FORMALISME ARNOWITT-DESER-MISNER (ADM)

DALAM RELATIVITAS UMUM

Tugas Akhir

Oleh:

BENZ EDY KUSUMA

NIM 10201041

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar

SARJANA SAINS

pada Departemen Fisika

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2005

FORMALISME ARNOWITT-DESER-MISNER (ADM)

DALAM RELATIVITAS UMUM

Tugas Akhir

Oleh:

BENZ EDY KUSUMA

NIM 10201041

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar

SARJANA SAINS

pada Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Bandung

Disetujui Oleh:

Pembimbing

__________________________ Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara

Dedicated to my beloved parents and sister.

“I was sitting in a chair at the patent office in Bern, when all of a sudden a thought occurred to me.

If a person falls freely, he will not feel his own weight. I was startled. This simple thought made a

deep impression on me. It implied me toward a theory of gravitation”

Albert Einstein

ABSTRACT

ARNOWITT-DESER-MISNER (ADM) FORMALISM

FOR GENERAL RELATIVITY

By: Benz Edy Kusuma

Advisor: Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara

(January 2006)

Hamiltonian formulation have shown a success when one quantize using

canonical quantization method for field theory (for particle with spin under 2) e.g.,

Quantum Electrodynamics and Quantum Chromodynamics. With analogous of that

thing, Hamiltonian formulation can be developed for Einstein field theory, which

have been done by Arnowitt, Deser, and Misner (ADM) in 1962. If one use

Hamiltonian formulation, then one can get a new view point. In this stage, it can be

associated with initial value formulation for general relativity. When general

relativity can be cast in Hamiltonian form, one can attempt to apply the canonical

quantization rules to general relativity. However, a serious difficulty arises because of

the presence of the constraint. Attempts to solve this constraint or to impose this

constraint as an additional condition on state vector have not been successful.

Key words: Hamiltonian formulation, initial value formulation, canonical

quantization, general relativity, constraint.

iv

ABSTRAK

FORMALISME ARNOWITT-DESER-MISNER (ADM)

DALAM RELATIVITAS UMUM

Oleh: Benz Edy Kusuma

Pembimbing: Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara

(Januari 2006)

Formalisme Hamiltonian telah menunjukkan keberhasilan ketika kuantisasi

dilakukan untuk teori medan dengan metode kuantisasi kanonik (untuk partikel

dengan spin dibawah 2) misalnya, Quantum Electrodynamics dan Quantum

Chromodynamics. Dengan mengambil analogi terhadap hal di atas, formalisme

Hamiltonian juga bisa dikembangkan untuk teori medan Einstein, yang telah

dilakukan oleh Arnowitt, Deser, dan Misner (ADM) pada tahun 1962. Dengan

menggunakan formalisme Hamiltonian, bisa diperoleh suatu sudut pandang yang

baru. Dalam hal ini bisa dikaitkan dengan formalisme nilai awal dari relativitas

umum. Ketika relativitas umum dapat dibuat ke dalam bentuk Hamiltonian,

percobaan menggunakan aturan kuantisasi kanonik dapat dilakukan untuk relativitas

umum. Namun, sebuah kesulitan yang serius muncul karena kehadiran dari kendala.

Usaha untuk menyelesaikan kendala ini atau memaksakan kendala ini sebagai syarat

tambahan untuk vektor keadaan belum berhasil.

Kata kunci: formalisme Hamiltonian, formalisme nilai awal, kuantisasi kanonik,

relativitas umum, kendala.

v

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya sehingga

penulis akhirnya dapat menyelesaikan laporan tugas akhir sarjana ini. Laporan tugas

akhir sarjana ini disusun sebagai salah satu syarat kelulusan Sarjana Sains Fisika di

Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut

Teknologi Bandung.

Seperti halnya tugas akhir pada umumnya, tugas akhir ini mencoba untuk

mengaplikasikan beberapa ilmu yang telah diperoleh penulis selama berkuliah dan

berada dalam Kelompok Keahlian Fisika Teori di Departemen Fisika ITB.

Tugas akhir ini mencoba untuk menjelaskan teori relativitas umum

berdasarkan formalisme Hamiltonian. Dengan menggunakan formalisme

Hamiltonian, ada sudut pandang yang berbeda dari teori bisa diperoleh. Hal

terpentingnya adalah ketika dilakukan kuantisasi untuk gravitasi dengan pendekatan

kanonik. Namun, penulis membatasi hanya memberikan gambaran mengenai usaha

pengkuantisasian gravitasi mengingat hadirnya kendala-kendala yang cukup rumit

dan harus diperlakukan berbeda dibandingkan misalnya, elektromagnetik Maxwell.

Penulis menyadari bahwa pada laporan tugas akhir sarjana ini masih banyak

terdapat kekurangannya. Oleh sebab itu, penulis terbuka untuk ide dan saran yang

membangun.

Akhir kata, penulis berharap agar laporan tugas akhir sarjana ini dapat

bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukannya.

Bandung, Januari 2006

Penulis

vi

UCAPAN TERIMA KASIH

Ada beberapa pihak yang terlibat dalam penulisan tugas akhir sarjana ini, baik

secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan

terima kasih yang sewajarnya. Berikut adalah daftar yang dapat penulis ingat

terhadap pihak-pihak yang berkontribusi.

Yang utama, penulis ingin mengucapkan syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha

Esa, karena begitu banyak limpahan kasih yang dicurahkan walaupun seringkali

penulis lupa akan kehadirannya.

Pertama, penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada

kedua orang tua penulis atas doa yang tidak pernah surut tiap hari. Dalam kesempatan

ini, penulis ingin meminta maaf karena telat satu tahun untuk lulus dalam program

sarjana di ITB karena lain satu hal.

Selanjutnya, terima kasih untuk kakak penulis, Nila, atas semua perhatian dan

dukungan selama ini, yang mengingatkan penulis untuk tetap semangat

menyelesaikan tugas akhir ini. Begitu juga, terima kasih untuk abang penulis, Benz E

Simson, dan temen dekat penulis, Herawaty, yang selalu mendukung penulis.

Tak kalah pentingnya, terima kasih untuk pembimbing penulis, Dr. rer. nat.

Bobby E. Gunara, yang bersedia membimbing penulis menyelesaikan tugas akhir

sarjana ini dan memberikan masukan-masukan yang begitu berharga, terlebih di

detik-detik terakhir menjelang sidang. Kemudian, terima kasih juga untuk dosen-

dosen penguji dalam sidang yaitu Dr. Triyanta dan Dr. Enjang J. Mustopa yang

memberikan saran-saran perbaikan untuk tugas akhir ini.

Selanjutnya, terima kasih untuk almarhum Dr. Hans J. Wospakrik yang

pernah menjadi pembimbing penulis, namun telah dipanggil oleh Yang Maha Kuasa

setahun sebelumnya. Penulis sangat kehilangan beliau, karena dua tahun yang lalu

penulis tertarik dengan fisika teori setelah membaca buku karya beliau.

vii

viii

Terima kasih juga untuk staf-staf Perpustakaan dan Tata Usaha di Departemen

Fisika: Bu Silvi, Pak Lomo, Pak Yeye, Pak Nandang, Pak Dede dan pegawai TU

lainnya yang seringkali disusahkan oleh penulis dalam beberapa hal peminjaman

buku, pengurusan nilai dan permasalahan akademik lainnya.

Tentu saja, terima kasih untuk rekan-rekan dari Lab. Fisika Teoretik: Anto

Teori (sebenarnya nama panggilannya Anto, namun kadang suka ditambahkan “teori”

di akhir panggilannya) yang selalu sedia setiap saat untuk memperlancar penulisan

tugas akhir ini dengan komputernya. Kemudian, terima kasih untuk Supri, Reinard,

Teguh, Andi, Pak Ari, dan rekan-rekan lain yang tak dapat disebutkan satu persatu,

yang merupakan rekan diskusi untuk beberapa hal dalam fisika teori.

Selanjutnya terima kasih untuk Bapak dan Ibu Edy Wardoyo, yang

memberikan kontrakan untuk penulis dan kehangatan dalam tempat tinggal penulis.

Kemudian, Hanif, Ary, Doni, yang merupakan temen-temen kos penulis yang telah

lulus duluan, namun kehangatan bersama dalam satu atap rumah akan tetap

merupakan kenangan yang indah, dan semua pihak yang telah membuat penulis

merasa nyaman tinggal di Bandung.

Last but not least, terima kasih untuk temen-temen seperjuangan angkatan

fisika ’01: Omar Gigi, Ucok, yang merupakan rekan refreshing dengan bermain

Winning Eleven, khusus buat Omar yang merupakan rekan seperjuangan sejak penulis

menjadi mahasiswa dari TPB hingga lulus bersama, jangan cabut lagi tidak ikut ujian

untuk bermain PS., Dhanan, Yudi, Dipo, dan rekan-rekan angkatan ’01 lainnya.

Begitu juga, terima kasih untuk rekan-rekan di unit KMB, SEF, dan PERCAMA.

Terima kasih untuk semua pengalaman dan kehidupan kampus yang menyenangkan.

Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya pada

semua pihak di atas dan semua pihak yang tentunya tidak dapat disebutkan satu-

persatu. God bless you all!

DAFTAR ISI

ABSTRACT iv

ABSTRAK v

KATA PENGANTAR vi

UCAPAN TERIMA KASIH vii

DAFTAR ISI ix

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang ...................................................................... 1

1.2 Tujuan Tugas Akhir ............................................................... 2

1.3 Batasan Masalah ................................................................... 3

1.4 Metodologi Penelitian .......................................................... 3

1.5 Sistematika Penulisan ........................................................... 3

BAB II FORMALISME NILAI AWAL 4

2.1 Formalisme Nilai Awal untuk Partikel dan Medan .............. 4

2.2 Formalisme Nilai Awal untuk Relativitas Umum ................ 15

BAB III FORMALISME LAGRANGIAN DAN HAMILTONIAN

UNTUK RELATIVITAS UMUM 29

3.1 Formalisme Lagrangian ........................................................ 29

3.2 Formalisme Hamiltonian ...................................................... 37

ix

x

BAB IV IDE DAN MASALAH KUANTISASI KANONIK 47

4.1 Kuantisasi Kanonik untuk Partikel ......................................... 47

4.2 Ide Kuantisasi Kanonik untuk Relativitas Umum .................. 49

4.3 Masalah dalam Kuantisasi Kanonik untuk Relativitas Umum ... 54

BAB V KESIMPULAN 57

DAFTAR PUSTAKA 58

LAMPIRAN A STRUKTUR KAUSAL 59

A.1 Latar Belakang ..................................................................... 59

A.2 Futures and Pasts: Definisi-definisi dan Hasil-hasil Dasar .... 60

A.3 Domain Ketergantungan ...................................................... 63

LAMPIRAN B FORMALISME HAMILTONIAN UNTUK MEDAN

MAXWELL 65

LAMPIRAN C NOTASI DAN KONVENSI 69

BAB I

PENDAHULUAN

Perkembangan fisika teoretik sudah sangat pesat dan cukup baik dalam

mendeskripsikan fenomena-fenomena yang terjadi di alam ataupun memprediksikan

fenomena apa yang akan terjadi di masa depan. Salah satu teori yang sedang

dikembangkan oleh para ilmuwan adalah teori yang menggabungkan relativitas

umum dengan teori kuantum.

1.1 Latar Belakang Masalah Pada awal abad 20, ilmuwan-ilmuwan telah memberikan dua teori yang

fundamental dalam fisika, yaitu teori relativitas umum dan teori kuantum. Teori

relativitas umum telah memberikan suatu sudut pandang baru yang revolusioner

untuk struktur ruang waktu dan gravitasi. Teori ini sangat bagus menjelaskan sistem

fisika dalam skala makroskopik seperti, galaksi, bintang, dan objek makroskopik

lainnya. Di lain pihak, teori kuantum juga ditemukan untuk menjelaskan sistem fisika

dalam skala mikroskopik seperti, elektron, proton, dan objek mikroskopik lainnya.

Pada dasarnya, medan fisis harus dijelaskan pada sebuah level yang

fundamental dengan prinsip-prinsip dari teori kuantum. Dalam pengertian ini, teori

relativitas umum yang menjelaskan medan gravitasi, dianggap tidak cukup

revolusioner. Dalam teori kuantum, keadaan dari sistem direpresentasikan dengan

vektor-vektor dalam ruang Hilbert, dan kuantitas observabel direpresentasikan

dengan pemetaan linear self-adjoint yang bekerja pada ruang Hilbert. Kalau keadaan

dari sistem terjadi dalam eigenstate dari observabel, observabel tidak akan memiliki

nilai yang pasti dan hanya diprediksi sebagai probabilitas dari hasil pengukuran.

Meskipun, relativitas umum adalah teori klasik murni, karena dalam kerangka kerja

relativitas umum, kuantitas observabel-dalam hal khusus, metrik ruang waktu-selalu

1

2

memiliki nilai yang pasti. Lalu, jika prinsip dari teori kuantum diterapkan ke medan

gravitasi, maka relativitas umum hanya merupakan sebuah aproksimasi terbaik

terhadap teori gravitasi fundamental yang benar. Hal ini bisa dibandingkan dengan

cara yang sama, seperti teori elektromagnetik Maxwell yang hanya merupakan

sebuah aproksimasi terhadap quantum electrodynamics.

Bagaimana caranya kuantisasi bisa dilakukan untuk relativitas umum? Dari

penjelasan di atas, tentunya ungkapan deterministik dari teori klasik harus diubah

menjadi probabilistik ketika berada dalam level kuantum. Tentunya, hal ini

memunculkan masalah karena yang akan dikuantisasi adalah ruang-waktu. Meskipun

demikian, salah satu usaha untuk mengkuantisasi medan gravitasi ada, yaitu

menggunakan formalisme Hamiltonian untuk relativitas umum. Seperti yang

diketahui, bahwa dalam teori kuantum terdapat kuantisasi kanonik yang ada

hubungannya dengan formalisme Hamiltonian klasik. Formalisme Hamiltonian dalam

relativitas umum disebut sebagai ADM Formalism yang ditemukan oleh Arnowitt

Deser dan Misner (1962). Ketika akan dilakukan kuantisasi dengan pendekatan

kanonik ini, muncul masalah-masalah yang belum bisa dipecahkan dengan kehadiran

kendala, seperti inner product problem, problem of time, dan renormalizable

problem. Sehingga, sampai saat ini teori gravitasi kuantum yang diinginkan belum

bisa diperoleh.

1.2 Tujuan Tugas Akhir Tujuan dari tugas akhir ini adalah membahas relativitas umum dengan

formalisme Hamiltonian secara klasik dengan nilai awal yang tepat dan menjelaskan

masalah-masalah yang dihadapi ketika dilakukan usaha untuk mengkuantisasi

kanonik pada gravitasi.

3

1.3 Batasan Masalah Untuk menyederhanakan penelitian, dilakukan pembatasan-pembatasan

masalah sebagai berikut:

• Struktur geometri hanya untuk geometri paracompact.

• Tidak adanya eksperimen yang berkaitan, mengingat tugas akhir ini hanya

me-review sebuah teori.

1.4 Metodologi Penelitian Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, metodologi penelitian yang dilakukan

adalah studi literatur dari buku-buku dan papers dari internet.

1.5 Sistematika Penulisan Dalam laporan tugas akhir ini, sistematika penulisan yang dilakukan adalah

sebagai berikut:

• Bab I Pendahuluan, mengemukakan dasar-dasar dari laporan tugas akhir ini

meliputi latar belakang dan identifikasi masalah, pembatasan masalah, tujuan

penelitian, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan

• Bab II Formalisme Nilai Awal, menjelaskan nilai awal yang dibutuhkan

oleh teori dalam fisika. Untuk nilai awal relativitas umum, hal ini erat

kaitannya dengan formalisme Hamiltonian.

• Bab III Formalisme Lagrangian dan Hamiltonian untuk Relativitas

umum, menjelaskan konsep dan teori dari formalisme Lagrangian dan

Hamiltonian untuk teori medan, khususnya untuk teori relativitas umum.

• Bab IV Ide dan Masalah Kuantisasi Kanonik, menjelaskan ide-ide dari

formalisme Hamiltonian yang dikembangkan untuk kuantisasi kanonik, dan

menjelaskan secara singkat masalah-masalah yang dihadapi ketika kuantisasi

kanonik digunakan untuk relativitas umum.

• Bab V Kesimpulan, berisi kesimpulan dari hasil penelitian yang dilakukan.

BAB II

FORMALISME NILAI AWAL

Sebuah teori yang dapat dirumuskan dengan pemilihan “data awal yang tepat”

akan menentukan evolusi dinamika dari sistem yang ditentukan secara unik. Secara

fisis, formalisme ini harus memiliki sifat-sifat berikut. Pertama, “perubahan kecil”

pada data awal akan menghasilkan “perubahan kecil” pada solusi di dalam bagian

compact tetap dari ruang-waktu. Kedua, perubahan data awal pada bagian, S, dari

permukaan nilai awal tidak akan menghasilkan perubahan dalam solusi di luar causal

future, J+(S) 1 dari bagian ini. Jika teori yang memiliki formalisme nilai awal ini

memenuhi syarat yang di atas, maka formalisme ini dikatakan well posed. Bab ini

akan menjelaskan nilai awal yang dibutuhkan dalam relativitas umum, dengan

pendahuluan pengertian nilai awal yang dibutuhkan untuk partikel dan medan.

