Estimasi Box Jenkins
66
ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA MODEL ARIMA (1,1,0) BOX-JENKINS SKRIPSI Diajukan Dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata I Untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains Oleh: Nama : Jumroh Nim : 4150401016 Program Studi : Matematika SI Jurusan : Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2005 i
-
Upload
hennyazalea9434 -
Category
Documents
-
view
644 -
download
4
Transcript of Estimasi Box Jenkins
ESTIMASI MAKSIMUM LIKELIHOOD PADA MODEL ARIMA (1,1,0)
BOX-JENKINS
SKRIPSI
Diajukan Dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata I
Untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains
Oleh:
Nama : Jumroh
Nim : 4150401016
Program Studi : Matematika SI
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2005
i
ABSTRAK
Jumroh, 4150401016. Estimasi Maksimum Likelihood Model ARIMA(1,1,0) Box-Jenkins. Skripsi , Matematika SI, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam.
Universitas Negeri Semarang
Runtun waktu adalah himpunan observasi berurutan dalam waktu (atau dalam satuan yang lain). Runtun waktu dibedakan menjadi 2 yaitu runtun waktu stasioner dan runtun waktu nonstasioner. Runtun waktu nonstasioner yang telah distasionerkan dengan metode pembeda (diferensi) disebut proses ARIMA. Salah satu model ARIMA adalah ARIMA (1, 1, 0). Langkah selanjutnya setelah ditentukan model adalah mengestimasikan parameternya.
Berdasarkan uraian diatas permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana bentuk fungsi Likelihood ARIMA (1, 1, 0) dan menetukan estimator parameter-parameter yang ada pada model ARIMA (1, 1, 0). Tujuannya adalah mempelajari cara mengkontruksi fungsi Likelihood model ARIMA (1, 1, 0) Box – Jenkins, selanjutnya menentukan estimator parameter-parameter yang ada pada model tersebut dengan metode estimasi maksimum Likelihood (EML). Sedangkan manfaatnya adalah menambah pengetahuan tentang estimasi maksimum Likelihood pada model ARIMA(1,1,0).
Pada penelitian ini prosedur yang digunakan adalah identifikasi masalah, perumusan masalah, analisis data dan penarikan kesimpulan. Dari data yang ada setelah diidentifikasikan model maka ditentukan nilai parameter-parameternya atau mengestimasinya dengan pendekatan estimasi maksimum Likelihood.
Pengkontruksian fungsi Likelihood dari model ARIMA (1, 1, 0) Box – Jenkins dapat dilakukan dengan asumsi kenormalan dan independensi di sesatan at, sehingga jika data observasi diketahui maka fungsi Likelihood untuk parameter-parameternya adalah ( )W,L 2
aσφ . Penerapan estimasi maksimum Likelihood dilakukan dengan cara meminimumkan fungsi jumlah kuadrat s(Φ) dari log fungsi Likelihood model ARIMA (1, 1, 0) Box – Jenkins. Menentukan estimator untuk parameter dengan EML menjumpai kesulitan karena bentuk
( )
j
1j
j
Mln21
Mφ∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂
= adalah fungsi dari Φ yang cukup rumit. Untuk mengatasi
kesulitan ini di gunakan metode estimasi kuadrat terkecil dan diperoleh : ( )n
ˆSˆ 2 φσ =a dan dDˆ 1p−=φ 12
111 DD −=
Skripsi ini hanya membahas model ARIMA (1, 1, 0), disarankan kepada penulis lain untuk mempelajari lebih lanjut dengan cakupan yang lebih luas dengan mengambil model ARIMA (p, d, 0), ARIMA (0, d, q) dan ARIMA (p, d, q) dengan p > 1, g > 0, d > 1
ii
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi dengan judul “ Estimasi Maksimum Likelihood Model ARIMA (1, 1, 0)
Box – Jenkins” telah dipertahankan dihadapan sidang panitia ujian Skripsi FMIPA
UNNES pada
Hari :
Tanggal :
Panitia Ujian
Ketua Sekretaris
Drs. Kasmadi Imam S, M.S Drs. Supriyono, M. Si
NIP . 1300781011 NIP . 130815345
Pembimbing Utama Ketua Penguji
Drs. Supriyono, M.Si Drs. Khaerun, M.S
NIP . 130815345 NIP.131813671
Pembimbing Pendamping Anggota Penguji I
Walid, S. Pd, M. Si Drs. Supriyono, M.Si
NIP . 132299121 NIP . 130815345
Anggota Penguji II
Walid, S. Pd, M. Si
NIP . 132299121
iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO
“ … Allah mengangkat orang-orang yang beriman dan berilmu
pengetahuan diantara kamu akan beberapa derajat (Q.S.Al-
Mujadalah:11)”
“ … Dan bertanyalah kepada orang yang mempunyai pengetahuan jika
kamu tidak mengetahui (Q.S. An-Nahl :42)”
Jalanilah kehidupan ini dengan keimanan, kesabaran dan ketekunan.
PERSEMBAHAN
Kedua Orang tua
Kakak dan adik tersayang
Seseorang yang aku sayangi
Sahabatku dan teman-teman Mat’01
iv
KATA PENGANTAR
Tiada kalimat yang patut penulis panjatkan kehadirat Allah SWT selain
Alhamdu
hwa dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis tidak
dapat me
NES yang telah memberikan
2. g telah memberikan
3. tika FMIPA UNNES dan pembimbing
4. d, M. Si pembimbing pendamping yang telah memberikan petunjuk
5. ang telah memberikan saran
6. awan Tata Usaha FMIPA UNNES yang telah membantu
7. yang aku sayangi yang selalu memberikan
8. semangat dan
9. pencarian buku-buku pustaka
isan
sripsi ini
lil-lahi robbil’alamin, karena hanya rahmat dan karunianya skripsi yang
berjudul “Estimasi Maksimum Likelihood Model ARIMA (1, 1, 0) Box –
Jenkins” ini dapat diselesaikan. Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian
persyaratan guna mencapai gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika,
Universitas Negeri Semarang.
Penulis menyadari ba
nyelesaikan sendiri tanpa bantuan oranglain, dalam kesempatan ini
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Dr. A. T Soegito, SH, MM, Rektor UN
kesempatan untuk meneruskan pendidikan ke jenjang S1.
Drs. Kasmadi Imam, S, MS Dekan FMIPA UNNES yan
ijin untuk mengadakan penelitian ini.
Drs. Supriyono, M. Si Kajur Matema
utama yang telah memberikan petunjuk dan bimbingan dalam menyelesaikan
sripsi ini.
Walid S. P
dan bimbingan dalam menyelesaikan skripsi ini.
Bapak/Ibu Dosen Matematika FMIPA UNNES y
dan dorongan.
Bapak/Ibu kary
dalam menyelesaikan administrasi.
Orang tua, kakak, adik dan seorang
motivasi dan dukungan kepada penulis dalam mengikuti studi.
Sahabatku Afit, Tuti, Fitri dan Supardi yang telah memberikan
membantu dalam menyelesaikan sripsi ini
Mba Tami yang telah membantu dan dalam
10. Semua pihak yang telah memberikan bantuan dalam penelitian dan penul
v
Penulis hanya dapat memohon, semoga Allah SWT memberikan balasan
kebaikan dan barokah kepada pihak-pihak tersebut. Penulis menyadari bahwa
sripsi ini
Semarang, Oktober 2005
Penulis
masih banyak sekali kekurangannya. Oleh karena itu masukan berupa
saran dan kritik sangat diharapkan demi perbaikan sripsi ini.
