GejalaKUANTUM

Catatan Kuliah 1

FISIKA KUANTUM

oleh:

Prof. Freddy P. Zen, D. Sc ([email protected])

Agus Suroso, M. Si ([email protected])

Laboratorium Fisika Teoretik, FMIPA-ITB

1terakhir diperbaharui pada 18 Oktober 2010.

[email protected]

[email protected]

Daftar Isi

Daftar Isi i

Daftar Gambar ii

1 Gejala Kuantum 11.1 Radiasi Benda Hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Gejala radiasi termal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Hukum Stefan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Hukum Raleygh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Model osilator harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Energi rata-rata osilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Rapat jumlah osilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Kerapatan energi radiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Teori kuantum radiasi Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Efek Fotolistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Hamburan Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Model Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Sejarah Teori Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Model Atom Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

i

Daftar Gambar

1.1 Kurva intensitas radiasi termal per satuan panjang gelombang . . . . . . 21.2 Perbandingan antara hasil yang didapat hukum Raleygh-Jeans dan Teori

Kuantum Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Skema efek Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

ii

Bab 1

Gejala Kuantum

1.1 Radiasi Benda Hitam

1.1.1 Gejala radiasi termal

Kajian tentang radiasi benda hitam bertujuan menjelaskan fenomena yang terkait de-ngan intensitasi radiasi (daya emisi) suatu benda pada temperatur tertentu. Pada tahun1792, T. Wedjwood mendapati bahwa sifat universal dari sebuah objek yang dipanaskantidak bergantung pada komposisi dan sifat kimia, bentuk, dan ukuran benda. Selanjut-nya, pada tahun 1859 G. Kirchoff membuktikan sebuah teorema yang didasarkan padasifat termodinamika benda bahwa pada benda dalam kesetimbangan termal, daya emisi(pancar) dan daya absorbsi (serap) sama besar. Ide Kirchoff dinyatakan dalam sebuahpersamaan

ef = J (f, T )Af , (1.1)

dengan ef adalah daya emisi per frekuensi cahaya tiap satuan luas, f adalah frekuensicahaya, T suhu mutlak benda, dan Af daya absorbsi (yaitu fraksi daya masuk yangdiserap per frekuensi tiap satuan luas. Benda hitam didefinisikan sebagai benda yangmenyerap semua radiasi elektromagnetik yang mengenainya, sehingga benda tersebutmenjadi berwarna hitam, atau pada persamaan (1.1) berlaku Af = 1 sehingga ef =J (f, T ) (daya emisi per frekuensi per satuan luas hanya bergantung pada f dan T saja).

1.1.2 Hukum Stefan

Pada tahun 1879, J. Stefan menemukan (secara eksperimental) bahwa daya total tiapsatuan luas yang dipancarkan oleh benda padat pada semua frekuensi bergantung padapangkat empat dari suhu (T 4), atau

etotal =

∫ ∞0

ef (f, T ) df = aσT 4, (1.2)

dengan 0 < a <= 1 merupakan koefisien serap dan σ = 5, 67× 10−8 W.m−2.T−4 adalahtetapan Stefan-Boltzman.

� Contoh. Hukum Stefan dapat diterapkan untuk memperkirakan suhu di permu-kaan bintang. Sebagai contoh, kita akan memperkirakan suhu di permukaan matahari.Diketahui jejari matahari adalah RS = 7, 0 × 108 m, jarak rata-rata matahari ke bumi

1

BAB 1. GEJALA KUANTUM 2

Gambar 1.1: Kurva intensitas radiasi termal per satuan panjang gelombang. Jumlahradiasi yang dipancarkan (luas daerah di bawah kurva) bertambah seiring dengan naiknyatemperatur. (Gambar diambil dari [?])

adalah R = 1, 5× 1011 m, dan fluks (daya per satuan luas) energi matahari yang terukurdi permukaan bumi adalah 1400 Wm−2. Seluruh energi yang dipancarkan matahari dapatdianggap berasal dari reaksi nuklir yang terjadi di dalamnya, bukan berasal pantulan da-ri radiasi yang mengenainya (seluruh radiasi yang mengenai matahari dianggap terserapsempurna). Sehingga, matahari dapat dianggap sebagai benda hitam (a = 1). Energiradiasi total yang mengenai bumi dan titik-titik lain di alam semesta yang berjarak Rdari matahari adalah et (R) 4πR2, sedangkan energi total yang meninggalkan permukaanmatahari adalah et (RS) 4πR2

