Fuzzy set Part 3

8/14/2019 Fuzzy set Part 3

1/19

Dhyah Anita Kurnia Dewi

Matematika NR06 (06305144010)

OPERASI PADA HIMPUNAN SAMAR

A. Macam-Macam Operasi

Operasi khusus pada komplemen, perpotongan, dan gabungan samar yang telah

dibahas pada bab sebelumnya yang disebut dengan standar operasi samar :

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Untuk semuax X.

B. Komplemen Samar

MisalA adalah himpunan samar pada X, didefinisikan A(x) yang diartikan

termasuk derajad x ke A. Kompleman samar di notasikan cA, misalkan cA didefinisikan

oleh sebuah fungsi

Dimana nilai c(A(x)) untuk setiap masing masing batas keanggotaan A(x) pada setiap

himpunan bagianA yang diberikan. Nilai c(A(x)) menjelaskan nilai pada cA(x). sehingga,

c(A(x)) = cA(x) (3.4)

untuk semuax X.

Aksioma c1. c(0) = 1 dan c(1) = 0 (Syarat Batas)


2/19

Aksioma c2. Untuk semua a, b [0,1], jika a b, maka c(a) c(b)

(Sifat Kemonotonan)

Aksioma c3. c fungsi kontinu

Aksioma c4. c involutive, yang mana c(c(a)) = a untuk setiap a [0, 1].

Aksioma c1 dan c2 disebut kerangka dari complemen samar. Ditegaskan lagi dengan

menggunkan teorema.

Teorema 3.1

Misalkan c : [0, 1] [0, 1] memenuhi aksioma c2 dan c4. Maka, c selalau

memenuhi aksioma-aksioma c1 dan c3. Terlebih c adalah fungsi bijektif.

Bukti :

i) Daerah pada c [0, 1], c (0) 1 dan c (1) 0. Oleh aksioma c2 c(c(0))

c(1); dan oleh aksioma c4, 0 = c(c(0)) c(1). Oleh karena itu c (1) = 0,

lajutkan aksioma c4, didapat c (0) = c (c (1)) = 1. Sehingga, fungsi c

memenuhi aksioma c1.

ii) Tujukkan c adalah fungsi bijektif, untuk semua a [0, 1] terdapat b =

c (a) [0, 1] sedemikian sehingga c (b) = c (a2); oleh aksioma c4,

maka

karena c adalah fungsi satu-satu; maka

c adalah fungsi bijektif.

c bijektif dan memenuhi aksioma c2, c bukan nilai yang kontinu. Asumsikan c

tidak kontinu pada a0, maka didapat Jelas,

terdapat b1 [0, 1] sehingga b

0> b

1> c (a

0), tidak untuka

1 [0, 1]

sehingga terdapat c(a1) = b

1. Hal ini kondiksi maka c adalah fungsi


3/19

bijektif.

Kelas Sugeno merupakan kelas pertama pada compleman samar infolutif,

didefinisikan oleh

(3.5)

Dimana (-1, ).

Pada contoh kelas lainnya, kompleman samar infolutif, didefinisikan oleh

(3.6)

Teorema 3.2.

Setiap kompleman samar seimbang hanya pada 1.

Bukti:

Misalkan c adalah complemen samar. c adalah persamaan solusi yang seimbang

dimana a [0, 1]. Tunjukkan setiap persamaan c(a) a = b,

dimana b adalah rill konstan, hanya terdapat satu solusi. Asumsikan a1

dan a2

adalah dua solusi yang berbeda dari persamaan c(a) a = b,karena a1< a

2. Maka

c(a1) a

1= b dan c(a

2) a

2= b, diperoleh

c(a1) a

1= c(a

2) a

2(3.7)

oleh karena itu, karena c monoton tetap (menrut aksioma c2), c(a1

) c(a2

) dan,

karena a1

< a2.

c(a1) a

1> c(a

2) a

2, kontradiski dengan (3.7), menunjukkan

bahwa hanya ada satu solusi.

Teorema 3.3


4/19

Diberikan c adalah komplemen samar yang setimbang ec, maka

dan

Bukti:

Misal, asumsikan a < ec, a = e

c, dan a > e

c, maka, e monoton tetap oleh aksioma c2,

c(a) c(ec) untuka < e

c, c(a) = c(e

c) untuka = e

c, dan c(a) c(e

c) untuka > e

c.

karena c(ec) = e

c, dapat ditulis c(a) e

c, c(a) = e

c,dan c(a) e

c, berturut-turut.