Akhirnya penulis berharap semoga sripsi ini dapat bermanfaat dan
menambah khasanah ilmu pengetahuan bagi pembaca.
vi
DAFTAR ISI
JUDUL ............................................................................................................. i
ABSTRAK ....................................................................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN.......................................................................... iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv
KATA PENGANTAR ..................................................................................... v
DAFTAR ISI.................................................................................................... vii
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN ......................................................... ix
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1
A. Latar Belakang Masalah ............................................................. 1
B. Permasalahan ………………………………………………... ... 2
C. Tujuan Penelitian …………………………………………….... 3
D. Manfaat Penelitian....................................................................... 4
E. Sistematika Skripsi ...................................................................... 5
BAB II LANDASAN TEORI........................................................................ 7
A. Konsep Dasar Analisis Runtun Waktu ........................................ 7
1. Stasioner dan Takstasioner.................................................... 8
2. Fungsi Autokovariansi .......................................................... 10
3. Autokorelasi .......................................................................... 11
4. Autokorelasi Parsial .............................................................. 12
5. Metode Box-Jenkins ............................................................. 13
B. Model Runtun Waktu .................................................................. 16
vii
1. Model Runtun Waktu Stasioner ............................................ 17
2. Model Rntun Waktu Nonstasiomer....................................... 29
C.
AB III ME
B.
AB V
Tijauan Distribusi Normal Multivariate ...................................... 33
1. Fungsi Densitas Normal Multivariate Bersama .................... 33
2. Fungsi Likelihood dan Estimasi Maksimum Likelihood ..... 34
B TODOLOGI PENELITIAN ....................................................... 38
A. Studi Pustaka ............................................................................... 38
B. Perumusan Masalah..................................................................... 38
C. Analisis dan Pemecahan Masalah................................................ 38
D. Penarikan Kesimpulan................................................................. 38
BAB IV PEMBAHASAN ............................................................................... 40
A. Inferensi Selisih Pertama Runtun Waktu..................................... 40
1. Menentukan Selisih Pertama Runtun WAktu ...................... 40
2. Fungsi Likelihood Model ARIMA(p,d,o)............................. 45
3. Fungsi Likelihood Model ARIMA (1,1,0)............................ 49
Estimasi Maksimum Likelihood pada Model ARIMA(1,1,0)..... 51
B SIMPULAN DAN SARAN............................................................... 56
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 58
viii
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN
AR (p) : Autoregresif Orde p
q
R (p) dan MA (q)
verage process, yaitu model
ang independent
akukan differensi
ri fungsi P (.)
.) dengan bilangan pokok “e”
t dan Zt-k
kovariansi
)
MA (q) : Moving average orde
ARMA (p, q) : Campuran antara A
ARIMA (p, d, q) : Autoregresif Integrated Moving a
runtun waktu stasioner (p, d, q) setelah dilakukan deferensi tingkat
Zt = Runtun Waktu Stasioner
At : Garisan variabel random y
Wt = Zt . Zt-1 : runtun waktu stasioner setelah dil
P (.) : Fungsi densitas probabilitas
P (.I.) : dist bersama bersyaratan da
L (.I.) : fungsi Likelihood
I (.I.) : Logaritma dari L (.I
E (Zt) = μ : Nilai tengah dari runtun Zt
Τa2 : Variasi dari runtun Zt
Cov (Zt, Zt-k) : Kovariansi Z
Γk : Kovariansi dari runtun Zt
γk, k = 0, 1, ….) : fungsi auto
ρk : autokorelasi dari runtun Zt pada lag k
ρk, k = 0, 1, ….. fungsi autokorelasi (fak
ρ = rk = estimasi fungsi autokorelasi
kγ = Ck : estimasi fungsi autokovariansi
ix
Φk, k = 1, 2, ….. : fungsi autokorelasi parsial (fakp)
i
sformasikan dt ke tt
σ
BZt = Zt-1 : Operator backshift (B)
∇ Zt = Zt – Zt-1 : Operator diferens
ψ (B) : Operator Linier yang mentran
S (Φ) : fungsi jumlah kuadrat untuk Φ
φ :Estimator untuk parameter Φ
2a : estimator untuk parameter 2ˆ aσˆ
( )Bpφ : operator autoregresif sta nsio er tingkat p
λ(B) : Operator autoregresif berubah
x
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
adalah himpunan observasi beraturan dalam waktu
(atau da
ang sebagai suatu realisasi dari
proses s
,…,Zt+r mempunyai fkp bersama
p(Zt1,…
Suatu runtun waktu
lam dimensi apa saja yang lain). Jika pengalaman yang lalu, keadaan
yang akan datang dapat diramalkan secara pasti, maka runtun waktu itu
dinamakan deterministik, dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut.
Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya bisa menunjukkan struktur
probabilitas keadaan yang akan datang suatu runtun waktu, maka runtun waktu
semacam ini dinamakan stokastik (statistik).
Runtun waktu statistik dapat dipand
tatistik (stokastik). Biasanya tidak mungkin diperoleh realisasi yang
lain suatu proses statistik, yaitu tidak dapat diulang kembali keadaan untuk
memperoleh himpunan observasi serupa seperti yang telah dikumpulkan.
Selanjutnya, misalkan Z1,Z2,…,Zn adalah observasi yang telah
diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan observasi
itu. Dengan demikian Zt dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari suatu
variable random Zt yang mempunyai distribusi dengan fungsi densitas
probabilitas (fdp) tertentu, misalnya p(Zt).
Setiap himpunan Zt., misalnya Zt
,Ztr), jika suatu proses statistik mempunyai fkp bersama
p(Zt+n1,…,Zt+nm) yang independen dengan t, sebarang pilihan n1,n2,…,nm yang
mempunyai struktur probabilistik tidak berubah dengan berubahnya waktu.
xi
Proses seperti ini dinamakan stasioner, jika tidak demikian maka proses itu
dinamakan tak stasioner. Apabila definisi kondisi ini berlaku dengan
pembatasan m≥p, dengan p bilangan bulat positif, maka stasioneritas itu
dinamakan stasioner tingkat p.
Untuk proses Gaussian yang didefinisikan dengan sifat bahwa fkp
yang be
ijumpai
dalam p
akstasioneran, maka perlu
dilakuk
rkaitan dengan sebarang himpunan waktu adalah normal multivariate,
stasioneritasnya hanya memerlukan stasioneritas tingkat dua. Dengan demikian
biasanya cukup puas dengan stasioneritas tingkat dua, yang dinamakan
stasioneritas lemah dengan mengharapkan asumsi normalitas berlaku.
Runtun waktu yang stasioner pada umumnya jarang sekali d
raktek, namun stasioneritas merupakan asumsi yang sangat bermanfaat
dalam mengestimasi runtun waktu. Pada tahun 1970-an Box-Jenkins
membahas tentang model runtun waktu klasik, termasuk didalamnya model
autoregresif klasik. Dalam perkembangannya model autoregresif itu
mempunyai dua macam yakni model autoregresif yang stasioner dan model
autoregresif yang tidak stasioner(nonstasioner). Pada runtun waktu yang
stasioner biasanya bisa langsung dilakukan estimasi terhadap parameter-
parameter yang ada, tetapi untuk model runtun waktu yang tidak stasioner
perlu dilakukan langkah untuk menjadikan runtun waktu itu stasioner dulu,
kemudian mengestimasi parameter-parameternya.
Jika data asli menunjukan adanya ketid
an transformasi, apabila ragam runtun aslinya telah stasioner tetapi nilai
tengah runtun menunjukan keadaan yang tidak stasioner, maka untuk
xii
menghilangkan ketidakstasioneran itu digunakan metode pembeda (diferensi).
Cara ini akan membuat runtun waktu selisih (derajat tertentu) nilai-nilai yang
beurutan dari runtun aslinya Zt (ditulis Wt=Zt-Zt-1) menjadi stasioner, yang
dipandang bahwa Zt sebagai integrasi runtun waktu Wt yang dikenal sebagai
proses autoregresife integrated moving average (ARIMA), sehingga ketentuan
yang berlaku pada proses ARMA barlaku pula untuk proses ARIMA.
Proses ARIMA yang tidak mempunyai proses moving average disebut
ARI(p,d
un waktu yang tidak stasioner dikelompokan menjadi dua
yaitu m
) atau ARIMA (p,d,0). Model ini mempunyai beberapa macam model,
diantaranya model autoregresif atau ARIMA(1,d,0), (2,d,0), (1,1,0), (2,1,0),
(2,2,0) dan (p,d,0).
