2. Fungsi Bessel

2.1. Persamaan Diferensial Bessel2.2. Sifat-sifat Fungsi Bessel2.3. Fungsi-fungsi Hankel, Bessel Orde-fraksional, Bessel Sferis

Penggunaan Fungsi BesselMencari solusi separasi variabel dari persamaan Laplace dan Helmholtz dalam koordinat silinder dan sferisKhususnya penting dalam berbagai problem seperti propagasi gelombang, potensial statik dan sebagainya.

Contoh dalam koordinat Silinder:- Electromagnetic waves in a cylindrical waveguide - Heat conduction in a cylindrical object. - Modes of vibration of a thin circular (or annular) artificial membrane. - Diffusion problems on a lattice.

Useful properties for other problems, such as signal processing (e.g., see FM synthesis, Kaiser window, or Bessel filter).

Persamaan Diferensial Bessel

Fungsi Bessel, pertama kali didefinisikan oleh seorang ahli Matematik Daniel Bernoulli dan diperluas oleh Friedrich Bessel, merupakan solusi persamaan diferensial:

untuk α real atau kompleks. Kasus paling umum apabila α adalah bilangan bulat n.

(2.1)

Fungsi generator

Lihat fungsi dengan 2 variabel:

Ekspansikan berdasarkan deret Laurent akan didapat:

Jn(x) yang merupakan koefisien tn adalah fungsi Bessel jenis pertama dari orde bilangan bulat n.

)/1)(2/(),( ttxetxg −=

∑∞=

−∞=

− =n

n

nn

ttx txJe )()/1)(2/(

(2.3)

(2.2)

∑∑∞

=

−∞

=

−− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

00

2/2/)/1)(2/(

!2)1(

!2 s

sss

r

rrtxxtttx

stx

rtxeee

!2)1(

)!(2 stx

sntx ss

ssnsn −++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Untuk suatu s tertentu, kita dapatkan tn (n≥0) dari:

Sehingga koefisien tn menjadi:

∑∞=

−∞=

− =n

n

nn

ttx txJe )()/1)(2/(

∑∞

=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=0

2

2)!(!)1()(

s

sns

nx

snsxJ (2.4)

∑∞

=

+−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

=0

2

2)!(!)1()(

s

sns

nx

snsxJ

Kalau n < 0:

Karena (s – n)! ∞ kalau s=0,1,2,…(n-1); maka:

∑∞

=

++

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=0

2

2)!(!)1()(

s

snns

nx

snsxJ

Sehingga dapat disimpulkan:

J-n(x)= (-1)n Jn(x) untuk n bilangan bulat (2.5)

Kembali ke fungsi generator:

Bila kita diferensialkan secara parsial terhadap t, maka:

)/1)(2/(2 )11(

21),( ttxe

txtxg

t−+=

∂∂

∑∞=

−∞=

−=n

n

nn txnJ 1)(

∑∞=

−∞=

− ==n

n

nn

ttx txJetxg )(),( )/1)(2/(

Digabung akan diperoleh (misal untuk koefisien tn-1):

Jn-1(x) + Jn+1(x) = Jn(x)xn2

(2.6)

Persamaan Jn-1(x) + Jn+1(x) = Jn(x) disebut dengan persamaan rekursi.

Disini apabila J0 dan J1 diketahui maka J2 dapat dicari, dan seterusnya.

Hal ini sangat bermanfaat, khususnya kalau kita menggunakan komputer digital.

xn2

Kalau fungsi generator kita diferensialkan terhadap x, kita dapatkan:

∑∞=

−∞=

− =−=∂∂ n

n

nn

ttx txJet

ttxgx

)(')1(21),( )/1)(2/(

Kita dapatkan hubungan rekursi:

Jn-1(x) − Jn+1(x) = 2J’n(x)

Kasus spesial untuk hal ini:

J’0(x) = - J1(x)

(2.7)

Gabungan pers. (2.6) dan (2.7) menghasilkan:

Jn-1(x) = Jn(x) + J’n(x) (2.8)xn

Kalikan dengan xn dan disusun kembali menghasilkan (buktikan!) :

(2.9))()]([ 1 xJxxJxdxd

nn

nn

−=

Kurangi pers. (2.7) dengan (2.6) bagi 2 menghasilkan:

Jn+1(x) = Jn(x) - J’n(x)xn

Lalu buktikan: )()]([ 1 xJxxJxdxd

nn

nn

+−− −=

(2.10)

(2.11)

Persamaan (2.6) s.d. (2.11) merupakan hubungan rekursi fungsi Bessel.

