I. PENDAHULUAN I.1. LATAR BELAKANG Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah, didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya. Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian. Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung suatu pengertian. Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal tertentu sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam lambang. Seperti titik dilambangkan dengan hurup kapital misalnya A, B, C dan seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau dapat juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti AB (dibaca: garis AB), dan lambang-lambang yang lain seperti AB yang menunjukkan segmen AB. Telah diperlihatkan bahwa bukti geometrik dengan cara menggambarkan kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan gambar. Bagaimana perubahan dalam perilaku ini bisa diatasi? Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontoversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut. Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku pelajaran. I.2. RUMUSAN MASALAH Mengingat akan sifat makalah ini, dirumuskan masalah sebagai berikut : 1). Bagaimana struktur geometri bidang Euclid dan kaitannya dengan postulat sejajarnya? 2). Apa yang dapat menjadi postulat pengganti postulat sejajar Euclid dan bagaimana postulat tersebut bisa dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid? 3) Bagaimana peranan pentingnya postulat sejajar Euclid dalam pembuktian geometri? 4). Bagaimana pembuktian ahli logika lainnya tentang postulat sejajar Euclid? I.3. TUJUAN Berdasarkan dari latar belakang dan rumusan masalah maka penulis dalam makalah ini bermaksud untuk menunjukkan kebenaran postulat sejajar Euclid dalam pembuktian geometri berdasarkan garis tranversalnya dan bukti-bukti penting lainnya dalam mempertahankan postulat Euclid tersebut.

II. MATERI GEOMETRI II.1 EUCLID Euclid adalah seorang matematikawan yang berasal dari Yunani. Beliau sangat terkenal lewat penemuan-penemuannya di bidang geometri dan dikumpulkan dalam karyanya yang berjudul the element. Euclid ini adalah salah satu murid dari akademi Plato di Athena. Euclid lahir sekitar tahun 330 SM dan meninggal sekitar 260 SM. Tahun tersebut hanya perkiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan bahwa Euclid hidup antara tahun 330 275 SM. Tidak ada catatan tentang tempat dan tanggal kelahiran Euclid secara pasti, serta sedikit yang diketahui tentang kehidupan pribadinya. Namun pada masa pemerintahan Ptolemy I, Euclid mengajar matematika di Alexandria, Mesir. Pada era Euclid matematika lebih dikenal sebagai sains dan bukan mistik. Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Euclid dapat disebut juga sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan terbesar Yunani. Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini yang paling utama adalah pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Dia pun menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan

pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan merupakan textbook yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua textbook yang pernah dibuat orang sebelumnya. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak. Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruh daripada risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. Buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak. Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku kesohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza. Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan dengan rumus Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan

masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar Lubang hitam dan bintang neutron misalnya di mana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah. Ptolemy mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes. Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. Tidak ada cara mulus mempelajari geometri, adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid. Selanjutnya jawaban tersebut memberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian. Euclid banyak menulis buku, diantaranya yang terkenal dan masih tersimpan, antara lain:a. The Elements, pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri. b. The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah

geometris; dan terkait dengan jilid ke-4 buku The Elements.c. On Divisions of Figures, menyangkut pembagian bidang geometris

menjadi dua atau lebih bagian yang sama atau dengan rasio tertentu.d. Catoptrics, menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar

pada cermin cekung.e. Phaenomena, sebuah risalah astronomi bola. f. Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu Euclid

mengikuti tradisi Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal dari mata. Hal-hal yang dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di bawah sudut yang

lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah sudut yang sama adalah sama. Kelemahan-kelemahan dalam rumus Euclid kemudian dibenahi oleh beberapa ahli dan timbul beberapa versi revisi sistem Aksioma Euclide oleh Playfair dan Hilbert. Hilbert menemukan bahwa sejumlah asumsi Euclid telah gagal membuat pemecahan yang eksplisit. Sebuah formulasi penuh dari aksioma yang diperlukan untuk pengembangan geometri Euclidean yang sekarang tersedia. Hal ini jauh lebih rumit, dan jauh lebih sedikit dimengerti, dibandingkan presentasi Euclid, dan kita harus bertanya pada diri sendiri apa sebenarnya apa yang dimaksud aksioma titik. Euclid berasumsi bahwa ia perlu untuk membuktikan teorema geometris. Sedangkan Hilbert membuat semua asumsi yang benar-benar eksplisit dan menghasilkan bukti yang sah secara berurutan. Presentasi Euclid dapat dipahami dan memiliki daya tarik intelekual yang besar sedangakan Hilbert sukar untuk dipahami kecuali untuk mereka yag sudah tahu tentang geometri. Hilbert menganggap telah melakukan pekerjaan yang tepat dan Euclid tidak dapat melakukan dengan sempurna. Hilbert bekerja dari sudut pandang formalis. Di luar logika formal, pendekatan aksiomatik Euclid lebih baik daripada Hilbert. Geometri Euclidean dibutuhkan untuk membedakan ciri khas geometri dengan yang lain.