Model runt
odel runtun waktu tak stasioner (nonstasioner) homogen dan runtun
waktu tak stasioner (nonstasioner) tak homogen. Runtun waktu nonstasioner
yang homogen ditunjukkan oleh selisih (perubahan) nilai-nilai yang berurutan
adalah stasioner. Proses runtun waktu ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins klasik
ditulis dalam bentuk:
( ) ta=μ
Z1, Z2 , …, Zn adalah sekumpulan observasi dan
telah d
tZBB −−−φ 1)1( 1
Selanjutnya misalkan
iidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan
observasi itu, dengan memandang observasi itu sebagai variabel random yang
diambil dari distribusi bersama ),,/( 21 aWp σμφ , dengan 1φ , μ dan
2σ adalah parameter-parameter y etahui, sed g a ang tidak dik an kan W
unjukan barisan atau vektor yang stasioner dan merupakan selis men ih
xiii
observasi di atas. Dari fungsi bersama tersebut dapat ditentukan estimasi
maksimum likelihoodnya.
Dari uraian di atas, penulis tertarik ingin mengadakan penelitian
tentang
B.
rkan uraian di atas, maka permasalahan yang akan dikaji
dalam
C.
an penelitian ini adalah :
a. M uk fungsi likelihood dari model
b. r yang ada pada model
D. Manfaat Penelitian
iharapkan dapat memberikan manfaat antara lain:
1. Bag yang
2. t memberikan sumbangan pengetahuan dan
estimasi maksimum likelihood model ARIMA (1,1,0)
Permasalahan
Berdasa
penelitian ini adalah : Bagaimana cara menentukan nilai-nilai
parameter pada model ARIMA (1,1,0) yang homogen dengan
menggunakan metode maksimum likelihood ?
Tujuan Penelitian
Adapun tuju
empelajari cara mengkontruksi bent
aoutoregresif, khususnya model ARIMA (1,1,0)
Menentukan estimator untuk parameter-paramete
ARIMA (1,1,0) dengan menggunakan metode estimasi maksimum
likelihood
Penelitian ini d
i peneliti diharapkan dapat menambah wawasan pengetahuan
lebih luas terutama yang berkaitan dengan masalah estimasi model
ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins.
Secara umum diharapkan dapa
gambaran tentang estimai model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins.
xiv
E. Sistematika Skripsi
Secara garis besar skripsi ini dibagi menjadi tiga bagian yaitu bagian
awal, bagian isi, dan bagian akhir.
Bagian awal terdiri dari halaman judul, abstrak, halaman
pengesahan,halaman motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar
tabel, daftar gambar dan daftar lampiran.
Bagian isi terdiri dari
BAB I : Pendahuluan
Mengemukakan tentang alasan pemilihan judul, permasalahan,
tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan
skripsi.
BAB II : Landasan Teori
Menguraikan tentang konsep dasar analisis runtun waktu dan
tinjauan distribusi normal multivariate serta fungsi likelihood.
BAB III : Metode Penelitian
Bab ini berisi tentang metode yang digunakan dalam penelitian
yang meliputi studi pustaka, perumusan masalah, analisis dan
pemecahan masalah serta penarikan kesimpulan.
BAB IV : Hasil Penelitian dan Pembahasan
Membahas tentang penentuan selisih proses autoregresif tak
stasioner sehingga menjadi stasioner. Selanjutnya membahas
tentang fungsi likelihood untuk model ARIMA (1,1,0) dan
model-model autoregresif, serta estimasi maksimum likelihood
pada autoregresif (ARI) dan estimasi likelihood pada model
autoregresif Box-Jenkins yang homogen.
BAB V : Penutup
Bab ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab
sebelumnya dan saran-saran yang diberikan peneliti berdasarkan
simpulan yang diambil.
xv
Adapun bagian akhir dari skripsi berisi daftar pustaka dan lampiran-
lampiran yang mendukung skripsi.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Konsep Dasar Analisis Runtun Waktu
Pada bagian ini akan dikemukakan beberapa definisi yang menyangkut
pengertian dan konsep dasar analisis runtun waktu.
Definisi 1
Runtun waktu adalah himpunan observasi terurut dalam waktu atau dalam dimensi lain. (Zanzawi, 1987 : 2.2).
Dalam pembahasan ini runtun waktu dinotasikan dengan Zt , jika t∈A, dengan A bilangan asli, maka Zt
adalah berupa runtun waktu diskrit, sedangkan jika t∈ℜ , dengan ℜ bilangan real, maka Zt adalah runtun waktu kontinu. Jika runtun waktu didasarkan terhadap sejarah nilai observasi itu diperoleh, maka runtun waktu dapat dibedakan antara runtun waktu deterministik dan stokastik.
Definisi 2
Runtun waktu deterministik adalah runtun waktu dengan nilai observasi yang akan datang dapat diramalkan secara pasti berdasarkan observasi lampau. (Zanzawi, 1987 : 2.2).
Definisi 3
xvi
Runtun waktu stokastik adalah runtun waktu dengan nilai observasi yang akan datang bersifat probabilistik, berdasarkan observasi yang lampau. (Zanzawi, 1987 : 2.2).
1. Stasioner dan Takstasioner
Himpunan obsevasi dari runtun waktu stokastik yang telah didapat tidak akan diperoleh kembali dengan mengadakan proses stokastik yang lain, sebab runtun waktu stokastik merupakan suatu realisa dari suatu proses statistik (stokastik), sehingga untuk sebarang Zt dapat dipandang sebagai suatu realisa dari suatu variabel random Zt yang mempunyai distribusi dengan densitas probabilitas (fdp) tertentu, sebut p(Zt ). Setiap himpunan Zt , misalnya Zt,Zt,....,Ztmempunyai fdp bersama pZt,Zt,....,Zt, sehingga dari uraian di atas dapat di turunkan definisi proses stasioner dan proses tak stasioner.
Definisi 4
Jika suatu proses stokastik yang mempunyai fkp bersama P(Zt + n1, Zt + n2, Zt + n3, . . ., Zt + nk) yang independen terhadap t, sebarang bilangan bulat k dan sebarang pilihan n1, n2, . . ., nk dengan sifat bahwa struktur probabilistiknya tidak berubah dengan berubahnya waktu, maka proses seperti ini dinamakan stasioner. Jika tidak demikian dinamakan tidak stasioner.(Zanzawi, 1987: 2.4)
Jika hal tersebut berlaku tetapi dengan pembatasan m ≤ p, dimana
p bilangan bulat positip, maka stasioneritas itu kita namakan stasioneritas
tingkat p. Selanjutnya jika runtun waktu Zt stasioner, maka nilai tengah
(mean), variansi, dan covarian runtun waktu tersebut tidak dipengaruhi
oleh berubahnya waktu pengamatan, sehingga:
Nilai tengah: ( ) ( )nttz ZEZE +==μ
Variansi : ( ) ( )222zntztz ZZE μμσ −=−= +
Covarians : ( )( )zktztk ZZE μμγ −−= +
= ( )( )zkmtzmt ZZE μμ −− +++
untuk t,m,ksebarang.
Dengan kata lain : jika Zt stasioner maka distribusi probabilitas
pada sebarang waktu t1,t2,...,tm harus memiliki distribusi yang sama pada
waktu t1+k,t2+k,...,tm+k , dengan k sebarang pergeseran sepanjang sumbu
waktu. Untuk m=1, maka p(Zt) = p(Zt+k), sehingga distribusi marginal
tidak bergantung waktu, yang menyebabkan E(Zt)=μ dan Var(Zt)= 0γ .
xvii
Untuk proses normal ( Gaussian) yang didefinisikan dengan sifat
bahwa fdp yang berkaitan dengan sebarang waktu adalah normal
multivariate, stasioneritasnya hanya memerlukan stasioner tingkat dua,
sehingga biasanya cukup puas dengan stasioner tingkat dua, yang disebut
dengan stasioner lemah, dengan mengharapkan asumsi normal berlaku.
Mengingat definisi 4 di atas, maka runtun waktu dapat
dikelompokan menjadi dua yaitu : i) runtun waktu stasioner dan ii) runtun
waktu tak stasioner. Untuk runtun waktu tak stasioner dibedakan menjadi
dua yaitu runtun waktu tak stasioner homogen dan runtun atau tak
stasioner tak homogen. Berdasarkan uraian ini maka dapat diturunkan
definisi di bawah ini .
