MATSAINS

FUNGSI

Kelompok VIII

1. Sumarni

2. Budiman

3. M. Yasir

Fungsi

F.Pangkat F. Polinom

F. Linier

F. Kuadrat

F. Kubik

F. Bikuadrat

Fungsi rasional Fungsi

irrasional

Fungsi non-aljabar

(transenden)

Fungsi aljabar

F. Eksponensial

F. Logaritmik

F. Trigonometrik

F. Hiperbolik

Aplikasi Dalam Ilmu Biologi

1. PENGERTIAN RELASI & FUNGSI

Gambar 1.1

(diagram panah)

a

b

c

d

1

2

3

4

5

X Y

Kodomain

daerah kawan

A. Definisi relasi:

Relasi dari himpunan X ke

himpunan Y adalah aturan yang

menghubungkan anggota-anggota

himpunan X dengan anggota-

anggota himpunan B.

Range (daerah hasil)

Didapat dari himpunan kodomain

:1,2,3,4

Domain

daerah asal

B. Notasi fungsi, Daerah Asal (domain), dan Daerah Hasil

(Range/Nilai Funsi).

Pada notasi fungsi y = f(x), x biasanya disebut variabel bebas

(variabel yang tidak tergantung sembarang nila atau variabel lain),

dan y disebut variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung

pada nilai atau variabel yang lain. Nilai variabel terikat y tergantung

pada variabel x

Pada fungsi f : X → Y tersebut, himpunan X disebut daerah asal

(domain), fungsi f dinotasikan 𝐷𝑓. Himpuna B disebut daerah kawan

(kodomain) fungsi f dan himpunan unsur-unsur di B yang

merupakan bayangan unsu-unsur di domain disebut daerah hasil

(range) fungsi f, dinotasikan 𝑅𝑓. Pada Gambar 1.1 diperoleh:

𝐷𝑓 = A = {a, b, c, d}

Kodomain f = B = {1, 2, 3, 4, 5}

𝑅𝑓 = {1, 2, 3, 4}

C. Definisi Fungsi (Pemetaan):

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang

menghubungkan setiap anggota himpuna A dengan tepat satu

anggota himpunan B.

Fungsi

Garam

Gula

Cuka

Lada

Asin

Manis

Asam

Pedas

Pahit

Bukan fungsi Gambar 1.2

(jenis rasa)

A B A B

Garam

Gula

Cuka

Lada

Cabai

Asin

Manis

Asam

Pedas

Pahit

a. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Diagram

Panah (dapat dilihat pada contoh gambar 1.1 dan 1.2)

B

AGaram Gula Cuka Lada

Pedas

Manis

Asam

Asin

Pahit

b. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dalam

Koordinat Cartesius

2. MENYATAKAN BENTUK FUNGSI

c. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan

Pasangan Berurutan.

Relasi jenis rasa pada Gambar 1.2, memiliki himpunan jenis

makanan/bahan makanan A = {Garam, Gula, Cuka, Lada}, dan

himpunan jenis rasa B = {Asin, Manis, Asam, Pedas, Pahit}.

Relasi jenis rasa ditulis :

R = {(Garam, Asin), (Gula, Manis), (Cuka, Asam), (Lada, Pedas)}

Catatan Pasangan berurutan dilambangkan dengan (x,y) dengan x menyatakan anggota suatu himpunan tertentu, sebut A (domain), dan y menyatakan anggota dari himpunan lain, sebut B (kodomain). Pada bagian ini menyatakan relasi sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y).

• Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B.

1. Fungsi

Satu-satu

(Injektif)

Misalnya:

Fungsi f pada R yang didefinisikan

dengan f(x) = x2 bukan fungsi satu-

satu sebab f(-2) = (f(2)

Adapun fungsi pada A=(bilangan

asli) yang didefinisikan dengan

f(x)=2x merupakan fungsi satu-

satu sebab kelipatan dua dari

setiap dua bilangan yang berlainan

adalah berlainan pula.

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

A B

3. SIFAT-SIFAT FUNGSI

• Fungsi f:AB adalah fungsi surjektif apabila setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A atau “f memetakan A Onto B”

2. Fungsi

Surjektif

(Onto)

Misalnya:

Fungsi f:RR yang didefinisikan

dengan f(x) = x2 bukan fungsi Onto

karena himpunan bil. Negatif tidak

dimuat oleh hasil fungsi tersebut.