Selanjutnya kita akan kembali bahas persamaan differensial Bessel.

Hubungan rekursi (2.8) dapat ditulis kembali, dengan n tidak harus bilangan bulat, sebut saja ν, fungsi menjadi Zν.

)()()(' 1 xZxxZxxZ ννν ν−= −

Dst. (lihat Arfken), maka akan diperoleh persamaan diferensial orde-2 yang merupakan persamaan Bessel:

0)('" 222 =−++ ννν ν ZxxZZx

(2.12)

(2.13)

Representasi Integral

Kita lihat kembali fungsi generator:

Substitusikan t = eiθ, akan diperoleh:

eix sin θ = J0(x) + 2[J2(x) cos 2θ+J4(x) cos 4θ + …..]

+ 2i[J1(x) sin θ+J3(x) sin 3θ + …..]

∑∞=

−∞=

− ==n

n

nn

ttx txJetxg )(),( )/1)(2/(

Dalam notasi sumasi dapat ditulis:

∑∞

=

+=1

20 )2cos()(2)()sincos(n

n nxJxJx θθ

∑∞

=− −=

112 ])12sin[()(2)sinsin(

nn nxJx θθ

Gunakan sifat ortogonalitas sin & cos, didapat:

∫⎩⎨⎧

=π

θθθπ 0 ganjiluntuk

genapuntuk0

)(cos)sincos(1

nnxJ

dnx n

∫⎩⎨⎧

=π

θθθπ 0 ganjiluntuk

genapuntuk)(

0sin)sinsin(1

nn

xJdnx

n

(2.14)

(2.15)

Kombinasikan, akan diperoleh:

θθθθθπ

π

dnxnxxJn ∫ +=0

]sin)sinsin(cos)sin[cos(1)(

∫ =−=π

θθθπ 0

...4,3,2,1,0,)sincos(1 ndxn

Kasus spesial:

∫=π

θθπ 0

0 )sincos(1)( dxxJ

(2.16)

(2.17)

Contoh penggunaan di Fisika

Difraksi Fraunhofer Tabung resonansi silindris

Difraksi Fraunhofer

α

θr

x

y

Dalam teori difraksi melalui lubang lingkaran kita dapatkan integral:

∫ ∫∝Φa

ibr rdrde0

2

0

sinπ

θ θ

disini:Φ: amplitudo gelombang terdifraksiθ: sudut azimutha: radius lubang

αλπ sin2

=b

Sesuai dengan representasi integral, maka dapat ditulis:

∫∝Φa

rdrbrJ0

0 )(2π

Gunakan (2.11), diperoleh:

)sin2(sin

)(2112 α

λπ

αλπ aJaabJ

b∝∝Φ

Intensitas difraksi:2

12 )sin2(

sin ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∝Φ α

λπ

αλ aJa

Titik nol pertama J1(x) terjadi pada x=3,8317, sehingga gelap pertama pola difraksi pada:

8317,3sin2=α

λπa

Soal latihan1. Tunjukkan bahwa:

∑∞

=

−+=1

20 )()1(2)()cos().n

nn xJxJxa

∑∞

=−

+−=1

121 )()1(2)sin().

nn

n xJxb

2. Buktikan bahwa:

∫=2/

00 cos)cos(sin π

θθθ dxJx

x

3.Tunjukkan bahwa:

4. Turunkan persamaan ini:

(petunjuk: gunakan induksi matematik)

∫−

=1

020

1cos2)( dt

txtxJ

π

)()1()( 0 xJxdxdxxJ

nnn

n ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Pelajari sendiri tentang ortogonalitas fungsi Bessel (Arfken p.645-648)

Sekedar pengingat tentang fungsi ortogonal

It is common to use the following inner product for two functions f and g:

Here we introduce a nonnegative weight function w(x) in the definition of this inner product.We say that those functions are orthogonal if that inner product is zero:

We write the norms with respect to this inner product and the weight function as

The members of a sequence { fi : i = 1, 2, 3, ... } are:- orthogonal if

- orthonormal

where

is the Kronecker delta. In other words, any two of them are orthogonal, and the norm of

each is 1 in the case of the orthonormal sequence. See in particular orthogonal polynomials.