Definisi 5
Runtun waktu tak stasioner yang homogen adalah yang waktu yang
selisih (perubahan) nilai-nilai yang berurutan stasioner. (Zanzawi,
1987: 4.2)
Berdasarkan definisi 5, maka dapat dikatakan bahwa runtun waktu
tak stasioner homogen adalah runtun waktu yang mempunyai selisih
derajat tertentunya adalah stasioner. Dalam skripsi ini runtun waktu yang
homogen yang akan menjadi objek penelitian.
2. Fungsi Autokovariansi
xviii
Telah diperoleh bahwa dalam proses stasioner lemah mean proses
itu menyebabkan E[Zt]=μ , variansi proses itu V(Zt)= Oγ cov(Zt ,
Zt+k)= kγ , dengan μ dan kγ untuk semua k adalah konstan. Dalam hal ini
μ adalah mean proses itu dan kγ adalah autokovarian pada lag k. Pada
proses stasioner lemah variansinya adalah konstan, yaitu :
V(Zt)= =2zσ Oγ
Juga untuk semua bilangan bulat k k−γ = kγ , dan juga karena :
ktktktt ),Cov(Z),Cov(Z)Z, Z( Cov γ=== +++ ktt ZZ (2.1)
Sehingga yang perlu ditentukan adalah kγ untuk semua k≥0.
Definisi 6
Himpunan kγ :k=0,1,2,3,... disebut fungsi autokovariansi.
(Zanzawi ,1987:2.5)
Definisi 7
Autokorelasi pada lag k ditulis dengan :
( )( ) ( ) ( ) 0
k
21
0021
k-tt
k-ttk
,ZV,ZV
Z,Zcovγγ
γγ
γρ === k (2.3)
(Zanzawi, 1987: 2.5)
Definisi 8
Himpunan 0,1,2,...k :k =ρ dengan 0ρ =1 disebut fungsi
autokorelasi (fak)
3. Autokorelasi
xix
Dari suatu runtun waktu yang stasioner Z1,Z2,...,Zn, mean μ dan
fungsi autokovariansi kγ : k=0,1,2,...dapat diestimasi dengan
menggunakan statistik :
∑=
==n
1ttZ
n1 Z μ
( )( )ZZZZn1C ˆ k-t
n
1ttk −−== ∑
=
γ untuk k=0,1,2
Unrtuk mendapatkan harga estimasi yang cukup baik biasanya diperlukan
n>50, dan harga Ck yang dibutuhkan sekitar k<n/4. Nilai kρ diestimasi
dengan 0
kkk C
Crˆ ==ρ (2.2)
Untuk proses normal yang stasioner, rumus Bartlett menanyakan bahwa
dengan mengganggap kρ =0 untuk semua k>0 diperoleh :
∑+=
≈k
skis-i1-kk N
1)r,Cov(r ρρ i
dengan mengambil s=0, maka untuk k>K
( ) ∑−=
≈k
kiik N
rV 21 ρ (2.3)
Untuk N yang sangat besar jika 0=kρ maka rk mendekati distribusi
normal. Dalam prakteknya iρ dapat diganti dengan ri sehingga menjadi:
xx
( )2k
22
210kk-
21k-
2k-
2
k
-ki
2ik
r...rrr...rrN1 N1)V(r
+++++++=
≈
=++
=∑ρ
dengan 1r0
000 ===
γγ
ρ , maka diperoleh
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+= ∑
=
k
1i
2ir21
N1
Jadi ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+≈ ∑
=
k
1i
2ik r21
N1rV (2.4)
Sedangkan akar positif adalah sesatan standar rk untuk lag besar, sehingga
( )kk rV)SE(r ≈
4. Autokorelasi Parsial
Fungsi Autokorelasi parsial (fakp) dinotasikan dengan
,...2,1: =kkk φ , yakni himpunan autokarelasi parsial untuk lag k
didefinisikan sebagai berikut :
k
kkk
−
−=
ρ
ρφ
*
(2.5)
dengan k−ρ : matriks autokorelasi kxk dan : matriks autokorelasi
dengan kolom terakhir diganti dengan
*kρ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
.
.
.
ρ
ρρ
Nilai estimasi diperoleh dengan mengganti dengan rkkφ iρ i.
xxi
Untuk lag yang cukup besar dimana fakp menjadi sangat kecil nilainya
hingga mendekati nol ( 0=ir ) dari persamaan (2.3) maka diperoleh
persamaan :
Var ( )kkφN1
≈
Untuk N besar dianggap mendekati distribusi normal. kkφ
5. Metode Box-Jenkins
Analisis runtun waktu Zt yang dikembangkan menurut metode
Box-Jenkins menggunakan dua operator, yaitu operator backshift B dan
operator differensi∇ . operator backshift B didefinisikan sebagai:
BZt = Zt – 1
Sedangkan operator differensi ∇ dideffinisikan sebagai:
Z∇ t = Zt – Zt – 1
sehingga kedua operator mempunyai hubungan:
∇ . Zt = Zt – Zt – 1
= Zt – BZt
= (1 – B) Zt, jadi ∇ = (1 – B)
Adapun model proses stokostik yang sering digunakan adalah bentuk:
ϕ (B) Zt = θ (B) at (2.6)
Dengan ϕ (B) dan θ (B) adalah polinomial dan at: t = 1,2,3.....
adalah barisan variabel random independen dan distribusi normal dan
dengan E[at] = 0, var [at] = E [at2] = σ2 serta Cov (at, at-k) = 0;
xxii
at:t=1,2,3,....... merupakan suatu runtun getaran yang dibangkitkan oleh
proses white noise (gerakan random).
Persamaan (2.6) dapat ditulis dengan bentuk:
Zt = taBB
)()(
φθ atau
Zt = taB)(Ψ
Dengan = taB)(Ψ taBB
)()(
φθ , dengan demikian Zt dapat dipandang sebagai
runtun yang dihasilkan dengan melewatkan proses white noise at
melalui kombinasi linear (filter linear) dengan fungsi transfer .
Kondisi ini menunjukkan operasi linear filter yang mempresentasikan
runtun waktu sebagai hasil dari linear filter jumlah tertimbang dari
observasi sebelumnya, yakni
)(BΨ
Zt = µ + at + Ψ 1at-1 + Ψ 2at-2 + Ψ 3at-3 + .........
Zt = µ + (B)aΨ 1 (2.7)
Dengan (B) = 1 + ZΨ t = Ψ 1 (B) + Ψ 2 (B) + Ψ 3 (B) + ........
adalah operator linear yang mentransformasikan at ke Zt merupakan
fungsi transfer atau filter.
Atau dapat ditulis dalam bentuk:
Zt - µ = at + Ψ 1at-1 + Ψ 2at-2 + Ψ 3at-3 + .........
tZ = (2.8) ∑∞
=−Ψ+
1jjtjt aa
dengan tZ μ−= tZ .
xxiii
Bentuk ini merupakan devisa proses itu dari titik referensi, atau
meannya jika proses itu stasioner. Barisan itu biasanya disebut proses white-
noise atau random shocks.
Selanjutnya dari persamaan tersebut diperoleh :
E(Zt) = µ
(2.9) ∑∞
=
Ψ=−==0
222)()(j
tto jZEZV σμγ
dengan menggunakan nilai E(at-i,at-j)
( )( )kttk ZZ −−= μγ (2.10)
( )( )
( )
∑∞
=+
+
−−−−−=−−−
ΨΨ=
+ΨΨ+Ψ=
+Ψ+Ψ+Ψ++Ψ+Ψ+=
0
2
212
111122111
........1
...........
jkjj
kk
ktktktkktktt aaaaaaaE
σ
σ
sehingga persamaan autokorelasi pada lag k dapat ditulis dalam bentuk :
0
0
2
0
γγ
ρ k
jj
jkjj
k =Ψ
ΨΨ=
∑
∑∞
=
∞
=+
(2.11)
jika jumlah bobot Ψ j tak hingga, maka diasumsikan bahwa bobot itu
konvergen secara absolute atau jΨ < ∞ . Sebagai contoh jika
01 =Ψ−=Ψ jdanφ untuk j>1. maka proses white-noise dapat ditulis
menjadi :
1−−=− ttt aaZ φμ (2.12)
xxiv
Secara umum untuk jj φ−=Ψ maka persamaan persamaan white-
noise menjadi :
...........22
1 +++=− −− tttt aaaZ φφμ
( )
( ) tt
tttt
aZ
aaaa
+−=
++++=
−
−−−
μφ
φφφ
1
22
21 .....