Misal A={a, b, c, d} dan B= ={x, y, z}

fungsi f:RR pada adalah fungsi

surjektif sebab daerah hasil f

adalah ama dengan kodomain dari

f (himpunan B).

a

b

c

d

x

y

z

A B

• Fungsi f:AB sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif atau “A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

3. Fungsi Bijektif (korespondensi

satu-satu)

Misalnya:

Relasi dari himpunan A={a, b, c, d}

ke himpunan B={p, q, r} diagram

panah di samping adalah suatu

fungsi yang bijektif.

a

b

c

x

y

z

A. Fungsi Linier

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai

f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut

fungsi linier.

Grafik fungsi linier berupa garis lurus dan untuk

menggambar grafik fungsi linier dapat dilakukan

dengan dua cara yaitu :

1. Membuat tabel

2. Membuat titik potong dengan sumbu-x dan

sumbu-y.

4. JENIS-JENIS FUNGSI

1. Definisi

X -1 0 1 2

Y = 4x-2 -6 -2 2 6

a. Ambil sembarang titik pada domain

Penyelesaian:

Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)

Contoh: Suatu fungsi linier ditentukan oleh y = 4x - 2

dengan daerah asal {x \-1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R}.

a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .

b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.

c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.

b.

X -2 O

Y

-1

-6

-2

1

2

2

6

•

•

•

•

c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )

y = 4x – 2

0 = 4x - 2

2 = 4x

x =

Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)

Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2 y = 4(0) – 2 y = -2 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)

2

1

Cara menentukan gradien :

a. Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.

b. Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah

c. Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2),

gradiennya adalah

b

am

12

12

xx

yym

Contoh :

1) Tentukan gradien persamaan garis berikut:

a. y = 3x – 4

b. 2x – 5y = 7

2) Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)

2. Gradien Persamaan Garis Lurus

Penyelesaian:

1) a. Y = 3x – 4

gradien = m = 3

b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5

m = = b

a

5

2

2) 12

12

xx

yym

)2(1

36

m

21

36

1

3. Menentukan Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m

adalah y – y1 = m ( x – x1 )

Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2

Jawab :

y – y1 = m ( x – x1 )

y – 1 = -2 ( x – (-2))

y - 1 = -2 (x + 4)

y - 1 = -2x – 4

y = -2x – 4 + 1

y = -2x – 3

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)

Jawab :

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

21

2

34

3

xy

3

2

1

3

xy

3 (y-3) = 1 (x+2)

3y - 9 = x + 2

3y – x -9 -2 = 0

3y–x-11= 0

b. Fungsi Kuadrat

y = f(x) ax2 + bx + c dengan a, b, c R dan a 0.

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris

Berdasarkan nila a:

1). Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai

titik balik minimum, dinotasikan 𝑦𝑚𝑖𝑛 atau titik balik

minimum.

2). Jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga

mempunyai titik balik maksimum. dinotasikan 𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 atau

titik balik maksimum.

Berdasarkan nilai diskriminan (D):

Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = 𝑏2 – 4ac

1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X

a. Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik

yang berbeda.

b. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah

titik.

c. Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak

menyinggung sumbu X.

Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap

Sumbu X

X (i) X

(ii) X (iii)

a > 0

D > 0

a > 0

D = 0 a > 0

D < 0

X

(iv)

X

(v)

a < 0

D > 0

a < 0

D = 0 a < 0

D < 0

a < 0

D < 0

X

(vi)

1). Mementukan titik potong dengan sumbu X (y=0)

2). Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x=0

3). Mentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik

Persamaan sumbu simetri adalah x = −𝑏

2𝑎

Koordinat titik puncak adalah −𝑏

2𝑎 ,

−𝐷

−4𝑎

4) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika

diperlukan)

3. Langkah-langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.

Penyelesaian :

1). Titik potong dengan sumbu X (y = 0)

x2 – 4x – 5 = 0

(x + 1)(x – 5) = 0

x = -1 atau x = 5

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (- 1, 0)

dan (5, 0).

2). Titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

y = 02 – 4(0) – 5

y = -5

Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )

3). Sumbu simetri dan koordinat titik balik

9)1(4

))5)(1(4)4((

4

22

4

)1(2

)4(

2

2

a

Dy

a

bx

Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).

4). Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8.

Jadi, titik bantunya (1, -8).

Grafiknya :

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

Y X

-1 0 1 2 3 4 5

•

• •

•

•

•

•

Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi

melalui tiga titik

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)

Jawab:

f(x) = ax2 + bx + c

f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4

a + b + c = -4 . . . 1)

f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3

0 + 0 + c = -3

c = -3 . . . 2)

f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5

16a + 4b + c = =5 . . . 3)

Substitusi 2) ke 1)

a + b – 3 = -4

a + b = -1 . . . 4)

Substitusi 2) ke 3)

16a + 4b – 3 = 5

16a + 4b = 8 . . . 5)

Dari 4) dan 5) diperoleh :

a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4

16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _

-12a = -12

a = 1

Substitusi a = 1 ke 4)

1 + b = -1

b = -2

Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui

dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat

ditentukan dengan rumus berikut .

)

2)(

1()( xxxxaxf

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di

titik A (1,0), B (-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3)

Contoh :

Penyelesaian:

Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :

f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)

Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :

3 = a(0 - 1)(x + 3)

3 = -3a

a = -1

Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :

Jadi fungsi kuadratnya adalah

32)( 2 xxxf

)32(1 2 xx

))(()( 21 xxxxaxf

)3)(1(1)( xxxf

32)( 2 xxxf

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui

titik puncak grafik (xp’ yp) dan satu titik lainnya dapat ditentukan

dengan rumus berikut.

pp yxxaxf 2)()(

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7)

Contoh :

f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9)

f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1)

Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi :

-7 = a(3 + 1)2 + 9

-16 = 16 a

a = -1

Jawab :

Catatan

Persamaan kuadrat a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑘𝑎𝑟 −𝑎𝑘𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛: 1. Pemfaktoran

2. Meelengkapi bentuk kuadrat sempurna

3. Rumus abc: 𝑥1,2 = −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

d. Fungsi Eksponensial

f(x) =2X X 2– 3

2–2

2– 1

20

21

22

23

...

– 3

–2

– 1

0

1

2

3

...

n 2n

D = domain K = kodomain

Grafik f: x f(x) = 2x untuk x bulat dala [0, 5]

adalah:

x2

X O

Y

(0,1) (1,2)

(2,4)

(3,8)

(4,16)

(5,32)

(1,2)

(2,4)

(3,8)

(4,16)

(5,32)

x 0 1 2 3 4 5

F(x)=2x 16 1 2 4 8 32

x

21

x

21

X

Y

O 1 2 3 –3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

g(x ) = x

2

1

) =

f(x )= 2

Grafik f(x) = dan g(x) =

x

X2

Kedua grafik melalui titik (0, 1)

Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y

Grafik f: x 2x merupakan grafik

naik/mendaki dan grafik g: x

merupakan grafik yang menurun, dan

keduanya berada di atas sumbu X

(nilai fungsi senantiasa positif)

Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai

nilai 2x dan nilai

Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui.

Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

untuk berbagai nilai x real

Sifat

x

21

X

Y

O 1 2 3 –3 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

g(x ) = x

2

1

) =

f(x )= 2 x x

21

x

21

Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.

Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi eksponen.

xxf a log)(

Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :

Untuk a > 1, a R

d. Logaritma

Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah

sebagai berikut :

xay

o

Y

X

xy a log

Contoh 1 :

Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen a. 8 = 23

b. ¼ = 2-2

Jawab : a. 8 = 23 2 log 8 = 3 b. ¼ = 2-2 2 log ¼ = -2

Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalen a. 4 = 2 log 16 b. -6 = 2 log

Jawab : a. 4 = 2log 16 24 = 16 b. -6 = 2log 2-6 =

64

1

64

1

64

1

Contoh 1 :

Contoh 3 :

Jawab : Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut:

Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2

x

¼

½

1

2

4

8

f(x) = 2 log x+2

0

1

2

3

4

5

Grafiknya:

2log)( 2 xxf

Y

X O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2

1

2

3

4

5

6

5. APLIKASI FUNGSI DALAM ILMU BIOLOGI

Jika 100 sel setelah ditumbuhkan selama 5 jam menghasilkan 1.720.320 sel, maka berapakah jumlah generasi yang tumbuh?

