Fisibilitas dan OptimalitasBentuk umum permasalahan optimasi

memin/memaks f(x) Kendala gi(x)(≤,=,atau≥)bi, iI

f(x) : fungsi objektif/tujuan{gi(x)} : fungsi – fungsi kendala

Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan atau fungsi kendala mempunyai bentuk nonlinier .

Fisibilitas dan Optimalitas

Contoh masalah optimasi nonlinier:Memin f(x) = x1

2 + x23 x3

4

Kendala g1(x) : x1+2x2+3x3 = 6g2(x) : x1 ≥ 0g3(x) : x2 ≥ 0g4(x) : x3 ≥ 0

Fisibilitas Titik yang memenuhi semua kendala

disebut titik fisibel.Himpunan semua titik fisibel disebut daerah fisibel dinotasikan S.

Pada suatu titik fisibel , suatu kendala pertidaksamaan gi( )≥0

disebut aktif jika gi( )=0

suatu kendala pertidaksamaan gi( )≥0 disebut inaktif jika gi( )>0

xx

x

xx

FisibilitasHimpunan titik-titik fisibel yg paling sedikit satu

dari kendala pertidaksamaannya aktif adalah boundary dari daerah fisibel

Sedangkan titik-titik fisibel yang lain adalah titik-titik interior

Contoh: Daerah fisibel yg didefinisikan oleh kendala

g1(x) : x1+2x2+3x3-6 = 0g2(x) : x1 ≥ 0g3(x) : x2 ≥ 0g4(x) : x3 ≥ 0

Fisibilitas

xa=(0,0,2) titik fisibel (titik boundary), g2(xa) & g3(xa) menjadi kendala aktif

xb=(3,0,1) titik fisibel (titik boundary)g3(xb) menjadi kendala aktif

xc=(1,1,1) titik fisibel titik interior

x3

x1

x2xc

xa

xb

2

6

3

Latihan

Perhatikan daerah fisibel yang didefinisikan oleh kendala :

Tentukan apakah titik-titik berikut merupakan titik fisibel atau bukan! Jika fisibel yang mana merupakan titik interior dan yang mana titik boundary?

0:)(

01:)(

01:)(

23

212

22

211

xxg

xxxg

xxxg

)2

1,0(),

2

1,2

1(),0,

2

1(

),0,1(),1,1(),2

1,2

1(

fed

cba

xxx

xxx

Optimalitas

Titik x* disebut global minimum dari f(x) di S jika f(x*) ≤ f(x) untuk setiap xS

Titik x* disebut strict global minimum dari f(x) di S jika f(x*) < f(x) untuk setiap xS dengan x ≠ x*.

Optimalitas

Titik x* disebut lokal minimum dari di S jika , untuk setiap x S dengan|x - x*|< dan : bilangan bulat positif kecil yg bergantung pada x*.

Titik x* disebut strict lokal minimum dari di S jika , untuk setiap x S dg | x - x*| < dan x ≠ x*.

 

Tugas

Memin :Kendala :

Gambarkan himpunan fisibelTentukan semua peminimal lokalTentukan yang mana peminimal global

1

421

22

21

x

xx

1x

Tugas

Memin :Kendala :

Gambarkan himpunan fisibelAdakah peminimal lokal ?Adakah peminimal global ?

1)1(

1)1(22

21

22

21

xx

xx

1x

Himpunan dan Fungsi Konvek

Himpunan S disebut himpunan konvek jika x,yS berlaku x + (1-)y S, 0 ≤ ≤ 1.atau segmen garis yg menghub. x dan y juga di S.

Contoh:

konvek bukan konvek

Fungsi konvek dan fungsi konkaf

Fungsi f(x) disebut fungsi konvek pada himpunan S jika f(x+(1-)y)≤f(x)+(1-)f(y),0≤≤1,x,yS atau segmen garis yg menghub titik (x,f(x)) dan (y,f(y)) terletak pada atau diatas fungsi.