Selanjutnya c(a) > a, c (a) < a, berturut-turut. Maka a ec

menyatakan c(a) a dan

a ec, menyatakan c(a) a. menyatakan jenis invers yang sama.

Teorema 3.4

Jika e kompleman samar yang kontinu, maka c adalah kesetimbangan

tunggal.

Bukti :

Kesetimbangan ec

pada komplemen samar c adalah solusi dari persamaan

c(a) a = 0. Hukum kekhususan pada persamaan umum c(a) a = b, dimana b

[-1, 1] konstan. Menurut aksioma c1, c(0) 0 = 1 dan c(1) 1 = -1. c

komplemen kontinu, dari teorema nilai perantara untuk fungsi-fungsi kontinu

untuk setiap b [-1, 1], paling sedikit terdapat a sehingga c(a) a = b.

Kesetimbangan untuk setiap masing-masing compleman samar c2

pada sugeno

class dihasilkan dari

Dengan jelas didapatkan solusi positif dari persamaan

Diberikan c kompleman samar dan memiliki nilai keanggotaan bilangan rill a [0, 1], maka


5/19


6/19

c (a) = g-1 (g(1) g(a)) (3.9)

untuk semua a [0, 1]

Fungsi g pada teorema 3.7 disebut increasing generators. Ukuran generator naik

komplemen samar, adalah g(a) = a. untuk sugeno class pada komplemen samar, generatornya

naik adalah

(3.10)

Untuk > -1.

Untuk = 0; karena, ukuran kompleman samar dapat dihasilkan dari limit.

Untuk Yager class, genaratonya naik adalah

(3.11)

Untukw > 0.

Kelas pada generator naik dengan dua parameter

Untuk > -1 dan w > 0, diperoleh

(3.12)

Sugeno class (untuk w = 1) sama halnya dengan Yager Class (untuk = 0)

pada bagian kelas khusus.

(3.13)

Yang menghasilakan kelas pada komplemen samar


7/19

(3.14)

Menujukkan nilai untuk c.

Teorema 3.8 (Sifat Kedua Pada Komplemen Samar)

Missal c fungsi dari [0, 1] ke [0, 1]. Maka c adalah kompleman samar jika hanya

jika terdapat fungsi kontinu dari [0, 1] ke R sedemikian sehingga f(1) =0, f

pengurang dan

(3.15)

Untuk semua a [0, 1].

C. Perpotongan Samar : t-Norms

Diberikan elemen x pada himpunan semasta, menyatakan bahwa berpasangan

konsisten pada tingkat elemen keanggotaan himpunan A dan B, dan menghasilkan

perpotongan untuk elemen himpunan keanggotaan pembentuk pada A dan B.

(3.16)

Untuk semuax X

Perpotongan samar t-norm i adalah operasi biner pada unit interval yang

memenuhi paling sedikit, menurut aksioma utnuk semua a, b, d [0, 1]:

Aksioma i1. i(a, 1) = a (Syarat Batas)

Aksioma i2 b d = i(b, a) i(a, d) (Sifat Kemonotonan)


8/19

Aksioma i3. i (a,b) = I (b, a) (Komutatif)

Aksioma i4. i (a, i(b, d)) = i (i (a, b), d) (Asosiatif)

Aksioma i5. ifungsi kontinu (Kontinu)

Aksioma i6. i(a, a) < a (Kesamaan)

Aksioma i7. a1< a

2dan b

1< b

2menyatakan i (a

1,b

1) < i (a

2,b

2) (Kemonotonan).

Teorema 3.9.

Ukuran perpotongan samar hanya sama t-norm.

Bukti:

Dengan jelas, min (a, a) = a untuk semua a [0, 1]. Asumsikan terdapat t-

nomr sedemikian sehingga i(a, a) = a untuk semua a [0, 1]. untuk

setiap a, b [0, 1], jika a b. Maka, a = i(a, a) i(a, b) i(a, 1) = a

karena sifat kemonotonan dan sifat batas, oleh karena itu, i (a, b) = a = min (a, b).

dengan cara yang sama, jika a b, maka b = i(b, b) i(a, b) i(1, b) = b

dan, sebagai akibatnya, i (a, b) = b = min (a, b). oleh karena itu, i (a, b) = min (a,

b) untuk semua a, b [0, 1].

