Fungsi

Fungsi Dirac muncul dalam berbagai kasus fisika dan paling sering digunakan dalam mekanika kuantum, di dunia matematika sendiri lebih dikenal sebagai fungsi distribusi. Hal yang agak membingungkan bahwa delta Dirac ini sebenarnya bukanlah sebuah fungsi seperti pada umumnya. Simbol sendiri diperkenalkan sehingga seolah-olah adalah sebuah fungsi. Fungsi - Dirac dapat dikatakan sebagai generalisasi dari - Kronecker untuk variabel yang kontinu. Sebenarnya - Dirac itu sudah muncul dalam pekerjaan Poisson (1815), Fourier (1822) dan Cauchy (1823). Heaviside dan Kirchoff adalah orang yang pertama kali menggunakan definisi matematik dari fungsi ini. Paul Dirac (1926) pertama kali memperkenalkan fungsi ini dalam aplikasinya di mekanika kuantum, Dirac jugalah yang pertama kali membuat daftar mengenai sifat-sifat fungsi tersebut. Dalam tulisan ini akan diulas sedikit tentang - Dirac, terutam aplikasinya dalam masalah fisika (elektrodinamika), untuk lebih jauhnya pembaca bisa melihat referensinya atau referensi lainnya yang mungkin relevan tentang topik ini. -Dirac ? Sisi historisMengapa perlu Dirac ? Nah, salah satunya adalah keperluannya dalam mekanika kuantum. Tinjau sebarang suatu keadaan kuantum (quantum state), katakanlah maka kita dapat menyatakan keadaan kedalam basis orthonormal , diasusmsikan kita punya buah basis sehingga(1)

dengan syarat orthonormalitas(2)

adalah lambang Kronecker, amplitudo probabilitas menemukan state pada basis adalah(3)

Sehingga sebarang keadaan bisa dituliskan(4)

Sekarang tinjau untuk sistem dengan basis yang kontinu dinyatakan dalam basis posisi . Dalam wakilan posisi yang kontinu maka untuk sebarang state dapat kita tuliskan sebagai(5)

Sehingga untuk sistem yang kontinu amplitudo probabilitas menemukan state adalah(6)

pernyataan ini haruslah benar untuk sebarang , dari sini terlihat bahwa integral ini hanya bergantung pada dan saja. Sekarang masalahnya sudah sangat jelas, yaitu mencari suatu fungsi yang memenuhi relasi di atas. Misalkan kita ambil , kemudian kita definisikan amplitudo probalitas sebagai suatu fungsi yang hanya bergantung pada variabel saja katakanlah dan(7)

(8)

Fungsi apakah ini ? Karena nilai integralnya tidak bergantung pada bagaimana mengambil selain di . Dari definisi jelas bahwa harus bernilai nol dimana saja, kecuali di . Tetapi apabila nol dimana-mana maka integralnya juga akan nol dan persamaan di atas tidak akan terpenuhi. Saat ini kita dihadapkan pada situasi yang aneh (unik?), kurang lebihnya begini : kita mencari suatu fungsi yang bernilai nol dimana-mana kecuali di suatu titik tertentu. Sepengetahuan kita tidak ada fungsi yang berperilaku seperti ini sebelumnya, karena kita tidak bisa mencari fungsi yang demikian, maka jalan mudahnya ya kita namakan atau katakan saja bahwa itu adalah fungsi . Dirac adalah orang yang pertama kali melakukan hal tersebut sehingga fungsi ini dinamakan fungsi & RepresentasinyaDirac adalah suatu fungsi yang sebenarnya hanya mempunyai makna dalam notasi integral, makna apakah yang dimaksud ? ya, makna memilih suatu titik sehingga integral Dirac hanya bergantung pada titik tersebut. Dari persamaan (8) orang bisa menuliskan(9)

Kita dapat menggeser titik asal katakanlah di sehingga persamaan (9) di atas menjadi(10)

Untuk lebih jelasnya memahami Dirac, sekarang tinjau suatu fungsi yang mempunyai nilai nol di dan lenyap di (11.a)

(11.b)