Jawab:

jumlah generasi dapat dihitung sebagai berikut:

n = Log Nt – Log N0= Log 1.720.320 – Log 100= 14

Log 2 0,301

Waktu Generasi: t/n = 60 menit x 5 = 21 menit/generasi

14

1. Menghitung waktu generasi pertumbuhan mikrobia

Nt : Population at time t

t : time

N0: initial population size

2 : binary fission

n : number of generations in

time

t: waktu pertumbuhan eksponensial, n: jumlah generasi

Waktu Generasi= t/n NT = NO X 2𝑛

Generation Time (Doubling Time)

– time required for a cell to divide

– most about 1 Hrs To 3 Hrs.

GENERATION TIME

Generation time varies with:

◦ Organism

◦ Available nutrients

◦ Temperature

◦ pH, etc.

Can be short (10 min) or long (hours)

n n

GENERATION TIME

CELLS POPULATION DURING EXPONENTIAL PHASE

Time

(minutes) Generation

(n)

2n Cells

population

(Nt=N0 x 2n)

0 0 20=1 1 x 1 = 1

20 1 21=2 1 x 2 = 2

40 2 22=4 1 x 4 = 4

60 3 23=8 1 x 8 = 8

80 4 24=16 1 x 16 = 16

100 5 25=32 1 x 32 = 32

120 6 26=64 1 x 64 = 64

NT = NO X 2N

Nt : Population at time t

t : time

N0: initial population size

2 : binary fission

n : number of generations in time

n = (log Nt –log No)/(0,301)

n = (ln Nt –ln N0)/(0,693)

n = (2log Nt - 2log N0)

k = number of generations (n) per unit of

time (t)

k = n/t = (log Nt –log No)/(0,301 t) (hours-1)

n = k x t Nt = No x 2kxt

Growth Rate Constant (k)

GENERATION TIME

g: Generation Time (Doubling Time)

g = 1/k =(0,301t)/(log Nt –log No)

hours

BACTERIAL GROWTH CURVE

All microorganisms undergo similar growth patterns.

Each growth Curve has 4 Phases

Diketahui ferekuensi orang albino pada suatu masyarakat ialah 1 : 10.000

(dipersentasekan : 0,01%)

Carilah persentase orang pembawa (Aa)

Orang albino : aa

aa = 𝒒𝟐 = 1 / 10000

q = 𝟏/𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

= 0,01

P + q = 1 maka p = 1 - q = 1 – 0, 01 2

= 0.99

Orang pembawa Aa berfrekuensi 2 pq

= 2 x 0,99 x 0,01

= 0,0198

= 0,0198 x 100%

= 1,98%

• Ini berarti ada kira-kira 2 orang

pembawa setiap 100 orang

penduduk, atau 1 orang tiap 50

penduduk

Dari rumus persamaan kuadrat di

atas dapat kita lihat, bahwa orang

hetrozihot itu jauh lebih banyak dari

orang homozogot baik yang resesif

maupun yang dominan

1. Persentase orang albino pada masyarakat

CONTOH PENGGUNAAN HUKUM HARDY –WEIBERG

CONTOH PENGGUNAAN HUKUM HARDY –WEIBERG

Pada orang indonesia persentage orang laki-laki butawarna kira-kira 4 %.

Carilah persentage perempuan buta warna. Cari pula persentage

perempuan pembawa. Laki-laki butawarna memiliki genotif : cbY,

hemozigot, karna itu hanya satu alel cb terdapat pada individu laki-laki.

Jawab: Misalnya frekuensi alel Cb (normal)= p, frekuensi alel cb =q.

Laki-laki cbY berfrekuensi q = 0.04

Maka p = 1 – 0,04 = 0,96

Perempuan buta warna cbcb

berfrekuensi :

q2 = 0,042 = 0,0016.