Model ini dalam runtun waktu dikenal dengan model autoregresif tingkat
(orde) satu, selanjutnya untuk memenuhi keadaan stasioner maka φ < 1 .
B. Model Runtun Waktu
Model Runtun waktu dapat dikelompokan menjadi dua yaitu (1)
kelompk runtun waktu stasioner, dan (2) kelompok runtun waktu tak
stasioner(nonstasioner). Kelompok runtun waktu pertama meliputi proses
autoregresif, untuk orde p ditulis AR(p), moving average untuk orde q ditulis
MA(q), dan model campuran autoregresif-moving average, jika masing-
masing berorde p dan q maka model ini ditulis ARMA (p,q).
Sedangkan kelompok kedua merupakan kelompok runtun waktu yang
banyak dijumpai dalam praktek, dalam hal ini runtun waktu nonstasioner yang
mempunyai selisih (derajat tertentu) nilai-nilai yang berurutan dari runtun
aslinya Zt yaitu Zt-Zt-1=Wt adalah stasioner. Dalam proses ini Zt dipandang
sebagai integrasi runtun Wt , yang dikenal dengan autoregressive integrated
moving average proses (ARIMA), sehingga ketentuan yang berlaku pada
model ARMA berlaku pula pada model ARIMA. Suatu runtun waktu
xxv
nonstasioner setelah diambil selisih ke-d menjadi stasioner yang mempunyai
model AR(p) dan model MA(q) ditulis dengan ARIMA(p,d,q).
Kedua kelompok model runtun waktu tersebut, dapat dipandang
sebagai model ARIMA, dengan melihat nilai p,q dan tingkat selisih d: nilai
untuk d model stasioner adalah 0. Sehingga untuk model stasioner AR(p)
dapat ditulis ARIMA (p,0,0), model stasioner MA(q) dapat ditulis
ARIMA(0,0,q) dan model stasioner ARMA (p,q) dapat ditulis ARIMA(p,0,q)
uraian untuk masing-masing kelompok model runtun waktu dibahas pada
bagian berikut ini.
1. Model Runtun Waktu Stasioner
a. Proses-proses Autoregresif
1) Proses auotoregresif Orde 1[AR(1)]
Model AR(1) telah dikemukakan pada bagian (2.7), oleh karena itu
pembahasan pada bagian ini mengacu model (2.12) yang dapat ditulis
dalam bentuk
( ) t1-tt aZ~Z~ =−φ dengan μ−= tt ZZ~ (2.13)
Jika operator Backshift B diterapkan pada model (2.13) maka dapat ditulis
menjadi :
ttt aZZ += −1φ (2.14)
( )
( )
Μtttt
tttt
ttt
ttt
aaZ
aaaZ
aaaZ
aaZ
+++=
+++=
++=
++=
−−−
−−−
−−
−−
122
33
1232
122
12
~
~
~
~
φφφ
φφφ
φφ
φφ
xxvi
Sehingga diperoleh bentuk
...~4433221 +++++= −−−− tttttt aaaaaZ φφφφ (2.15)
Jika operator B diterapkan pada persamaan (2.15) maka diperoleh bentuk
tttttt aaaaaZ ...)BBBB1(~4
443
332
2211 +++++= −−−− φφφφ
( ) ta1B1 −−= φ
dengan ( ) ( )...BBB1B1 33
22
1 ++++=− − φφφφ
Dalam pernyataan ini harus dicatat bahwa 1<φ yang merupakan
syarat stasioner. Selanjutnya untuk memudahkan penulisan diambil 0=μ
sehingga tt ZZ =~ dan 11~
−− = tt ZZ , dengan demikian persamaan (2.14)
dapat ditulis menjadi
ttt aZZ += −1φ (2.16)
2) Proses Autoregresif Order 2[AR(2)]
Model AR(2) dapat diperoleh dengan cara yang sama dengan
model AR(1) dari persmaan (2.9), sehingga diperoleh :
(2.17) ttt aaaZ ++= −− 221 φφ
dengan menggunakan operator backshift B. Bentuk persamaan (2.17)
dapat ditulis bentuk :
tt aZ =−− )BB1( 221 φφ (2.18)
3) Proses Autoregresif Order p[AR(p)]
Bentuk AR(p) diperoleh cara yang sama pada AR(1) dan AR(2),
sehingga model autoregresif tingkat p adalah :
xxvii
tptpttt aaZZZ ++++= −−− φφφ ...2211
Terlihat bahwa model AR(p) dapat dipandang sebagai data Zt yang
diregresikan pada p nilai Zt yang lalu, dalam hal ini pengamatan yang
lalu yaitu Z1,Z2,...,Zt-p.
Jika operator backshift B diterapkan pada proses ini maka model (2.18)
dapat ditulis dalam bentuk :
ttp
p aZ =−−−− )B...BB1( 221 φφφ
atau ( ) tt aZB =φ
dengan ( ) ppB...B1B 2
21 φφφφ −−−−=
b. Autokorelasi Proses-proses Autoregresif
1) Autokorelasi Proses-proses AR(1)
Dalam penelitian ini akan dibahas dua cara untuk mencari
autokorelai dengan menggunakan pendekatan yang berbeda .
Cara pertama adalah cara penggunaan langsung (2.9) dan (2.10)
dengan sehingga diperoleh ji φψ =
∑∞
=
=0
220
ijψσγ
( )
2
2
22
422
2
0
2
1
11
...1
φσ
φσ
φφσ
φσ
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
+++=
= ∑∞
=
j
j
xxviii
dengan 1<φ
kji
jk +
∞
=∑= ψψσγ
0
22
k=0,1,2,3,.... ∑∞
=
+=0
2
j
kjjφφσ
( )
2
2
422
1
...1
φφσ
φφφσ
−=
+++=k
k
dengan 1<φ
sehingga fungsi autokorelasinya adalah :
( )2
2
2
2
0
11 σ
φφφσ
γγ
ρ −⋅
−==
kk
k
dengan k=0,1,2,3,... kφ=
Cara kedua merupakan cara dengan pendekatan yang dapat
digunakan secara umum untuk proses yang lain. Cara ini diperoleh dari
persamaan (2.16) ttt aZZ += −1φ
yaitu dengan mengganti Zt-k pada persamaan (2.16) kemudian
mengambil harga harapannya (Box-Jenkins :1976), maka diperoleh:
E(Zt,Zt-k)=φ E(Zt-1,Zt-k) + E(at Zt-k)
( )kttkk ZaE −− += 1φγγ
dengan ( ) ( ) ⋅⋅⋅+++= −−− 22
1 ttttktt aaaaEZaE φφ
karena untuk nilai
k=0 ( ) ( ) ⋅⋅⋅+++= −−− 22
1 ttttktt aaaaEZaE φφ = dan 2σ
xxix
k>0 ( ) ( ) ⋅⋅⋅+++= −−− 22
1 ttttktt aaaaEZaE φφ =0
maka diperoleh
21
210 σφγςφγγ +=+= −k
1−= kk φγγ dengan k=1,2,3,... (2.19)
subsitusikan 01 φγγ = ke persamaan (2.19) diperoleh :
2
2
0 1 φφσγ
−= dan 2
2
1 1 φφσγ
−= (2.19a)
pembagian (2.19) yaitu
10
1
0
1
0−
−− ==== kkkk
k φργγ
φγφγ
γγ
ρ
jadi 1−= kk φρρ untuk k=1,2,3,...