Maka persamaan (10) menjadi(12)

Karena nilai integralnya lenyap, berarti keadaan ini mengharuskan bahwa jika dan dari persamaan (10) bahwa jika sehingga kita punya jika (13.a)

jika (13.b)

Apabila dipilih maka(14)

fungsi Dirac yang ternolmalisasi. Dari sini terlihat bahwa Dirac bukanlah sebuah fungsi seperti biasanya, secara skematis Dirac dapat digambarkan sebagai sebuah grafik pada bidang dimana di grafik tersebut bernilai sangat besar ( ) sementara di nilai dan integralnya untuk seluruh nilai tetap bernilai 1.Beberapa wakilan fungsi yang sering dijumpai diantaranya (lihat di Arfken misalnya) ,1. 2. 3. 4. 5. 6. dengan untuk dan untuk . dalam Fisika muncul secara alami dalam berbagai persoalan sains dan teknik, di sini hanya diulas pada kasus fisika saja. Untuk itu akan ditinjau contoh kasus atau penerapannya dalam fisika (elektrodinamika), terutama masalah divergensi. Tinjau sebuah medan vektor , merupakan medan vektor yang selalu berarah radial keluar dari titik asal koordinat. Kita mencoba menghitung divergensi dari tersebut dalam sistem koordinat bola(15)

tetapi tunggu dulu, apabila kita menghitung integral seluruh permukaan bola berjejari akan diperoleh(16)

di lain sisi teorema divergensi mengatakan bahwa(17)

(18)

Bagaimana mungkin ? Ya, sumber dari ketidaksamaan ini berada pada titik asal koordinat dimana apabila !! nol dimana pun, kecuali di titik asal koordinat dan untuk sebarang bola yang perpusat di titik asal koordinat, terlepas dari seberapa besar ukuran bola tersebut. Sehingga memiliki sifat yang unik/aneh : divergensi dari bernilai nol dimanapun, kecuali di titik asal koordinat dan integralnya untuk seluruh ruang tetap bernilai . Tidak ada obyek atau suatu fungsi matematik yang berperilaku seperti ini kecuali . Sehingga kontradiksi di atas dapat kita tangani dengan menambahkan fungsi Dirac pada divergensi (19)

Sifat-sifat fungsi DiracBerikut ini adalah sifat-sifat dari Dirac yang saya list-kan dari beberapa referensi1. 2. 3. 4. dengan 5. 6. 7. 8. 9. dengan 10. 11. dengan 12. dengan

LATIHAN1. Hitunglah a) b) 2. Tunjukkan bahwa dengan !Dirac Dalam Sistem Koordinat Ruang LengkungDi bagian sebelumnya telah ditunjukkan bahwaDirac memiliki sifat(20)

Bentuk integral 1-dimensi di atas dapat kita perluas untuk 3-dimensi ruang menjadi apabila berada di dalam (21)

apabila berlokasi di luar (22)

Dalam sistem koordinat kartesian menjadi(23)

(24)

Akan tetapi secara umum untuk sistem koordinat lengkung yang memiliki basis orthonormal

tetapi (25)

dengan adalah faktor skala koordinat(26)

dengan dan elemen volumenya adalah(27)

LATIHAN 1. Tunjukkan bahwa untuk sistem koordinat bola maka

dengan elemen volumenya ! Bagaimana untuk sistem koordinat silinder ?2. Sebuah cincin yang ketebalannya dapat diabaikan berjejari diberi muatan sebesar diletakkan pada bidang . Tentukan rumusan distribusi muatan dinyatakan sebagai fungsi Dirac dalam sistem koordinat silinder !3. Kerjakan ulang permasalahan soal nomor dua untuk sistem koordinat bola (spheris) !

REFERENSIArfken, G.B, Weber dan Harris., Mathematical Methods for Physicist. VII EditionGriffith, D.J., Introduction to Electrodynamics. Prentice HallJackson, J.D., Classical Electrodynamics. John Wiley and Sons. III EditionDirac, P.A.M., The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press edisi IVFeynmann, R.P., The Feynmann Lectures on Physics Vol. III Quantum Mechanics