2.1 Formalisme Nilai Awal untuk Partikel dan Medan

Dari hukum kedua Newton F ma= untuk kasus biasa, non-relativistik,

mekanika partikel berkaitan dengan turunan kedua terhadap waktu yaitu, a

(percepatan) dari posisi spasial partikel q terhadap gaya F , yang merupakan fungsi

dari posisi dan kecepatan secara umum. Untuk sistem N partikel yang berinteraksi,

hukum mekanika bisa dituliskan dalam bentuk sebagai berikut. 2

112 ,..., ; ,..., ,i

i nd q dqdqF q q tdt dt dt

⎛= ⎜⎝ ⎠

n ⎞⎟

n

… (2.1.1)

dengan dan bilangan 1,...,i = 3n N= untuk posisi sembarang disebut sebagai

‘derajat kebebasan’ dari sistem. Persamaan (2.1.1) merupakan sistem n persamaan

diferensial biasa orde kedua. Jika nilai awal diberikan untuk posisi dan kecepatan

1 Definisi struktur kausal tentang causal future dan lainnya, bisa dilihat pada lampiran A.

4

5

dari partikel yaitu dan pada t = 0 , maka selalu ada

sebuah solusi yang unik dari persamaan (2.1.1) untuk interval waktu berhingga

sekitar dengan nilai awal yang diberikan. Selanjutnya, pada waktu yang tetap t,

posisi adalah fungsi kontinu posisi dan kecepatan awal dari partikel-

partikel. Karena perambatan kausal dari perubahan pada data awal bukan merupakan

masalah dalam kasus nonrelativistik, maka bisa disimpulkan bahwa formalisme nilai

awal untuk mekanika partikel nonrelativistik adalah well posed.

10 0,..., nq q 1 0( / ) ,..., ( / )ndq dt dq dt 0

0t

1( ),..., ( )nq t q t

Untuk kasus pada teori medan, bisa ditinjau medan Klein-Gordon bermassa,

φ , yang menjalar dalam ruang-waktu Minkowski yang memenuhi persamaan

… (2.1.2) 2 0aa mφ φ∂ ∂ − =

Dengan memilih koordinat awal global t, x, y, z , persamaan (2.1.2) bisa dituliskan

dalam bentuk

2 2 2 2

22 2 2 2 m

t x y zφ φ φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂= + + −

∂ ∂ ∂ ∂ … (2.1.3)

Pada dasarnya, struktur matematika dari persamaan (2.1.3) berbeda dengan

persamaan (2.1.1): persamaan (2.1.1) adalah sistem persamaan diferensial biasa

sedangkan persamaan (2.1.3) merupakan persamaan diferensial parsial tunggal.

Namun, essensi dari persamaan-persamaan ini hampir mirip, yaitu menyelesaikan

turunan waktu kedua dari kuantitas sembarang pada waktu sesaat, dengan diberikan

nilai dan nilai awal turunan pertama pada waktu tersebut. Persamaan (2.1.3) dapat

dipandang sebagai sebuah sistem N (limit ) partikel-partikel yang terkopel

dengan interaksi osilasi harmonik antar partikel sekitarnya. Dalam batasan ini, indeks

diskrit i diganti dengan label kontinu

N →∞

x dan set berhingga dari variabel yang

memenuhi persamaan (2.1.2) menjadi variabel medan

( )iq t

( , )x tφ yang memenuhi

persamaan (2.1.3).

Analogi secara fisis dan matematis antara persamaan (2.1.1) dan (2.1.3)

mengusulkan bahwa teori Klein-Gordon seharusnya memiliki formalisme nilai awal

6

seperti berikut ini. Tentukan secara sembarang nilai untuk φ dan / tφ∂ ∂ pada spatial

hypersurface dengan waktu awal konstan, 0Σ 0t t= . Maka hal ini seharusnya ada

sebuah solusi yang unik dari persamaan (2.1.3) dengan data awal tersebut.

Pada dasarnya, teori Klein-Gordon mengakui formalisme ini untuk

keberlakuan data awal analitik, mis., φ dan / tφ∂ ∂

Σ

merupakan fungsi analitik pada

. Untuk data awal ini, dapat dihitung semua turunan spasial dari 0 φ dan / tφ∂ ∂

2 2

t t=

3 3φ

pada . Dengan menghitung semua turunan parsial tersebut, maka suku

pada persamaan (2.1.3) dapat dievaluasi dengan tepat pada dengan syarat

menggunakan kuantitas yang telah dihitung sebelumnya. Kemudian bisa

didiferensiasikan persamaan (2.1.3) terhadap t, dan dihitung

0t t= / tφ∂ ∂

0

/ t∂ ∂ dan semua

turunan spasial pada t . Dengan melanjutkan cara yang sama, bisa diperoleh

seluruh turunan dari

0t=

φ pada 0t t= . Secara formal, solusi ini bisa dituliskan dalam

deret Taylor. Seperti yang dibuktikan oleh Cauchy dan digeneralisasi oleh

Kowalewski, untuk persamaan difrensial parsial. Yang dirumuskan dalam teorema

sebagai berikut. (bukti dari teorema ini dapat dilihat pada Courant and Hilbert 1962

[11])

Teorema 2.1.1 (Cauchy-Kowalewski): Ambil 1, ,..., mt x x 1− adalah koordinat dari .

Tinjau sebuah sistem n persamaan diferensial parsial dari n fungsi yang tidak

diketahui

m

,...,i nφ φ m dalam , yang memiliki bentuk

2

2 22 ( , , ; / ; / ; / ; / )i

i j j j j jF t x t x t x xt

xα α α αφ φ φ φ φ φ∂= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂β∂ … (2.1.4)

Dengan tiap adalah sebuah fungsi analitik dari variabelnya. Ambil iF ( )if xα

dan ( )ig xα adalah fungsi analitik. Maka ada sebuah lingkungan terbuka (open

neighborhood) O dari hypersurface 0t t= sehingga dalam O ada sebuah solusi

7

analitik yang unik dari persamaan (2.1.4) yang berupa 0( , ) ( )i it x f xα αφ = dan

0( , ) ( )iit x g x

tα αφ∂

=∂

.

Teorema Cauchy-Kowalewski menunjukkan bahwa teori Klein-Gordon

memiliki formalisme nilai awal, setidaknya untuk data awal analitik. Dalam analogi

dengan mekanika partikel, data awal dari φ dan turunan waktunya dapat ditentukan

secara sembarang, dan nilai awal ini menentukan evolusi selanjutnya. Dengan cara

demikian, hal ini juga menunjukkan bahwa ada sebuah kelas yang besar dari solusi

terhadap persamaan Klein-Gordon, karena ada banyak solusi analitik dari persamaan

(2.1.3), yang berupa pasangan dari fungsi analitik sembarang dari variabel spasial xα .

Bagaimanapun, analisis Cauchy-Kowalewski tidak cukup untuk

menunjukkan bahwa formalisme nilai awal dari teori Klein-Gordon adalah well

posed. Pertama, analisis tidak menentukan ketergantungan kontinu dari solusi pada

data awal dalam pengertian yang sesuai. Lebih tepatnya, sebuah topologi dapat

didefinisikan dari ruang data awal yang membuat dua fungsi “tertutup” jika hal itu

dan bilangan berhingga dari turunan-turunannya adalah tertutup. Sebagai contoh,

“jarak” dari dua fungsi 1f dan 2f dapat didefinisikan pada 0t t= permukaan data

awal , dengan menjumlahkan least upper bounds (l.u.b.) dari besarnya (0Σ 1f - 2f )

dan semua turunan terhadap orde k,

1 2 3

31 20 01 2 3

1 21 2 1 2

, ,

( )( ) ( ). . . . . .k k k

kk kx xk k k

f ff f f x f xx y zl u b l u b+ +

∈Σ ∈Σ

∂ −− = − +

∂ ∂ ∂∑ … (2.1.5)

dengan 1 2 3k k k k+ + ≤ . Dari hal ini, bola terbuka (open balls) dapat diambil dalam

norm ini sebagai basis dari topologi. Dalam bagian compact dari ruang-waktu,

topologi yang serupa dapat didefinisikan terhadap solusi. Teorema Cauchy-

Kowalewski tidak memberikan jaminan bahwa untuk pilihan topologi yang sesuai

8

pada ruang dengan data awal dan ruang solusi, pemetaan data awal analitik ke solusi

analitik adalah kontinu.

Selanjutnya, analisis Cauchy-Kowalewski tidak dapat menjelaskan masalah

causal propagation (perambatan kausal) dari medan. Sebuah fungsi analitik

ditentukan secara unik oleh nilainya dan turunannya pada suatu titik, dan dalam hal

khusus ditentukan secara unik oleh nilainya dalam lingkungan terbuka kecil secara

sembarang dari suatu titik. Hal ini mengimplikasikan bahwa dalam kasus analitik jika

data awal diubah dalam bagian terbuka sembarang U dari permukaan awal , maka

kenyataannya data awal harus diubah untuk seluruh hypersurface . Oleh karena

itu, untuk menganalisis masalah causal propagation harus ditinjau data non-analitik.

Sebagaimana demikian, analisis Cauchy-Kowalewski tidak membuktikan ada sebuah

solusi untuk data awal C , non-analitik.

0Σ

0Σ

∞

Untuk menunjukkan formalisme nilai awal pada teori Klein-Gordon adalah

well posed, dibutuhkan metode lain selain analisis Cauchy-Kowalewski. Tinjau

medan Klein-Gordon bermassa dalam ruang-waktu Minkowski, akan dibuktikan

bahwa formalisme nilai awal untuk hal ini adalah well posed. Selanjutnya,

pendekatan ini akan digunakan untuk memperoleh hasil yang lebih umum.

Ambil φ sebuah solusi smooth persamaan (2.1.2). Maka tensor 2 momentum-

energi-stress dari φ ,adalah

2 21 (2

cab a b ab cT )mφ φ η φ φ φ= ∂ ∂ − ∂ ∂ + … (2.1.6)

yang konservatif, memenuhi

… (2.1.7) 0aabT∂ =

2 Untuk penggunaan notasi indeks, bisa dilihat pada lampiran C.

9

Secara konsekuen, ambil ( / )a tξ a= ∂ ∂ yang menyatakan medan Killing 3 translasi

waktu yang ortogonal terhadap 0t t= hypersurface 0Σ , maka akan diperoleh

… (2.1.8) ( )a babT ξ∂ 0=

[Pada kenyataan, untuk tiap medan Killing aξ dan konservatif, yang simetrik

dalam ruang-waktu lengkung akan memenuhi

abT

( )a b a bab abT Tξ ξ 0∇ = ∇ = ] Ambil

adalah 3-D bola tertutup pada hypersurface awal

0S

0Σ . Ambil 1Σ yang menyatakan

hypersurface (dengan ), dan ambil 1t t= 1t t> 0 10( ) ( )K D S J+ −= ∩ Σ dan

. Akhirnya, ambil yang menyatakan “null portion” dari batas K

(lihat gambar 2.1.1). Integralkan persamaan (2.1.8) terhadap K dan gunakan hukum

Gauss, maka diperoleh

1 0( )S D S+= ∩ 1Σ 2S

1 2 0

a b a b a bab ab ab

S S S

T T l Tξ ξ ξ ξ+ =∫ ∫ ∫ ξ … (2.1.9)

Gambar 2.1 Sebuah ruang-waktu yang menunjukkan bagian K yang berasal dari

persamaan (2.1.8) yang diintegrasikan untuk memperoleh persamaan (2.1.9).

3 Medan Killing adalah medan yang memenuhi persamaan 0µ ν ν µξ ξ∇ +∇ = yang menyatakan pemetaan isometris yaitu, pemetaan ruang-waktu ke dalam dirinya sendiri.

10

dengan adalah future directed yang normal terhadap . Meskipun, ini tidak sulit

untuk membuktikan dari persamaan (2.1.6) bahwa memenuhi kondisi energi

dominant, mis., jika adalah vektor timelike future directed, maka adalah

sebuah vektor null atau timelike future directed. Akibatnya, diperoleh.

Sebab itu, suku kedua dari bagian kiri persamaan (2.1.9) adalah non-negatif, maka

persamaan (2.1.9) bisa dituliskan dalam bentuk

al 2S

abT

av a bbT v−

0a babT l ξ ≥

1 0

2 22 22 2 2 2

S S

m mt tφ φφ φ φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ∇ + ≤ + ∇ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ φ … (2.1.10)

Persamaan (2.1.10) merupakan persamaan kunci untuk membuktikan adanya

formalisme nilai awal yang well posed. Pertama, persamaan ini menunjukkan ada

minimal satu solusi dalam dengan data awal yang diberikan ( ,0( )D S+ / )tφ φ∂ ∂

dalam . Yaitu, jika 0S 1φ dan 2φ keduanya adalah fungsi C2 yang memenuhi

persamaan (2.1.2) dengan data awal smooth yang sama (tidak perlu analitik), maka

perbedaannya, 2 1ψ φ φ= − juga adalah solusi C2 dari persamaan (2.1.2) dengan data

awal yang meluruh. Sebab itu, untuk ψ , bagian kanan persamaan (2.1.10) meluruh,

yang mengimplikasikan bahwa 0ψ = (asumsikan 0m ≠ ) pada dan (karena 1S 1Σ

sembarang) 0ψ = pada . [jika 0( )D S+ 0m = , maka 0φ∇ = dan / t 0ψ∂ ∂ = pada

dan 0( )D S+ 0ψ = pada , yang juga mengimplikasikan bahwa 0S 0ψ = melalui

. Dengan cara yang sama, 0( )D S+ ψ juga meluruh melalui ]. Hasil ini

menunjukkan bahwa persyaratan kedua dari formalisme nilai awal well posed telah

terpenuhi: sebuah variasi data awal diluar tidak mempengaruhi solusi dalam

.

0( )D S−

0S

0( )D S

Persamaan (2.1.10) juga menunjukkan bahwa solusi-solusi bergantung secara

kontinu pada data awal. Langkah-langkah yang dipakai untuk membuktikan

ketergantungan kontinu ini adalah sebagai berikut. Untuk kesederhanaan, pembatasan

11

hanya ditinjau terlebih dahulu pada kasus bermassa 0m ≠ . Pertama, dengan

mendiferensiasikan persamaan (2.1.3) terhadap koordinat xµ , dapat dilihat bahwa

turunan parsial dari φ juga memenuhi persamaan Klein-Gordon. Sehingga, dari hal

ini bisa diperoleh ketaksamaan (inequalities) dari bentuk (2.1.10) yang terbatas pada

integral kuadrat dari ruang dan waktu dengan turunan yang lebih tinggi pada ,

berkaitan dengan integral kuadrat pada . Ketaksamaan tersebut dapat ditulis dalam

bentuk

1S

0S

1 0 0

1, 2,, ,/k kS k S k S k

C C tφ φ φ, 1−

≤ + ∂ ∂ … (2.1.11)

dengan norm 1 ,S k

φ dan 0 ,S k

φ didefinisikan sebagai

1

1

22 2

,..... ik

S kiS

φ φ⎧= + + ∂⎨⎩ ⎭

∑∫ φ ⎫⎬ … (2.1.12)

0

0

22 2

,..... ik

S kiS

Dφ φ⎧= + +⎨⎩ ⎭

∑∫ φ ⎫⎬ … (2.1.13)

dengan menyatakan sebuah turunan parsial orde-k terhadap koordinat ruang dan

waktu dan menyatakan sebuah turunan parsial orde-k hanya terhadap koordinat

ruang. (norm dari (2.1.12) dan (2.1.13) disebut sebagai norm Sobolev). Dengan

mengintegrasikan persamaan (2.1.11) terhadap t

ik∂

ikD

1 dari t0 ke nilai maksimum dengan

, bisa memperoleh 0( ) 0tD S+ ∩Σ ≠

0 0

1, 2,( ), ,' ' /k kD S k S k S k

C C tφ φ φ+ , 1−≤ + ∂ ∂ … (2.1.14)

Untuk memperoleh hasil utama, langkah selanjutnya adalah sebagai berikut.

Ambil A adalah subset dari yang memenuhi syarat kerucut interior uniform, yang

didefinisikan sebagai: ada sebuah kerucut dari tinggi tetap h dan sudut vertex tetap

n

θ

sehingga untuk tiap kerucut ini dapat dipetakan secara isometris dalam A

dengan vertex pada p. Maka, untuk , norm

p A∈

/ 2k n>,A k

dari fungsi smooth

12

(persamaan [2.1.12] dengan integrasi bagian diambil pada A) membatasi nilai

numerik dalam A, mis., ada sebuah konstanta C seperti

,. . . ( )

A kx Al u b f x C f

∈≤ … (2.1.15)

Lalu, dengan mengambil 0( )A D S+= dan k = 3, dan menggunakan persamaan

(2.1.14) dan (2.1.15), bisa memperoleh

0 00

1 2,3 ,2( ). . . '' '' /

Sx D Sl u b C C tφ φ φ

+∈≤ + ∂ ∂

S … (2.1.16)

Dengan cara yang sama, nilai numerik dari turunan parsial orde-m dari φ adalah

terbatas dalam suku-suku data awal dengan

00

1, 2,,3 ,2( ). . . '' '' /m

m mS m S mx D Sl u b C C tφ φ φ

+ 0+ +∈∂ ≤ + ∂ ∂ … (2.1.17)

Tipe terbatas yang sama juga berlaku bagi 0( )x D S−∈ .

Persamaan (2.1.16) dan (2.1.17) menyatakan ketergantungan kontinu dari φ

dan turunannya pada data awal dalam bentuk yang strong sense. Lebih tepatnya, jika

sebuah topologi didefinisikan pada solusi-solusi dalam lewat sebuah norm

dari bentuk persamaan (2.1.5) dengan

0( )D S

3k m= + , maka persamaan (2.1.17)

menyatakan pemetaan linear dari data awal ke solusi adalah terbatas dan kontinu.

Secara umum, pemetaan dari data awal pada 0Σ ke solusi-solusi dalam bagian

compact tetap dari ruang-waktu adalah kontinu dalam topologi ini.

Akhirnya, kekontinuan di atas digunakan untuk membuktikan kehadiran dari

sebuah solusi smooth φ untuk data awal smooth sembarang ( , / )tφ φ∂ ∂ pada . Hal

ini diperoleh dengan pemilihan sebuah rangkaian (sequence) dari {( , i

= 1,2,…, dari data awal analitik pada

0Σ

, / )}m mi i tφ φ∂ ∂

0Σ sehingga fungsi dari rangkaian ini dan

turunan spasial menjadi orde (3 + m) konvergen secara uniform pada ( , / )tφ φ∂ ∂

dalam . Dan teorema 2.1.1 menunjukkan bahwa ada sebuah solusi 0S miφ dengan data

awal pada {( , / )}m mi i tφ φ∂ ∂ 0Σ . Meskipun, sesuai dengan persamaan (2.1.17), { m

iφ }

13

dan turunan-m pertama harus konvergen secara uniform dalam ke sebuah

fungsi

0( )D S

mφ dan turunan-m pertamanya. Dengan memilih , pembuktian dapat

dilakukan dengan mudah bahwa limit fungsi

2m ≥

mφ harus memenuhi persamaan (2.1.3).

