Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universitas Teknik Sipil Universitas Brawijaya. Luas Penampang...

download Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universitas Teknik Sipil Universitas Brawijaya. Luas Penampang a. Bidang berbentuk tak beraturan Luas penampang didefinisikan sebagai integral

of 46

  • date post

    03-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    220
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universitas Teknik Sipil Universitas Brawijaya. Luas Penampang...

  • Fakultas TeknikJurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya

  • Luas Penampanga. Bidang berbentuk tak beraturan

    Luas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemendiferensial dA

    denganA : Luas penampang secara keseluruhan (mm2)dA : Luas elemen diferensial = dx . Dydx : Lebar elemendy : Tinggi elemen

  • Example:

    1. Tentukan luas daerah B dibawah kurva : y = x4 2x3 + 2 diantara x = -1 dan x = 2

  • Answer :

    5,1 10

    51

    2 - 2

    1 -

    5

    1- 4

    2

    16 -

    5

    32

    2 4

    2

    5

    2 2 -

    2

    1-

    45

    2

    1-

    4

    xxx

    dxxxALuas B

  • antara nilai mempunyai yangsumbu x

    oleh dibatasidan -1 persamaan mempunyai

    yang parabola semisegmenberbentuk yang bidang luasTentukan 3.

    2

    2

    b

    xhxfy

  • bhhb

    b

    hbhb

    b

    hxhx

    dxhb

    xdxhA

    dxb

    xhydxdA

    dAA

    b

    b

    bb

    3

    2

    3

    3

    3

    3

    1 .

    2

    3

    0

    2

    3

    0

    0

    2

    2

    0

    2

    2

  • b. Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidakterdefinisi secara sistematis sederhana

    Luas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidangmenjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudianmenjumlahkannya.

    Dengan :

    n = Jumlah elemen yang terbentuk

    A i = Luas elemen ke i (in2 atau mm 2)

    n

    i

    iAA1

  • c. Penampang Bidang Secara Umum

  • Momen Statis

    Momen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan ydidefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiapelemendiferensial dA dengan jarak titik berat luasan elemen tersebutterhadap suatu sumbu yang ditinjau

    Terhadap sumbu x :

    Terhadap sumbu y :

    )mmatau (iny.dA M 3 3sx

    )mmatau (inx.dA M 3 3sy

  • Titik Pusat Berat Benda

    Titik pusat berat suatu penampang dapat dinyatakan sebagai titiktangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atausuatu titik dimana semua berat terpusat pada titik tersebut. Koordinatx dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi denganluas penampang

    M1 M2M3

    Dimana:m1, m2, m3 = massa piasx1, x2, x3 = jarak massa terhadaptitik pusat O pada sumbu xy1, y2, y3 = jarak massa terhadaptitik pusat O pada sumbu y

    = jarak titik berat bendaterhadap sumbu x dan yM = m

    yx dan

  • Prinsip Besaran Momen

    M

    mxx

    mxxm

    xmxmxmxm ...332211

    Dengan cara yang sama:M

    myy

  • Titik Berat Bidang / Penampang

    A

    xax

    .

    A

    yay

    .

    Dimana:a1, a2, a3 = luas penampang piasx1, x2, x3 = Jarak penampang terhadap sumbu yy1, y2, y3 = Jarak penampang terhadap sumbu xA = a = a1 + a2 + a3 +

  • Contoh:Tentukan titik berat penampang berikut:

    y1 y2

    X

    Y

    Penampang ABCH:

    a1 = 10 x 3 = 30 cm2

    x1 = 5 cm

    y1 = 15 3/2 = 13,5 cm

    Penampang DEFG:

    a2 = (15 3) x 3 = 36 cm2

    x2 = 5 cm

    y2 = (15 3) = 6 cm

    53630

    536530. xx

    A

    xax 41,9

    3630

    6365,1330. xx

    A

    yay

  • 3. Tampang L

    Bagian LuasMomen Statis terhadap

    x y

    I (15x20)=300 300x10=300 300x7,5=2250

    II -(10x15)=-150 -150x12,5=-1875 -150x10=-1500

    Jumlah 150 1125 750

    5150

    750.

    5,7150

    1125.

    o

    o

    A

    xa

    A

    Mx

    A

    ya

    A

    My

    sy

    sx

  • Soal:

    Tentukan titik berat penampang berikut:

  • MOMEN INERSIA BIDANG (I)

    r1

    r2

    r3

    a1

    a2a3

    2

    33

    2

    22

    2

    11

    2

    ...

    .

    rararaI

    raI

    Jika luas bidang yang diarsir:

    a1 = dA1

    a2 = dA2

    a3 = dA3

    Jarak terhadap sumbu y:

    r1 = x1

    r2 = x2

    r3 = x3

    Maka momen inersia

    terhadap sumbu x:

    Maka momen inersia

    terhadap sumbu y:

    2

    xx dA I y2

    yy dA I x

  • Example :

    Inersia segiempat terhadap sumbu x melalui titik berat

    3333

    33

    33

    2

    1

    2

    1

    3

    21

    21

    2

    2

    .12

    1

    24

    2

    24

    24

    81

    381.