II.2 LIMA AKSIOMA Program Plato itu belum sempurna. Euclid sebagai salah satu murid dari akademi Plato di Athena memperbarui bersama dengan Eudoxus dan menghasilkan lima aksioma atau postulat khusus yang dalam bahasa Yunani (aitemata) yang artinya (koinai ennoiai), misalnya jika a sama dengan b, dan b sama dengan c, maka a sama dengan c. Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorema ("penyataan benar") adalah diambil daripada satu bilangan aksioma-aksioma yang terhingga. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:a. Untuk menggambar sebuah garis lurus dari setiap titik ke titik yang lain

b. Untuk mengahsilkan sebuah garis lurus dapat diperpanjang sampai tak

terhingga dalam garis lurus. c. Untuk menggambarkan sebuah lingkaran dengan pusat lingkaaran dan diameter.d. Semua sudut siku-siku itu kongruen. e. Jika garis lurus memotong pada dua garis lurus membentuk sudut dalam

pada sisiyang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua baris lurus, jika dibuat tanpa batas waktu dan bertemu maka sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku tersebut. Ada beberapa pendapat yang menyatakan tentang aksioma yang dituliskan oleh Euclid baik dalam zaman kuno maupun pada zaman modern dengan harapan bahwa aksioma tersebut menjadi lebih jelas dan benar. Pendapat tersebut antara lain: a. Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan (Playfair)b. Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan jumlah dua sudut siku-siku. c. Pendapat lain yang mungkin sama untuk memberikan pendapat dan

apapun ukurannya terserah (Wallis).d. Ada dua segitiga yang tidak sama dan memiliki sudut yang sama(Saccheri

dan Plato)e. Dalam segitiga siku-siku, sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi

yang lainnya. (Phytagoras). Pendapat Playfair mendekati Euclid dan dianggap sebagai versi modern yang secara eksplisit menyebutkan garis paralel dan disebut sebagai "dalil paralel". Jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut yang siku-siku. Jauh lebih signifikan adalah aksioma tentang segitiga yang diajukan dalam bentuk yang lebih kuat oleh John Wallis, seorang don Oxford dari abad ketujuh belas dan Geralamo Saccheri, seorang imam Yesuit pada abad kedelapan belas. Menurut Wallis aksioma (3) dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.

Argumen lain, dalam gambar 2.2.2 menunjukkan bahwa 'Teorema Pythagoras mudah dibuktikan dengan cara segitiga serupa. Kita mungkin bertanya dengan bukti Euclid 's "windmill" dari proposisi-nya mengapa Euclid disukai banyak bukti nya lebih rumit. Jawabannya terletak pada asumsi terakhir dalam bukti yang diberikan di gambar 2.2.2, dan akibat adanya kesulitan besaran tidak dapat dibandingkan, sendiri didirikan sebagai konsekuensi dari teorema Pythagoras. Pendapat Meno menunjukkan bahwa diagonal dari persegi memiliki panjang2

dari sisi. Tapi

2 , seperti Pythagoras atau salah seorang

pengikutnya tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua seluruh angka, dan pendekatan segitiga yang serupa, yang mengatakan bahwa: rasio dari sisi dalam segitiga yang sama adalah sama.

Gambar 2.2.1 Bukti Segitiga

dari Wallis: Misalkan ABC segitiga. Misalkan

segitiga AFE = segitiga ABC dan setengah ukurannya. Maka:AF AE FE 1 = = = AB AC BC 2

Jadi, AF = FC dan AE = EB. Misalkan BD = DC, maka EF = BD = DC Kemudian segitiga FED ABC, dimana ED =1 AC = AF. Jadi dalam 2

EFD dan BDE, EF = BD, DF = BE, dan ED berimpitan. Jadi EFD = BDE, dan DEF = EDB. Tapi BCA = EFA dan CAB = CFD, [Dan ABC = DFE]. Jadi ABC + BCA + CAB = 180 . Kemudian Euclid dalam teorinya tentang proporsi yang diantisipasi Dedekind tentang definisi dari bilangan real, namun dalam eksposisi geometrisnya disukai secara teknis walaupun lebih rumit tetapi secara konseptual kurang. Pendekatan yang tidak bersangkutan dengan segitiga sama sama sekali.

