduanya berbanding 1 : 5. Hitunglah sudut-suduttsb.

2. Selisih dua sudut 38 49' 40" dan perbandingannya 3 : 7. Hitung besar masing-masing

sudut

3. Jumlah kedua sudut A dan sudut B adalah 172 48' 25" dan berbanding sebagai 2 : 3.

Hitunglah besar sudut penyiku A dan sudut pelurus sudut B.4. Bila sudut pelurus A sama dengan 56 19' 18 dan sudut penyiku B adalah 36 42'

19". Hitunglah A - B.5. Jumlah A dan B = 194 49' 56 dan selisihnya 33 36' 12". Hitunglah A dan B.6. Jumlah A dan B adalah 179 44' 44", sedangkan sudut penyiku A = 48 44' 32".

Hitung B.7. A sama dengan 2 x sudut pelurusnya. Berapakah besar A.8. A = 68 53 42" dan B = 14 16' 24". Sudut manakah yang basarnya = 2 x B + 2/3

x A ?9. Sudut manakah yang sama dengan 1/7 kali

sudutpelurusnya ?

10. Sudut BAC = 90, sudut DAE = 90; sudut EAC =

29. Hitunglah sudut lainnya. (lihat Gambar 1.)

11. Berapakah besar sudut antara kedua jarum

pada jam yang menunjuk pukul 6, pukul 9,

pukul setengah 12 dan pukul 07.45 ?

B. GARIS-GARIS SEJAJAR DAN PERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS

12. Pada gambar di samping, b = 36 19'45". f = 2 x b. Berapakah besar sudut-sudutlainnya?

13.

Pada gambar di samping jika b = 11/13sudut penyikunya. Hitunglah sudut-sudutyang lain.

14. Pada gambar di samping garis AB dan CD

sejajar. Diketahui b = 56 27'42" dan , a = 2/3 x b. Hitunglah sudut lainnya.

g h

f

e

d c

a b

A d c b B

a

C g h m n D

l k p o

B

D

E

F A C

Gambar 1


32/36

GE R2 66009(LIN) 32

15. Pada ABC ditarik sebuah garis sejajar dengan AB, yang memotong sisi AC dan BC berturat-

turut di D dan E.

a. Jika AD = 9 cm; DC = 6 cm; EC = 7,2 cm. Hitunglah BE

b. Jika AD = 9 cm; DE = 6 cm; AB = 20 cm. Hitunglah DC

c. Jika AD = 9 cm; DC = 6 cm; BC = 20cm. Hitunglah CE.

d. Jika AB = 20 cm; DE = 8cm ;AC = 15 cm.Hitunglah AD

16. Pada ABC, sisi AB= 16 cm, BC= 18 cm dan AC=12. D terletak pada AC, sehingga AD = 8 cm.Ditarik DE //AB (E pada BC) dan dari E garis EF // CA (F pada AB). Hitung CE, CD, DE dan EF.

17. Sisi-sisi sejajar suatu trapezium panjangnya 10 cm dan 14 cm, sisi-sisi tegak 6 cm dan 7

cm. Berapa jauhkah sisi-sisi tegak tsb. harus diperpanjang agar bertemu?

18. Dari trapesium ABCD (AB // DC) diketahui: AB=10, DC=AD = 6, CB=8. E terletak pada DA,

sehingga DE = 2. Tarik EF // AB (F pada BC). Hitunglah BF, CF dan EF.

19. Garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan sisi-sisi tegak suatu trapesium,

sejajar dengan alas dan panjangnya sama dengan setengah jumlah sisi-sisi yang sejajar.

Buktikan!

20. Gambarkan suatu sudut ABC. Tarik dalam sudut ini sebuah garis BY dan tentukan dua

buah titik P dan Q pada BY. Tariklah PD dan QE tegak lurus pada BC serta PF dan QG tegaklurus pada BA. Uktikan bahwa PD/QE = PF/QG

21. Sisi-sisi sejajar suatu trapesium panjangnya 8cm dan 12 cm. Salah sebuah kakinya dibagi

atas tiga bagian jang sama dan melalui titik-titik bagi itu tarik garis-garis sejajar dengan

alas. Hitunglah panjang garis2 itu.

22. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD =2/5 BC dan pada AB titik E,

sehingga AE = 1/3 AB.. AD dan CE berpotongan di S. Hitunglah AS/SD dan CS/SE

23. Pada trapesium ABCD (AB//CD) : P dan Q pertengahan-pertengahan diagonalnya.

Buktikan, bahwa PQ // AB dan PQ = (AB-CD).