Maka, untuk semua , sebuah solusi C2m ≥ m bisa diperoleh dalam . Karena 0( )D S φ

adalah Cm untuk , maka ada sebuah solusi C2m ≥ ∞ yang melalui . Karena S0( )D S 0

adalah sembarang, maka solusi-solusi berlaku untuk semua . Maka, formalisme

nilai awal yang well posed telah dibangun untuk medan Klein-Gordon bermassa

dalam ruang-waktu Minkowski.

4

Hasil di atas untuk medan Klein-gordon dapat digeneralisasi secara signifikan.

Persamaan Klein-Gordon (2.1.2) dalam dapat digantikan dengan persamaan pada

sebuah manifold M dalam bentuk

4

… (2.1.18) 0ab aa b ag A B Cφ φ φ∇ ∇ + ∇ + + =

dengan merupakan operator turunan, dan Aa∇ a adalah sebuah medan vektor smooth

sembarang, B dan C adalah fungsi smooth sembarang, dan gab adalah metrik Lorentz

smooth sembarang sehingga ruang-waktu (M, gab) adalah hiperbolik secara global.

(sebuah persamaan diferensial parsial linear orde kedua dikatakan hiperbolik jika dan

hanya jika memenuhi persamaan [2.1.18]) Persamaan ini akan memiliki sebuah

formalisme nilai awal yang well posed untuk data awal ( ), aanφ φ∇ pada tiap

permukaan Cauchy spacelike Σ yang smooth, dengan adalah unit normal pada an Σ .

Hasil ini bisa digeneralisasi untuk semua sistem persamaan, yang menghasilkan

teorema sebagai berikut. (Pembuktian dapat dilihat pada Hawking and Ellis 1973 [8])

Teorema 2.1.2. Ambil (M, gab) adalah ruang-waktu hiperbolik secara global (atau

sebuah bagian hiperbolik secara global dari ruang-waktu sembarang) dan ambil

adalah operator turunan. Ambil a∇ Σ adalah smooth, permukaan Cauchy

14

spacelike. Tinjau sistem n persamaan linear untuk n fungsi tak-diketahui

1,....., nφ φ dalam bentuk

… (2.1.19) ( ) 0ab aa b i ij a j ij j i

j jg A Bφ φ φ∇ ∇ + ∇ + + =∑ ∑ C

Persamaan ini dianggap sebagai sebuah sistem hiperbolik orde kedua linear,

diagonal. Maka persamaan (2.1.19) adalah sebuah formalisme nilai awal yang

well posed pada . Lebih tepatnya, jika data awal smooth sembarang, Σ

( ), ai an iφ φ∇ diberikan untuk i = 1,…..,n pada Σ maka ada sebuah solusi yang

unik dari persamaan (2.1.19) yang melalui M. Solusi-solusi dari hal di atas

bergantung secara kontinu pada data awal seperti yang diterangkan di atas untuk

persamaan Klein-gordon dalam ruang-waktu flat. Kemudian, variasi dari data

awal yang diluar sebuah subset tertutup, S, dari Σ tidak mempengaruhi solusi

dalam D(S).

Akhirnya, generalisasi dari teorema 2.1.2 dapat dibahas untuk bentuk sistem

persamaan nonlinear. Untuk sebuah sistem n persamaan diferensial parsial orde-

kedua untuk fungsi tak-diketahui 1,....., nφ φ pada manifold M merupakan sebuah

sistem hiperbolik orde kedua quasilinear, diagonal, jika ini dapat dituliskan dalam

bentuk sebagai berikut:

( ; ; ) ( ; ; )abj c j a b i i j c jg x F xφ φ φ φ∇ ∇ ∇ = ∇ φ … (2.1.20)

dengan merupakan operator turunan, ga∇ ab adalah metrik Lorentz smooth, dan tiap

Fi adalah fungsi smooth dari variabelnya itu sendiri. (persamaan [2.1.20] berbeda dari

persamaan [2.1.19], karena gab diperbolehkan untuk bergantung pada variabel tak-

diketahui dan turunan pertamanya, dan Fi boleh memiliki hubungan nonlinear dari

variabel-variabel tersebut) Untuk persamaan dengan tipe ini, maka ada teorema

berikut ini yang berlaku [oleh Leray (1952)]:

15

Teorema 2.1.3. Ambil 0 1 0( ) ,....., ( )nφ φ adalah solusi dari sistem hiperbolik quasilinear

(2.1.20) pada sebuah manifold M dan ambil 0( ) ( ;( ) ; ( ) )ab abj c jg g x φ φ= ∇ .

Anggap (M, ) adalah hiperbolik secara global. Ambil adalah sebuah

permukaan Cauchy spacelike yang smooth untuk (M, ). Maka, formalisme

nilai awal dari persamaan (2.1.20) adalah well posed pada dengan langkah

berikut: untuk data awal pada

0( )abg Σ

0( )abg

Σ

Σ dengan cukup tertutup pada data awal untuk

0 1 0( ) ,....., ( )nφ φ , maka ada sebuah lingkungan terbuka O dari sehingga

persamaan (2.1,20) mempunyai sebuah solusi

Σ

1,....., nφ φ dalam O dan

( , ( ; ; ))ab j c jO g x φ φ∇ adalah hiperbolik secara global. Solusi adalah unik dalam O

dan menjalar secara kausal dalam pengertian bahwa jika data awal 1' ,....., 'nφ φ

tergantung dengan 1,....., nφ φ pada sebuah subset, S, dari Σ , maka solusi –solusi

tergantung pada . Yang akhirnya, solusi-solusi bergantung secara

kontinu pada data awal dalam pengertian seperti yang dijelaskan oleh medan

Klein-Gordon.

( )O D S+∩

(Bukti dari konvergensi teorema 2.1.3 dan sifat-sifat lainnya dapat ditemukan dalam

garis besar di Hawking and Ellis 1973 [8])

2.2 Formalisme Nilai Awal untuk Relativitas Umum Dalam bagian ini, formalisme nilai awal untuk relativitas umum akan

dibuktikan bahwa formalismenya adalah well posed. Pembuktian ini dilakukan

dengan mengubah persamaan Einstein dalam bentuk (2.1.20) selama teorema 2.1.3

bisa digunakan. Pada dasarnya, analisis dari persamaan Einstein berbeda dengan

medan Klein-Gordon karena ada kendala nilai awal dimana diperlukan pemilihan

koordinat (pemilihan gauge), sehingga persamaan Einstein berupa bentuk yang

16

diinginkan. Dari pemilihan koordinat ini, formalisme nilai awal untuk relativitas

umum memiliki analogi dengan formalisme nilai awal untuk persamaan Maxwell.

Analogi bisa dilihat dari tinjauan berikut ini. Tinjau persamaan Maxwell

vakum untuk vektor potensial Aa dalam ruang-waktu Minkowski dalam bentuk

( 0aa b b aA A∂ ∂ −∂ =)

0

… (2.2.1)

Jika persamaan (2.2.1) dibandingkan dengan persamaan (2.1.19), maka suatu masalah

serius akan ditemukan karena persamaan (2.2.1) tidak hadir dalam bentuk formalisme

nilai awal yang well posed. Tentunya, pemilihan sebuah permukaan dari waktu

awal konstan , sebagai hypersurface awal, akan mengakibatkan persamaan

(2.2.1) tidak berisi lagi turunan waktu kedua. Dalam notasi vektor, persamaan ini bisa

dituliskan

0Σ

0t t=

…

(2.2.2)

( )20 /A A t∇ −∇⋅ ∂ ∂ =

atau

… (2.2.3) 0E∇⋅ =

dengan medan listrik E , didefinisikan sebagai

… (2.2.4) 0 /E A A= ∇ −∂ ∂t

bn

dalam notasi indeks,

… (2.2.5) ( ) ba a b b a abE A A n F= ∂ −∂ =

dengan na adalah unit normal terhadap 0Σ . Maka, persamaan (2.2.2) (atau ekuivalen

dengan persamaan [2.2.3]) memberikan kendala nilai awal pada data awal

( , / )A A tµ µ∂ ∂ . Data awal yang gagal memenuhi (2.2.2) tidak akan mungkin

menghasilkan solusi dari persamaan Maxwell.

Sisa dari tiga komponen persamaan Maxwell berisi turunan waktu kedua dari

komponen spasial Aa, sehingga solusi untuk 2 / 2A tµ∂ ∂ untuk 1, 2,3µ = diperoleh

17

dengan cara menggunanakan teorema Cauchy-Kowalewski 2.1.1. Dengan

mendiferensiasikan kendala nilai awal (2.2.2), maka suku 20 / 2A t∂ ∂ akan diperoleh

yang sesuai dengan formalisme nilai awal, setidaknya dalam pengertian sesuai

teorema 2.1.1. Untuk hal tersebut, dapat ditinjau identitas

… (2.2.6) ( 0b aa b b aA A∂ ∂ ∂ −∂ =)

yang menunjukkan turunan waktu persamaan (2.2.2) meluruh secara identitas jika

komponen spasial persamaan Maxwell dipenuhi. Sehingga, persamaan Maxwell yang

lengkap ekuivalen dengan komponen spasial dari persamaan Maxwell bersamaan

dengan kendala nilai awal (2.2.2). Kemudian, persamaan (2.2.1) adalah sistem tak

dapat ditentukan untuk Aa. Meskipun sesuai dengan teorema 2.1.1, pada kasus

analitik penentuan A0 secara sembarang untuk ruang-waktu akan tetap diperoleh

solusinya.

Untuk membahas karakter fisisnya, dapat dilakukan pemilihan gauge. Dua

vektor potensial yang berbeda dalam gradiennya, aχ∂ dari fungsi χ ,

merepresentasikan medan elektromagentik yang fisisnya sama. Pembuktian dari nilai

awal Aµ dan /A tµ∂ ∂ menentukan solusi sesuai gauge secara unik, dan secara fisis

persamaan Maxwell mengakui formalisme nilai awal yang well posed.

Cara langsung untuk pembuktikannya adalah dengan pemilihan gauge yang

cocok untuk Aa dan membuktikan persamaan Maxwell untuk Aa dalam gauge ini

berbentuk (2.1.19), sehingga menghasilkan formalisme nilai awal yang well posed.

Gauge Lorentz dipilih, yaitu

… (2.2.7) 0aaA∂ =

Persamaan Maxwell dalam gauge ini adalah

… (2.2.8) 0aa bA∂ ∂ =

Jika persamaan (2.2.7) dan (2.2.8) ditinjau terhadap (2.2.1), maka hasil yang

diperoleh menunjukkan bahwa secara fisis persamaan tersebut ekuivalen. Meskipun,

18

solusi (2.2.1) bisa berbeda dengan (2.2.7) dan (2.2.8) karena adanya transformasi

gauge.

Dengan pemberian data awal ( ), /A A tµ µ∂ ∂ , transformasi gauge dilakukan

sehingga pada . Maka, persamaan (2.2.8) mengimplikasikan 0aaA∂ = 0Σ

… (2.2.9) ( ) ( ) 0a b b aa b a bA A∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ =

dan kemudian, dengan menggunakan teorema 2.1.2, jika persamaan (2.2.8) dapat

dipenuhi dimanapun, maka syarat gauge (2.2.7) juga akan dipenuhi dimanapun jika

dan hanya jika ( ) /b bb b 0A A t∂ = ∂ ∂ ∂ = pada 0Σ . Dengan 0a

aA∂ = pada , dan

penggunaan persamaan (2.2.8), dapat dilihat bahwa syarat awal

adalah ekuivalen dengan kendala nilai awal, persamaan (2.2.2). Kemudian, jika

pada , maka untuk data awal yang ditransformasi gauge, persamaan

(2.2.7) akan memenuhi untuk ruang-waktu jika persamaan (2.2.8) berlaku. Kemudian,

penyelesaian solusi hanya dilakukan pada persamaan (2.2.8). Penyelesaiaan ini bisa

dilakukan karena (2.2.8) memiliki bentuk (2.1.19) yang merupakan persamaan untuk

formalisme nilai awal yang well posed yang telah dibangun. Dengan menggunakan

teorema 2.1.2, maka selalu ada sebuah solusi yang unik dari persamaan (2.2.8)

dengan diberikan nilai (baru) data awal. Selanjutnya, solusi ini bergantung secara

kontinu pada data awal dan memiliki sifat domain ketergantungan yang diinginkan.

0Σ

( ) / 0bbA t∂ ∂ ∂ =

0E∇⋅ = 0Σ

Untuk memperoleh formalisme yang lebih fisis, dapat dirumuskan kembali

dengan cara sebagai berikut. Ambil ,E B yang ditentukan sebagai medan vektor

smooth secara sembarang pada 0Σ . Maka, selalu ada solusi yang unik, Fab dari

persamaan Maxwell dengan data awal. Selanjutnya, Fab bergantung secara kontinu

pada data awal ,E B , dan Fab pada 0( )p J +∈ Σ bergantung hanya pada data awal

. Hasil ini dapat dibuktikan dengan memperkenalkan sebuah vektor

potensial, A

0( )J p− ∩Σ

a, dengan data awal pada 0Σ yang memenuhi 0aaA∂ = dan mereproduksi

19

nilai yang diberikan dari ,E B pada 0Σ . (Pada pemilihan sederhana secara khusus

adalah mengambil A0 = 0, /A t E∂ ∂ = − , pemilihan A untuk solusi A B∇× = , dan

ambil 0 /A t∂ ∂ = ∇⋅ A ) Akhirnya, uniqueness dapat dibuktikan dengan memeriksa dua

solusi yang berbeda, Aa dan Aa’ dari persamaan Maxwell yang mereproduksi ,E B

yang diberikan, dengan membawa sebuah transformasi gauge ke dalam solusi

persamaan (2.2.8) dengan data awal yang sama. Kemudian, persamaan Maxwell

dalam ruang-waktu Minkowski secara fisis memiliki formalisme nilai awal yang well

posed. (Hasil ini dapat digeneralisasi untuk ruang-waktu lengkung)

Untuk relativitas umum, tinjau persamaan Einstein dalam vakum Gab = 0.

Masalah pertama dalam formalisme nilai awal pada teori ini adalah penentuan evolusi

kuantitas yang bergantung waktu dalam ruang-waktu. Meskipun, relativitas umum

sendiri memecahkan persoalan ruang-waktu itu sendiri. Apa yang seharusnya menjadi

kuantitas untuk penentuan formalisme secara awal dalam relativitas umum supaya

struktur ruang-waktu ditentukan?

Agar jawaban pertanyaan di atas dapat ditentukan, dapat ditinjau beberapa hal

sebagai berikut. Ambil ( , )abM g adalah ruang-waktu hiperbolik secara global. Sesuai

dengan teorema globally hyperbolic spacetime, ( , )abM g dapat di-foliate dengan

permukaan Cauchy, , diparameterisasi dengan fungsi waktu global, t. Ambil ntΣa

adalah medan vektor unit normal terhadap hypersurface, tΣ . Maka metrik ruang-

waktu gab (dengan signature metrik adalah -, +, +, +) menginduksikan metrik spasial

hab pada tiap dengan rumus tΣ

ab ab a bh g n n= + ... (2.2.10a)

atau dalam bentuk matriks bisa dituliskan seperti

2

( )N N N N

gN h

γγ β

µνα αβ

⎛ ⎞− += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

... (2.2.11b)

20

... (2.2.11c) 2 2

2 2( )

N N Ng

N N h N N N

βµν

α αβ α β

− −

− −

⎛ ⎞−= ⎜

−⎝ ⎠⎟

dengan indeks pada ruang tiga dimensi adalah , , 1, 2,3α β γ = dan mendefinisikan

fungsi lapse N, dan vektor shift Na seperti berikut ini. Ambil ta adalah medan vektor

M yang memenuhi . Dengan demikian, t1aat t∇ = a dapat didekomposisi menjadi

bagian normal dan tangensial pada tΣ dengan mendefenisikan fungsi lapse N, dan

vektor shift Na, terhadap ta oleh

( 1a aa aN t n n t )−= − = ∇ … (2.2.11)

… (2.2.12) ba abN h t=

yang dapat digambarkan seperti gambar 2.2.

Gambar 2.2 Diagram Ruang-waktu mengillustrasikan definisi fungsi lapse, N, dan

vektor shift Na.

Interpretasi terhadap ta adalah sebagai “aliran waktu” yang melalui ruang-

waktu, seperti kita “bergerak maju terhadap waktu” dengan waktu parameter t mulai

dari t = 0 permukaan , bergerak ke permukaan 0Σ tΣ . Efek “bergerak maju terhadap

waktu”, bisa dianggap sebagai perubahan metrik spasial pada manifold 3-D abstrak

21

dari hab(0) ke hab(t). Maka, hal ini dapat dipandang bahwa ruang-waktu hiperbolik

secara global ( , )abM g sebagai representasi pengembangan waktu dari metrik

Riemannian pada manifold 3-D tetap. Dengan kata lain, metrik spasial pada

hypersurface 3-D merupakan variabel dinamik dalam relativitas umum.

Keperluan sekarang adalah data awal yang cocok berisi metrik Riemannian

hab dan “turunan waktu” pada manifold 3-D Σ . Untuk meninjau data awal untuk

relativitas umum ini, dapat dilihat bahwa ada kurvatur ekstrinsik yang berada pada

permukaan tertanam dalam ruang-waktu. Kurvatur ekstrinsik KΣ ab ini adalah sebuah

gagasan well-defined untuk turunan waktu dari metrik spasial, yang bisa dituliskan

sebagai c c

ab a b a c b a c bK h hξ ξ≡ ∇ = ∇ = ∇ n … (2.2.13)

dengan aξ adalah tangen unit terhadap kesesuaian ortogonal geodesik timelike

terhadap . Kemudian, nΣ a adalah medan vektor timelike unit yang normal terhadap

, maka turunan sepanjang arah tangensial terhadap Σ Σ harus sesuai dengan aξ .

Gambar 2.3 mengillustrasikan interpretasi Kab dengan syarat-syarat “bending” dari Σ

dalam ruang-waktu.

