RANGKAIAN FREKUENSI KOMPLEKS DAN RESPONS FREKUENSI

Disusun Oleh:

Muhammad.Zain (140431100051)Syahrul Nugraha T (140431100156)Miftahul Faizul (140431100147)

JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS TRUNUJOYO MADURA2014-2015

FREKUENSI KOMPLEKS

Frekuensi Kompleks Muncul dari persamaan fungsi Sinusoidal

dengan ditambahkan dengan suatu nilai konstanta peredaman

Rumus dari frekuensi kompleks yaitu:

Pada persamaan v (t )=V m eσt cos (ωt+θ ) Volt

apabila kita analisis bahwa :

1. Jikaσ=0 , ω=0⇒ v ( t )=V m merupakan sinyal searah

atau DC

v

t

Gambar 1

2. Jika σ=0⇒ v ( t )=V mcos (ωt+θ ) merupakan sinyal Sinusoidal

Murni

v

t

v (t )=V m cos (ωt+θ )Voltv (t )=V m eσt cos (ωt+θ ) Volt

Gambar 2

3. Jika ω=0 , σ>0⇒ v ( t )=V m eσtmerupakan sinyal eksponensial

positifv

t

Gambar 3

4. Jika ω=0 , σ<0⇒ v ( t )=V m e−σtmerupakan sinyal eksponensial

negatifv

t

Gambar 4

5. Jika σ>0⇒ v (t )=V m eσt cos(ωt+θ )merupakan sinyal

sinusoidal teredam positif

v

t

Gambar 5

6. Jika σ<0⇒ v (t )=V m e−σt cos(ωt+θ )merupakan sinyal sinusoidal

teredam negatif

v

t

Gambar 6Phasor Frekuensi Kompleks

Notasi Phasor :

V=Re (V m e jθ e jωt )V ( jω)=V m⃗ e jθ=V m<θ

Jika konsep diatas diterapkan pada fungsi sinusoida terendam maka:

v (t )=V m eσt cos (ωt+θ )

Impedansi dan Admitansi Frekuensi KompleksV(s) = Z(s)/(s)dimana :Impedansi Kompleks :

ZR (s )=R

ZL( s )=sL

Zc(s )=1sC

Admitansi Kompleks :

Y R ( s )=1R

=G

Y L(s )=1sL

Y c (s )=sC

RESPON FREKUENSI

Respon frekuensi atau tanggapan frekuensi adalah suatu fenomena

rangkaian terhadap nilai-nilai frekuensi yang diberikan pada rangkaian itu. Pada

bab ini akan dikhususkan pada fenomena yang berkaitan dengan masukan yang

berupa gelombang sinus. Fenomena yang menonjol pada rangkaian listrik dengan

masukan sinus dan akan dibahas adalah fenomena frekuensi sudut (corner

frequency) atau frekuensi patah pada filter, resonansi, lebar pita, faktor kualitas,

amplitudo dan fase, diagram Bode serta hal-hal lain seperti faktor dan koefisien

peredaman, dan lain-lainnya.

Suatu rangkaian listrik yang didalamnya mengandung resistansi,

kapasistansi dan induktansi akan senantiasa dapat dibuat persamaan kompleksnya,

yaitu suatu persamaan fungsi alih yang didasarkan pada frekuensi radian atau

frekuensi kompleks sebagaimana diuraikan pada bab sebelumnya. Dari persamaan

yang diperoleh dari rangkaian tersebut, akan dapat dianalisa berbagai hal yang

terjadi dalam rangkaian secara alami (tanpa sumber), maupun hal-hal yang terjadi

pada saat rangkaian mendapatkan sumber atau masukan.

Persamaan dalam kawasan frekuensi radian maupun kompleks yang

dibentuk dapat selain merupakan persamaan dalam formulasi fungsi alih dapat

pula dalam formulasi impedansi (Z(s)) / admitansi (Y(s)). Formulasi-formulasi

tersebut sudah dibahas juga pada bab sebelumnya. Hal yang perlu ditekankan

pada pembahasan respon frekuensi ini adalah mengenai bagaimana membentuk

persamaan yang mudah dianalisis guna menentukan atau memperhitungkan

parameter-parameter dari respon frekuensi yang diminta.

Pada umumnya bila suatu rangkaian RLC secara sepintas nampak sebagai

rangkaian parallel, maka persamaan yang dibentuk akan didasarkan pada

admitansi, sebaliknya bila rangkaiannya berupa rangkaian seri, maka persamaan

yang dibentuk didasarkan pada besaran impedansi. Persamaan dasar tersebut

kemudian perlu diubah menjadi persamaan kuadrat atau dalam bentuk faktorisasi

dari persamaan tersebut. Apabila persamaan fungsi alih sudah terbentuk, maka

analisis perhitungan dari parameter respon rangkaian terhadap frekuensi maupun

waktu akan dengan mudah dilakukan.

