FUNGSI

OLEHDEDEH HODIYAH

PENGERTIAN FUNGSI :

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan elemen pada B

. . . .

.

.

.

.

.

.

.

BfA

PENGERTIAN FUNGSI

MENYATAKAN SUATU RELASI

Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi :1.Diagram panah2.Himpunan pasangan berurutan3.Diagram Cartesius

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil, sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut dengan:a.Diagram panahb.Himpunan pasangan berurutanc.Diagram Cartesius

MENYATAKAN SUATU RELASIJawab:a. Diagram panah

“banyak roda dari”

1.2.

3.

4.

5.

. becak

. mobil

. sepeda

. motor

. bemo

A B

c. Diagram Cartesius

b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak)

(3, bemo), (4, mobil )}

X

Y

O 1 2 3

bemo

motorsepeda

mobil

becak

4

•

•

•

••

NOTASI FUNGSIUntuk menyatakan suatu fungsi digunakan huruf tunggal seperti f atau g . Notasi f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.

Contoh : 1 Jika diketahui f(x) = 4x – 2Maka f(2) = 6 f(-1) = -6

Contoh 2 : Jika diketahui Tentukan :a. f(4)b. f(4 + h) c. f(4 + h) – f(4)d.

Contoh 3 :Jika diketahui

Tentukan :1.

2.

DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL Daerah Asal :

Himpunan elemen-elemen dimana suatu fungsi mempunyai nilai.

Daerah Asal Natural :Jika daerah asalnya tidak dirinci (himp bil real, dimana suatu fungsi mempunyai nilai

Daerah Hasil :Himpunan nilai-nilai yang diperoleh suatu fungsi.

Contoh :1. Jika daerah asal dirinci :

Diketahui fungsi Jika daerah asal : {-1,0,1,2,3} , maka daerah hasilnya : { 1,2,5,10}

2. Tentukan daerah asal natural dari fungsi

maka Df : {x │x ≠ 3 , x ϵ R}

dan R(x) : {y ≠ 0 , y ϵ R)

3. Jika diketahuiTentukan daerah asal natural dan daerah hasil

Jawab : Df : { x │-3 ≤x ≤ 3 , x ϵ R}Rf : { y │ ≥ 0 , y ϵ R}

MACAM-MACAM FUNGSI:

Fungsi konstan (fungsi tetap) Fungsi linear Fungsi kuadrat Fungsi identitas Fungsi tangga (bertingkat) Fungsi modulus Fungsi ganjil dan fungsi genap

1) FUNGSI KONSTAN (FUNGSI TETAP)

FUNGSI F : A → B DITENTUKAN DENGAN RUMUS F(X) DISEBUT FUNGSI KONSTANAPABILA UNTUK SETIAP ANGGOTA DOMAIN FUNGSI SELALU BERLAKU F(X) = C, DI MANA CBILANGAN KONSTAN.

FUNGSI LINEARContoh :Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal

{x │-1 ≤x≤ 2 , x ϵ R}

a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.

Jawab

a. Ambil sembarang titik pada domain

Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)

-1 0 1 2X

2-6 -2Y = 4x-2 6

FUNGSI LINEAR

b.

2

1

X-2 O

Y

-1

-6

-2

1

2

2

6

•

•

•

•

c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )

y = 4x – 2

0 = 4x - 2

2 = 4x

`` x =

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)

Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2 y = 4(0) – 2 y = -2

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)

GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

3. Gradien Persamaan Garis Lurus

Cara menentukan gradien :

(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.