2) Autokorelasi Proses AR(2)
Autokorelasi pada proses AR(2) diperoleh dengan menggunakan
pendekatan cara kedua pada AR(1), yaitu :
Persamaan pada (2.17) dikalikan dengan Zt-k kemudian diambil harga
harapannya, sehingga diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( )kttkttkttktt ZaEZZEZZEZaE −−−−−− ++= 2211 φφ
atau ( )kttkkk ZaE −−− ++= 2211 γφγφγ
dengan Zt-k bergantung terhadap at-k,at-k-1,...
sehingga diperoleh
( )⎩⎨⎧
==
=− ,.....2,1....,00........,2
kuntukkuntuk
zaE kttσ
untuk k=0 22211
222110 σγφγφσγφγφγ ++=++= −−k
xxx
2211 −− += kkk γφγφγ untuk k>0 (2.20)
dan autokorelasinya adalah
0
22
0
11
0
2211
0 γγ
φγγ
φγ
γφγφγγ
ρ −−−− +=+
== kkkkkk
(2.21) 2211 −− += kk ρφρφ
Bentuk persamaan diferensinya dari persamaan (2.21) adalah
0)1( 221 =−− kBB ρφφ
untuk k=1, bentuk (2.21) menjadi 12`112011 ρφφρφρφρ +=+= −
sehingga `1121 φρφρ =− −
`121 )1( φφρ =− maka 2
11 1 φ
φρ
−= untuk k=2, persamaan (2.21) menjadi
21`1021012 φρφρφρφρ +=+= −
22
21
22
11
1
1
φφ
φ
φφ
φφ
+−
=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
Untuk lag k yang lain, digunakan persamaan (2.20) dalam menghitung
kρ secara rekursif (berulang), dengan langkah sebagai berikut :
2
0
202
0
1010 σ
γγ
γφγγ
γφγ ++=
222110 )1( σρφρφγ =−− (2.22)
xxxi
dengan subsitusi 1ρ dan 2ρ pada persamaan (2.22), maka diperoleh
variansi untuk Zt sebagai berikut :
22
2
21
21
110 ))
1(
11( σφ
φφ
φφφ
φγ =+−
−−
−
222
2
212
1
12
0 )11
1( σφφφφ
φφγ =+
−−
−−
( ) 2
2
222
212
212
0 111
σφ
φφφφφφγ =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−−−
( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+−
==2
12
21
221
02
11)1(
φφφσφ
γσ z
supaya setiap faktor dalam penyebut positif haruslah :
1;1;1 21212 <+−<+<− φφφφφ
yang memberikan daeerah stasioner, ini berarti 12 <φ
3) Autokorelasi Proses AR(p)
Autokorelasi untuk AR(p) sejalan dengan proses AR sederhana
dengan cara kedua, yaitu dengan mengalikan persamaan (2.18) dengan
Zt-k dan selanjutnya harga harapannya, maka diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kttktptpkttkttktt ZaEZZEZZEZZEZZE −−−−−−−− ++++= φφφ ..2211
( )kttpkpkkk ZaE −−−− ++++= γφγφγφγ ...2211
karena untuk k=0 nilai E(at Zt-k)= , k>0 nilai E(a2σ t Zt-k)=0, maka
diperoleh
xxxii
22211 ...
0σγφγφγφγ ++++= pp
pkpkkk −−− +++= γφγφγφγ ...2211 (2.23)
dari persamaan pertama (2.23) dengan cara yang sama pada proses
autoregresif tingkat dua, maka diperoleh :
ppρφρφρφσγ
−⋅⋅⋅−−−=
2211
2
0 1
Autokorelasi diperoleh dari kedua persamaan (2.23) yaitu :
pkpkkkk
−−− +⋅⋅⋅++== ρφρφρφργγ
22110
untuk k>0 (2.24)
Dengan p persamaan pertama dari persamaan (2.24) dikenal sebagai
persamaan Yule Walker yaitu :
ppk φρφρφρ 12211:1 −+⋅⋅⋅++==
ppk φρφφρρ 22112:2 −+⋅⋅⋅++== (2.25)
Μ
pkpppk φφρφρρ +⋅⋅⋅++== −− 2211:
Bentuk matriks dari persamaan (2.25) adalah : φρ P= dengan
( )pρρρρ ,...,, 21= ( )pφφφφ ,...,, 21=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−−−
−
−
1
11
322
211
121
ppp
p
p
P
ρρρ
ρρρρρρ
ΜΜΜΜ
Λ
Parameter autoregresif φ dapat dinyatakan sebagai fungsi p autokorelasi
dengan menyelesaikan sistem persamaan (2.25) yaitu
xxxiii
ρφ 1−= P
Untuk model AR(1) persamaan Yule Walker diberikan dengan
φρ =1
sedangkan untuk model AR(2) persamaan Yule Walker diberikan
dengan
2112
2111
φφρρφρφρ
+=+=
yang dapat dinyatakan dalam benuk matriks sebagai berikut :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
1
1
2
1
11
φφ
ρρ
ρρ
dari bentuk matriks ini diperoleh
( )1
211 1
1ρρρ
φ−−
= dan 21
212
2 1 ρρρ
φ−
−=
dengan 11 r=ρ dan 22 r=ρ diperoleh harga estimasi awal untuk
, sedangkan untuk menentukan jenis model diantara model
yang berbeda, diperlukan pembahasan tentang fungsi autokorelasi
parsial.
21ˆdan ˆ φφ
c. Autokorelasi Parsial Proses Autoregresif
Auokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai koefesien
regresi kkφ dalam bentuk kktkktktkk aZZZZ ++++= −−− φφφ ....2211 . Bentuk
ini mengukur korelasi anatara Zkdan Zt-k sesudah penyesuaian dibuat untuk
variabel tengah Zt-1 Zt-2,...,Zt-k+1. Autokorelasi parsial pada lag 1 diberikan
oleh koefisien regresi parsial dalam bentuk :
xxxiv
ttt aZZ += −111φ
Persamaan Yule Walker Untuk model AR(1), memberikan
111 ρφ = , hal ini karena tidak variabel tengah antara Zt-1 dan Zt
Autokorelasi parsial pada lag 2 diberikan oleh koefesien regresi
parsial 22φ dalam bentuk :
tttt aZZZ ++= −− 222111 φφ
Dari persamaan Yule Walker untuk model AR(2) diperoleh:
221112
221111
φφρρφρφρ
+=+=
koefesien 22φ dapat dinyatakan sebagai :
( )( )2
1
212
22 1 ρρρ
φ−−
=
secara umum,autokorelasi parsial lag k ( kkφ ) diperoleh dari persamaan
Yule Walker, yang dalam notasi matriks adalah sebagao berikut:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
−
kppp
p
p
k φ
φφ
ρρρ
ρρρρρ
ρ
ρρ
ΜΜΜΜΜ
Λ
Μ2
1
321
21
121
2
1
1
111
Autokorelasi parsial kkφ sebagai fungsi autokorelasi parsial.
Untuk mendapatkan kkφ , maka
xxxv
1
11
11
121
231
121
121
231
121
ρρρ
ρρρρρρρρρρ
ρρρρρρ
φ
−−
−−
−−
−−
−
−
=
kk
kk
kk
kkk
k
k
kk
ΜΜΜΜΛΛΛ
ΜΜΜΜΛΛ
Berberapa bentuk fungsi autokorelasi parsial proses autoregersif adalah
sebagai berikut
AR(1): 111 ρφ = ; kkφ =0, untuk k>1
AR(2): 111 ρφ = ; ( )( )2
1
212
22 1 ρρρ
φ−−
= ; kkφ =0, untuk k>2
AR(p): pkuntuk ,0dan ; untuk 0;0 kkkkpp11 >=≤≠≠ φφφφ p
Sifat-sifat fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dapat
digunakan untuk menetukan jenis proses autoregresif.