Teorema 3.10.

Untuk semua a, b [0, 1].

(3.17)

Untuk imin

melambangkan perpotongan minimal.


9/19

Bukti : Batar atas. Dari kondisi batas dan kemonotonan, komutatif

dengan

Sehingga i (a,b) a dan i (a, b) b; berarti i (a,b) min (a,b).

Batas Bawah. Dari kodisi batas, i (a,b) = a ketika b = 1, dan i (a,b) = b

ketika a = 1. Karena i(a,b) min (a,b) dan i(a,b) [0, 1], dengan jelas

Sifat kemonotonan, . Sehingga,perpotongan

imin (a, b) merupakan batas bawah pada i (a,b) untuk setiap a, b [0, 1].

Lemma 3.1

f generator turun, maka fungsi g didefinisikan oleh

Untuk setiap a [0,1] adalah sebuah generator naik dengan g (1) = f(0),

dan pseudo-invers untuk g-1 adalah , untuksetiap a

R.

Lemma 3.2.

g generator naik. Maka fungsi f didefinisikan oleh

Untuk setiap a [0, 1] adalah fungsi turun dengan f(0) = g(1) dan pseudo-

inverse untuk f-1 adalah untuksemua a R.

Teorema 3.11 (Teorema Karakter pada t-Norms)


10/19

i operasi biner pada setiap interval. Maka, i adalah sebuah Archimedean t-norm

jika hanya jika terdapat generator turun f sedemikian sehingga

(3.18)

Untuk semua a, b [0, 1].

1. [Schweizer and Sklar 1963] : Generator turun dengan parameter p dan didefinisikan

Maka,

Sesuai dengan kelas t-norm pada (3.18):

2. [Yager, 1980]: Kelompok pada generator turun


11/19

Diperoleh,

Dan

3. [Frank 1979]; Kelompok dasar pada t-norm dari kelompok generato turun

Dari pseudo-invers diperoleh

Menggunakan (3.18) diperoleh


12/19

Menguji salah satu dari tiga kelas yang dikenalkan pada t-norm, yaitu Yarge class

(3.19)

Teorema 3.12.

Misalkan kelompok pada Yarge t-norm dinosikan iw

menurut (3.19). maka

. Untuk semua a, b [0, 1].

Bukti: Batas Bawah.

iw

(1, b) = b dan iw

(a, 1) = a indefenden pada w. dapat ditunjukkan

Sehingga, , untuk semua a,b

[0, 1).

Batas Atas. Dari pembuktian teorema 3.17, diketahui

i

(a, b) = 1 max [1 - a, 1 - b] = min (a,b),Terbukti.

Teorema 3.13.


13/19

Misalkan i adalah t-norm dan g : [0, 1] [0, 1] merupakan suatu fungsi naik

dan kontinu di (0, 1) dan g(0) = 0, g(1) = 1. Maka, fungsi igdidefinisikan oleh

(3.20)

Untuk semua a, b [0, 1], dimana pseudo-inver pada g

dinotasikan g-1, begitu juga pada t-norm.

D. Gabungan Samar : t-Conorms

Gabungan samar t-conorm u adalah operasi biner pada unit interval terkecil,

menurut aksioma untuk semua a, b, d [0, 1]:

Aksioma u1. u (a, 0) = a (syarat batas)

Aksioma u2. b dimplikasi u (a, b) u (a, d) (monoton)

Aksioma u3. u (a, b) = u (b, a) (komutatif)

Aksioma u4. u (a, u(b, d) = u (u (a, b), d) (assosiatif)

Aksioma u5. u adalah fungsi kontinu (sifat kekontinuan)

Aksioma u6. u (a, a) > a (Kesamaan)

Aksioma u7. a1< a

2dan b

1< b

2menunjukkan u(a

1,b

1) < u(a

2,b

2)

(stirct monotonicity)

Teorema 3.14.


14/19

Ukuran gabungan samar hanya idempoten t-conorm.

Teorema 3.15.

Untuk semua a, b [0, 1]

max (a, b) u (a, b) umax

(a, b) (3.22)

Teorema 3.16. (Teorema Karatristik t-conorm)

Misalkan u operasi bilangan biner pada unit interval. Maka u sebuah archimedean

t-conorm jika dan hanya jika terdapat generator naik sehingga

u (a, b) = g(-1)(g(a) + g(b)) (3.23)

untuk semua a, b [0, 1]

Teorema 3.17.