24. Pada diagonal AC jajaran-genjang ABCD terletak sebuah titik P. PA:PC = 2:5. Melalui P

ditarik sebuah garis sejajar dengan AB. Jika diketahui AB =21 cm, hitunglah kctiga bagian

dari garis sejajar itu, yang dibagi oleh AD, AC, BD dan BC.

25. Dari sebuah titik P pada alas AB dibuat segitiga samakaki ABC ditarik PD//AC dan PE//BC.

Buktikan: PD: PE= PB:PA.

26. Dalam trapesium ABCD (AB//DC) ditentukan sembarang titik E pada kaki AD. Dari E ditarik

sebuah garis sejajar dengan AB, yang memotong AC, BD dan BC berturut-turut di titik-titik

P, Q dan R. Buktikan: EQ = PR.

C. LUKISAN

27. Bagilah sebuah garis lyang diketahui panjangnya menjadi 5 bagian yang sama.

28. Bagilah sebuah sudut yang telah ditentukan besarnya menjadi 8 bagian yang sama!

29. Diketahui sebuah garis melali titik M dan N, dan sebuah titik P di luar garis tsb. Lukislah

sebuah garis yang melalui P tegak lurus ke MN.

30. Gambarkan 4 buah segitiga yang sisi-sisinya 7 cm, 8 cm dan 9 cm. Pada segitiga ke-1

lukislah ketiga garis beratnya, pada segitiga ke-2 lukislah garis-garis baginya, pada sgitiga

ke-3 lukislah ketiga garis tingginya dan pada segitiga ke-4 lukislah ketiga garis sumbunya.

31. Gambarkan sebuah segitiga siku-siku, kemudian gambarkan ketiga garis berat dan garis

baginya !.

32. Gambarkan sebuah sudut yang besarnya 75, 135 dan 165.

33. Gambarkan sebuah garis melalui puncak suatu segitiga dan juga sejajar dengan alas.

34. Gambar ABC. Bagi dua (sama tengah) sisi AB kemudian melalui titikbagi ini buatlah sebuahgaris sejajar dengan alas AC.

35. Gambarkan sebuah sudut yang besarnya 90, 45, 6730' dan 9730'.


33/36

GE R2 66009(LIN) 33

36. Gambarkan sebuah segitiga samasisi dengan sisinya 6 cm.

37. Gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi siku-sikunya 5 cm dan 7 cm.

38. Gambarkan sebuah segitiga samakaki yang alasnya 6 cm dan kakinya 8 cm.

39. Gambarkan sebuah segitiga yang alasnya 6 cm dan sudut-sudut yang terletak pada sisi tsb.

Masing-masing 45 dan 60.

40. Gambarkan sebuah segitiga samakaki yang alasnya 6 cm dan sudut alas 45.

41. Pada sebuah segitiga diketahui dua sudutnya, bentuklah sudut yang ketiga.

42. Pada sebuah segitiga siku-siku diketahui sebuah sudut lancipnya. Bentuk sudut-lancip

lainnya.

43. Dari sebuah segitiga samakaki diketahui sudut alasnya; bentuk sudut puncak segitiga itu.

44. Gambarkan sebuah segitiga yang sisinya masing-masing 5 cm dan 7 cm sedang sudut

yang diapitnya adalah 60.

45. Gambarkan sebuah segitiga siku-siku, bila diketahui sebuah sisi siku-siku dan sudutlancip

yang dihadapan sisi tsb.

46. Gambarkan sebuah segitiga samasisi, bila diketahui garistingginya.

D.

SEGITIGA (PR) dikerjakan ya

47. Dalam ABC : AD garisbagi A dan ED // BA. Buktikan bahwa ADE samakaki (Gambar4.).

48. Pada kaki-kaki sudut O ukurkan OA = OB. Di A dan B gambarkan masing-masing garis

tegaklurus pada kaki sudut sehingga berpotongan di S. Buktikan ASB samakaki (Gambar

5).

49. Dari samakaki ABC diketahui sudut puncak C = 36. Garis AD adalah garisbagi A.Buktikan : AB = AD = DC.

50. Buktikan, bahwa di dalam dua segitiga yang sama dan sebangun: a). garis2-bagi yang

seletak sama panjangnya. b). garis-berat yang seletak sama panjangnya. c). garis tinggi

yang seletak sama panjangnya.