Gambar 2.3 Diagram ruang-waktu mengillustrasikan gagasan kurvatur ekstrinsik dari

hypersurface . Garis merah pada titik P merepresentasi pemindahan parallel (parallel

transport) dari vektor normal n

Σa, pada Q sepanjang sebuah geodesik yang menghubungi Q ke

P. Kegagalan vektor ini bertepatan dengan na pada P berkaitan dengan “bending” Σ dalam

22

ruang-waktu yang tertanam. Rumus cab a c bK h n= ∇ mengukur kegagalan dari kedua vektor

pada P untuk bertepatan pada Q dekat P.

Peninjauan di atas memperkirakan bahwa dalam relativitas umum, data awal

yang cukup harus berisi data tentang ( ), ,ab abh KΣ . Ini menunjukkan bahwa dengan

diberikan data awal-untuk menentukan kendala nilai awal-ada ruang-waktu

hiperbolik secara global ( , ab )M g yang memenuhi persamaan Einstein yang memiliki

sebuah permukaan Cauchy difeomorfis terhadap Σ yang berisi metrik induksi dan

kurvatur ekstrinsik induksi. Selanjutnya, solusi ini bergantung secara kontinu pada

data awal, yang memenuhi sifat domain ketergantungan, dan unik dalam pengertian

di bawah ini.

Pertama, hubungan antara metrik ruang-waktu, operator turunan dan kurvatur,

yang merupakan kuantitas-kuantitas berkaitan yang menginduksikan sebuah spacelike

hypersurface Σ tertanam digunakan dalam M. Seperti pada persamaan (2.2.10),

metrik gab menginduksikan metrik Riemannian hab pada Σ . Analisis bisa dilakukan

dengan menggunakan teorema metrik gab yang menyatakan bahwa

Teorema 2.2.1. Ambil gab adalah metrik. Maka ada sebuah operator turunan unik a∇

yang memenuhi . 0a abg∇ =

Maka hab secara unik ditentukan oleh operator turunan (3-D) pada , yang

dinotasikan sebagai D

Σ

a. Selanjutnya, operator turunan Da pada Σ memberikan tensor

kurvatur (3) dabcR pada Σ . Sehingga rumus Da dan (3) d

abcR memiliki hubungan dengan

kuantitas dalam 4-D.

Ambil adalah vektor pada titik av p∈Σ . Vektor bisa didekomposisi

secara unik terhadap komponen-komponen tangen dan tegak lurus terhadap

av

Σ

dengan

23

… (2.2.14) ||a av v n v⊥= + a

dengan na adalah normal unit terhadap Σ dan || 0aav n = . Jika maka 0v⊥ = ||

a av v= ,

sehingga bisa dianggap adalah vektor yang terletak dalam ruang tangen terhadap

pada p. Kondisi adalah ekuivalen terhadap

av

Σ 0v⊥ =

… (2.2.15) a abv h v= b

1

k

l

dengan hab diberikan oleh persamaan (2.2.10) dan indeks pertama dari hab dinaikkan

oleh gab. Secara umum, untuk tensor ruang-waktu bisa dituliskan 1

1

......

k

l

a ab bT

… (2.2.16) 1 11 1

1 1 1

... ...... ...... ...k k l

l k l

a a a d c ca db b c c b b d dT h h h h T=

Hal di atas menyatakan bahwa hab memiliki peranan sebagai operator proyeksi dari

ruang tangen terhadap M pada p ke ruang tangen terhadap Σ pada p.

Ambil adalah medan tensor dalam manifold Σ . Jika

dipandang sebagai tensor ruang-waktu yang memenuhi persamaan (2.2.16),

pendefinisian tetap tidak dapat dilakukan karena diperlukan informasi

berubahnya ketika bergerak keluar dari

1

1

......

k

l

a ab bT 1

1

......

k

l

a ab bT

1

1

......

k

l

a ac bT∇ b

1

1

......

k

l

a ab bT Σ . Meskipun,

adalah well defined karena untuk kuantitas ini, tidak ada turunan yang diambil

berarah keluar dari . Dengan kata lain, proyeksi dilakukan oleh untuk

memperoleh medan tensor dalam

1

1

......

k

l

a acd c b bh T∇

Σ cdh

Σ . Kemudian, hasil berikutnya adalah

Lemma 2.2.2. Ambil ( , ab )M g adalah ruang-waktu dan ambil adalah

hypersurface spacelike smooth dalam M. Ambil h

Σ

ab menyatakan metrik induksi

pada , persamaan (2.2.10) dan ambil DΣ a menyatakan operator turunan yang

berkaitan dengan hab. Maka Da diberikan oleh rumus

… (2.2.17) 1 11 1

1 1 1

... ...... ...... ...k k l

l k l

a a a e d da e fc b b d d b b c f eD T h h h h h T= ∇

1

k

le

Dengan adalah operator turunan yang berkaitan dengan ga∇ ab.

24

Dari lemma 2.2.2, Da memenuhi definisi dari operator turunan yang bisa

dituliskan dalam bentuk

( )d e fa bc a b c d ef e fD h h h h g n n= ∇ + 0= … (2.2.18)

karena dan 0d efg∇ = 0babh n = . Maka Da adalah operator turunan hab yang unik.

Dengan menggunakan persamaan (2.2.17), penurunan dapat dilakukan untuk

hubungan antara kurvatur (3) dabcR dari Σ dengan kurvatur ruang-waktu d

abcR . Jika

aω adalah vektor dual pada Σ , bisa dituliskan

[ ] [ ] (3)4 3, ,d d

a b c abc d a b c abc dD DR D D Rω ω ω− → −∇ ∇ = ⎯⎯⎯⎯→ = ω

(3) da b c b a c abc dD D D D Rω ω− = ω … (2.2.19)

dan

( )

( )

d ea b c a b c d e

f g k d ea b c f g k d e

D D D h h

h h h h h

ω ω

ω

= ∇

= ∇ ∇

f d e e d

a b c a b c f d e c ab d e

d eb ac d e

D D h h h h K n

h K n

ω ω ω

ω

= ∇ ∇ + ∇

+ ∇ … (2.2.20)

Untuk menyederhanakan persamaan di atas dapat digunakan persamaan (2.2.13)

… (2.2.21) ( )b d e b d e e ea c b d a c b d d ach h h h h g n n K n∇ = ∇ + =

Jika dilihat pada suku kedua dari persamaan (2.2.20), yaitu suku e dc ab d eh K n ω∇ , yang

menyatakan bahwa antisimetrik terjadi untuk a dan b, maka suku ini akan menghilang

(sama dengan nol) ketika dikurangi a b cD D ω dengan b a cD D ω karena ab baK K= .

Sedangkan suku ketiga dari persamaan (2.2.20), yaitu suku d cb dh n eω∇ , bisa

dievaluasi dalam bentuk kurvatur ekstrinsik sebagai berikut.

( )d e d e d eb d e b d e b e dh n h n h nω ω ω∇ = ∇ − ∇

karena vektor dual hanya berada dalam ruang tangen, maka suku pertama dari

persamaan di atas sama dengan nol. Sehingga persamaan ini bisa dituliskan

d e d e eb d e b e d bh n h n K eω ω∇ = − ∇ = − ω … (2.2.22)

25

Dari hasil di atas, maka persamaan (2.2.20) bisa dituliskan dalam bentuk

f d e ea b c a b c f d e ac b eD D h h h K Kω ω= ∇ ∇ − ω … (2.2.23)

Dengan cara yang sama, b a cD D ω juga bisa diperoleh. Masukkan hasil a b cD D ω dan

b a cD D ω ke dalam persamaan (2.2.19), dan gunakan hubungan kurvatur ruang-waktu

yang berbentuk [ ], da b c abcR dω ω∇ ∇ = . Maka, hubungan antara kurvatur (3) d

abcR

dengan kurvatur ruang-waktu dabcR akan diperoleh, yaitu

… (2.2.24) (3) d f g k d j dabc a b c j fgk ac b bc aR h h h h R K K K K= − + d

Setelah perolehan persamaan (2.2.24), maka yang diperlukan sekarang adalah

hubungan antara kurvatur ekstrinsik yang berada pada Σ dengan kurvatur ruang-

waktu pada M. Kalkulasi yang dilakukan serupa dengan menggunakan operator

turunan Da persamaan (2.2.17) terhadap a a cbb cK h= ∇ n

c

dan Db terhadap

a aa c aK h n= ∇ , sehingga bisa memperoleh

… (2.2.25) a a da b b a cdD K D K R n h− = c

b

Persamaan (2.2.24) dan (2.2.25) diketahui sebagai relasi Gauss-Codacci.

Sekarang, berpaling dari hal di atas, analisis dilakukan untuk persamaan

Einstein vakum. Pemberian data awal ( ),ab abh K pada manifold 3-D dan percobaan

untuk membangun ruang-waktu hiperbolik secara global

Σ

( ), abM g sehingga Σ

adalah permukaan Cauchy, diperlukan sehingga data awal diinduksi. Strateginya

adalah menulis persamaan Einstein untuk komponen metrik, gµν , dalam sistem

koordinat lokal { }yµ dengan koordinat waktu, t, pemilihan permukaan t = 0 yang

bersesuaian dengan Σ (atau setidaknya bagian dari Σ melingkupi sistem koordinat).

Dengan pemilihan persamaan dalam bentuk (2.1.20), dan penggunaan teorema 2.1.3

dapat dibuktikan kehadiran lokal untuk solusi dengan sifat yang diinginkan. Dari

hasil lokal yang diperoleh, sebuah kesimpulan dapat digaris-besarkan secara global,

yang dinyatakan dalam teorema 2.2.3 di bawah.

26

Komponen dari tensor Einstein Gµν dapat diungkapkan dalam turunan-

turunan koordinat dari komponen tensor metrik gµν dengan metode komponen

koordinat. Persamaan Einstein vakum 0abG = menghasilkan sebuah sistem dengan

10 persamaan diferensial parsial orde kedua untuk sepuluh komponen metrik yang tak

diketahui. Selanjutnya, persamaaan-persamaan ini memiliki bentuk kuasilinear; mis.,

linear dalam turunan kedua dari metrik tersebut. Secara eksplisit, dengan simbol

Christoffel

12

g gggx x x

µσ µνρ ρσ νσµν µ ν σ

σ

∂ ∂⎛ ⎞∂Γ = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∑dan tensor Ricci

,

R R

x x

νµρ µνρ

ν

ν ν α ν α νµρ νρ µρ αν νρ αµν µ

ν ν α ν

=

∂ ∂= Γ − Γ + Γ Γ −Γ Γ

∂ ∂

∑

∑ ∑ ∑

atau 4

( )( ),

1 22

R g g gαβ gµν β ν µ α α β µνα β

= − − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂∑ µ ν αβ … (2.2.26)

maka Gµν adalah

( )( ),

, , ,

12

1 221 { }2

G R g R

g g g

g g g g g

µν µν µν

αβ gβ ν µ α α β µν µ ν αβα β

αβ ρσµν β ρ σα α β ρσ

α β ρ σ

= −

= − − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

+ −∂ ∂ + ∂ ∂

∑

∑

… (2.2.27)

Dari persamaan (2.2.27) bisa diperoleh bahwa

0 … (2.2.28) G nνµνν

=∑

T4 Notasi untuk bagian tensor yang simetrik dan antisimetrik secara total dengan contoh, untuk tensor dengan tipe (0,2) dapat ditulis ( ) 1/ 2( )ab ab baT T= + dan [ ] 1/ 2( )ab ab baT T T= −

27

(dengan na adalah normal unit terhadap t = permukaan konstan) tidak berisi turunan

orde kedua dari komponen metrik; mis. komponen dari 0abG = pada t = 0 hanya

bergantung pada data awal. Maka, persamaan ini menyediakan kendala nilai awal,

dalam analogi dengan persamaan (2.2.2) pada kasus elektromagnetik. Persamaan ini

dapat diungkapkan dalam bentuk invarian koordinat dengan menggunakan persamaan

Gauss-Codacci (2.2.24) dan (2.2.25). Dari persamaan (2.2.25), kendala nilai awal

diperoleh, yaitu

… (2.2.29) 0 b c b c aa bc a bc a b b ah G n h R n D K D K= = = − a

)

Dalam penjumlahan, hubungan tensor Gab diperoleh, yaitu

( )(

2

2

ac bd ac a c bd b dabcd abcd

a cac

a cac

R h h R g n n g n n

R R n n

G n n

= + +

= +

=

… (2.2.30)

Lalu, dengan menggunakan persamaan (2.2.24), bisa dikontraksikan persamaan

tersebut untuk b dan d, dan kalikan dengan hac, maka skalar kurvatur (3) R dari metrik

induksi akan diperoleh, yaitu

(3) 22 ( )a b a abab a abR R R n n K K K= + − + … (2.2.31)

Sehingga kendala tambahan diperoleh dalam bentuk

(3) 210 { ( )2

a b a abab a abG n n R K K K= = + − } … (2.2.32)

Persamaan (2.2.29) dan (2.2.32) adalah persamaan kendala nilai awal untuk

relativitas umum yang diungkapkan analog dengan persamaan (2.2.3).

Ada sifat yang analogi dengan kasus elektromagnetik, yang bisa diperoleh

dari persamaan-persamaan di atas, hal ini bisa ditinjau identitas Bianchi. Sebagai

konsekuensi dari identitas Bianchi,

… (2.2.33) 0aabG∇ =

jika kendala (2.2.29) dan (2.2.32) dipenuhi secara awal dan komponen spasial dari

persamaan Einstein dipenuhi dimanapun, maka kendala-kendala juga dipenuhi.

28

Secara global, formalisme nilai awal untuk relativitas umum bisa dituliskan

dalam teorema berikut.

Teorema 2.2.3 Ambil adalah sebuah 3-D Σ C∞ manifold, ambil hab adalah sebuah

metrik Riemannian yang smooth pada Σ dan ambil Kab adalah sebuah medan

tensor simetrik yang smooth pada Σ . Anggap hab dan Kab memenuhi persamaan

kendala (2.2.29) dan (2.2.32). Maka ada sebuah ruang-waktu unik, (M,gC∞ab)

yang disebut sebagai pengembangan Cauchy maksimal dari ( ) yang

memenuhi empat sifat sebagai berikut: (i) (M,g

, ,ab abh KΣ

ab) adalah solusi dari persamaan

Einstein. (ii) (M,gab) adalah hiperbolik secara global dengan permukaan Cauchy

. (iii) Metrik induksi dan kurvatur ekstrinsik dari Σ Σ adalah hab dan Kab. (iv)

Untuk ruang-waktu lainnya yang memenuhi (i)-(iii) dapat dipetakan secara

isometris dalam subset dari (M,gab). Selanjutnya, (M,gab) memenuhi sifat domain

ketergantungan yang diinginkan dalam pengertian berikut ini. Anggap

dan adalah kumpulan data awal dengan

pengembangan maksimal (M,g

( ), ,ab abh KΣ ( )', ' , 'ab abh KΣ

S ⊂ Σ abh K

ab) dan (M’,g’ab). Anggap ada difeomorfisme

antara dan ' yang membawa di S ke di S’.

Maka D(S) dalam ruang-waktu (M,g

S ⊂ Σ ' ( , )ab' '( , )ab abh K

ab) adalah isometris terhadap D(S’) dalam

ruang-waktu (M’,g’ab). Akhirnya, solusi gab pada M bergantung secara kontinu

pada data awal ( , pada )ab abh K Σ .

(Definisi yang tepat untuk topologi pada data awal yang membuat pemetaan ini

kontinu dapat dilihat pada Hawking and Ellis 1973 [8])

BAB III

FORMALISME LAGRANGIAN DAN HAMILTONIAN UNTUK

RELATIVITAS UMUM

Pada dasarnya, persamaan medan Einstein, 8ab abG Tπ= menjelaskan seluruh

dinamika yang ada dalam relativitas umum. Meskipun, seperti dalam fisika klasik

(non-kuantum), dinamika dari sistem bisa diungkapkan dalam formalisme Lagrangian

dan Hamiltonian, maka relativitas umum juga bisa diungkapkan dalam formalisme

ini. Tujuan dari formalisme ini, bisa ditinjau dari penganalisaan kuantum ketika

integral lintasan memerlukan Lagrangian untuk prinsip aksi, dan kuantisasi kanonik

berawal dari bentuk Hamiltonian (seperti dalam teori klasik). Oleh karena itu,

formalisme Lagrangian dan Hamiltonian memegang peranan penting ketika

dilakukan usaha untuk mengkuantisasi gravitasi.

3.1 Formalisme Lagrangian Dari formalisme Lagrangian untuk teori medan, penjabaran dilakukan secara

lebih umum dalam bentuk tensor untuk relativitas umum. Tinjau medan tensor yang

berada dalam manifold M. Medan tersebut dinotasikan dengan ψ . Ambil [ ]S ψ

adalah sebuah fungsional ψ , mis., S adalah sebuah pemetaan dari konfigurasi medan

pada M ke dalam bilangan. Ambil λψ adalah sebuah keluarga parameter satu yang

smooth dari konfigurasi medan yang dimulai dari 0ψ yang memenuhi syarat batas,

0/ |d dλ λψ λ δ= = ψ . Anggap /dS dλ pada 0λ = ada seluruh keluarga parameter satu

yang dimulai dari 0ψ . Selanjutnya, ada sebuah medan tensor yang smooth χ [yang

dual terhadap ψ , mis., jika ψ adalah medan tensor dengan tipe (k,l) maka χ akan

menjadi tipe (l,k)] sehingga untuk keluarga parameter tersebut memenuhi

29

30

M

dSd

χ δψλ= ∫ … (3.1.1)

dengan S adalah diferensiabel fungsional pada 0ψ , dan χ adalah turunan fungsional

dari S dan dinyatakan dengan

0

|Sψ

δχδψ

= … (3.1.2)

Tinjau sebuah fungsional S dalam bentuk

[ ] [ ]M

S Lψ ψ= ∫ … (3.1.3)

dengan L adalah fungsi lokal dari ψ dan bilangan berhingga dari turunannya, mis.,

| ( ( ), ( ),..., ( ))kxL L x x xψ ψ ψ= ∇ ∇ … (3.1.4)

Anggap S adalah diferensiabel fungsional dan konfigurasi medan ψ yang

mengekstrimisasi S,

|Sψ 0δ

δψ= … (3.1.5)

adalah tepat sebuah solusi dari persamaan medan untuk ψ . Maka S adalah sebuah

aksi, dan L adalah rapat Lagrangian.