(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=

(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya

adalah m =

b

a

12

12

xx

yy

Contoh :1. Tentukan gradien persamaan garis berikut a. y = 3x – 4 b. 2x – 5y = 72. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)

Jawab :

1a. Y = 3x – 4

gradien = m = 3

b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5

m = = - b

a5

2

2. m =

=

=

= 1

12

12

xx

yy

)2(1

36

21

36

4. Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah

y – y1 = m ( x – x1 )

Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

= 12

1

xx

xx

12

1

yy

yy

Contoh 1 :Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2

Jawab : y – y1 = m ( x – x1 ) y – 1 = -2 ( x – (-2)) y - 1 = -2x – 4 y = -2x - 3

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)

12

1

yy

yy

12

1

xx

xx

Jawab :

=

=

=

3(y – 3) = 1(x + 2)

3y – 9 = x + 2

3y - x – 11 = 0

34

3

y

21

2

x

1

3y3

2x

KEDUDUKAN DUA GARIS

5. Kedudukan dua garis lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2

Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - 21m

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus pada 6x – 3y – 10 = 0

Jawab :1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0

maka

Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah y – y1 = m ( x – x1) y + 3 = ½ ( x – 2 ) y + 3 = ½ x – 1 2y + 6 = x – 2 x – 2y – 8 = 0

Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0

21 mm 2

1

2

11

b

am

2

12

11 m

2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.

Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 5 = -½ (x + 3)

y – 5 = -½x -

2y – 10 = -x – 3

x + 2y – 10 + 3 = 0

x + 2y – 7 = 0

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.

23

61

b

am

2

1

2

111

1221

m

mmm

2

3

4) FUNGSI IDENTITAS

FUNGSI F(X) DISEBUT FUNGSI IDENTITAS APABILA SETIAP ANGGOTA DOMAIN FUNGSIBERLAKU F(X) = X ATAU SETIAP ANGGOTA DOMAIN FUNGSI DIPETAKAN PADA DIRINYA SENDIRI.

FUNGSI KUADRAT1.Bentuk umum fungsi kuadrat

y = f(x) ax2+bx+c dengan a,b, c R dan a 0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Berdasarkan nilai a

(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai

ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum.

(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai

ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.

Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X

(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.

(ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.

(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X.

Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac

KEDUDUKAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT TERHADAP SUMBU X

X(i) X

(ii)X(iii)

a > 0D > 0

a > 0D = 0

a > 0D < 0

X

(iv)

X

(v)

a < 0D > 0

a < 0D = 0

X

(vi)a < 0D < 0

MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut .

)2

)(1

()( xxxxaxf

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3)

Contoh :

Jawab :

Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)

Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :3 = a(0 - 1)(x + 3)3 = -3a a = -1Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

Jadi fungsi kuadratnya adalah

32)( 2 xxxf

)32(1 2 xx

))(()( 21 xxxxaxf

)3)(1(1)( xxxf

MENYUSUN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui titik puncak grafik (p’ q) dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut.

qpxaxf 2)()(

f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9)

f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1)

Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi : -7 = a(3 + 1)2 + 9 -16 = 16 a a = -1

Jawab :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7)

Contoh :

5) FUNGSI TANGGA (BERTINGKAT)

SUATU FUNGSI F(X) DISEBUT FUNGSI TANGGA APABILA GRAFIK FUNGSI F(X) BERBENTUKINTERVAL-INTERVAL YANG SEJAJAR.

6) FUNGSI MODULUS

FUNGSI F(X) DISEBUT FUNGSI MODULUS (MUTLAK) APABILA FUNGSI INI MEMETAKANSETIAP BILANGAN REAL PADA DOMAIN FUNGSI KE UNSUR HARGA MUTLAKNYA

7. FUNGSI GANJIL DAN FUNGSI GENAP

F(x) disebut fungsi genap apabila memenuhi f(-x) = f(x)

F(x) disebut fungsi ganjil apabila memenuhi f(-x) = -f(x)

Jika tidak memenuhi kedua syarat diatas maka dikatakan bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil

CONTOH SOALTENTUKAN FUNGSI F DI BAWAH INI TERMASUK FUNGSI GENAP, FUNGSI GANJIL, ATAU TIDAK GENAP DAN TIDAK GANJIL

1. F(X) = 2X3+ X2. F(X) = 3 COS X – 53. F(X) = X2 – 8X

sekian