S . Menurut hukum kekekalan energi, besar kedua energitersebut haruslah sama, sehingga

et (R) 4πR2 = et (RS) 4πR2S ⇒ et (RS) = et (R)

R2

R2S

. (1.3)

Lalu, menurut hukum Stefan et (RS) = σT 4, sehingga diperoleh

T =

(et(R)R2

σR2S

)1/4

=

( (1400Wm−2

) (1, 5× 1011m

)2(R)R2

(5, 67× 10−8W.m−2.T−4) (7, 0× 108m)2

)1/4

≈ 5800K. (1.4)

Berdasarkan persaaan (1.1), untuk benda hitam akan berlaku ef = J(f, T ). Selan-jutnya, didefinisikan besaran kerapatan spektrum energi per satuan volume per satuanfrekuensi u(f, T ), sehingga untuk cahaya (kecepatannya c) akan diperoleh

J(f, T ) = u(f, T )c

4. (1.5)


Berdasarkan kurva spektrum radiasi benda hitam, Wien membuat tebakan bentuk fungsi

kerapatan spektrum energi tersebut sebagai u(f, T ) = Af3e−βfT . Ternyata bentuk fungsi

tersebut dikonfirmasi secara eksperimental oleh Paschen untuk λ = 1−4 µm (infra merah)dan T = 400− 1.600 K (hasil eksperimen untuk λ lebih besar menyimpang dari prediksiWien).

1.1.3 Hukum Raleygh-Jeans

Model osilator harmonik

Bentuk kurva spektrum pancar benda hitam juga coba dijelaskan melalui hukum Rayleigh-Jeans. Menurut hukum tersebut, benda hitam dimodelkan sebagai sebuah rongga, dancahaya yang memasukinya membentuk gelombang berdiri. Energi radiasi per satuanvolume per satuan frekuensi merupakan moda dari osilator-osilator harmonik per satuanvolume dengan frekuensi yang terletak pada selang f dan f + df . Sehingga, kerapatanenergi dapat dinyatakan sebagai

u(f, T )df = EN (f)df (1.6)

dengan N(f) menyatakan rapat jumlah osilator per satuan volume per satuan frekuensi.Benda hitam dianggap berada pada kesetimbangan termal, sehingga terbentuk gelombangelektromagnetik berdiri di dalam rongga (gelombang berdiri EM ekivalen dengan osilatorsatu dimensi).

Fungsi probabilitas osilator klasik memenuhi fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann,

P (ε) = P0e− (ε−ε0)

kBT , (1.7)

dengan ε0 adalah energi dasar (terendah) osilator, ε energi osilator, P0 = P (ε0) merupakanpeluang osilator memiliki energi sebesar ε0, kB konstanta Boltzmann, dan T suhu mutlaksistem (dalam hal ini rongga).

Energi rata-rata osilator

Energi rata-rata osilator dihitung dengan memanfaatkan fungsi probabilitas (1.7),

ε =

∑ε εP (ε)∑ε P (ε)

, (1.8)

atau untuk nilai energi yang sinambung (kontinyu), notasi jumlah (∑

) berubah menjadiintegral. Lalu dengan mengingat persamaan (1.7), diperoleh

ε =

∫∞0εP0e

− (ε−ε0)kBT dε∫∞

0P0e− (ε−ε0)

kBT dε=

∫∞0εe− εkBT dε∫∞

0e− εkBT dε

. (1.9)

Pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir dapat dihitung dengan cara sebagaiberikut. Misalkan β = (kBT )

−1, maka penyebut persamaan terakhir menjadi∫ ∞0

e−βεdε = − 1

βe−βε

∣∣∣∣∞ε=0

=1

β. (1.10)


Lalu, dengan memanfaatkan hubungan tersebut, dapat diperoleh

d

dβ

(∫ ∞0

e−βεdε

)=

d

dβ

(1

β

)⇔∫ ∞0

d

dβ

(e−βε

)dε = − 1

β2

⇔ −∫ ∞0

εe− εkBT dε = − 1

β2

⇔∫ ∞0

εe− εkBT dε =

1

β2. (1.11)

Sehingga, energi rata-rata osilator adalah

ε =

∫∞0εe− εkBT dε∫∞

0e− εkBT dε

=β−2

β−1=

1

β= kBT. (1.12)