Untuk relativitas umum, variabel medan adalah metrik ruang-waktu, gab, yang

didefinisikan pada manifold empat dimensi, M. Dalam kasus ini, ada sedikit hasil

kejanggalan dari elemen volume alami yang digunakan dalam integral (3.1.1) dan

(3.1.3) yaitu elemen volume abcdε yang ditentukan dari gab lewat persamaan

… (3.1.6) 1

1

...... ( 1) !n

n

a a sa a nε ε = −

dengan untuk metrik Riemannian dan 0s = 1s = untuk metrik Lorentz. Akibatnya,

elemen volume itu sendiri bergantung pada variabel medan, dan sebab itu variasinya

harus diambil dalam perhitungan turunan fungsional. Cara untuk mengatasi hal ini

adalah dengan mengambil L adalah tensor empat-indeks antisimetrik daripada skalar

mis., untuk kesesuaian elemen volume dalam L . Pada dasarnya, peninjauan dapat

31

dilakukan dengan memperkenalkan suatu volume tetap yaitu pada M dan

mendefinisikan seluruh integral pada M terhadap dibanding

abcde

abcde abcdε . Karena dua

elemen volume pada tiap titik hanya berbeda dari faktor skala, atau

abcd abcdf eε = … (3.1.7)

Dalam tiap basis, komponen yang tidak-menghilang dari memiliki nilai abcde 1± ,

kalkulasi dengan menggunakan persamaan

12... {( 1) det( )}sn gµνε = − = g … (3.1.8)

untuk koordinat basis dan ini berassosiasi dengan elemen volume yaitu

f g= − … (3.1.9)

dengan g menyatakan determinan dari matriks komponen, gµν . Dengan diberikan

elemen volume pada M, dapat didefinisikan rapat tensor yang menjadi

tensor yang diungkapakan dalam bentuk

abcde ......

a bc dT

... ...... ...

a b a bc d c dT gT= − … (3.1.10)

dengan ......

a bc dT adalah tensor dengan nilai tidak bergantung pada pemilihan .

Dengan kata lain, aksi S untuk relativitas umum bebas dari . Dalam hal ini rapat

Lagrangian

abcde

abcde

L adalah rapat skalar. Dengan cara yang sama, dS/dλ bebas dari ,

turunan fungsional dari S harus merupakan rapat tensor.

abcde

Rapat Lagrangian untuk persamaan Einstein vakum adalah

L g= − R … (3.1.11)

dan aksi yang bersangkutan

[ ]abS g Le= ∫ … (3.1.12)

yang disebut aksi Hilbert, dengan e adalah notasi bentuk diferensial untuk elemen

volume. Untuk variasi satu-parameter didefinisikan sebagai abgδ /abdg dλ . Karena

, maka . Dengan catatan, karena dan ac acb bg g g= cd

ab ac bdg g g gδ = − δ abg abgδ

32

harus simetrik, maka penambahan tensor antisimetrik ke dalam turunan fungsional

terhadap tidak mempengaruhi persamaan (3.1.1). Pengeleminasian kebebasan ini

memerlukan bahwa turunan fungsional adalah simetrik.

abg

Untuk keluarga satu-parameter yang dimulai dari , diperoleh abg

( ) (ab abGab ab

dL g R g gR g R gd

δ δλ= − + − + − )δ

)cdgδ

… (3.1.13)

Dari persamaan Einstein linearisasi, diperoleh

… (3.1.14) ab aab ag R vδ = ∇

dengan

… (3.1.15) ( ) (b cda ab av g gδ= ∇ − ∇

Dengan menggunakan rumus trace untuk matriks A non-singular

1 1 (det )det

dA dtr A Ad A dτ τ

−⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ … (3.1.16)

maka

( ) 1 12 2

ab abab abg g g g g gδ δ− = − = − − gδ … (3.1.17)

sehingga

12

aG Ga ab ab

dS dL v g e R Rg g gd d

δλ λ

⎛ ⎞= = ∇ − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ab e … (3.1.18)

Suku pertama dari persamaan (3.1.18) adalah integral dari divergensi, , terhadap

elemen volume alami

aav∇

geε = − . Sebab ini, dengan teorema Stokes integral ini hanya

berkontribusi pada syarat batas. Pada kenyataannya, suku ini tidak menghilang untuk

variasi umum dengan yang berlaku tetap pada batas, meskipun ini menghilang

untuk variasi dimana turunan pertama juga berlaku tetap. Bagaimanapun, untuk

menyederhanakan persoalan, pengabaikan dapat dilakukan untuk kontribusi pada hal

ini. Dengan mengabaikan suku batas, maka diperoleh

abgabg

33

12

Gab abab

S g R Rgg

δδ

⎛= − −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ … (3.1.19)

Dan persamaan (3.1.5) adalah ekuivalen dengan persamaan Einstein dalam vakum.

Lalu, dari sudut pandang Lagrangian, persamaan Einstein muncul dalam bentuk rapat

Lagrangian dari persamaan (3.1.11) dimana rapat skalar dapat dikonstruksi dari

metrik ruang-waktu.

Pada dasarnya, variabel medan dalam relativitas umum adalah metrik itu

sendiri. Metrik ini sendiri terhadap operator turunan a∇ bisa dipandang sebagai

variabel-variabel yang saling bebas. Dengan kata lain, persamaan (3.1.11) yang

merupakan rapat Lagrangian dapat dipandang sebagai fungsi dari metrik dan operator

turunan. Aksi yang bersangkutan disebut sebagai aksi Palatini

[ , ]ab abG a abS g g R g e∇ = −∫ … (3.1.20)

yang merupakan fungsi dari gab dan a∇ , bersamaan dengan persamaan Einstein pada

(3.1.19) yang memiliki syarat kompatibilitas metrik yaitu 0abc g∇ = . Pembuktian

dapat dilakukan untuk yang diungkapkan dalam operator turunan tetap yang

sembarang dan medan tensor C

a∇

a∇ cab, yang memiliki hubungan

0 d da bc a bc ab dc ac bdg g C g C= ∇ = ∇ − − g

g

atau

cab bac a bcC C g+ = ∇

dengan

1/ 2 { }c cdab a bd b ad d abC g g g= ∇ +∇ −∇

Sehingga variasi dari adalah ekuivalen terhadap variasi dari Ca∇ cab. Dalam

peninjauan variasi satu parameter dari gab dan a∇ , akan lebih cocok untuk memilih

sebagai operator turunan yang kompatibel terhadap ga∇ ab pada 0λ = . Kemudian,

pengkalkulasian dilakukan pada 0λ = seperti pada persamaan (3.1.13), yang

menghasilkan

34

[ ]

[ ]

122

2

[ 2

12

ab c abGa c b ab ab

ab ca c b

ab d c c d d cab cd cd ab cb ad

abab ab

dL g C ge R Rg g ged

g C ge

g C C C C C C ge

R g R g ge

δ δλ

δ

δ δ δ

δ

⎛ ⎞= − ∇ − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ∇ −

+ + −

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫∫

∫

] − … (3.1.21)

Pada baris kedua dari persamaan (3.1.21), suku pertama menghilang dengan

menggunakan teorema Stokes karena a∇ adalah operator turunan kompatibel metrik.

Lebih tepatnya, dalam kasus ini tidak ada suku batas karena yang diperlukan adalah

bahwa menghilang pada batas. Sehingga persamaan (3.1.21) menjadi cabCδ

2

12

bd a d ab b a cGd c dc c ab

abab ab

dL C C g C Cd

R g R g ge

δ δλ

δ

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

ge− … (3.1.22)

Suku pertama / cG abL Cδ δ bisa dihilangkan dengan simetrisasi terhadap a dan b,

dengan sedikit aljabar yang mengimplikasikan 0cabC = , mis., a a∇ = ∇ . Kemudian

penghilangan dari / abGL gδ δ menghasilkan persamaan Einstein dalam vakum seperti

sebelumnya.

Persamaan Einstein non-vakum dengan medan materi seperti medan skalar

Klein-Gordon atau medan Maxwell dapat diperoleh juga dari formalisme Lagrangian

dengan cara yang sederhana dan alami. Pertama, rapat Lagrangian ML yang cocok

harus ditemukan dalam ruang-waktu lengkung. Dalam hal khusus, untuk medan

Klein-Gordon dapat diverifikasi diferensiabel fungsional yang bersangkutan terhadap

φ dari aksi SKG , yang diperoleh dari rapat Lagrangian

( 2 212

abKG a bL g g m )φ φ φ= − − ∇ ∇ + … (3.1.23)

yang menghasilkan persamaan Klein-Gordon dalam ruang-waktu lengkung, yaitu

35

… (3.1.24) 2 0aa mφ φ∇ ∇ − =

Dengan cara yang sama, untuk medan Maxwell, rapat Lagrangian yang bersangkutan

adalah

[ ] [14

ac bd ac bdEM ab cd a b c d ]L g g g F F g g g A A= − − = − − ∇ ∇ … (3.1.25)

yang menghasilkan persamaan Maxwell dalam ruang-waktu lengkung, yaitu

4aab bF jπ∇ = − … (3.1.26)

Untuk memperoleh persamaan medan Einstein-materi terkopel, dapat dijumlahkan

secara total rapat Lagrangian, L dengan penjumlahan rapat Lagrangian Einstein GL

dengan rapat Lagrangian materi ML dengan sebuah konstanta, yang menghasilkan

G M ML L α= + L … (3.1.27)

dengan Mα adalah sebuah konstanta. Karena GL tidak bergantung pada medan

materi, maka variasi dari aksi total, S, terhadap dia akan menghasilkan persamaan

yang sama sebagai variasi dari SM itu sendiri. Variasi dari S terhadap gab akan

menghasilkan persamaan

1 82ab ab ab abG R g R Tπ= − = … (3.1.28)

dengan tensor Tab adalah

18

M Mab ab

STgg

α δπ δ

= −−

… (3.1.29)

Untuk rapat Lagrangian (3.1.23), nilai Mα dari (3.1.29) dapat dibuktikan bahwa yang

cocok dengan (3.1.23) adalah 16KGα π= sehingga M KGL L= yang menghasilkan

persamaan Einstein-Klein-Gordon. Sedangkan untuk rapat Lagrangian (3.1.25), nilai

Mα yang bersangkutan adalah 4EMα = dan M EML L= yang menghasilkan persamaan

Einstein-Maxwell. Secara umum, rapat Lagrangian ML yang didefinisikan untuk

teori medan materi memiliki tensor stress-energy yang didefinisikan oleh persamaan

36

(3.1.29). Jika rapat Lagrangian untuk medan materi tidak bergantung pada pemilihan

operator turunan , maka persamaan Einstein-materi bisa juga diturunkan dari

variasi dari penjumlahan aksi Palatini dan aksi materi.

a∇

Pada dasarnya, aksi materi MS harus invarian terhadap difeomorfisme, mis.,

jika : 'f M Mλ → adalah keluarga difeomorfisme satu-parameter, maka

[ , ] [ * , *ab abM MS g S f g fλ λ ]ψ ψ= . Sebab itu, untuk variasi, bisa diperoleh

0 abM M Mab

dS S Sgd g

δ δδ δψλ δ δψ

= = +∫ ∫ … (3.1.30)

Dari hubungan variasi , memiliki bentuk yang umum (

adalah turunan Lie didefinisikan pada bab 3.2), dengan w

abgδ ( )2ab a bwg w= ∇

a adalah medan vektor

sembarang. Anggap ψ memenuhi persamaan medan materi. Maka / |MS ψ 0δ δψ =

dan suku kedua dalam persamaan (3.1.30) tidak membuat kontribusi. Dengan

menggunakan persamaan (3.1.29), untuk ψ yang memenuhi persamaan medan

materi dan untuk semua smooth wa dari dukungan compact, bisa diperoleh

( )0

( )

a bab

a bab

a bab

gT w e

T w

T w

ε

ε

= − ∇

= ∇

= − ∇

∫∫∫

yang mengimplikasikan

… (3.1.31) 0aabT∇ =

Maka, untuk aksi invarian difeomorfisme, Tab selalu kekal untuk sifat dari persamaan

medan materi. Hal ini menyebabkan interpretasi dari Tab sebagai representasi tensor

momentum-energi-regangan dari medan materi. Dengan menggunakan argumentasi

di atas untuk SG, maka diperoleh (bebas dari persamaan medan materi apapun)

… (3.1.32) 0aabG∇ =

37

Oleh karena itu, formalisme Lagrangian dalam relativitas umum memiliki identitas

Bianchi kontraksi, yang dapat dipandang sebagai konsekuensi dari invarian aksi

Hilbert terhadap difeomorfisme.

3.2 Formalisme Hamiltonian Dari uraian sebelumnya, bisa disimpulkan bahwa formalisme Lagrangian

untuk teori medan adalah kovarian ruang-waktu. Penentuan fungsional aksi untuk

medan ψ yang ekstrimisasi akan menghasilkan persamaan medan. Di lain pihak,

formalisme Hamiltonian memerlukan pemecahan ruang-waktu menjadi ruang dan

waktu, dengan alasan yang sama sewaktu memperoleh formalisme nilai awal untuk

relativitas umum. Langkah pertama untuk formalisme ini adalah dengan memilih

fungsi waktu t dan medan vektor ta pada ruang-waktu sehingga permukaan, , dari t

konstan adalah permukaan Cauchy spacelike dan

tΣ

1aat t∇ = . Medan vektor ta

diinterpretasi sebagai “aliran waktu” dalam ruang-waktu dan digunakan untuk

mengidentifikasi tiap dengan permukaan awal tΣ 0Σ . Untuk pengintegralan dalam

formalisme ini terhadap M, digunakan elemen volume abcdε yang berkaitan dengan

metrik ruang-waktu. Sedangkan untuk tΣ , dapat digunakan elemen volume

, dimana n(3) dabc dabcnε ε= d adalah normal unit terhadap tΣ . Pada dasarnya, secara

umum, elemen volume ini bergantung pada waktu atau 0t abcdε ≠ dan (3) 0t abcε ≠ .

Dengan menggunakan elemen volume yang bergantung pada waktu, terjadi

ketidaksesuaian ketika dilakukan pengidentifikasian tΣ dengan 0Σ agar memandang

evolusi dinamika sebagai perubahan medan pada manifold tetap . Oleh karena itu,

perkenalkan elemen volume tetap e

0Σ

abcd pada M yang memenuhi . Pada tiap

, dapat didefinisikan . Agar hasil yang diperoleh bebas dari

pemilihan e

0t abcde =

tΣ(3) d

abc dabce e t=

abcd, maka rapat Lagrangian harus merupakan rapat skalar pada M dan

38

momentum π (untuk formalisme Hamiltonian) harus merupakan rapat tensor pada

. tΣ

Langkah berikutnya adalah mendefinisikan ruang konfigurasi untuk medan

dengan menentukan medan tensor q pada tΣ . Ruang momenta yang mungkin dari

medan pada konfigurasi q yang diberikan diambil menjadi “ruang kotangen” Vq*, dari

ruang konfigurasi pada q. Karena himpunan dari konfigurasi yang mungkin dari

medan adalah dimensi-tak-berhingga, maka definisi yang tepat untuk Vq* tidak

dilakukan. Meskipun, untuk kasus ini variasi tak-berhingga yang diperbolehkan (mis.,

vektor tangen) qδ pada q direpresentasikan dengan medan tensor pada dengan

tipe (k,l), maka ruang momenta berisi medan tensor,

tΣ

π dengan tipe (l,k) pada tΣ .

Sehingga π memetakan qδ ke lewat t

q qδ π δΣ

→ ∫ , dengan kontraksi indeks

seperti biasa yang dilakukan. Langkah terakhir adalah penentuan fungsional [ , ]H q π

pada , yang dinamakan Hamiltonian, dalam bentuk tΣ

t

H HΣ

= ∫ … (3.2.1)

dengan H adalah rapat Hamiltonian berupa fungsi lokal dari ,q π dan turunan

spasialnya pada orde berhingga, sehingga pasangan persamaannya adalah

tHq q δδπ

= = … (3.2.2)

tHq

δπ πδ

≡ = − … (3.2.3)

yang ekuivalen terhadap persamaan medan yang dipenuhi oleh ψ .

Formalisme Lagrangian dari teori medan, memiliki fungsional L (dengan

asumsi bahwa L tidak bergantung pada turunan waktu yang lebih dari orde pertama)

yang bergantung pada medan ψ dan turunan pertamanya terhadap waktu ψ ,

sedangkan untuk formalisme Hamiltonian memiliki fungsional H yang bergantung

39

pada ψ (dengan q diambil untuk medan ψ yang dievaluasi pada ) dan momentum

konjugat

tΣ

π . Pada dasarnya, kedua formalisme ini bisa dikaitkan dengan transformasi

Legendre (seperti dalam mekanika partikel). Sehingga momentum π , yang berkaitan

dengan ψ pada , adalah tΣ

Lq

π ∂=∂

… (3.2.4)

Dan hubungan antara H dan L adalah

H qπ= − L … (3.2.5)

Untuk memperoleh formalisme Hamiltonian dalam persamaan Einstein,

dengan uraian di atas maka dapat dilakukan pemilihan fungsi waktu t dan medan

vektor “aliran waktu” ta pada M yang memenuhi 1aat t∇ = . Diberikan metrik gab, ini

tidak menyusahkan untuk dekomposisi ta dalam bagian normal dan tangensial

terhadap permukaan , dengan t konstan. Seperti pada Bab II, pendefinisian

dilakukan untuk fungsi lapse, N, dengan

tΣ

( 1a b aab aN g t n n t )−= − = ∇ … (3.2.6)

dan vektor shift, Na, dengan

… (3.2.7) a abN h t= b

dengan na adalah normal unit terhadap tΣ dan ab ab a bh g n n= + adalah metrik spasial

induksi pada . Maka, N mengukur rata-rata aliran waktu proper, tΣ τ , terhadap

waktu koordinat, t, ketika bergerak secara normal ke tΣ . Sedangkan Na mengukur

jumlah dari “shift” tangensial ke tΣ yang berisi medan vektor aliran waktu ta (lihat

gambar 2.2 dari Bab II). Sehingga normal unit na dinyatakan dalam bentuk

1 (a an t NN

= − )a … (3.2.8)

yang berisi suku N, Na dan ta. Maka, metrik invers dapat ditulis dalam bentuk

40

2

1 ( )(ab ab a b ab a a b bg h n n h t N t NN

= − = − − − ) … (3.2.9)

Dari persamaan (3.2.9), sebenarnya bisa digunakan variabel medan dalam bentuk

kovarian yaitu hab, N, Na dibanding menggunakan metrik invers gab. Sehingga,

informasi yang ada dalam adalah ekuivalen dengan yang ada dalam g( , , )ab ah N N ab.