    3

    21

    321

    3

    ..3

    1

    I

    b.dy dA

    I

    t

    t

    2

    1

    tbbtbtbt

    tbtb

    tb

    tb

    by

    dybyx

    dAy

    t

    t

    y

    yx

  • dx

    dy

    y

    3333

    33

    33

    21

    21

    3

    2b1

    2b1

    2

    2

    .12

    1

    24

    2

    24

    24

    81

    381.

    3

    21

    321

    3

    ..3

    1

    . I

    d.dx dA

    I2

    1

    bddbdbdb

    bdbd

    bd

    bd

    dx

    dxxd

    dAx

    b

    b

    y

    x

    xy

    Momen inersia segiempat terhadap sumbu y melalui titik berat

  • Momen inersia pada penampang berlubang

    Momen inersia segiempat

    ABCD terhadap sumbu x:

    Ixx = 1/12 b d3

    Momen inersia segiempat

    EFGH terhadap sumbu x :

    Ixx = 1/12 b1 d13

    Momen inersia segiempat

    berlubang:

    Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH)

    Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13

    Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang

    terhadap sumbu y :

    Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH)

    Iyy = 1/12 d b3 - 1/12 d1 b13

  • Momen Inersia Penampang Lingkaran

    dA = 2 . r . dr

    2 . r = keliling sebuah cincin

    r = jari-jari cincin

    dr = lebar cincin

    r2 = x2+y2

  • 4

    4

    4

    0

    4

    0

    4

    0

    3

    0

    2

    0

    2

    0

    222

    00

    2

    4

    1

    2

    1.

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    4

    2

    2 ) 2(

    R

    RII I

    Rrr

    drrdr rrI

    I I

    dAydAxdAyxdArI

    pyx

    RR

    RR

    p

    yx

    RRRR

    p

  • Momen Inersia Pada Sistem Koordinat Translasi

    a & b = koordinat pusat berat Oterhadap sumbu xy

    sumbu x // sumbu xsumbu y // sumbu y

    AbbMsIyIy

    dAbdAxbdAx

    dAxbdAxIy

    y .2 '

    .2.

    . '

    2

    22

    22

    AaaMsIxIx

    dAadAyadA

    dAyadAIx

    x .2 '

    2y

    y' '

    2

    22

    22

    x = b + xy = a + y

    Bila:

    koordinat X, Y bertitiktangkap pada titik beratpenampang, maka Msx danMsy = 0

    .AbIyIy'

    .AaIxIx'

    2

    2

  • Momen inersia segitiga terhadap sumbu x

    dAyx2I

    3

    0

    3

    0

    2

    0

    22

    .12

    1penampang)dasar thd(I

    .12

    1''.

    ''.

    '.'.

    .'

    ''

    '

    at

    atdytttt

    aI

    ttdytt

    ajarakLuas

    dytt

    adyadALuas

    at

    ta

    t

    t

    a

    a

    x

    t

    x

    3

    2

    3

    2

    0

    .36

    1

    32.

    12

    1

    Iberat) titik thd(I

    attat

    at

    jarakLuasxx

  • Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan teganganlentur dari penampang pada gambar di bawah.

  • Menentukan titik berat penampang

    Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakandalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslahdiperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang

    KeteranganLuas (A) (mm2)

    Jarak titik berat thd. alas (y (mm))

    A x y (mm3)

    Luas Total 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000

    Luas Rongga dalam

    -(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000

    A = 1800 A..y = 51000

  • dasar dari mm 3,28800.1

    000.51

    A

    A.yy

    Momen inersia terhadap sumbu x

    untuk luas penampang luar

    44

    4442

    0

    4422

    44

    3

    3

    o

    10 . 72,69

    10 . 69,010.50,4.

    10 . 69,03,28302400.

    10 . 7212

    60.40..

    21

    mm

    mmyAIIx

    mmyA

    mmhbI

  • untuk rongga dalam

    44

    4442

    0

    4422

    44

    3

    3

    o

    10 . 7,19

    10 . 69,210.50,4.

    10 . 69,23,2835600.

    50 . 50,412

    30.20..

    21

    mm

    mmyAIIx

    mmyA

    mmhbI

    4 4

    44

    10 . 65,50

    10 . 7,1910 . 72,69

    berlubang penampanguntuk I

    mm

  • Dari gambar terlihat bahwa r2 = x2 + y 2

    Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb :

    dAydAx

    dAyxdArIp

    22

    222

    Ip = Ix + Iy

    MOMEN INERSIA POLAR :

  • Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbux dan y

    2

    2

    bAIycIy

    aAIxcIx

    baAIyc Ixc

    bAaAIyc IxcIp

    Iy IxIp

    22

    22

    : maka

    : Berhubung

    Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yangditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.

  • Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang) Ixy

    Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yangditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, ataubernilai 0 tergantung pada letak sumbu xy terhadappenampang tersebut.

    A

    xy dAxyI

    ..'' AbaIxyyIx

    Sehingga, untuk koordinat translasi:

    Produk inersia bernilai o, apabilasalah satu sumbunya merupakansumbu simetris