Sebuah pendapat di Gorgias menunjukkan bahwa Plato berpikir tentang segitiga yang sama pada waktu ia sedang berusaha untuk membangun dasar geometri. Dalam Gorgias 508a5-7 ia membedakan "Geometris" dari "aritmatika" yang pertama hanya proporsional, sedangkan yang kedua adalah kesetaraan yang ketat. Aristoteles mengambil perbedaan dalam Nicomachean Ethics-nya, dalam bukunya Politik dan membuat dasar tafsir kesamaan distributif.

Gambar 2.2.2 Bukti Pythagoras dengan Segitiga yang sama: Misalkan: ABC dengan sudut siku-siku di B. Gambarkan garis tegak lurus dari B keAC di D. Lalu ADB ABC dan BDC AD AB = ABC. Jadi AB AC . AD.AC = AB2 DC BC = Dan BC AC DC.AC = BC 2 .

Jadi (AD + DC).AC = AB2 + BC2. Jadi AC2 = AB2 + BC2. [Kami mengasumsikan bahwa sudut berjumlah 180, dan AD/AB dan yang lainnya juga sama]. Plato tentang dan Aristoteles dan melihat kesamaan bahwa yang ada universalitas kami konsep kesamaan, mengharuskan

memperlakukan sama. Plato berpendapat, diperlukan perlakuan yang sama seperti pada kasus yang sama, tetapi diberi perlakuan berbeda pada kasus berbeda. "Geometris kesetaraan " dicetuskan oleh Plato dan Aristoteles untuk mendasari prinsip bahwa harus ada kesamaan perlakuan untuk semua dengan perbedaan

perlakuan aktual pada keadaan yang berbeda. Setiap orang harus diberi bagian yang sama, kata Aristoteles, tetapi mereka adalah bagian yang sama sebanding dengan (Axia) jasa mereka, dan tergantung pada keadaan. Ini berbeda dengan pendapat egalitarian fifthcentury Athena, dan memiliki konsekuensi penting bagi politik berpikir di dunia kuno. Bukti Teorema Pythagoras 'adalah puncak dari Euclid's buku pertama, dan telah menunjukkan bagaimana hal itu dapat dibuktikan tidak hanya dari kelima postulat Euclid sendiri melainkan dari proposisi Wallis ' tentang segitiga serupa. Itu wajar untuk bertanya apakah pada gilirannya dapat dibuktikan dari teorema Pythagoras 'diambil sebagai kebenaran. Hal ini paling mudah untuk menunjukkan aksioma Saccheris (d), bahwa diberikan Proposisi Pythagoras, harus ada dua segitiga yang sama bentuk tetapi ukuran yang berbeda.

Gambar 2.2.3 Bukti Saccheri dari Pythagoras: Misalkan ABC adalah sudut siku-suku di B, misalkan BA = CB. Perpanjang CB hingga D, sehingga BD = CB. Kemudian ABC = ABD; sehingga AD = AC dan BDA = BCA, dan ABC = DBA, BAC = BAD. Dengan menggunakan rumus Pythagoras:AC2 = BA 2 + CB2 = 2CB2 AD 2 = BA 2 + BD 2 = 2BD 2 = 2CB2 AC2 + AD 2 = CD 2

Jadi CAD adalah sudut siku-siku, dan ABC CAD.