Untuk elemen volume pada tΣ , digunakan elemen volume tetap eabcd pada

ruang-waktu yang memenuhi 0t abcde = , sehingga pada tΣ digunakan elemen

volume . Dengan analogi persamaan (3.1.7), dimiliki (3) dabc dabce e t=

(3)(3)abc abch eε = ,

dengan h adalah determinan dari matriks komponen, hµν , dari hab dalam basis dimana

komponen yang ada dari memiliki nilai (3)abce 1± , sehingga diperoleh

g N h− = … (3.2.10)

Langkah pertama untuk memperoleh fungsional Hamiltonian untuk relativitas

umum adalah dengan mengungkapkan aksi gravitasi dalam suku ( dan

turunan waktu dan ruangnya. Dalam hal ini, aksi Hilbert dari persamaan (3.1.12)

digunakan dibanding menggunakan (3.1.20). Kemudian, kurvatur skalar diungkapkan

seperti persamaan (2.2.30) yaitu

, , )ab ah N N

2( )a b a bab abR G n n R n n= − … (3.2.11)

Dan memiliki hubungan dengan kurvatur ekstrinsik Ka babG n n ab pada (dari

kendala nilai awal yaitu persamaan [2.2.32]), yaitu

tΣ

(3) 21 [ ( )2

a b a abab a abG n n R K K K= + − ] … (3.2.12)

Dari pendefinisian tensor Riemann yaitu [ ], da b c abcR dω ω∇ ∇ = , maka suku kedua dari

persamaan (3.2.11) yang merupakan Ricci tensor yaitu dengan kontraksi indeks b

dengan d, bisa dituliskan dalam

(a b c a b a cab acb a c c a )R n n R n n n n= = − ∇ ∇ −∇ ∇ … (3.2.13)

Kemudian, dengan menggunakan hubungan

41

( ) ( )( ) (a c a c a ca c a c a cn n n n n n∇ ∇ = ∇ ∇ − ∇ ∇ ) dan b

ac a b cK h n= ∇ maka

… (3.2.14) 2

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) (

a b a c a cab a c c a

a c a ca c c a

ac a c a cac a c c a

R n n n n n n

n n n n

K K K n n n n

= ∇ ∇ − ∇ ∇

−∇ ∇ +∇ ∇

= − −∇ ∇ +∇ ∇ )

dengan K = Kaa. Untuk dua suku terakhir dari bagian kanan persamaan (3.2.14), ini

adalah bentuk divergensi yang dapat diabaikan (hal yang sama dilakukan pada

pengabaikan suku divergensi pada persamaan [3.1.18]). Dengan menggunakan

persamaan (3.2.12) dan (3.2.14), maka persamaan (3.2.11) menjadi

(3) 2ababR R K K K= + − … (3.2.15)

Sehingga, rapat Lagrangian dari persamaan (3.1.11), bisa dituliskan sebagai

(3) 2[ abG abL hN R K K K= + − ]

i

lv

… (3.2.16)

Untuk mengungkapkan persamaan (3.2.16) dalam suku ( , maka kurvatur

ekstrinsik tersebut perlu ditinjau lebih lanjut. Dengan menggunakan definisi dari

turunan Lie

, , )ab ah N N

1 yang dituliskan dalam bentuk berikut

… (3.2.17)

1 1 1

1 1 1

1

1

... ... ... ...... ... ...

1

...... ...

1

k k k

l l

k

l j

ka a a a a c a ac

v b b c b b b b ci

la a c

b c b bj

T v T T

T v

=

=

= ∇ − ∇

+ ∇

∑

∑

maka bisa diungkapkan hubungan antara kurvatur ekstrinsik dengan turunan Lie dari

normal unit n terhadap metrik spasial. Dari hubungan ab ab a bh g n n= + dengan

, jika diambil turunan Lie untuk h1aan n = − ab, , yang memenuhi aturan Leibniz

yaitu

n abh

… (3.2.18) n ab n ab n a bh g n= + n

1 Turunan Lie merupakan turunan dari sebuah grup satu-parameter difeomorfisme, yang dibangun oleh sebuah medan vektor v, dan memetakan secara linear medan tensor yang smooth dengan tipe (k,l) ke medan tensor yang smooth dengan tipe (l,k).

42

Pertama, evaluasi nilai dengan menggunakan persamaan geodesik

yang berlaku untuk sembarang medan vektor tangen T

n a bn n

0a baT T∇ = a. Dalam hal ini Ta

= na , kemudian gunakan aturan Leibnitz , sehingga sama dengan nol. Kedua,

untuk yang memiliki operator turunan yang berkaitan dengan g

n a bn n

n abg ab, bisa

memperoleh

… (3.2.19) c c

n ab c ab cb a ac b

a b b a

g n g g n g nn n

= ∇ + ∇ + ∇=∇ +∇

c

n

dan

… (3.2.20) 2 cn ab n ab a c bh g h= = ∇

Kemudian, kurvatur ekstrinsik bisa dituliskan dalam bentuk turunan Lie yaitu

12

cab a c b n abK h n h= ∇ = … (3.2.21)

Dari persamaan (3.2.17) dan (3.2.8), persamaan (3.2.21) bisa dituliskan dalam bentuk

yang diinginkan yaitu sebagai berikut.

( )( ) ( )

1

1 1

1 ( )21 ( ) ( )21 ( )2

c c cab c ab ac b cb a

c c cc ab ac b cb a

c c c c c cc ab ac b cb a

K n h h n h n

N Nn h h Nn h Nn

N N N t N h h t N h t N

−

− −

= ∇ + ∇ + ∇

⎡ ⎤= ∇ + ∇ + ∇⎣ ⎦

⎡ ⎤= − ∇ + ∇ − + ∇ −⎣ ⎦

( )

1

1

1 [2(

12

c cab c ab ac b cb a

c cc ab ac b cb a

t ab N ab

K N t h h t h t

N h h N h N

N h h

−

−

= ∇ + ∇ + ∇

− ∇ + ∇ + ∇

= −

)]

c

c … (3.2.22)

Dengan dan yang memiliki operator turunan pada yang

berkaitan dengan h

t ab abh h= N abh tΣ

ab (lihat lemma 2.2.2), yaitu Da, persamaan (3.2.22) menjadi

11 [2ab ab a b b aK N h D N D N−= − − ] … (3.2.23)

43

Substitusikan persamaan (3.2.23) ke persamaan (3.2.16), akan diperoleh aksi gravitasi

dalam suku-suku seperti yang diinginkan, yang tidak lain merupakan

formalisme ADM.

( , , )ab ah N N

Selanjutnya, untuk menentukan rapat Hamiltonian yang bersangkutan

diperlukan momentum konjugat terhadap yang dinotasikan dengan , ,a abN N h

, ,a abπ π π , secara berurutan. Momentum-momentum ini memiliki bentuk-bentuk

eksplisit sebagai berikut.

0GLN

π ∂= =∂

… (3.2.24)

0a G

a

LN

π ∂= =∂

… (3.2.25)

(ab ab abG

ab

L h K h Kh

π ∂= = −∂

) … (3.2.26)

Persamaan (3.2.24) dan (3.2.25) diketahui sebagai kendala utama. Kendala utama

adalah pernyataan murni yang formal, yang mengungkapkan Lagrangian (3.2.16)

tidak bergantung pada “kecepatan” (turunan waktu) dan . Kecepatan ini adalah

sembarang dan tidak dapat diungkapkan dalam bentuk momenta. Sehingga,

interpretasi bisa dilakukan bahwa N dan N

N aN

a tidak dipandang sebagai variabel

dinamik2. Karena N dan Na tidak dapat dikeluarkan dari Hamiltonian, maka ruang

konfigurasi perlu didefinisikan ulang untuk berisi metrik Riemannian, hab pada tΣ .

Dengan menggunakan persamaan (3.2.23) yaitu

2ab ab a b b ah NK D N D= + + N ... (3.2.27)

dan hubungan kurvatur ekstrinsik dengan momentum konjugat (3.2.26) yaitu

(1/ )ab ab abK h Kπ= + h

, rapat Hamiltonian menjadi

2 Interpretasi yang analog terhadap kasus elektromagnetik bisa diambil bahwa munculnya variabel non-dinamik dalam Hamiltonian, potensial skalar V, yang dinyatakan dalam kendala Hamiltonian. (lihat lampiran B)

44

(3) 21(1/ ) 2

2

abG ab G

ab abab a b

H h L

hN R N h D N

π

π π π π

= −

⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

… (3.2.28)

1/ 2 (3) 1 1 2

1/ 2 1/ 2

1{ [ ]2

2 [ ( )] 2 ( )}

abG ab

ab abb a a b

H h N R h h

N D h D h N

π π π

π π

− −

− −

= − + −

− + … (3.2.29)

dengan aaπ π= . Suku terakhir dari persamaan (3.2.29) hanya berkontribusi pada

batas dari (3)G GH H e= ∫ dan akan dikeluarkan. Variasi dari terhadap N dan NGH a

akan menghasilkan persamaan-persamaan berikut3.

(3) 1 1 21 02

abGab

H R h hN

δ π π πδ

− −= − + − = … (3.2.30)

1/ 2( )abGa

a

H D hN

0δ πδ

−= = … (3.2.31)

Dengan substitusi nilai abπ dari persamaan (3.2.26), persamaan (3.2.30) dan (3.2.31)

akan menjadi

(3) 21 { ( ) }2

a aba abR K K K+ − 0=

=

… (3.2.32)

0a aa b b aD K D K− … (3.2.33)

yang tidak lain merupakan persamaan kendala nilai awal (2.2.32) dan (2.2.29) yang

ditemukan pada bab II. Sedangkan persamaan dinamika (3.2.2) dan (3.2.3) yang

diperoleh dari HG adalah

1/ 2 1/ 22ab G ab ab ab a b b ah H h N h D N D Nδ δπ π π− ⎡ ⎤= = − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

… (3.2.34)

ll, dite

0

3 Dalam analogi dengan formalisme Hamiltonian untuk persamaan Maxwe mukan bahwa variasi dari HEM terhadap V, /EMH Vδ δ = merupakan persamaan kendala , dan tidak lain merupakan persamaan Maxwell dalam vakum.

0E∇⋅ =

45

(3)1/ 2 (3) 1/ 2 2

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

/

1 1[ ] (1/ 2) [2 2

12 [ ] ( )2

( )

abG ab

ab ab ab cdcd

ac b ab a b ab cc c

c ab ca b cb ac c c

H h

Nh R Rh Nh h

Nh h D D N h D D N

h D h N D N D N

π δ δ

]π π π

π π ππ

π π π

−

−

−

= −

= − − + −

− − + −

+ − −

… (3.2.35)

Sekali lagi, dengan suku-suku batas diabaikan dan persamaan (3.2.31) digunakan.

Persamaan (3.2.30), (3.2.31), (3.2.34), dan (3.2.35) adalah ekuivalen dengan

persamaan Einstein vakum 0abG = . Lalu, formalisme Hamiltonian kendala telah

diberikan untuk persamaan Einstein.

Pada dasarnya, kehadiran dari kendala dalam formalisme Hamiltonian dari

persamaan Maxwell dan persamaan Einstein mengindikasikan bahwa ketidak-bisaan

untuk mengisolasi “true dynamical degrees of freedom” dalam pemilihan ruang

konfigurasi. Meskipun, telah dieleminasi V dan N dan Na sebagai variabel dinamik,

kendala-kendala tersebut memberitahukan bahwa ruang fasa masih “terlalu besar”.

Hal ini berkaitan langsung dengan kehadiran kebebasan gauge dalam ruang

konfigurasi A dan . abh

Dalam kasus persamaan Einstein, ada kebebasan gauge yang dapat diambil

dalam pemilihan medan konfigurasi hab. Jika ψ adalah difeomorfisme dari , maka

hab dan

tΣ

* abhψ merepresentasi konfigurasi fisis yang sama. Anggapan ini

menyatakan bahwa dengan mengambil ruang konfigurasi relativitas umum menjadi

himpunan kelas yang ekuivalen, , dari metrik Riemannian pada , dimana dua

metrik dianggap ekuivalen jika mereka dapat dihubungkan satu sama lain dengan

sebuah difeomorfisme. Ruang konfigurasi ini disebut sebagai superspace

abh tΣ

( )Met Σ

(Wheeler 1968). Penggunaan superspace sebagai ruang konfigurasi, akan ditemukan

bahwa untuk medan vektor sembarang wa pada tΣ momenta konjugat abπ sekarang

harus memenuhi

46

( )( )ab abab a b abh D w hπ δ + =∫ π δ∫ … (3.2.36)

yang mengimplikasikan bahwa abπ secara otomatis memenuhi

… (3.2.37) 1/ 2( )abaD h π− = 0

Lalu, kendala (3.2.31) dieleminasi dengan pemilihan dari superspace sebagai ruang

konfigurasi.

Meskipun, kendala (3.2.30) masih ada. Kendala ini dapat dipandang sebagai

hasil dari kebebasan gauge yang terlibat dalam pemilihan bagaimana slice ruang-

waktu menjadi ruang dan waktu. Hal ini memiliki analog yang dekat dengan kendala

yang muncul ketika sebuah teori tanpa kendala diparameterisasi dalam ruang-waktu

tetap, latar belakang, mis., ketika Lagrangian sebuah fungsi waktu dikenalkan-yang

mendefinisikan pemilihan dari hypersurface, tΣ , terhadap permukaan referensi Σ -

dan menggunakan fungsi waktu sebagai variabel dinamik (Kuchar 1973, 1981).

Dalam kasus ini untuk teori parameterisasi, kendala yang analog dengan (3.2.30)

adalah linear dalam momentum konjugat terhadap fungsi waktu. Lalu,

“deparameterisasi” teori dapat dilakukan dengan menyelesaikan kendala untuk

momentum ini. Bagaimanapun, dalam kasus persamaan Einstein, kendala (3.2.30)

adalah kuadratik dalam momentum, dan sebuah deparameterisasi yang sama mungkin

tidak bisa muncul. Kemudian, hal ini tidak memungkinkan untuk memilih ruang

konfigurasi relativitas umum sehingga hanya “true dynamical degrees of freedom”

akan hadir dalam ruang fasa. Kehadiran dari kendala (3.2.30) muncul menjadi sifat

yang tak dapat diabaikan dari formalisme Hamiltonian untuk relativitas umum.

BAB IV

IDE DAN MASALAH KUANTISASI KANONIK

Dalam bab ini, penjelasan yang singkat diberikan untuk ide dari kuantisasi

kanonik untuk mekanika kuantum dari partikel dalam , dan mensketsakan usaha

untuk mengkuantisasi kanonik terhadap gravitasi. Pendekatan kanonik ini berkaitan

dengan formalisme ADM yang dibahas bab III.

n

4.1 Kuantisasi Kanonik untuk Partikel

Tinjau partikel klasik dalam sebagai ruang konfigurasi, yang memiliki

lintasan yang memenuhi persamaan Euler-Lagrange dengan Lagrangian

n

( , )L q q

sebagai fungsi dari posisi dan kecepatan. Dari sebuah Lagrangian ini, bisa diperoleh

suatu formalisme untuk Hamiltonian ( , )H p q yang merupakan fungsi dari

momentum dan posisi (ruang fasa). Hamiltonian ini juga memiliki persamaan

dinamika yang disebut dengan persamaan Hamilton. Dengan suata cara yang lebih

elegan, persamaan Hamilton ini bisa dituliskan dalam bentuk Poisson Bracket1 yaitu

… (4.1.1) { , }iq H q= i

i { , }ip H p= … (4.1.2)

yang berlaku untuk jumlah partikel ke-N, dengan 1,...,i n= dan . Dengan

catatan, perubahan dari perumusan Lagrangian ke Hamiltonian ini, mengubah n

persamaan diferensial orde kedua ke 2n persamaan diferensial orde pertama. Dan

untuk sembarang besaran observabel akan memenuhi

3n N=

( , )f p q

1 Definisi Poisson Bracket adalah { , } i i

i i

f g g ff gp q p q∂ ∂ ∂ ∂

= −∂ ∂ ∂ ∂

47

48

( , ) { , }d f p q H fdt

= … (4.1.3)

yang menyatakan bahwa perubahan dari observabel ditentukan oleh Poisson Bracket

dengan Hamiltonian. Untuk hal ini, bisa dikatakan bahwa Hamiltonian

membangkitkan evolusi waktu.

Untuk mengkuantisasi partikel dalam mekanika kuantum dengan pendekatan

Hamiltonian, idenya adalah mengubah observabel sebagai fungsi ruang fasa menjadi

observabel sebagai operator self-adjoint dalam ruang Hilbert. Dengan cara ini,

Poisson Bracket berubah menjadi Komutator. Sebagai contoh, jika f dan g merupakan

fungsi pada ruang fasa yang memenuhi

… (4.1.4) { , }f g k=

maka untuk level kuantum akan berubah menjadi

ˆ ˆ[ , ] ˆf g i= − k

ˆ

… (4.1.5)

dengan faktor i diperlukan untuk operator untuk menjadi self-adjoint, dan juga

faktor satuan pada bagian kanan persamaan (4.1.5) yang merupakan konstanta

Planck. Pada dasarnya, ada masalah yang cukup serius untuk hal di atas, yaitu

operator untuk semua observabel dapat memenuhi hubungan tersebut. Maka dari itu,

suatu ide yang baru perlu diadakan dengan cara menunjuk operator tersebut terhadap

observabel yang berisi Hamiltonian sehingga evolusi waktu dari observabel dapat

diatur menjadi

k

ˆˆ ˆitH itHtf e f e−= … (4.1.6)

dan dengan analogi dengan mekanika klasik bisa diperoleh

ˆ ˆ ,td ˆf i H fdt

⎡= ⎣⎤⎦ … (4.1.7)

yang menyatakan bahwa evolusi waktu dibangkitkan oleh Hamiltonian.