51. Buktikan bahwa dalam segitiga samakaki garis-garis bagi sudut-alas sama panjangnya.

52. Buktikan bahwa dalam segitiga samakaki garis-garis berat sudut-alas sama panjangnya.

53. ABC samakaki dgn A sudut puncak. Sisi BA diperpanjang sehingga BA = AD. Buktikan

DCBC.54. Dalam ABC dan A1B1C1, sudut A dan sudut A1 adalah sudut-sudut alas yang terbesar.

Jika diketahui: sudut A =sudut A1 dan c : c1= (a - b) : (a1- b1) buktikan bahwa ABC dan

A1B1C1 sebangun.55. Diagonal-diagonal trapesium ABCD (AB//CD) berpotongan di S. Buktikan: ABS ~ CDS.

56. Dalam segitiga ABC ditarik garis-garis tinggi AD dan BE. Buktikan : a) ADC dan BEC; b)

C

E D

A B

Gambar 4

A

S

O

B

Gambar 5


34/36

GE R2 66009(LIN) 34

AD:BR = AC:BC ; c)DC:EC = AC:BC ; d) DEC ~ ABC.

57. Pada segitiga ABC diketahui: AB =10cm, BC = 12 cm, dan CA = 8 cm. Pada BC terletak titik

E, sehingga CE = 2cm , pada CA terletak titik D sehingga CD = 3 cm.

Buktikan CED ~ CAB dan dapatkah sekarang DE dihitung ?

58. Sisi-sisi sejajar suatu trapesium samakaki panjangnya 6 cm dan 10 cm , diagonalnya 12 cm.

Hitunglah keempat bahagian diagonal-diagonal itu.

59. Pada trapesium ABCD (AB//CD) diketahui : AB=12cm, DC = 4 cm. Garis tegak lurus AE ke

BC panjangnya 7,5cm. Hitunglah panjang garis tegak lurus DP pada kepanjangan BC.

60. Pada kaki AB suatu ABC terletak sebuah titik P dan pada kaki AC sebuah titik Q. AP = 8,

AQ = 12. Jarak dari P ke-AC ialah 6. Hitunglah jarak dari Q ke-AB.

61. Bila dalam suatu trapesium siku-siku diagonal yang terpendek menjadi pembanding tengah

antara sisi-sisi yang sejajar maka diagonal ini tegak lurus pada sisi condong.

62. Dalam ABC ditarik garis CD, sehingga ACD = B Buktikanlah: AC pembanding tengahantara AD dan AB.

63. AD dan BE garis-garis tinggi dalam ABC. Buktikanlah: DEC ~ ABC (Ambil dahulu

sudut A lancip, sesudah itu sudut A tumpul).

64. Dipertengahan M hypotenusa BC segitiga sikusiku ABCdibuat sebuah garis tegak lurus,

yang memotong AB dan AC berturut-turut di P dan Q. Buktikanlah: MA2= MP x MQ.65. Alas dan sebuah kaki suatu segitiga samakaki berbandig sebagai 2 dan 3. Tingginya 16 cm.

Hitunglah luas segitiga itu.

66. Suatu trapezium siku=siku, panjang sisi-sisi sejajar adalah 6 cm dan 12 cm, tingginya 8 cm.

Hitunglah panjang sisi miring, diagonal-diagonal dan luasnya.

67. Sisi-sisi sejajar suatu trapezium samakaki adalah 6 cm dan 9 cm, luasnya 30 cm2. Hitunglah

panjang sisi tegaknya.

68. Diketahui segitiga siku-siku ABC; sudut C= 300

dan AB = 36cm. Hitung keliling segitiga ABC.

69. Pada segitiga ABC diketahui sudut A =300, AC= 20 cm dan AB = 36 cm. Hitunglah luas dan

keliling segitiga tersebut.

70. Pada segitiga ABC diketahui : AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Hitunglah panjang AC, jika B =300; 450; 600; 1200dan 1350.71. Pada segitiga ABC diketahui A =300, B = 450, tc= 8 cm.Hitunglah panjang sisi-sisinya

dan luas sgitiga ABC.

72. Dalam persegi panjang ABCD terletak sebuah titik P. Buktikan bahwa PA2+ PC

2= PB

2+ PD

2.

73. Segitiga ABC siku-siku di A. Buktikan bahwa

!

74. Berapakah keliling suatu ABC jika diketahui sudut A = 450, AB=42 cm dan garis tinggi pada

AB = 24 cm ?