Respon Rangkaian

Untuk dapat menganalisa respon rangkaian RLC, maka berikut ini akan

diberikan contoh soal disertai dengan penjelasan yang cukup luas tentang

bagaimana penyelesaian tersebut dilaksanakan. Perhatikan rangkaian berikut, dan

tentukan besarnya L pada rangkaian tersebut agar rangkaian memenuhi persamaan

berikut :

H(ω) = Vo(ω)Vi(ω)

= 0.66

1+ jω30

Gambar 14.1 Rangkaian RL

Untuk menjawabnya, maka pertama kali ubah rangkaian dalam kawasan

waktu tersebut kedalam kawasan frekuensi, seperti gambar berikut.

Gambar 14.2 Rangkaian dalam kawasan frekuensi

Dari rangkaian tersebut, dapat ditentukan bahwa tegangan keluaran

rangkaian adalah :

Vo(ω) = 8

4+8+ jωLVi(ω)

dan dengan memperhatikan syarat yang diminta, maka dapat persamaan tersebut

harus sama dengan syarat yang ditentukan. Oleh karenanya maka akan diperoleh :

84+8+ jωL

= 0.66

1+ jω30

8[1+ jω30

¿ = 0.66 [4+8+ jωL¿

8 + j8 ω30

= 8 + j(0.66)ωL

830

= (0.66)L

L = 8

30(0.66) L = 0,4 H

Respon Amplitudo dalam dB

dB (decibell) merupakan perbandingan antara masukan dan keluaran dari

10suatu sistem. Pada sistem listri atau elektronika dB diwujudkan dalam rumusan

tegangan, daya atau arus. Sedang dalam sistem lain tergantung dari besaran yang

diukur. Dengan tegangan rumusannya adalah sebagai berikut :

VdB = 20 log 10 (V1/V0) = 10 log 10 (V1²/V0²)

Sedangkan dalam perbandingan daya dB dirumuskan sebagai berikut :

dB =10 log (P2/P1)

Selain dengan dB, terdapat bebebrapa ukuran dB lain yang terkait dengan

satuan atau besaran yang digunakan, misalnya :

dBm, dB(mW) — perbandingan terhadap 1 milliwatt. dBμor dBu , dB(μV/m) — perbandingan terhadap 1 microvolt per meter. dBf , dB(fW) — perbandingan terhadap 1 femtowatt. dBW, dB(W) — perbandinganterhadap1 watt.

dBk, dB(kW) — perbandingan terhadap 1 kilowatt, dan lain-lain.

Filter Lolos Rendah

Rangkaian RC yang lain yang juga banyak digunakan adalah rangkaian

filter, baik filter lolos rendah maupun filter lolos tinggi. Dengan mengacu pada

rangkaian di bawah, maka dengan menggunakan hukum Kirchhoff tegangan dapat

dibuat persamaan sebgai berikut :

VoSin[2π ft ¿ = IR+QC

Persamaan di atas bila didiferensialkan akan menjadi :

2πfVoCos[2πft] = dIdt

R+1C

dengan penyelesaian adalah : I[t] = ACos[2πft-α],dengan :

A = Vo−1

√R ²+ 1(2 πfC ) ²

and tan[α]=1

2 πft

Ini berarti bahwa tegangan antara kapasitor adaalah sebesar :

V[t] =Q [ t ]

C=

ᶋI [t ] dtC

= ASin [2 πft−α ]

2 πfC

Dengan demikian maka dapat ditentukan suatu perolehan (gain) yang merupakan

perbandingan output dengan input sebesar :

Gambar 14.3 Rangkaian Filter lolos bawah dan responmnya

g = A

2 πfC/Vo =

1

√1+(RC 2πf ) ²

Dari grafik, Nampak bahwa untuk frekuensi rendah maka perolehannya adalah 1

sedangkan frekuensi tinggi perolehannya kurang dari 1, bahkan 0 untuk frekuensi

diatas frekuensi potong. Frekuensi potong tersebut (berlaku juga untuk filter lolos

tinggi) adalah sebesar :

f-3db = 1

2 πRCFilter Lolos Tinggi

Untuk rangkaian filter lolos tinggi dengan rangkaian seperti gambar di bawah

ini, maka dapat ditentukan bahwa :

V[t] = RACos[2πft-α],

g = 1

√1 /(RC 2πf ) ²+1

Gambar 14.4 Rangkaian filter lolos tinggi dan responnya

Resonansi

Frekuensi resonansi pada rangkaian RLC pada keadaan tidak teredam dalam

satuan radian per detik dirumuskan sebagai berikut :

ωo¿1

√LC

Dalam satuan hertz, rumusan tersebut akan menjadi :

Fo = ωo/2π = 1

2 πRC

Pada semua resonansi rangkaian listrik, maka resonansi akan terjadi bila

impedansi (reaktansi) = 0, atau dalam bentuk fasor, tegangan dan arus sefase.