Rapat jumlah osilator

Tinjau sebuah kubus dengan panjang rusuk L yang di dalamnya terdapat gelombang elek-tromagnetik stasioner. Berdasarkan persamaan Maxwell, diperoleh persamaan gelombangstasioner untuk medan elektromagnetik berbentuk

∇2 ~E + k2 ~E = 0, (1.13)

dengan ∇2 ≡ ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 , ~E = ~E(Ex, Ey, Ez), serta Ex, Ey, dan Ez masing-masingmerupakan fungsi dari koordinat x, y, z. Dengan menganggap berlakunya separasi variabelpada tiap komponen medan ~E, misalnya Ex(x, y, z) ≡ u(x)v(y)w(z), dan k2 = k2x+k2y+k2zdiperoleh

d2u

dx2+ k2xu = 0, (1.14)

d2v

dy2+ k2yv = 0, (1.15)

d2w

dz2+ k2zw = 0, (1.16)

dengan solusi

u(x) = Bx cos(kxx) + Cx sin(kxx), (1.17)

v(y) = By cos(kyy) + Cy sin(kyy), (1.18)

w(z) = Bz cos(kzz) + Cz sin(kzz). (1.19)

Selanjutnya, diterapkan syarat batas bahwa u = v = w = 0 pada x = y = z = 0 danx = y = z = L, sehingga Bx = By = Bz = 0 dan kx,y,z = nx,y,zπ/L dengan nx,y,zmerupakan bilangan bulat positif. Dengan demikian, diperoleh

u(x) = Cx sin(kxx), (1.20)

v(y) = Cy sin(kyy), (1.21)

w(z) = Cz sin(kzz), (1.22)


yang memberikan solusi untuk komponen Ex

Ex(x, y, z) = A sin(kxx) sin(kyy) sin(kzz), (1.23)

dan berlaku pula

k2 =π2

L2

(n2x + n2y + n2z

)=n2π2

L2, (1.24)

dengan n menyatakan jumlah osilator dalam kotak.

Sebuah kotak dalam ruang k (dimensi/satuannya m−1) dengan volume(πL

)3berisi

satu buah gelombang berdiri. Sebuah elemen volum berbentuk kulit bola berjejari kyang terletak pada sebuah kotak dengan rusuk k memiliki volum 1

8 × 4πk2dk (karenakotak berusuk k menempati satu oktan/perdelapan dari sebuah bola berjejari k). Lalu,diperoleh N(k) yaitu rapat jumlah gelombang berdiri dengan bilangan gelombang terletakantara k dan dk,

N(k)dk =18 × 4πk2dk(

πL

)3 =L3k2

2π2dk. (1.25)

Dengan mengingat bahwa terdapat dua keadaan polarisasi untuk setiap modus gelombangEM, diperoleh jumlah gelombang berdiri tiap satuan volume (V = L3) sebesar

N (k)dk ≡ N(k)dk

V= 2× k2dk

2π2, (1.26)

atau dengan memanfaatkan hubungan besaran-besaran gelombang EM k = 2πλ dan c = λf

diperoleh

N (f)df =8πf2

c3df ⇔ N (λ)dλ = −8π

λ4dλ. (1.27)

Kerapatan energi radiasi

Berdasarkan hasil untuk E dan N (f) seperti di atas, diperoleh nilai kerapatan energiradiasi

u(f, T )df =8πf2

c3kBTdf ⇔ u(λ, T )dλ =

8π

λ4kBTdλ. (1.28)

Hasil ini memungkinkan terjadinya bencana ultraviolet, bahwa rapat energi untuk cahayadengan panjang gelombang kecil (atau frekuensi besar) dapat bernilai takhingga. Dan inibertentangan dengan hasil eksperimen.

1.1.4 Teori kuantum radiasi Planck

Untuk mengatasi masalah yang timbul pada hukum Rayleigh-Jeans, Max Planck mempos-tulatkan bahwa energi osilator adalah sebanding dengan frekuensi gelombang, εn = nhf(n bilangan bulat positif dan h konstanta Planck). Penerapan postulat ini ke persamaanuntuk energi rata-rata menurut statistik Maxwell-Boltzman (persamaan 1.8) memberikan

ε =

∑∞n=0 nhfe

− nhfkBT∑∞

n=0 e− nhfkBT

. (1.29)