= 0,0016 x 100%

= 0,16%

2. Untuk Gen Rangkaian Kelamin

Perempuan pembawa Cbcb

berfrekuensi

2 pq = 2 x 0,96 x 0,04

= 0,0768

= 0,0768 x 100%

= 7,68 %

CONTOH PENGGUNAAN HUKUM HARDY –WEIBERG

Kalau diketahui persentage orang yang bergolongan darah A di suatu

masyarakat 40 % dan golongan darah O 20%, carilah berapa persentase

golongan darah AB dan B.

Jawab: Golongan darah oleh 3 buah alel. Karena itu suku persamaan kuadrat

(pA + qa)2 diubah menjadi : (pIa + qIb + rI0)2

• Ini berarti frekuensi alel Ia ialah p, alel Ib ialah q dan prekuensi alel i ialah r

• Frekuensi orang bergolongan darah A adalah : p2 Ia Ia + 2 prIaI0

• Frekuensi orang bergoongan darah B adalah : q2 IbIb + 2 qr IbI0

• Frekuensi orang bergolongan darah AB ialah : ............. 2 pqIaIb

• Frekuensi orang bergolongan darah O ialah : r2I0I0

Jumlah frekuensi A, B, AB, O = 1= p2 + 2 pr + q2+ 2qr + 2pq + r2

3. Penggunaan pada Golongan Darah

Jumlah frekuensi A, B, AB, O = 1 = 𝒑𝟐 + 𝟐𝒑𝒓 + 𝒒𝟐 + 𝟐𝒒𝒓 + 𝟐𝒑𝒒 + 𝒓𝟐

𝒓𝟐 = 0 r = 𝑶

𝒑𝟐 + 𝟐𝒑𝒓 + 𝒓𝟐 = A + O

(𝒑 + 𝒓)𝟐 = A + O → p + r = 𝑨 + 𝑶

𝒒𝟐 + 𝟐𝒒𝒓 + 𝒓𝟐 = B + O

(𝒑 + 𝒓)𝟐 = B + O → p + r = 𝑩+ 𝑶

P + q + r = 1

P = 1 - ( q + r ) → p = 1 - 𝑩 + 𝑶

q = 1 - ( p + r ) → q = 1 - 𝑨 + 𝑶

p = 1 – (q + r) → p = 1 - 𝑨 + 𝑶

q = 1 – (p + r) → q = 1 - 𝑨 + 𝑶

Jika diketahui golongan darah O dan Ab, maka harus dicari dulu r, lalu

salah satu p dan q. Unutk itu perlu persamaan kuadrat

𝒓𝟐 = 0 → r = 𝑶

𝟐𝒑𝒒 = AB → p = 𝑨𝑩

𝟐𝒒

p + q + r = 1 → q = 1 – (p + r)

= 1 – (p + 𝑶

p = 𝑨𝑩

𝟐 (𝟏− 𝒑+ 𝑶 )

p (2(1-(p + 𝟎) ) = AB

p (2 - 2p - 2 𝟎) = AB → 2p - 𝟐𝒑𝟐 - 2 p 𝟎 = AB

𝒑𝟐 - p (1 - 𝟎 - 𝑨𝑩

𝟐 = 0

𝒑𝟐- p (1- 𝟎) - 𝑨𝑩

𝟐 = 0

Karena O dan AB diketahui,

maka p dapat dicari dari :

𝒑𝟏,𝟐 = −𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Dimana untuk di atas:

b = 𝟎) - 1

a = 1

c = 𝟏 𝟐 AB

Pada soal di atas diketahui A dan O, karena itu

soal ini diselesaikan dengancara pertama:

r = 𝟎, 𝟐 = 0,45 (dicari dengan dafrat

logaritma).

q = 1 - 𝑨 + 𝟎 = 1 - 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟐 = 1 - 𝟎, 𝟔 =

0,225 = 0,25 (dibulatkan).

p = 1 – (r+q) = 1 – (0,45 + 0,23) = 1 – 0.68 =

0,32

B = 𝒒𝟐 + 𝟐𝒒𝒓 = (𝟎, 𝟐𝟑)𝟐 + 2.0, 23.0, 45 = 0,26

= 0,26 x 100% = 26%

AB = 𝟐𝒑𝒒 = 2.0, 0,23 = 0,1472 = 0,15