d. Proses Moving Average Order q[MA(q)]
Proses moving average tingkat q dikontruksikan dari model (2.9)
dengan jj θψ = dan 0=jψ untuk j>q, sehingga model MA(q) adalah :
tqtqttt aaaaZ +++++= −−− θθθμ ....2211 (2.26)
dengan ( )22,0~ σNat
Apabila operator backshift diterapkan pada persamaan (2.26), maka
diperoleh :
tqtqttt aaaaZ +++++= −−− θθθμ ....2211
tt aBaZ )(θμ +=
xxxvi
dengan ( ) )...1( 221
qq BBBB θθθθ ++++=
Fungsi autokorelasi MA(q) diperoleh dengan menggunakan cara
kedua seperti pada proses autoregresif order p, yaitu dengan mengalikan
kedua sisi persamaan(2.26) dengan Zt-k, kemudian mengambil nilai
harapannya. Sehingga diperoleh fungsi autokovariansinya sebagai berikut:
( ) 22211 ... σθθθθθθθγ
qkqkkkk −++ ++++−= (2.27)
untuk k=0 maka
( ) 2222
210 ...1 σθθθγ q++++=
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤≤++++
++++−==
−++
qk
qkq
q
qkqkkkk
k
;0
1;...1
...22
22
1
2211
0θθθ
θθθθθθθ
γγ
ρ (2.28)
Estimasi awal dari parameter-parameter diperoleh dengan
mensubsitusikan nilai autokorelasi empirik rk untuk kρ pada persamaan
(2.28) dan menyelesaikannya. Fungsi autokorelasi untuk model MA(1)
diperoleh dari persamaan (2.28), dengan q=1, sehingga diperoleh :
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
=+=
2;0
1;1 2
1
1
1
k
kθθ
ρ (2.29)
Estimasi awal dari 1θ diperoleh dengan cara mengganti 1ρ dan r1 pada
persamaan (2.29) dan menyelesaikannya, dengan syarat 11 <θ .
Fungsi autokorelasi untuk model MA(2) diperoleh dari persamaan
(2.28), dengan q=2 sehingg a diperoleh
xxxvii
22
21
211 1
)1(θθθθ
ρ++−−
= (2.30)
22
21
22 1 θθ
θρ
++−
=
kρ =0;k≥3
Estimasi awal dari 1θ dan 2θ diperoleh dengan cara mengganti 1ρ dan 2ρ
berturut-turut dengan r1dan r2 pada persamaan (2.30).
II. Model Runtun Waktu Nonstasioner
Pembentukan model yang tepat dalam runtun waktu, pada
umumnya menggunakan asumsi kestasioneran, sehingga jika terdapat
kasus ketidakstasioneran, maka data tersebut harus distasionerkan terlebih
dahulu sebelum melangkah lebih lanjut pada pembentukan model runtun
waktu.
Bentuk visual dari plot runtun waktu seringkali cukup
menyakinkan bahwa suatu runtun waktu stasioner atau tidak stasioner,
akan tetapi akan lebih menyakinkan lagi dengan membuat plot nilai-nilai
autokorelasi tersebut turun sampai nol dengan cepat, sesudah lag kedua
atau ketiga, maka data tersebut dapat dikatakan stasioner. Sedangkan jika
nilai-nilai autokorelasinya turun sampai nol dengan lambat atau berbeda
secara signifikan dari nol, maka data tersebut tidak stasioner.
Menurut Box-Jenkins (1976), bahwa runtun waktu yang tidak
stasioner dapat diubah menjadi runtun waktu yang stasioner dengan
melakukan deferensi berturut-turut, yaitu dengan melihat barisan ∆Zt,
xxxviii
∇Zt, ....... dengan ∇ adalah operator diferensi, yang mempunyai nilai
(1 – B) atau (∇= - B).
a. Proses Autoregressive Integrated Moving Average (Model
ARIMA)
Berdasarkan uraian di depan telah dikemukakan bahwa runtun
waktu Zt yang takstasioner, dapat diubah menadi stasioner dengan
melakukan differensi Wt = ∇Zt = (1 – B) Zt. Karena Wt merupakan
runtun yang stasioner, maka dapat menggunakan model ARMA untuk
menggambarkan Wt.
Selanjutnya jika didefinisikan :
Wt = Zt – Zt - 1
Maka proses umum model ARMA (p,q) dapat ditulis dalam bentuk:
tptptptpttt aaaWWWW +++++++= −−−−− θθφφφ ............ 112211
Dengan substitusi dua persamaan tersebut, setelah dijabarkan akhirnya
diperoleh:
........21 +++= −− tttt WWWZ
Ini berarti bahwa Zt dapat dipandang sebagai integrasi runtun
waktu Wt, sehingga proses ARMA (p,q) dipandang sebagai integrated
autoregressive-moving average proses disingkat ARIMA. Dengan
demikian proses Arima (p, d, q) untuk Zmerupakan proses ARIMA
(p, q) untuk Wt, ini maka teori runtun waktu stasioner berlaku pula
untuk Wt.
xxxix
Selanjutnya proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian
autoregresif (AR) ditulis sebagai integrated moving average ditulis
sebagai ARIMA (0, d, q). Sedangkan proses ARIMA yang tidak
mempunyai bagian moving average ditulis ARIMA (p, d, 0) atau
autoregresif integrated [ARI(p, d, 0)].
b. Proses ARIMA (p, d, 0)
Bentuk umum proses ARIMA (p, d, 0) adalah :
( ) ttd aZBB =−−Φ μ1)( dengan d ≥ 0
dengan at (t = .....,-1,0,1,2......) variabel random independen terhadap N
(0, σ2a), B menyatakan operator Backshift sehingga BZt = Zt-1,
( ) ( )....1 221
ppBBBB φφφφ −−−−= Pada model ARIMA (p,d,0) diatas
apabila d=0 maka akan diperoleh suatu runtun waktu yang stasioner,
akan tetapi jika d>0 maka akan diperoleh sutu runtun waktu yang tak
stasioner (nonstasioner). Kedua bentuk ini akan dibahas secara detail
pada bagian berikut ini.
1) Model ARIMA (p, d, 0) jika d=0
Model ARIMA (p, d, 0) untuk d = 0 sebagai berikut:
( ) tt aZB =−μφ
atau
( ) tt aZB =φ dengan μ−= tt ZZ
Seperti pada proses AR (1) pada pembahasan sebelumnya, untuk
memudahkan peulisan diambil µ = 0 sehingga diperoleh bentuk :
xl
( ) tt aZB =φ atau
tptpttt
tptptt
aZZZZ
aZZZZ
=+++=
=−−−−
−−−
−−−
φφφ
φφφ
...
....
2211
22111
Terlihat bahwa bentuk tersebut merupakan proses autogresif order p
[AR(p)].
2) Model ARIMA (p, d, 0) jika d>0
Bentuk ARIMA (p, d, 0) untuk d>0 merupakan proses
nonstasioner, menurut uraian di depan telah dikemukakan bahwa
runtun waktu Zt yang nonstasioner dapat dibuat menjadi runtun
waktu yang stasioner dengan jalan melakukan differensi Wt = ∆dZt =
(1 - B)dZt dan substitusi Wt pada model ARIMA (p,d,0), maka
diperoleh bentuk:
( ) tt aWB =−μφ
Menurut Box-Jenkins (1976), untuk d>0 akan cocok jika diambil µ =
0, sehingga diperoleh bentuk:
( ) tt aWB =φ atau
tptptttt aWWWW =−−−− −−− φφφ ....221
Terlihat bahwa Wt merupakan runtun yang stasioner dan merupakan
proses autogresif order p [AR(p)], dengan demikian maka dapat
menggunakan model ARMA untuk menggambarkan Wt.
Selanjutnya jika didefinisikan :
Wt = Zt – Zt-1
Maka proses umum model ARMA (p, q) dapat ditulis sebagai:
xli
tqtqttptpttt aaaaWWWW ++++++++= −−−−−− θθθφφφ ....... 22112211
Sehingga diperoleh persamaan sebagai beriktu:
.....321 ++++= −−− ttttt WWWWZ (2.40)
bentuk ini menunjukan bahwa Zt dapat dipandang sebagai integrasi
runtun waktu Wt, sehingga proses ARMA (p, q) dipandang sebagai
integrated autoregressive-moving average process disingkat
ARIMA. Dengan demikian proses ARIMA (p, d, q) untuk Zt
merupakan proses ARMA (p,q) untuk Wt, ini berarti teori runtun
waktu stasioner berlaku pula untuk Wt.