Ini hanya sedikit lebih rumit dan diserahkan kepada pembacauntuk memberikan prosedur untuk membangun sebuah segitiga ukuran sewenangwenang mirip dengan segitiga yang diketahui. Kenyataan bahwa proposisi Pythagoras, bukannya diambil sebagai Teorema harus dibuktikan dari aksioma Euclid's, dengan menggunakan aksioma karakteristik geometri yang menunjukkan bahwa kita dapat mengubah nama geometri Euclidean "Pythagoras geometri". Meskipun Euclid, bersama dengan Plato dan Eudoxus, bertanggung jawab secara sistematis sebagai teori aksiomatik, kita perlu memandang proposisi Pythagoras dari beberapa sudut pandang yang paling khas dan mendasar. Formulasi alternatif yang mendalilkan kelima ppostulat Euclid kurang praktis dan mungkin lebih diterima versi Euclid sendiri. Tentu Teorema Pythagoras 'masih jauh dari benar, sehingga harus dibuktikan. Bahkan, tidak ada dari formulasi alternatif yang benar-benar jelas, dan tampaknya membutuhkan beberapa pembenaran lebih lanjut. Wallis dan Saccheri sedang mencari penyelesaian yang lebih baik, Saccheri mengabiskan bertahun-tahun untuk mencoba membuktikan kelima postulat dengan mereduksi dan penyerapan, asumsi itu menjadi salah dan mencoba mendapatkan kontradiksi. Usaha ini gagal, tetapi dalam perjalanannya menemukan non-Euclidean geometri. Teorema geometri non-Euclidean membawa mereka ke Saccheri yang lebih masuk akal, meskipun ia tidak bisa memperoleh sebuah inkonsistensi yang formal, tetapi meskipun aneh, mereka benar-benar cukup konsisten, dan kemudian diakui menjadi teorema non-Euclidean geometri,yang akan disebut sebagai geometri "hiperbola. II. 3. GEOMETRI NON-EUCLIDEAN Sekitar tahun 1830 (Abad ke Sembilan Belas), matematikawan Hongaria, Jnos Bolyai dan matematikawan Rusia, Nikolai Lobachevsky secara terpisah menerbitkan risalah tentang geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri di mana kedua

Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja. Jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik. Selanjutnya Playfair membuat postulat "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan." Postulat sejajar Riemann : Tidak ada garis yang sejajar. Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Dalam teori pertama, sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut. Dalam teori kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang. Teori ini disebut geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik rangkap dua. (Istilah tunggal dan rangkap mengindikasikan sifat perpotongan dua garis dalam geometri; dan Istilah eliptik digunakan dalam artian suatu klasifikasi yang didasarkan atas geometri projektif di mana geometri Euclid dan Lobachevskian disebut parabolic dan hiperbolik). John Wallis (1616-1703) menggantikan postulat sejajar Euclid dengan menggunakan postulat berikut ini : Ada segitiga dengan satu sisi yang telah ditetapkan sebelumnya secara sebarang yang akan sama dengan segitiga yang diketahui. Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung. Argumen dasar Saccheri sebagai berikut: Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.

Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi. Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut: Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180. Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi: a. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen dari titik perpotongan. b. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut. c. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan divergen pada arah lainnya. Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid. Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuaiani kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa ilmu alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian). Non-Euclidean geometri yang cukup asing, sampai ketika Saccheri memperkenalkan kepada kita. Hal ini paling mudah untuk memvisualisasikan non-Euclidean geometri eliptik dengan mempertimbangkan beberapa permukaan bola, seperti bumi atau dari buah jeruk. Sangat mudah kemudian untuk melihat bahwa jika lingkaran besar diambil untuk menjadi "garis", tidak ada garis paralel

dalam eliptik geometri. Setiap dua lingkaran besar bertemu dua kali, sebagai meridian bujur yang bertemu di kedua Kutub Utara dan di Kutub Selatan. (Yang disebut "paralel dari lintang "adalah tidak semuanya paralel, karena mereka tidak di dalam interpretasi garis lurus, melainkan lingkaran) Jika kita pertimbangkan. suatu oktan jeruk, atau segitiga bola di bumi permukaan ditandai dengan meridian Greenwich, Khatulistiwa, dan bujur 90 Barat, kita melihat bahwa ia memiliki sudut kanan pada masing masing titik, sehingga jumlah sudut yang menambahkan sampai tiga sudut kanan, 270, bukan hanya dua sudut siku-siku berjumlah total 180. Sebuah segitiga kecil akan memiliki jumlah sudut yang lebih dekat ke 180, yang akan cenderung sebagai segitiga semakin kecil dan lebih kecil. Memang, jika kita tahu seberapa besar sudut, kita dapat mengatakan keharusan dua belah pihak, yang beberapa berbentuk segitiga dengan masing-masing sudut 90 mereka adalah adalah salah satu seperempat dari keliling lingkaran besar. Ini menggambarkan tesis Wallis-Saccheri bahwa tidak ada yang sama segitiga ukuran yang berbeda dalam geometri non-Euclidean. Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10). Saccheri membuktikan bahwa m