Misalkan kelas pada Yarge t-conorm dilambangkan dengan uw , menurut (3.24).

maka ,untuk semua a, b [0, 1].

Bukti: Batas Bawah.

Akan dibuktikan

(3.25)

Dimana pada bagian (1) a atau b sama dengan 0, atau (2) a=b, karena limit pada

21/w dengan w sama dengan 1, jika a b dan (aw + bw)1/w adalah minimal,

dengan menggunakan penuurnan maka

Dengan mengasumsikan, tidak ada penurunan pada awalnya, maka a < b, dan

misalkan Q = (aw + bw)1/w. maka


15/19

Sehingga,

Menunjukkan (3.25) ketika minimalnya adalah 1.

atau

Untuk semua w (0, ). Ketika w, ketidaksamaan jika a = 1 atau b = 1

(ketika a, b [0, 1]).

Batas atas. Untuku(0,b) = b dan u(a,0) = a bebas terhadap w, sehingga

sehingga , untuk semua a,b [0,1].

Teorema 3.18

Misalkan u adalah t-conorm dan g : [0,1][0,1] sehingga g adalah fungsi naik

dan kontinu di [0,1] dan g(0)=0, g(1)=1. Maka fungsi ug didefinisikan

,untuk semua a,b [0,1].

E. Operasi-operasi Kombinasi

Dikatakan bahwa t-norm i dan t-conorm u adalah dual with respect pada

komplemen samarc jika dan hanya jika

(3.27)

dan


16/19

(3.28)

Teorema 3.19

{min,max,c} dan {imin, umax, c}adalah kesamaan untuk setiap komplemen samarc.

Bukti :

Asumsikan, tanpa memandang pada pembangkitnya, a b.maka c(a) c(b)

untuk setiap kompleman samar, oleh karena itu,

Teorema 3.20.

t-norm i dan komplemen samar c, u operasi biner pada [0,1] didefinisikan

oleh

(3.29)

Untuk semua a,b [0,1] adalah t- conorm sedemikian sehingga

i,u,c sama.

Teorema 3.21

Diberikan t-conorm u dan komplemen samar c, i adalah operasi biner pada [0,1]

didefinisikan oleh

(3.30)

Untuk semua a,b [0,1] adalah t- norm sedemikian sehingga

(i,u,c).


17/19

Teorema 3.22

C adalah kompleman samar dan g generator naik pada c, t-norm dan t-conorm

pembangkit oleh g dengan kesamaan pada c.

Teorema 3.23

Misalkan (i,u.c) adalah tiga pembangkit yang sama menurut teorema 3.22, maka

i,u,c operasi samar menurut hukum middle dan hukum kontradiksi.

Teorema 3.24

(i,u,c) sama menurut Hukum middle dan hukum kontradiksi, sehingga (i,u,c) bukan

termasuk hukum distribusif.

F. Operasi Campuran

Aksioma h1.

Aksioma h2. Untuk setiap pasang (a1, a

2,., a

n) dan (b

1, b

2,., b

n) pada n-tupel

sedemikian sehingga ai, b

i [0,1] untuk semua i N

n, jika a

i

bi

untuk semua i Nn, maka h

monoton naik pada semua pernyataan tersebut.

Aksioma h3. h adalah fungsi kontinu

Aksioma h4. h fungsi simetrik; untuk


18/19

setiap permutasip pada Nn.

Aksioma h5. h fungsi independent, sehingga , untuk semua a [0,1].

Teorema 3.25

H: [0,1]nR+ yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h2, dan sifat

(3.33)

untuk ai,b

i, a

i+ b

i [0,1] untuk semua i N

n. maka,

(3.34)

Untuk wi> 0 untuk semua i N

n.

Teorema 3.26

h: [0,1]n[0,1]yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat

(3.35)

(3.36)

untuk untuk semua i Nn. maka

(3.37)

untuk wi [0,1] untuk semua i N

n.


19/19

Teorema 3.27

h: [0,1]n[0,1] yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat

(3.38)

(3.39)

Untuk semua i Nn, dimana maka, terdapat

bilangan 1,

2,...,

n [0, 1], sedemikian sehingga

Teorema 3.28

Operasi norm h adalah kontinu dan idempotent maka terdapat [0,1]

sedemikian sehingga

Untuk setiap a,b [0,1]

Fuzzy set Part 3

Documents

Transcript of Fuzzy set Part 3