Sebuah contoh yang sederhana adalah partikel bebas, yaitu partikel yang

berada dalam potensial . Dalam hal ini, observabel yang fundamental adalah

momentum, posisi, dan Poisson Bracket dari hal ini adalah

0V =

49

{ , }k kj jp q δ= … (4.1.8)

… (4.1.9) { , } { , } 0j k j kp p q q= =

)

)

Untuk operator yang berada dalam ruang Hilbert yang didefinisi sebagai berikut

ˆ( )( ) (j jq x x xψ ψ=

ˆ( )( ) (j jp x i xψ ψ= − ∂

akan memiliki hubungan komutasi kanonik

ˆ ˆ[ , ]k kj jp q iδ= − … (4.1.10)

… (4.1.11) ˆ ˆ ˆ ˆ[ , ] [ , ] 0j kj kp p q q= =

Dengan Hamlitonian untuk partikel bebas adalah 2ˆ / 2H p m= , observabel dari posisi

dan momentum akan memenuhi seperti pada persamaan (4.1.7).

4.2 Ide Kuantisasi Kanonik untuk Relativitas Umum Dari bab III yang telah dibahas sebelumnya, hasil-hasil yang diperoleh bisa

digunakan untuk mengemukakan ide-ide dalam usaha untuk kuantisasi kanonik

terhadap gravitasi. Dari persamaan (3.2.29) yang dituliskan kembali dengan

mengabaikan suku divergensi yaitu

1/ 2 (3) 1 1 2 1/ 21{ [ ] 2 [ ( )]}2

ab b aG abH h N R h h N D hπ π π π− − −= − + − − ab … (4.1.12)

atau

1/ 2 ( aG )aH h NC N C= + … (4.1.13)

dengan

(3) 1 1 212

ababC R h hπ π−= − + − π−

)ab

… (4.1.14)

1/ 22 (baC D h π−= − … (4.1.15)

Pada kenyataannya, Hamiltonian berisi suku-suku yang proporsional terhadap lapse

dan shift, oleh karena Hamiltonian membangkitkan evolusi waktu, maka relativitas

50

umum perlu menentukan lapse dan shift untuk mengetahui arti dari evolusi waktu.

Hal ini bisa dilihat kembali dari pembahasan pada Bab sebelumnya, yang dituliskan

dalam persamaan (2.2.29) dan (2.2.32). Maka, kuantitas C dan Ca bisa ditulis dalam

bentuk kurvatur ekstrinsik yaitu

… (4.1.16) 2 a babC G n= − n

n … (4.1.17) 2 ba abC G= −

Hal ini mengimplikasikan bahwa rapat Hamiltonian untuk relativitas umum harus

vanish oleh persamaan Einstein vakum. Dengan kata lain, persamaan Einstein

mengimplikasikan

0 … (4.1.18) GH =

Kenyataan ini kelihatan agak membingungkan karena sebuah teori dengan

Hamiltonian sama dengan nol hanya sebuah solusi yang trivial, dan perlu dijelaskan

dinamika dari relativitas umum tersebut.

Pada dasarnya, dari pembahasan formalisme nilai awal untuk relativitas

umum, kuncinya adalah pada persamaan

0 … (4.1.19) aC C= =

yang merupakan empat persamaan Einstein yang berupa kendala pada data awal.

Konfigurasi ruang yang bersangkutan untuk relativitas umum ini adalah ruang fasa

yang berada dalam hypersurface Σ , meskipun tidak semua titik dalam ruang fasa ini

merepresentasikan keadaan yang diperbolehkan. Persamaan Einstein yang

kendalanya harus dipenuhi, hanya dibatasi pada subruang dari ruang fasa yang

disebut dengan ruang fasa fisis yaitu { 0}aX C C= = = , dengan Hamiltonian sama

dengan nol pada subruang ini. Meskipun, seperti yang telah diperoleh dari bab III,

persamaan Hamilton tetap memberikan dinamika yang non-trivial.

Persamaan Hamilton pada dasarnya bisa diperoleh dengan Poisson Bracket

untuk dua fungsi pada ruang fasa yang didefinisikan sebagai

51

1/ 2 3{ , } ab abab ab

f g g ff gp q p qΣ

⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂= −⎨∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭∫ q d x⎬ … (4.2.20)

Tentu saja, dengan perumusan dari Poisson Bracket tersebut dapat dihitung bracket

dari abπ dan (untuk relativitas umum notasi yang digunakan sesuai dengan bab-

bab sebelumnya) yang memiliki analogi dengan partikel dalam , seperti pada

persamaan (4.1.8) dan (4.1.9). Kemudian, untuk bagian evolusi dari persamaan

Einstein bisa diperoleh dari

abh

n

{ , }ab abh H h=

{ , }ab abHπ π=

yang memberikan hasil yang sama seperti persamaan (3.2.34) dan (3.2.35). Informasi

yang penting dari persamaan Hamiltonian ini adalah bahwa meskipun pada ruang fasa

fisis X dengan H = 0, tetapi evolusi waktu yang diberikan oleh persamaan

Hamiltonian adalah nontrivial.

Kembali ke bahasan sebelumnya bahwa lapse N dan shift Na mengukur

seberapa besar evolusi waktu yang bergerak dari Σ dalam arah normal dan arah

tangensial. Dalam hal khusus, jika diset shift sama dengan nol, maka Hamiltonian

untuk relativitas umum adalah sama dengan

… (4.2.21) 1/ 2 3( )C N NC h d xΣ

= ∫dan membangkitkan evolusi waktu dengan cara menggerakkan Σ dalam arah normal.

Di lain pihak, jika diset lapse sama dengan nol, maka Hamiltonian menjadi

… (4.2.22) 1/ 2 3( ) aaC N N C h d x

Σ= ∫

yang membangkitkan evolusi waktu dengan menggerakkan Σ dalam arah tangensial.

Lebih tepatnya, kuantitas yang membangkitkan transformasi X yang berkaitan dengan

aliran pada Σ dibangkitkan oleh ( )C N . Aliran ini adalah keluarga 1-parameter dari

difeomorfisme . Untuk alasan ini, maka Σ ( )C N dan Ca disebut sebagai kendala

difeomorfisme, kemudian dan C disebut sebagai kendala Hamiltonian. (Kedua ( )C N

52

kendala ini adalah secondary constraint dari formalisme Hamiltonian) Ini bukan

suatu kebetulan bahwa C dan Ca memegang dua peranan penting sebagai kendala dan

suku-suku dalam Hamiltonian. Pada kenyataannya, ini merupakan suatu ciri-ciri

khusus yang krusial dari teori dengan struktur latar belakang yang tidak tetap.

Ada hal yang menarik yang dapat diperoleh dari Poisson Bracket kendala

Hamiltonian dan difeomorfisme. Dengan menggunakan versi integral dari dan

, bisa diperoleh

( )C N

( )C N

… (4.2.23) '{ ( ), ( ')} ([ , ])C N C N C N N=

… (4.2.24) { ( ), ( )} ( ')C N C N C N N=

… (4.2.25) { ( ), ( ')} (( ' ' ) )a aaC N C N C N N N N= ∂ − ∂ ∂

dengan merupakan turunan dari fungsi N’ dalam arah , dan

adalah hasil dari konversi 1-form ke medan

vektor dengan menaikkan indeks. Hasil di atas diketahui sebagai aljabar Dirac.

Dengan catatan, kendala-kendala tersebut yang digunakan dalam Poisson Bracket,

Bracket dari dua kendala adalah kendala juga. [Penjelasan yang lebih detail mengenai

secondary constraint dan aljabar Dirac dapat dilihat pada Henneaux and Teitelboim

1992 [4])

'N N N

( ' ' )a aaN N N N∂ − ∂ ∂ ' 'NdN N dN−

Dengan pendekatan Hamiltonian, kuantisasi untuk gravitasi bisa disketsakan

dengan cara-cara sebagai berikut. Pertama, pendefinisian ruang Hilbert dipilih pada

(concrete Hilbert space) 2L 2 untuk teori ini. Superspace ( )Met Σ yang dibahas pada

bab III bisa digunakan, meskipun ruang ini adalah dimensi-tak berhingga, yang

mengakibatkan fungsi square-integrable dalam ruang ini sulit untuk didefinisikan.

Salah satu alternatifnya adalah ruang Hilbert yang berisi superspace yaitu

. Kedua, pendefinisian operator yang bersangkutan yaitu metrik h2 ( ( )L Met Σ )

ab dan

2 Concrete Hilbert space 2 ( , )L X µ adalah ruang dari fungsi square-integrable pada

konfigurasi ruang X dengan measurable µ . Contoh: jika 3X = maka µ adalah Lebesgue measurable.

53

momentum konjugatnya. Dengan analogi terhadap kasus partikel dalam , operator

metrik tersebut adalah

n

… (4.2.26) ˆ( ( ) )( ) ( ) ( )ab abh x q h x qψ = ψ

Σdengan adalah metrik 3-dimensi dan x adalah titik pada . Dengan cara

yang sama, pendefinisian untuk operator momentum sebagai turunan fungsional yaitu

( )h Met∈ Σ

ˆ( ( ) )( ) (ab

ab

)x q i qh

π ψ ψ∂= −

∂ … (4.2.27)

Operator-operator ini memenuhi hubungan komutasi kanonik

(3)ˆˆ[ ( ), ( )] ( ) ( ,ab a b a bcd c k k c )x h y i x yπ δ δ δ δ δ= − + … (4.2.28)

… (4.2.29) ˆ ˆˆ ˆ[ ( ), ( )] [ ( ), ( )] 0ab cdab cdx x h x h xπ π = =

Untuk mengkuantisasi Hamiltonian, perumusan digunakan dari kendala

Hamiltonian dan difeomorfisme, dengan menggantikan dan abh abπ yang muncul

dengan operator dan abh ˆ abπ , untuk memperoleh versi kuantum dan dari

kendala sebagai operator pada

C ˆaC

2 ( ( )L Met )Σ . Untuk melakukan hal ini, ada masalah

yang harus dihadapi yaitu operator ordering problem, karena dan abh ˆ abπ tidak

komut, maka cara yang berbeda dalam penulisan formalisme klasik untuk kendala

menghasilkan operator yang berbeda. Sebuah operator ordering yang baik akan

membuat kendala kuantum memenuhi relasi yang analog dengan klasik, yaitu

… (4.2.30) 'ˆ ˆ ˆ{ ( ), ( ')} ([ , ])C N C N iC N N= −

… (4.2.31)ˆ ˆ ˆ{ ( ), ( )} ( ')C N C N iC N N= −

… (4.2.32) ˆ ˆ ˆ{ ( ), ( ')} (( ' ' ) )a aaC N C N iC N N N N= − ∂ − ∂ ∂

Pada kenyataannya, hubungan di atas sukar untuk diperoleh karena kendala tersebut

memiliki suku , akar kuadrat dari determinan metrik. Operator ordering problem

adalah sebuah trik untuk menyelesaikan ordering operator-operator yang tidak

memiliki polinomial dalam operator dasar posisi dan momentum tersebut.

1/ 2h

54

4.3 Masalah dalam Kuantisasi Kanonik untuk Relativitas Umum

Tinjau anggapan bahwa telah diperoleh operator dan yang sesuai,

sehingga Hamiltonian untuk teori kuantum bisa dituliskan sebagai

C ˆaC

… (4.2.33) 1/ 2 3ˆ ˆˆ ( aGH h NC N C d

Σ= +∫ )a x

)

Secara klasik, Hamiltonian menghilang pada ruang fasa fisis X karena empat

persamaan Einstein yang berlaku sebagai kendala. Bagaimana peran kendala ini

terhadap teori kuantum? Persoalan kendala dalam teori kuantum sebenarnya amat

sangat sulit untuk dijelaskan, tetapi terdapat suatu pendekatan oleh Dirac seperti

berikut. Vektor 2 ( ( )L Metψ ∈ Σ

=

)

dikatakan keadaan fisis jika memenuhi kendala-

kendala dalam bentuk kuantum yaitu

… (4.2.34) ˆ ˆ( ) ( ) 0C N C Nψ ψ=

untuk semua . Alternatif yang lain adalah bahwa ,N N

… (4.2.35) ˆ 0GH ψ =

berlaku untuk semua pemilihan pada lapse dan shift. Persamaan (4.2.35) ini disebut

dengan persamaan Wheeler-De Witt (WDW). (hal yang lebih mendetail bisa dilihat

pada referensi [7])

Sampai dengan pembahasan ini, program untuk kuantisasi kanonik untuk

gravitasi menghadapi beberapa masalah-masalah yang tidak bisa dihindari lagi.

Pertama, tidak ada yang pernah menemukan solusi-solusi dari persaman WDW,

meskipun ungkapan yang berbeda dapat dituliskan dari persamaan tersebut namun

kesulitan dihadapi ketika untuk menafsirnya secara fisis.

Kedua, untuk menemukan keadaan fisis, yang ditinjau adalah membentangkan

ruang vektor yang bersangkutan, ruang fasa fisis. Yang ternyata tidak terdapat inner

product yang relevan dalam ruang fasa fisis dengan inner product dalam 2 ( ( )L Met Σ .

Masalah ini disebut dengan inner product problem. Hal ini muncul untuk penentuan

55

inner product yang benar dengan memerlukan observabel yang merupakan operator

self-adjoint. Sayang sekali, hal ini memunculkan masalah yang ketiga. Hamiltonian

menghilang pada ruang fasa fisis, sehingga untuk operator A yang berada dalam

ruang fasa fisis, secara otomatis akan komut terhadap Hamiltonian. Hal ini

mengakibatkan operator yang bersangkutan dengan observabel tidak berubah

terhadap waktu, yaitu

ˆ ,t td A i H Adt

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 0= … (4.2.36)

Persamaan (4.2.36) ini sangat membingungkan karena tidak diketahui dinamika dari

teori. Hal ini memberikan pendapat bahwa keadaan dalam ruang fasa fisis tidak

menjelaskan keadaan kuantum dari gravitasi pada waktu yang khusus seperti

pasangan dalam gravitasi klasik, melainkan menjelaskan keadaan untuk

seluruh waktu atau lebih tepatnya informasi tentang keadaan yang invarian terhadap

difeomorfisme ruang-waktu. Ini adalah problem of time yang terkenal dari teori

kuantum untuk gravitasi.

( , )abh K

Masalah-masalah ini telah menghalangi perkembangan dari pendekatan

kuantisasi kanonik untuk gravitasi dalam beberapa tahun belakangan ini. Walaupun,

inner product problem dan problem of time merupakan suatu masalah yang sangat

sulit terpecahkan dan membuat frustrasi. Tetapi, belakangan ini harapan telah muncul

untuk menyelesaikan solusi dari persamaan WDW dengan ditemukannya suku-suku

dalam ‘variabel baru’ untuk relativitas umum, dan juga dalam bentuk ‘representasi

loop’. Awal tahun 1980, Abhay Ashtekar dan yang lainnya mengembangkan

‘variabel baru’ untuk menjelaskan relativitas umum, dalam bentuk untuk

menyederhanakan kendalanya. Dan aksi yang digunakan adalah aksi Palatini,

dibanding menggunakan aksi Hilbert. Variabel baru ini juga membawa ke bentuk

struktur matematika relativitas umum yang mirip dengan teori Yang-Mills. Sebagai

hasil, teknik dari teori gauge dapat digunakan dalam hal pengkuantisasian. Dalam hal

khusus, dapat digunakan teori Chern-Simons (untuk dimensi 2+1) untuk memperoleh

56

solusi dari persamaan WDW, untuk kasus dimana gravitasi dengan konstanta

kosmologi tidak-nol. Dan selanjutnya, dengan menggunakan variabel baru penemuan

diperoleh untuk ‘representasi loop’ untuk gravitasi kuantum yang observabel

kuncinya adalah Wilson loop, yang dilakukan oleh Lee Smolin dan Carlo Rovelli di

sekitar tahun 1980-an.

BAB V

KESIMPULAN

Dari tugas akhir ini, ada kesimpulan yang bisa diambil yaitu sebagai berikut.

Pertama, kendala-kendala yang diperoleh dari formalisme Hamiltonian untuk

relativitas umum sesuai dengan formalisme nilai awal. Kendala-kendala tersebut

muncul secara alami karena ruang fasa kita terlalu besar. Kendala untuk relativitas

umum disebut sebagai kendala Hamiltonian dan kendala difeomorfisme. Kedua, ada

kebebasan gauge untuk memilih ruang konfigurasi sehingga kendala otomatis

terpenuhi, namun masih tetap ada satu kendala (3.2.30) yang tersisa yang

memberikan masalah serius. Ketiga, formalisme ADM dapat dipandang sebagai

sebuah teori dasar untuk memperoleh teori gravitasi kuantum kanonik yang

diinginkan.

57

DAFTAR PUSTAKA

[1] Wald, R. M., General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago,

1984.

[2] Baez, J., and Muniain, J. P., Gauge Fields, Knots and Gravity, World

Scientific, Singapore, 1994.

[3] Arnowitt, R., Deser, S., and Misner, C. W., The Dynamics of General

Relativity, in Gravitation: an Introduction to Current Research, ed. Louis

Witten, Wiley, New York, 1962, pp. 227-265, or arXiv: gr-qc/0405109.

[4] Henneaux, M., and Teitelboim, C., Quantization of Gauge Systems, Princeton

University Press, New Jersey, 1992.

[5] Isham, C. J., Penrose, R., and Sciama, D. W., Quantum Gravity 2 - A second

Oxford Symposium, Oxford University Press, Oxford, 1981.

[6] Felsager, B., Geometry, Particles, and Fields, Springer, New York, 1998.

[7] DeWitt, B. S., Quantum Theory of Gravity I, Phys. Rev. 160, 1967, pp. 1113-

1148.

[8] Hawking, S. W., and Ellis, G. F. R., Large Scale Structure of Space-Time,

Cambridge University Press, Cambridge, 1973.

[9] Weinberg, S., Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, Inc., New

York, 1972.

[10] Arfken, G. B., and Weber, H. J., Mathematical Methods for Physicists,

Harcourt Academic Press, New York, 2001.