75. Luas ABC = 756 cm2; CD = garis tinggi ; AD = 45 cm dan DB = 18 cm. Hitunglah keliling

segitiga itu.

76. Segitiga ABC sama sisi dengan sisinya 12 cm. Hitunglah panjang garis tingginya dengan

mempergunakan rumus garis tinggi dan tidak menggunakan rumus tsb.

77. Segitiga ABC lancip. Tarik garis tinggi BF dan hubungkan F dengan P dan Q yang masing-

masing merupakan pertengahan AB dan BC. Buktikan bahwa jarak dari P ke FQ dan ke BQ

adalah sama.

78. Pada ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 13 cm, dan CA = 17 cm. Titik P terletak pada

perpanjangan AB sehingga AP : PB = 7 : 5. Hitunglah panjang CP.

79. Segitiga ABC samakaki dengan puncak C. Tarik sebuah garis melalui C ke sembarang titik D

pada alas. Buktikan CD2= AC

2AD x DB !

80. Pada ABC, titik D terletak pada AB sehingga AD : DB = 2 : 1. Buktikan bahwa CD membagi

dua sama panjang garis berat BE (petunjuk : tariklah garis melalui E sejajar CD).


35/36

GE R2 66009(LIN) 35

E. SEGI - N :

81. Pada suatu persegi, selisih antara diagonal dan sisinya adalah 4 cm. Tentukan panjang

sisinya.

82. Jumlah pangkat 2 diagonal-diagonal jajaran genjang sama dengan jumlah pangkat dua sisi-

sisinya. Buktikan !

83. Diagonal-diagonal segi-4 ABCD berpotongan di S. Jika pertengahan-pertengahannya adalahSA, SB, SC dan SD dihubungkan, maka terjadi suatu segi-4 yang luasnya dari segi-4

ABCD. Buktikan.

84. Diagonal-diagonal segi-4 ABCD berpotongan di S. Luas segi-4 ini adalah 84. Diketahui

AS=5, BS=3, CS=7 dan DS=2. Hitung luas keempat segitiga dalam segi-4 ABCD.

85. Jumlah sudut dari suatu segi-nadlah 12600. Tentukan segi-ntersebut dan banyaknya

diagonal.

86. Tiap-tiap sudut suatu segi banyak beraturan besarnya 1720. Tentukan segi-ntersebut !.

87. Dua buah sudut suatu segi-5 masing-masing 900dan sudut lainnya berbanding 4, 5, dan 6.

Hitunglah sudut-sudut tersebut.

88. Setiap sudut luar segi banyak beraturan besarnya 400. Berap banyakkah diagonalnya ?

89. Sudut-sudut luar suatu segi banyak berbanding 2, 3, 4, 5 dan 6. Berapakah besar sudut-sudut

dalamnya ?

90. Segi banyak manakah yang jumlah sudutdalamnya 5 x jumlah sudut-sudut luarnya.

F. LINGKARAN :

91. Dari titik P di luar sebuah lingkaran gambarkan garis singgung PA. PA = 48 cm. Jari-jari

lingkaran R = 20 cm. Hitung jarak dari P ke pusat M.

92. Seperti soal no 1. dengan ketentuan bahwa PA = 14 cm, PM = 17,5 cm. Hitunglah jari-jari R.

93. Jika PM = 6,5 cm dan R = 3,6 cm. Hitung garis singgung PA.

94. Di dalam suatu lingkaran dengan jari-jari = 3,9 cm dibuat sebuah talibusur AB yang

panjangnya 7,2 cm. Hitunglah panjang garis MD, yang ditarik dari pusat M dan tegak lurus

pada tali busur AB.

95. Seperti soal no.4, tetapi R = 32,5 cm, dan MD = 12,5 cm. Hitung panjang talibusur AB.

96. Jika panjang talibusur AB = 10 2/3 cm dan garis tegak lurus MD = 4 cm. Hitung jari-jari R.

97. Terdapat dua lingkaran berpotongan. Jari-jari masing-masing lingkaran tersebut R = 36 cm

dan r = 20 cm. Tali busur persekutuan AB = 24 cm. Hitung jarak kedua pusat M dan N.98. Seperti soal no 7, tetapi R= 41 cm dan r = 15 cm dan MN = 52 cm. Hitunglah panjang

talibusur persekutuan AB.