Dengan mengingat rumus jumlah pada deret geometri,

∞∑n=0

rn =1

1− r|r| < 1, (1.30)


maka penyebut persamaan energi rata-rata tersebut dapat dituliskan sebagai

∞∑n=0

(e− hfkBT

)n=

1

1− e−hfkBT

(1.31)

Bagian pembilang dihitung seperti pada persamaan (1.11). Misalkan α = hfkBT

, maka

∑n

ne−αn = − d

dα

∑n

e−αn

= − d

dα

(1

1− e−hfkBT

)

=e−α

(1− e−α)2 . (1.32)

Jadi, diperoleh energi rata-rata

ε =hf(

1− e−hfkBT

)e− hfkBT(

1− e−hfkBT

)2=

hfe− hfkBT

1− e−hfkBT

=hf

ehfkBT − 1

(1.33)

Selanjutnya, diperoleh rapat energi radiasi

u(f, T )df =8πf2

c3

(hf

ehfkBT − 1

)df ⇔ u(λ, T )dλ =

8πhc dλ

λ5(ehfkBT − 1

) . (1.34)

Terlihat bahwa postulat Planck mampu mengatasi masalah yang muncul pada hukumRayleigh-Jeans. Bahkan, hasil ini sesuai dengan data eksperimen (Gambar ??). PostulatPlanck juga mampu menjelaskan hukum Stefan-Boltzman. Substitusi persamaan rapatenergi radiasi ke persamaan untuk radiasi total, menghasilkan

et =c

4

∫ ∞λ=0

u(λ, T ) dλ

=

∫ ∞λ=0

8πhc dλ

λ5(ehfkBT − 1

) . (1.35)


Gambar 1.2: Kurva intensitas radiasi termal menurut hukum Raleygh-Jeans dan TeoriKuantum Planck. Terlihat bahwa teori Planck sesuai dengna hasil eksperimen (yang di-nyatakan oleh titik), sedangkan hukum Raleygh-Jeans hanya sesuai untuk daerah panjanggelombang besar. (Gambar diambil dari [?])

Ambil x ≡ hcλkBT

sehingga dx = − hcλ2kBT

dλ atau dλ = −λ2kBThc dx = − hc

kBTdxx2 , sehingga

et = −kBThc

2πhc2∫ 0

x=∞

hckBT

dxx2(

hcxkBT

)5(ex − 1)

=2πk4BT

4

h3c2

∫ ∞x=0

x3

ex − 1dx︸︷︷︸

=π4

15

=2π5k4B15h3c2

T 4

= σT 4, (1.36)

dengan

σ =2π5k4B15h3c2

≈ 5, 67× 10−9 W.m−2 K−4 (1.37)

merupakan konstanta Stefan-Boltzmann.

Soal Latihan

1. Turunkan hukum pergeseran Wien, λmT = C, dengan memaksimumkan u(λ, T ).

1.2 Efek Fotolistrik

Tugas 1 (28 Agustus 2009)

Gejala Kuantum: Efek Fotolostrik(dikumpulkan sebelum Jum’at, 4 September 2009)


1. Beri penjelasan tentang efek fotolistrik yang menganggap bahwa cahaya berbentukkuanta (partikel)!

2. Hitung kecepatan photoelectron yang dilepas dari bahan seng (zinc, dengan stop-ping potential 4,3 eV) yang diberi cahaya ultraviolet. Dibanding kecepatan cahaya,berapa persen besar kecepatan tersebut?

3. Cahaya dengan intensitas 1,0 µW/cm2 jatuh pada permukaan besi seluas 1,0 cm2.Anggap bahwa besi memantulkan 96% cahaya yang mengenainya dan hanya 3%dari energi yang terserap terletak pada daerah ultraviolet.

(a) Hitunglah intensitas yang dipakai untuk menghasilkan efek fotolistrik!

(b) Jika panjang gelombang sinar ultraviolet adalah 250 nm, hitunglah banyaknyaelektron yang diemisikan tiap detik!

(c) Hitunglah besar arus yang ditimbulkan pada efek fotolistrik!

(d) Jika frekuensi cut off f0 = 1, 1× 1015 Hz, carilah fungsi kerja φ0 untuk besi!