Fungsi f(x) disebut fungsi konkaf pada himpunan S jika f(x+(1-)y) ≥ f(x)+(1-)f(y),0≤≤1,x,yS

Fungsi, Himpunan dan Pemrograman Konvek

Suatu masalah tanpa kendala meminimalkan f(x) disebut ‘masalah pemrograman konvek’ jika S himpunan konvek dan f(x) fungsi konvek pada S,

Suatu masalah berkendalameminimalkan f(x)kendala gi(x) ≥ 0, iI

disebut masalah pemrograman konvek jika f(x) fungsi konvek dan {gi} fungsi konkaf.

Pemrograman Konvek

Pada masalah ‘Pemrograman Konvek’ setiap solusi lokal merupakan solusi global.

Teorema:Jika x* adalah solusi lokal dari masalah pemrograman konvek, maka x* adalah solusi global.

Fungsi, Himpunan &Pemrograman Konvek

Bukti:Diketahui x* adalah solusi lokal. Andaikan x* bukan

solusiglobal, maka terdapat titik y sdm hingga f(y)<f(x*).

Karenaf fungsi konvek maka untuk 0≤≤1 berlaku

f(x*+(1-)y) ≤ f(x*)+(1-)f(y) < f(x*)+(1-)f(x*) = f(x*)

Hal ini memperlihatkan bahwa terdapat titik sebarangyg dekat dengan x* yg mempunyai fungsi < f(x*). Titiktersebut berada di S karena S konvek. Kontradiksidengan x* lokal minimal. Jadi titik y tidak ada shg xadalah global minimal. ▮

Derivatif dan Konveksitas

Misal f(x) fungsi berdimensi satu yg mempunyai derivatif kedua kontinu. f(x) disebut fungsi konvek jhj f’’(x)0, xS.

jika f’’(x)>0, xS maka f disebut strickly konvek.

Untuk f(x) fungsi multidimensi, f(x) disebut fungsi konvek jika matriks Hessian (matriks dari derivatif keduanya) semi definit positif.

Jika matriks Hessian definit positif xS maka f(x) disebut strictly konvek.

Matriks hessian

Turunan pertama

Matriks Hessian dari f(x) adalah matriks nxn yg entri ke-ij nya :

ji

ij xx

xfxf

)(

)(2

2

T

nx

xf

x

xf

x

xfxf )

)(,...,)(

,)(

()(21

Matriks hessian

Dalam kasus multi dimensi matriks hessian menjadi semi definite positif jika pada setiap xS berlaku

yT 2f(x) y ≥ 0, untuk setiap ySecara alternatif ditunjukkan bahwa semua

nilai eigen dari matriks hessian ≥0 atau i≥0.

Matriks hessian

H adalah definite positif jhj Hj > 0 untuk

j=1,2,...,nH adalah semi definite positif jhj Hj

≥ 0 untuk j=1,2,...,n

H adalah definite negatif jhj (-1)jHj > 0

untuk j=1,2,...,nH adalah semi definite negatif jhj (-1)jHj

≥ 0 untuk j=1,2,...,n

Latihan

Untuk setiap fungsi berikut tentukan apakahkonvek , konkaf , keduanya atau bukan keduanya ;

3

4

234

2

2

)(.

)1()(.

432)(.

1)(.

543)(..1

xxfe

x

xxfd

xxxxfc

xxfb

xxxfa

Latihan

Untuk setiap fungsi berikut tentukan apakahkonvek , konkaf , keduanya atau bukan keduanya ;

31322123

22

21321

2221

2121

2221

2121

2221

2121

212221

2121

2),,(.5

23),(.4

2),(.3

2),(.2

62532),(.1

xxxxxxxxxxxxf

xxxxxxf

xxxxxxf

xxxxxxf

xxxxxxxxf

f(x,y) = 2x2 – 3xy + 5y2 – 2x + 6y