99. Terdapat dua lingkaran M dan N yang berpotongan. Tali busur persekutuannya = 18 dm

sedang potong-potongn MN oleh pembagian tali busur itu masing-masing 19 dan 11 dm.

Hitung jari-jari R dan r (cukup dua angka di belakang koma).

100. Terdapat dua lingkaran M dan N yang berpotongan. Talibusur persekutuan AB = 30 cm;

garis MN = 56 cm; dan R 39 cm. Hitung jari-jari lingkaran yang terkecil.

101. Seperti soal no 10, AB=48 cm, MN=17 cm dan r=25 cm. Hitung jari-jari lingkaran yang

terbesar.

102. Dari dua lingkaran bersinggungan diketahui bahwa R=25 cm dan r = 16 cm. Hitung panjang

garis singgung luar AB.

103. Lingkaran M dan N bersinggungan di dalam. MN = 65 cm. Garis singgung dari M ke


36/36

lingkaran yang terkecil itu = 50 cm. Hitunglah jari-jari kedua lingkaran itu.

104. Jari-jari dua lingkaran M dan N yang bersinggungan di dalam masing-masing sama dengan

48 dan 10,5 cm. Hitunglah panjang garis singgung dari M ke lingkaran yang terkecil itu.

105. Dari sebuah titik P di luar lingkaran M ditarik kedua garis singgung PA dan PB. PA=36 cm.

Dan R = 10,5 cm. Hitunglah garis AB.

106. Seperti soal no 16, hitung sekarang luas segiempat PAMB.

107. Dua lingkaran M dan N berpotong-potongan. R = 8,8 cm; r = 6 cm sedangkan MN = 10 cm.Hitunglah garis singgung luar AB.

108. Dalam suatu lingkaran ditarik dua talibusur AB dan CD berpotongan di E. Diketahui besar

busur AD = 8944', busur DB = 5628' dan besar busur CB= 12536'. (a). Hitung sudut AEC

(b). Hitung sudut ADC

109. Soal no. 18, jika sudut BAD 2715'46" ; sudut AEC 7619'25". Hitunglah besar busur AD.

110. Lihat gambar di samping, besar busur BD = 5617'

dan besar busur AC = 1036'. Busur DC : busur AB

= 2 : 3. Hitung sudut A, B, dan C.

111. Pada gambar yang sama, jika Sudut B = 10836',

sudut A = 5418' dan besar CD= 4824'. Hitung

besar AB, BD, dan AC.

112. Pada gambar di samping, AB menyinggung

lingkaran tersebut. Besar busur AD = 5748', besar

busur DE = 4x besar bususr AD dan besar bususr

EF = 1/3 besar busur AD. Hitunglah sudut-sudut A,

B dan C.

113. Terdapat tiga titik A, B dan C yang membagi keliling lingkaran atas busur-busur dengan

perbandingan 5:6:7. Hitung besar busur masing-masing dan sudut pusat yang menghadapbusur tersebut.

114. Terdapat dua lingkaran sepusat. Jari-jari lingkaran kecil adalah r = 24 cm, dan jari-jari

lingkaran yang besar R= 1,5 r. Hitunglah luas daerah gelang yang terbentuk.

115. Dalam lingkaran yang berpusat di O, dua buah talibusur AB dan CD yang panjangnya sama

berpotongan di S. Buktikan busur AC = busurBD, AS=DS dan CS = BS.

116. Dari titik P diluar Lingkaran O ditarik sebuah garis singgung PA dan sebuah garis yang

memotong lingkaran di B dan C. Buktikan : P=ABC - ACB.117. P adalah pertengahan busur AB dalam lingkaran M, dihubungkan dengan Q yang

pertengahan busur BC. PQ memotong AB di E dan memotong BC di F. Buktikan bahwa BEdan BF sama panjang.

Daftar Pustaka :

[1] Rich, Barnett 2005. Schaums Easy Outlines : GEOMETRI. Penerbit Erlangga. Jakarta

[2] Ringensberg, Lawrence A. & Presser, Richard S. 1971, GEOMETRY, John Wiley & Sons,

Inc.

[3] Siagian, P. 1951.Ilmu Ukur. Kementrian Pendidikan, Pengajaran dan Kebudayaan RI

[4] Wijdenes, P. 1959, Planimetri, disadur oleh Kuipers,L dan Wirasto, NoordhoffKollff

NV Jakarta

A EC

D

B

A

E C

F

BD

Geo Bidange

Documents

Transcript of Geo Bidange