Contoh: (buktikan!)

∫

∫

∫

=

⎩⎨⎧

==≠

=

⎩⎨⎧

=≠

=

π

π

π

ππδ

πδ

2

0

2

0

,

2

0

,

bulatn dan m semuauntuk 0sincos

00

,,

2coscos

00

,,

0sinsin

dxnxmx

nmm

dxnxmx

mm

dxnxmx

nm

nm

Fungsi Neumann, Fungsi Bessel jenis kedua, Nv(x)

Dari teori persamaan diferensial, karena merupakan orde dua maka persamaan Bessel mempunyai dua solusi independen.

Untuk ν bukan bilangan bulat kita mempunyai dua solusi yakni Jν(x) dan J-ν(x) yang saling independen. Namun kalau ν bilangan bulat maka kedua solusi tersebut saling bergantung.

Solusi kedua dicoba sebagai berikut (kombinasi linear dari Jν(x) dan J-ν(x)):

νπνπ νν

ν sin)()(cos)( xJxJxN −−

=

Ini yang disebut sebagai fungsi Neumann. Jelas tampak bahwa untuk ν bukan bilangan bulat, Nν(x) memenuhi persamaan Bessel.

(2.18)

Bentuk integral Fungsi Neumann

∫∞

−=0

0 )coshcos(2)( dttxxNπ

Sama seperti semua fungsi Bessel, Nν(x) juga mempunyai representasi integral. Sebagai contoh untuk N0(x) kita mempunyai:

0)1(

cos2

12/12 >

−−= ∫

∞

xdtt

xtπ

(2.19)

Solusi umum persamaan Bessel

y(x) = AJν(x) + BNν(x) (2.20)

Hubungan Rekursi

xJJJJ

πνπ

ννννsin2

11 =+ −−+−

xJJJJ

πνπ

ννννsin2

11 −=+ +−−−

xNJNJ

πνννν2' =− −

Hubungan rekursi gabungan fungsi Bessel dan fungsi Neumann sangat banyak, diantaranya dapat disebut:

xNJNJ

πνννν2

11 −=− ++

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

Aplikasi Fungsi Neumann

Coaxial Wave Guide (Arfken p.655-656)

Fungsi HankelDefinisi-definisi:

Fungsi Hankel jenis 1:

Hν(1)(x) =Jν(x) + i Nν(x)

Fungsi Hankel jenis 2:Hν

(2)(x) =Jν(x) - i Nν(x)

θθθ sincos ie i ±=±

Hal ini analog:

(2.25)

(2.26)

Karena fungsi Hankel merupakan kombinasi linear Jν dan Nν maka memenuhi rekursi yang sama seperti:

)(2)()( 11 xHx

xHxH νννν

=+ +−

)('2)()( 11 xHxHxH ννν =− +−

Keduanya berlaku untuk Hν(1)(x) dan Hν

(2)(x)

(2.27)

(2.28)

Beberapa formula Wronskian dapat dikembangkan:

xiHHHH

πνννν4)2(

1)1()1(

1)2( =− ++

xiHJHJ

πνννν2)1(

1)1(

1 =− −−

xiHJHJ

πνννν2)2(

1)2(1 =− −−

(2.29)

(2.30)

(2.31)

Pelajari sendiri Modified Bessel Function yang juga ditemui di berbagai kasus Fisika

Fungsi Bessel Sferis

2/1)()()(

krkrZkrR =

0)]1([2 222

22 =+−++ Rnnrk

drdRr

drRdr

Ketika persamaan Helmholtz pada koordinat sferis dipisahkan, persamaan radial mempunyai bentuk:

Jelas persamaan ini bukan merupakan pers. Bessel, namun kalau kita substitusi:

Persamaan menjadi:

0])([ 22122

2

22 =+−++ Znrk

drdZr

drZdr

(2.32)

(2.34)

(2.31)

Tampak bahwa Z merupakan fungsi Bessel orde n + ½. Fungsi semacam ini dilabelkan sebagai fungsi Bessel sferis dengan definisi:

)()()(2

)(

)()()(2

)(

)(2

)(

)(2

)(

)2()2(

)1()1(

21

21

21

21

xinxjxHx

xh

xinxjxHx

xh

xNx

xn

xJx

xj

nnnn

nnnn

nn

nn

−==

+==

=

=

+

+

+

+

π

π

π

π(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Dalam bentuk deret dapat dibuktikan:

∑

∑∞

=+

+

∞

=

−−−−

=

+++−

=

0

21

1

0

2

)!22(!)!()1(

2)1()(

)!122(!)!()1(2)(

s

ss

nn

n

n

s

ss

nnn

xnssns

xxn

xnss

nsxxj (2.39)

(2.40)

Spherical Bessel functions of 1st kind, jn(x), for n=0,1,2

Spherical Bessel functions of 2nd kind, nn(x), for n=0,1,2

Kasus khusus untuk n=0

∑∞

=

=+

−=

0

20

sin)!12(

)1()(s

ss

xxx

sxj

xxn cos

0 −=

Juga untuk n0 (buktikan!):

ix

ix

exixix

xxh

exixix

xxh

−=+=

−=−=

)cos(sin1)(

)cos(sin1)(

)2(0

)1(0

Dengan demikian fungsi Hankel sferis menjadi:

(2.41)

(2.42)

(2.43)

(2.44)

Hubungan rekursi:

Dapat diturunkan dari deret atau dari hubungan rekursi fungsi Bessel yang sudah ada, diperoleh:

)(')12()()1()(

)(12)()(

11

11

xfnxfnxnf

xfx

nxfxf

nnn

nnn

+=+−

+=+

+−

+−

Dan juga:

)()]([

)()]([

1

111

xfxxfxdxd

xfxxfxdxd

nn

nn

nn

nn

+−−

−++

−=

=

Disini fn dapat berupa jn, nn, hn(1) dan hn

(2)

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

Dari (2.48) secara cepat dapat ditunjukkan (buktikan!):

xx

xxx

xj

xx

xxxj

cos3sin13)(

cossin)(

232

21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

xx

xxx

xn

xx

xxxn

sin3cos13)(

sincos)(

232

21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−−=

(2.49)

(2.50)

dan seterusnya …

Dengan induksi matematik, dapat diperoleh formula Rayleigh:

(2.51)⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

xx

xdxdxxn

xx

xdxdxxj

nnn

n

nnn

n

cos)1()(

sin)1()(

Serupa untuk fungsi Hankel:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

−

xe

xdxdxixh

xe

xdxdxixh

ixnnn

n

ixnnn

n

)1()(

)1()(

)2(

)1(

(2.52)

Pelajari sendiri masalah ortogonalitas untuk fungsi Bessel sferis.

Banyak bermanfaat dan digunakan pada normalisasi fungsi gelombang.

Contoh penerapan di Fisika: Partikel dalam bola

Di Mekanika Kuantum sering dibahas problem partikel dalam bola berjari-jari r. Untuk menjelaskan hal ini perlu fungsi gelombang ψ yang memenuhi:

ψψ Em

=∇− 22

2h

Dengan syarat batas ψ memenuhi kondisi:(a). ψ(r≤a) bernilai tertentu(b). ψ(r>a)=0Hal ini berkorespondensi dengan potensial(a). V = 0 untuk r≤a, dan(b). V = ∞ untuk r>a

Bagian radial R fungsi tersebut:

0)1(22222

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++ RrnnmE

drdR

rdrRd

h

Solusi R untuk n=0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= rmEBnrmEAjR

hh

2200

2

222

2manEn

hπ=

Dapat dibuktikan, bahwa:

Latihan1. Dari hubungan rekursi, tunjukkan fungsi Bessel sferis

memenuhi persamaan diferensial:

2. Dari induksi Matematika Raleigh untuk fungsi Bessel dan Neumann sferis evaluasi j0(x), j1(x), j2(x),dan j3(x) serta n0(x), n1(x), n2(x),dan n3(x)

0)()]1([)(2)( 2'''2 =+−++ xfnnxxfxfx nnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

xx

xdxdxxn

xx

xdxdxxj

nnn

n

nnn

n

cos)1()(

sin)1()(

Ke Bab 3