1.3 Hamburan Compton

fek Compton adalah gejala yang timbul jika radiasi (sinar x) berinteraksi dengan partikel(elektron). Foton sinar x bersifat sebagai partikel dengan momentum p = hf

c = hλ . Skema

efek Compton diberikan pada gambar 1.3. Efek Compton dapat dijelaskan menggunak-

Gambar 1.3: Skema efek Compton. Foton datang dengan momentum p dan menumbukelektron yang diam. Lalu foton terhambur dengan momentum p′ dan elektron terhamburdengan momentum pe. Sudut hamburan foton θ dihitung terhadap arah datangnya.(Gambar diambil dari [?])

an konsep momentum dan tumbukan. Tumbukan dianggap bersifat lenting sempurna,sehingga berlaku hukum kekekalan energi,

E +mec2 = E′ + Ee ⇔ Ee = hf − hf ′ +mec

2. (1.38)

dengan E adalah energi foton sebelum tumbukan, mec2 energi elektron sebelum tumbukan

(berupa energi diam), E′ energi foton setelah tumbukan, dan Ee energi elektron setelahtumbukan. Seperti kasus tumbukan pada umumnya, pada peristiwa efek Compton jugaberlaku kekekalan momentum.


• Pada arah sumbu x (searah dengan arah datang foton)

p = p′ cos θ + pe cosφ ⇔ p2 + p′2 cos2 θ − 2pp′ cos θ = p2e cos2 φ (1.39)

dengan p momentum foton sebelum tumbukan, p′ momentum foton setelah tum-bukan, pe momentum elektron setelah tumbukan, dan φ sudut hambur elektron(dihitung terhadap arah foton datang).

• Pada arah sumbu y (tegaklurus arah datang foton)

p′ sin θ = pe sinφ ⇔ p′2 sin2 θ = p2e sin2 φ. (1.40)

Jumlah dari kedua persamaan terakhir menghasilkan

p2 + p′2 − 2pp′ cos θ = p2e. (1.41)

Dengan mengingat hubungan antara momentum dengan frekuensi, persamaan terakhirdapat ditulis menjadi

p2e =

(hf ′

c

)2

+

(hf

c

)2

− 2h2ff ′

c2cos θ. (1.42)

Di lain pihak, elektron memenuhi persamaan energi relativistik,

E2e = (pec)

2+(mec

2)2. (1.43)

Substitusi persamaan (1.38) dan (1.42) ke persamaan terakhir, menghasilkan

(hf − hf ′ +mec

2)2

=

[(hf ′

c

)2

+

(hf

c

)2

− 2h2ff ′

c2cos θ.

]2+(mec

2)2

(1.44)

Setelah disederhanakan, persamaan tersebut menghasilkan

−f ′mec2 + fmec

2 = hff ′ − hff ′ cos θ

⇔ mec2( cλ− c

λ′

)=hc2

λλ′(1− cos θ)

⇔ λ′ − λ =h

mec(1− cos θ) , (1.45)

yang menyatakan hubungan antara panjang gelombang foton terhambur (λ′) dan suduthamburannya (θ) dengan panjang gelombang foton datang (λ) dan massa diam elektron(me). Persamaan tersebut telah sesuai dengan hasil percobaan.

1.4 Model Atom

1.4.1 Sejarah Teori Atom

Cerita tentang model atom dari model Democritus, Dalton, Thomson, Rutherford. Laluberi pengantar tentang model Bohr.


1.4.2 Model Atom Bohr

Menurut postulat Bohr, elektron dalam atom hidrogen mengelilingi inti atom (proton)pada orbit stasioner berbentuk lingkaran (misal dengan jejari a). Pada orbit elektron,gaya Coulumb berperan sebagai gaya sentripetal, sehingga berlaku

1

4πε0

Ze2

a2=mv2

a⇒ mv2 =

1

4πε0

Ze2

a. (1.46)

Sehingga energi kinetik elektron adalah

K =1

2mv2 =

1

8πε0

Ze2

a. (1.47)

Postulat Bohr: keadaan stasioner sistem dikarakterisasi oleh momentum sudut

pφ = mva = n~, n = 1, 2, 3, . . . . (1.48)

Berdasarkan postulat tersebut, diperoleh v = n~ma . Substitusi nilai v tersebut ke persama-

an gaya sentripetal menghasilkan

a =4πε~2

mZe2n2 ≈ 0, 528n2 A. (1.49)

Lalu, diperoleh energi total elektron

E = K + V

=1

2mv2 − 1

4πε0

Ze2

a

= − 1

8πε0

Ze2

a

=13, 6

n2eV. (1.50)

GejalaKUANTUM

Documents

Transcript of GejalaKUANTUM