[11] Courant, R., and Hilbert, D., Methods of Mathematical Physics, vol. 2: Partial

Differential Equations, Interscience, New York, 1962.

[12] Thiemann, T., Introduction to Modern Canonical Quantum General

Relativity, arXiv: gr-qc/0110034.

58

LAMPIRAN A

STRUKTUR KAUSAL

A.1 Latar Belakang Dalam struktur kausal relativitas khusus, tiap kejadian, p, dalam ruang-waktu

adalah light cone seperti diilustrasikan dalam gambar A.1. Label “future” digunakan

untuk setengah kerucut ke atas dan label “past” untuk setengah bagian lainnya.

Kejadian-kejadian yang terletak dalam interior dari future light cone

merepresentasikan kejadian yang dapat dicapai oleh material dimulai dari p; ini terdiri

dari “choronological future” dari p. Choronological future dari p bersamaan dengan

kejadian yang terletak dalam kerucut itu sendiri yang terdiri dari “causal future” dari

p, secara fisis merepresentasikan kejadian oleh sinyal yang dipancarkan dari p.

Dalam relativitas umum, struktur kausal dari ruang-waktu secara lokal sama

dengan kualitatif dalam ruang-waktu flat dalam relativitas khusus. Meskipun,

perbedaan signifikan dapat terjadi karena secara global dalam relativitas umum,

terdapat topologi nontrivial, kesingularan ruang-waktu, atau “twisting” arah dari

kerucut cahaya.

Gambar A.1. Diagram struktur kausal ruang-waktu dalam relativitas khusus.

59

60

Lampiran ini akan membahas definisi dan hasil dasar untuk struktur kausal dalam

relativitas umum. Dalam hal ini, ruang-waktu ( , )abM g diambil sembarang yang

berarti bahwa tidak diusahakan untuk menentukan persamaan Einsterin pada . abg

A.2 Futures and Pasts: Definisi-definisi dan Hasil-hasil Dasar

Ambil ( , )abM g adalah ruang-waktu. Pada tiap kejadian , ruang

tangen, , adalah isomorfik dengan ruang-waktu Minkowski. Kerucut cahaya p

(kerucut cahaya yang melewati titik asal ) adalah subset dari , bukan

p M∈

pV

pV pV M .

Seperti dalam relativitas khusus, tiap kejadian p M∈ dapat digunakan penandaan

setengah kerucut ke atas adalah future dan setengahnya lagi past. Sebagai contoh

untuk sebuah ruang-waktu dengan penandaan tidak kontinu, dapat dilihat pada

gambar A.2. Jika suatu pemilihan penandaan kontinu dapat dipilih, maka ( , )abM g

dikatakan orientasi waktu. Sedangkan, ruang-waktu non-orientasi waktu mempunyai

sifat keganjilan secara fisis bahwa ini tidak dapat membedakan perkiraan “forward in

time” yang berlawanan dengan “backward in time”. Untuk selanjutnya, bahasan ini

hanya menyangkut ruang-waktu orientasi waktu dan terdapat penandaan kontinu

untuk “future” dan “past” pada tiap titik dalam kerucut cahaya. Sebuah timelike atau

null vector yang terletak dalam “future half” dari kerucut cahaya dikatakan future

directed.

Gambar A.2 Sebuah ruang-waktu non-orientasi waktu

61

Sifat penting yang harus dipenuhi oleh tiap ruang-waktu orientasi waktu dapat

diungkapkan dalam lemma berikut. (Bukti dari lemma ini dapat dilihat pada Wald

1984 [1])

Lemma A.2.1. Ambil ( , )abM g adalah orientasi waktu. Maka terdapat sebuah medan

vektor nonvanishing yang smooth pada at M .

Kebalikannya, jika sebuah kekontinuan, medan vektor timelike dapat dipilih,

maka ( , )abM g adalah orientasi waktu.

Ambil ( , )abM g adalah ruang-waktu orientasi waktu. sebuah kurva

difrensiabel ( )tλ dikatakan kurva timelike future directed jika pada tiap p λ∈ ,

tangen adalah vektor timelike future directed. Dengan cara yang sama, at λ

dikatakan kurva kausal future directed jika pada tiap p λ∈ , tangen adalah sebuah

vektor timelike atau null future directed. Pada kurva kausal, akan meluruh.

Definisi yang analog bisa digunakan untuk kurva timelike dan kausal past directed.

atat

Chronological future dari p M∈ , ( )I p+ didefinisikan sebagai set dari

kejadian-kejadian yang dapat dicapai oleh kurva timelike future directed yang

dimulai dari p,

( )( ) (0) (1)

terdapat sebuah kurva timelike future directedI p q M

t dengan p dan qλ λ λ+ ⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥= =⎣ ⎦ … (A.2.1)

( )I p+ adalah sebuah subset terbuka dari M . Secara umum, ( )p I p+∉ , tetapi akan

ada di

p

( )I p+ jika terdapat kurva timelike tertutup yang mulai dan berakhir di . p

Untuk sembarang subset , dapat didefinisikan S M⊂ ( )I S+ dengan

( ) ( )p S

I S I+

∈= ∪ p+ … (A.2.2)

62

Maka untuk sembarang gabungan set terbuka adalah terbuka, yang menunjukkan

bahwa ( )I S+ adalah set terbuka. Definisi dan analogi bisa digunakan untuk

chronological past ( )I S− dan ( )I p− .

Untuk causal future dari p M∈ , didefinisikan sebagai ( )J p+

( )( ) (0) (1)

terdapat sebuah kurva kausal future directedJ p q M

t dengan p dan qλ λ λ+ ⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥= =⎣ ⎦ … (A.2.3)

Dalam ruang-waktu flat, adalah set tertutup. Dalam ruang-waktu secara

umum, bisa tidak tertutup seperti yang diperlihatkan pada gambar A.3. Pada

dasarnya, harus tertutup dalam ruang-waktu hiperbolik secara global (globally

hyperbolic)[definisi globally hyperbolic pada A.3 di bawah]. Kemudian,

didefinisikan lagi

( )J p+

( )J p+

( )J p+

... (A.2.4) ( ) ( )p S

J S J p+

∈

= ∪ +

dan untuk definisi bagian pasts ( ) dan , bisa diambil analoginya. J p− ( )J S−

q

p

Gambar A.3 Ruang-waktu Minkowski dengan sebuah titik pada future light cone dari p

dipindahkan. Dalam ruang-waktu ini, tidak ada kurva kausal yang menghubungkan p dan q

sehingga . Maka adalah bukan tertutup. ( )q J p+∉ ( )J p+

63

Selanjutnya, tinjauan dilakukan untuk subset dari M. Jika diambil sebuah

subset dimana tidak terdapat S M⊂ ,p q S∈ sehingga , mis., jika

dengan adalah set kosong, maka subset S tersebut dikatakan

sebagai achronal. Teorema berikut ini menegaskan bahwa batas dari chronological

future dari sebuah set selalu membentuk sebuah permukaan achronal tiga dimensi

yang well behaved. (Bukti dari teorema ini dapat ditemukan pada Wald 1984 [1])

( )q I p+∈

( )I S S+ ∩ =∅ ∅

Teorema A.2.2. Ambil ( , )abM g adalah ruang-waktu orientasi waktu, dan ambil

. Kemudian S M⊂ ( )I S+ (jika tidak kosong) adalah sebuah achronal, tiga

dimensi, tertanam, -submanifold dari M. 0C

A.3 DOMAIN KETERGANTUNGAN

Salah satu sifat penting dari struktur kausal adalah pembahasan mengenai

domain ketergantungan (domains of dependence). Untuk S tertutup dan achronal,

dapat didefinisikan edge dari S sebagai set dari titik-titik p S∈ sehingga tiap

lingkungan terbuka O dari p berisi sebuah titik , sebuah titik dan

sebuah kurva timelike

( )q I p+∈ ( )r I p−∈

λ dari r ke q yang tidak beririsan dengan S (lihat gambar A.4).

Hal menarik dapat dilihat untuk set S yang tertutup, achronal dan tanpa edge, yang

Gambar A.4 Diagram ruang-waktu yang mengillustrasikan definisi edge dari set S yang

tertutup dan achronal.

64

kemudian pendefinisian bisa dilakukan untuk future domain of dependence yang

dinotasikan dengan oleh ( )D S+

( )tiap kurva kausal past inextendible

D S p Myang melalui pberirisan dengan S

+ ⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

... (A.3.1)

dengan kurva kausal past inextendible didefinisikan sebagai sebuah kurva yang tidak

mempunyai titik akhir pada past, dan kebalikkannya kurva kausal future inextendible

yang tidak mempunyai titik akhir pada future. Kemudian, bisa didefinisikan lagi

untuk past domain of dependence ( ) dengan mengganti label “past” dengan

“future” pada (A.3.1). Selanjutnya, gabungan dari dan disebut sebagai

(full) domain of dependence, yang dinotasikan dengan oleh

D S−

( )D S+ ( )D S−

( )D S

... (A.3.2) ( ) ( ) ( )D S D S D S+ −= ∪

maka D(S) merepresentasikan set kejadian yang lengkap untuk semua kondisi yang

ditentukan dengan mengetahui syarat pada S.

Sebuah set achronal yang tertutup Σ dengan ( )D MΣ = disebut sebagai

permukaan Cauchy. Maka untuk tiap permukaan Cauchy mengakibatkan

. Dengan kata lain, tiap permukaan Cauchy adalah submanifold

yang tertanam pada M. Sebuah ruang-waktu yang memiliki sebuah permukaan

Cauchy dikatakan globally hyperbolic. (Pembuktian dan penjelasan untuk domain

ketergantungan yang lebih detail bisa dilihat pada Wald [1])

( )edge Σ =∅ 0C

Σ

LAMPIRAN B

FORMALISME HAMILTONIAN UNTUK PERSAMAAN

MAXWELL

Untuk kasus medan elektromagnetik dalam ruang-waktu Minkowski yang

memiliki variabel dinamik E dan B , prosedur yang dilakukan untuk mendapatkan

formalisme Hamiltonian adalah sebagai berikut. Ambil koordinat umum q adalah

potensial vektor Aa [dengan komponennya ( ,V A− ) ] yang dievaluasi pada tΣ dan

dekomposisi dalam bagian normal dan tangensial, yaitu

... (B.1) aaV A n= −

(3) ba a bA h A= ... (B.2)

dengan adalah normal unit terhadap an tΣ dan ab ab a bh n nη= + adalah metrik ruang

induksi pada . Selanjutnya, dengan notasi vektor tiga dimensi biasa, rapat

Lagrangiannya (tanpa sumber) adalah

tΣ

1 1( ) ( ) ( ) (2 2EM )L A V A V A A= +∇ ⋅ +∇ − ∇× ⋅ ∇× ... (B.3)

dengan momentum konjugat terhadap A , yaitu

A Vπ = +∇ ≡ −E ... (B.4)

Karena tidak muncul dalam V EML , maka momentum Vπ konjugat terhadap V

menghilang sama sekali atau

0Vπ = ... (B.5)

Lalu, langkah selanjutnya adalah mengambil hubungan inversi antara π dan q

sehingga rapat Hamiltonian yang didefinisikan H qπ L= − bisa diperoleh. Namun,

dari persamaan (B.5) hubungan inversi ini tidak diperoleh. Oleh karena itu, sudut

65

66

pandang terhadap variabel dinamik yang berlaku dalam formalisme Hamiltonian

perlu diubah. Kesulitan ini sebenarnya berkaitan langsung dengan kenyataan bahwa

terdapatnya kebebasan gauge dalam Aa.

Kesulitan ini dapat diselesaikan dengan pertimbangan berikut ini. Kenyataan

bahwa Vπ sama dengan nol memperkirakan bahwa V tidak seharusnya dipandang

sebagai variabel dinamik. Dengan perkiraan ini, maka medan konfigurasi q

seharusnya diambil hanya untuk A . Dengan demikian, maka rapat Hamiltonian untuk

medan elektromagnetik EMH didefinisikan oleh

1 12 21 1 ( )2 2

EM EMH A L

B B V

B B V V

π

π π π

π π π

= ⋅ −

= ⋅ + ⋅ − ⋅∇

= ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ −∇⋅ π

A

... (B.6)

dengan . Suku terakhir dari persamaan (B.6) merupakan suku divergensi

total yang hanya berkontribusi pada syarat batas terhadap

B ≡ ∇×

tEM EMH H

Σ= ∫ sehingga

bisa diabaikan. EMH dapat dipandang sebagai fungsional dari A dan π , dengan V

secara efektif memiliki peranan pengali Lagrange, misalnya, dengan menambahkan

persamaan

0EMHV

δδ

= ... (B.7)

terhadap persamaan Hamilton /q Hδ δπ= dan /H qπ δ δ= − untuk dan A π .

Selanjutnya, dengan Hamiltonian Elektromagnetik yang bersangkutan, persamaan

(B.7) menghasilkan

... (B.8) 0E∇⋅ =

dan persamaan Hamiltonnya adalah

EMHA V E Vδ πδπ

= = −∇ = − −∇ ... (B.9)

67

(EMH )E AA

δπδ

= − = − = −∇× ∇× ... (B.10)

Kemudian, dapat dilihat bahwa sistem persamaan (B.8)-(B.10) adalah ekuivalen

terhadap persamaan Maxwell. Dari perumusan di atas, ada hal penting yang diperoleh

yaitu, sebuah pemisahan alami terhadap persamaan Maxwell dalam bentuk kendala

(B.8) dan persamaan evolusi (B.9) dan (B.10). Dengan catatan tambahan, nilai

numerik dari untuk solusi dari persamaan Maxwell adalah sebanding dengan

energi total dari medan elektromagnetik.

EMH

Perumusan Hamiltonian untuk persamaan Maxwell dalam ruang-waktu

Minkowski memiliki suatu ciri tersendiri yaitu, variabel non-dinamik muncul dalam

dan memegang peranan pengali Lagrange yang menghadirkan kendala (B.7).

Tipe dari Hamiltonian ini disebut sebagai constrained Hamiltonian formulation.

EMH

Kehadiran kendala dari hal di atas mengindikasikan bahwa “true dynamical

degrees of freedom” belum dibatasi dalam pemilihan ruang konfigurasi. Namun,

dengan adanya kehadiran kebebasan gauge dalam kasus Maxwell, variabel

konfigurasi yang baru bisa dipilih. Karena dua potensial vektor yang berbeda pada

gradien, χ∇ , sebuah fungsi χ , tetap merepresentasikan medan elektromagnetik yang

sama, maka bisa diambil variabel A A χ= −∇ dalam ruang konfigurasi. Sehingga,

momenta yang direpresentasikan dengan medan vektor π harus memilik sifat

( )A Aπ δ δχ π⎡ ⎤⋅ −∇ = ⋅⎣ ⎦∫ δ∫ ... (B.11)

Sifat di atas berlaku jika dan hanya jika

... (B.12) 0π∇⋅ =

Dengan kata lain, kendala (B.8) secara otomatis telah terpenuhi. Untuk rapat

Hamiltoniannya bisa dituliskan sebagai

1 (2EMH π π= ⋅ + ⋅ )B B ... (B.13)

dan persamaan Hamiltonnya adalah

68

EMHA δ πδπ

= = ... (B.14)

EMH BA

δπδ

= − = −∇× ... (B.15)

yang juga merupakan persamaan Maxwell dalam bentuk kelas yang ekuivalen dengan

(B.9),(B.10). Maka, dengan pengeleminasian derajat kebebasan gauge dalam ruang

konfigurasi yang bekerja dengan A , dibanding A , telah memberikan formalisme

Hamiltonian yang bebas kendala untuk persamaan Maxwell.

LAMPIRAN C

NOTASI DAN KONVENSI

Untuk penggunaan indeks pada tensor dalam tugas akhir ini, notasi indeks

abstrak digunakan yaitu, indeks latin pada tensor tidak menyatakan komponen tetapi

hanya sebagai bagian dari notasi untuk tensor itu sendiri. Sedangkan indeks yunani

menyatakan komponen seperti konvensi biasa. Hal ini digunakan untuk membedakan

antara persamaan untuk komponen dan persamaan tensor dalam notasi indeks.

Contohnya, Tαµν menyatakan komponen basis dari tensor . a

bcT

Signature metrik yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah - + + +.

Operator turunan , yang berhubungan dengan metrik tidak dipengaruhi oleh

perubahan tanda pada metrik. Begitu juga dengan tensor Riemann R

a∇

abcd tidak

dipengaruhi, karena tensor ini didefinisikan dalam bentuk a∇ . Dan tensor stress-

energy Tab dan tensor medan Maxwell Fab tidak dipengaruhi oleh perubahan dari

signature metrik.

Dalam tugas akhir ini juga digunakan “geometrized units”, dengan konstanta

gravitasi, G, dan kecepatan cahaya, c diambil menjadi satu.

Ada beberapa simbol matematika yang digunakan dalam tugas akhir ini,

diantaranya adalah sebagai berikut.

set dari fungsi diffrensiabel secara kontinu n-times nC

set dari fungsi diffrensiabel secara kontinu yang tak berhingga C∞

mis., fungsi smooth.

set dari bilangan real

set dari bilangan real n-tuples n

set dari bilangan kompleks

69

70

set dari bilangan kompleks n-tuples n

set kosong ∅

{|} menyatakan set berisi elemem p dari set A yang memenuhi

syarat Q

{ |p A Q∈ }

)

Ada juga simbol-simbol yang didefinisikan dalam tugas akhir ini, yang sering

digunakan yaitu sebagai berikut.

ruang tangen pada titik p dari sebuah manifold pV

Vp* ruang kotangen pada titik p dari sebuah manifold

hypersurface dengan Σ ( 1n − dimensi dari n dimensi ruang-waktu

contoh: Untuk ruang-waktu 4 dimensi, dimensi hypersurface adalah

tiga.

Kab kurvatur ekstrinsik (Bab II)

turunan Lie terhadap medan vektor (Bab III) v av

( )I S+ chronological future dari set S (lampiran A)

( ) causal future dari set S (lampiran A) J S+

( )D S+ future domain of dependence dari set S tertutup dan achronal

(lampiran A)

dan untuk simbol ( )I S− , , dan didefinisikan sebagai “past” dengan

menggantikan “future”.

( )J S− ( )D S−