ZLC = ZL + ZC = 0

Jika dituliskan dalam bentuk kompleks, maka impedansi (reaktansi) tersebut adalah :

Zc = 1/Cs

ZL = Ls

Sehingga didapatkan bahwa :

S = ±jωo = ±j1

√LC

Pada rangkaian RLC terdapat peredaman (damping) dan faktor peredaman

tersebut besarnya adalah :

ς = L

2 R

Untuk maksud aplikasi resonansi umumnya diinginkan bahwa factor peredaman

tersebut sekecil mungkin, atau dengan kata lain memiliki faktor kualitas (Q) yang

sebesar mungkin. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan memperkecil

nilai R dalam ramgkaian, sehingga umumnya rangkaian resonansi hanya terdiri

dari rangkaian LC saja.

Ukuran lain dari suatu resonansi adalah lebar pita atau bandwidth, yang

dirumuskan sebagai berikut :

∆ω = 2ς = R/LAtau dalam satuan hertz

∆f = ∆ ω2π

= ςπ

= R

2 πL

Lebar pita juga diukur dengan cara lain, yaitu dengan apa yang disebut dengan

frekuensi daya setengah (half-power frequencies) baik atas maupun bawah, yaitu

suatu pengkuran dimana hasil dari keluaran memiliki tegangan atau arus sebesar

1/(2)1/2 (satu per akar dua) atau pada daya ½ kali daya masukan. Selisih antara

frekuensi daya setengah atas dengan frekuensi daya setengah bawah tersebut akan

merupakan lebar pita.

Faktor kualitas (Q factor), dihitung sebagai perbandingan antara frekuensi

resonansi dengan lebar pita. Dengan demikian maka factor kualitas memiliki

rumusan sebagai berikut :

Q = ωo∆ ω

= ωo2 ς

= L

R √LC = 1

R √ LR

Aatau dalam satuan hertz :

Q = f o∆ f

= 2 πfoL

R =

!

√R ² C / L = 1

R √ LC

Selain itu, masih ada ukuran lain dalam resonansi, yaitu yang disebut dengan

frekuensi redaman resonansi (damped resonance frequency), yang merupakan

hasil perbandingan antara frekuensi resonansi alami dengan factor peredaman.

Pada keadaan teredam (underdamped), yaitu kondisi dimana tidak terjadi osilasi

terjadi, maka :

C < ωo

sehingga frekuensi redaman resonansi adalah :

ωd = √ω ² o−ς ²

Sedangkan pada keadaan terjadi osilasi (overdamped), maka

C << ωo

sehingga

ωd = ωo

Resonansi Paralel

Dalam rangkaian listrik, resonansi diartikan sebagai suatu keadaan

rangkaian yang didalamnya terdapat resistansi, induktansi dan kapasitansi, yang

tegangan dan arus sefase. Keadaan sefase pada resonansi tersebut mengakibatkan

impedansi atau admitansi rangkaian berupa resistansi atau konduktansi saja,

mengingat bagian imajinir dari impedansi atau admitansi akan saling

meniadakan. Resonansi paralel merupakan resonansi yang terjadi pada rangkaian

yang komponen induktifnya paralel dengan komponen kapasitifnya. Untuk

memformulasikan keadaan resosnansi paralel dapat digunakan admitansi

rangkaian (Y).

Sebagai contoh untuk rangkaian yang terdiri dari resistor (R) yang

diparalel dengan paralel antara inductor (L) dan kapasitor sebagaimana terlihat

pada gambar 14.1 dibawah, akan mempunyai admitansi sebagai berikut :

Y = 1R

+ j(wC− 1wL

)

Gambar 14.5 Rangkaian RLC paralel

Dengan demikian pada keadaan resonansi, dimana bagian imajiner

admitansi saling meniadakan, akan diperoleh :

wC−1wL

=0

w=1√ LC

f =12 π √LC atau

dimana f adalah frekuensi resonansi rangkaian tersebut.

Pada saat terjadi resonansi paralel akan didapatkan bahwa arus pada

rangkaian akan minimum dan tegangannya akan maksimum.

Resonansi Seri

Resonansi seri terjadi apabila komponen induktif terpasang secara seri

dengan komponen kapasitif. Untuk resonansi seri, untuk mencari formulasi

persamaan-persamaannya umumnya digunakan impedansi (Z). Sebagai contoh

untuk rangkaian seri antara resistor (R), inductor (L) dan kapasitor (C) pada

gambar 2.2 dibawah, akan diperoleh :

Z=R+ j( wL− 1wC

)

Pada keadaan resonansi, dimana bagian imajinernya sama dengan nol,

maka dapat diperoleh bahwa :

wL−1wC

=0

w=1√ LC

atau

f =12 π √LC

dimana f adalah frekuensi resonansi seri.

Gambar 14.6 Rangkaian RLC seri.

Pada waktu terjadi resonansi seri akan didapatkan bahwa arus rangkaian

maksimum dan tegangan pada terminal-terminalnya minimum.

Daftar Pustaka

http://www.slideshare.net/rseptianingrum/rangkaian-listrik-revisi-mohamad-ramdhanihttp://www.mesin.itb.ac.id/sis/resource/freqrespons.pdfhttp://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar_sistem_pengaturan/bab5-respon_frekuensi.pdfhttps://roysarimilda.files.wordpress.com/2013/03/rangkaian-listrik.pdf