C. Tinjauan Distribusi Normal Multivariate
I. Fungsi Densitas Normal Multivariate Bersama, distribusi Marinal dan
Distribusi Bersyarat
Mialkan X varibel random berdistribusi normal (univariate) dengan
mean μ dan variansi biasanya dinyatakan dengan X~(2σ μ , ). 2σ
Fungsi densitas dari X adalah :
( ) ∞<<∞∞<<∞⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= μσμ
πσ,,
21exp
21 2
xxxf
dan 0>σ (2.41)
jika X1,X2,...,Xp adalah variabel random berdistribusi independent
N(μ , ), maka vektor random 2σ X =( X1,X2,...,Xp) mempunyai fungsi
densitas bersama:
( ) ( ) ( ) ( )pxfxfxfxf ....21=
xlii
( )( )
∞<<−∞∞<<−∞⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −−= ∑
=ii
p
i i
ii
p
p xx
μσμ
σσσπ,,
21exp
...2
11
2
212
dan 0>iσ ;i-1,2,3,.... (2.42)
II. Fungsi Likelihood dan Estimasi Maksimum Likelihood
Setelah satu atau beberapa model sementara untuk suatu model
sementara suatu runtun waktu kita identifikasikan, langkah selanjutnya
adalah mencari estimasi terbaik atau paling efisien untuk paramter-
parameter dalam model tersebut.
Contoh :
Dipunyai data runtun waktu sebagai berikut
15,5 15,7 15,6 16,7 18,0 17,4 17,9 18,8 17,6 17,0
16,1 15,7 15,9 17,9 20,3 20,4 20,2 20,5 10,9 20,9
21,1 21,4 18,2 20,1 21,4 21,3 21,9 21,3 20,4 20,4
20,7 20,7 20,9 23,0 24,9 26,5 25,6 26,1 27,0 27,2
28,1 28,0 29,1 28,3 25,7 24,5 24,4 25,5 27,0 28,7
29,1 29,0 29,6 31,2 30,6 29,8 27,6 27,7 29,0 30,3
31,0 32,1 33,5 33,2 33,2 33,8 35,5 36,6 36,9 39,0
41,0 41,6 43,7 44,4 46,6 48,3 50,2 52,1 54,0 56,0
Dari data asli setelah dilakukan perhitungan komputer diperoleh
fak dan fakp sebagai berikut:
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xliii
rk
kkφ
0,93
0,93
0,86
-0,03
0,79
-0,02
0,73
-0,01
0,67
0,02
0,62
-0,01
0,58
0,02
0,53
-0,02
0,49
0,01
k 10 11 12 13 14 15 16 17 18
rk
kkφ
0,45
-0,03
0,41
-0,01
0,38
0,02
0,43 0,31 0,29 0,26 0,24 0,22
Telah dihitung W =0,51 45,27=S 23,942 =zS 25,12 =wS,
Dari fak dan fakp ditentukan model AR(1) : t-`tt a)W-(W)W-(W += φ
dengan Wt =Zt – Zt-1.
Diperoleh estimasi parameter φ adalah =rφ 1=0,36 dan
( ) 09,1)36,01(25,11 221
22 =−=−= φσ wa S maka model runtun waktu tersebut
adalah: t-`tt a0,51)-(W36,00,51)-(W += dimana nilai at~N(0, ). 2aσ
Metode untuk mengestimasikan harga parameter dari model suatu
runtun waktu dengan menggunakan metode maksimum likelihood.
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), metode maksimum
likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameter Ω yang bersesuai
dengan harga kemungkinan maksimum dari data observasi sebagai
estimasi dari parameter yang tidak diketahui.
Dalam aplikasi L(θ) menunjukan fungsi densitas probabilitas
bersama dari sample random. Jika Ω ruang parameter yang merupakan
interval terbuka dan L(θ) merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta
diasumsikan maksimum pada Ω maka persamaan maksimum
likelihoodnya adalah.
xliv
( ) ( ) 0=∂∂ θθ
L
Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum
dari L(θ) dapat terpenuhi. Apabila tak terpenuhi maka fungsi L(θ) dapat
dibuat logaritma naturnya, dengan ketentuan jika ln L(θ) maksimum maka
L(θ) juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya
adalah
( ) 0=∂∂ θθ
InL
Definisi 9
Fungsi densitas probabilitas bersama dari n variable random
yang observasi pada dinotasikan
dengan
nXXX .......,,, 21 nxxx ,......,, 21
( )θ,,......, 21 nxxxf . Untuk menentukan fungsi likelihood
dari yang merupakan θ dan dinotasikan dengan L(θ),
dengan adalah sampel random dari fungsi
densitasprobabilitas
nxxx ,......,, 21
nXXX .......,,, 21
( )θ;xf yang fungsi likelihoodnya adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏=
==n
jjn xfxfxfxfL
121 ;;......;; θθθθθ
(Bain dan Engelhardt, 1992 : 290)
Definisi 10
Misalkan
yang merupakan fungsi densitas probabilitas bersama
. Bila diberikan himpunan dari observasi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈== ∏=
θθθθθθ ,;;......;;1
21
n
jjn xfxfxfxfL
nXXX .......,,, 21
xlv
nxxx ,......,, 21 , nilai θ dalam Ω merupakan maksimum dari L(θ)
disebut penduga maksimum likelihood dari θ. Dalam hal ini θ
merupakan nilai dari θ yang memenuhi.
Penduga maksimum likelihood θ dapat dengan menyelesaikan
persamaan ( 0,......,2,1 =∂
)∂kInL θθθ
θ misalkan k parameter yang
tidak diketahui, maka pendugaan parameter likelihood Dari θi
didapat dengan menyelesaikan
( 0,......,2,1 =∂∂
kInL θθθ )θ
, dengan I = 1,2,……,k
(Bain dan Engelhardt, 1992 : 290)
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini metode atau langkah-langkah yang digunakan adalah
sebagai berikut :
xlvi
A. Studi Pustaka
Pada tahap ini dilakukan penelahan sumber-sumber pustaka yang relevan
mengenai estimasi maksimum likelihood model ARIMA(1,1,0) Box-Jenkins
sehingga muncul ide atau gagasan yang akhirnya dapat dijadikan landasan
dalam melakukan penelitian ini.
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan ide atau gagasan yang diperoleh pada tahap sebelumnya,
dirumuskan permasalahan yang berkaitan dengan menentukan nilai-nilai
parameter pada model ARIMA (1,1,0) yang homogen dengan menggunakan
metode maksimum likelihood .
C. Analisis dan Pemecahan Masalah
Dalam tahap ini dilakukan pengkajian dan pemecahan masalah tentang
penentuan selisih proses autoregresif tak stasioner sehingga menjadi stasioner.
Selanjutnya membahas tentang fungsi likelihood untuk model ARIMA
(1,1,0) dan model-model autoregresif, serta estimasi aksimum likelihood pada
autoregresif (ARI) dan estimasi likelihood pada model ARIMA(1,1,0) Box-
Jenkins yang homogen.
D. Penarikan Simpulan
Sebagai tahap akhir dari penelitian, dilakukan penarikan kesimpulan dari
permasalahan yang dirumuskan berdasarkan pada kajian teori dan penerapan
pada permasalahan yang berhubungan dengan penentuan selisih proses
autoregresif tak stasioner sehingga menjadi stasioner. Selanjutnya membahas
tentang fungsi likelihood untuk model ARIMA (1,1,0) dan model-model
xlvii
autoregresif, serta estimasi aksimum likelihood pada autoregresif (ARI) dan
estimasi likelihood pada model ARIMA(1,1,0) Box-Jenkins yang homogen.
BAB IV
PEMBAHASAN
A. Inferensi Proses Autogresif Klasik Box-Jenkins
Bentuk umum proses ARIMA (1,1,0) klasik Box-Jenkins adalah
( ) ( ) tt aZBB =−−Φ μ1 (4.1)
xlviii
dengan ( ) ( ) ( )....,2,1,0,1......,,1 1 −=−= taBB tφφ variabel yang independen N
(0,σa2). B menyatakan operator backshift sehingga BZt = Zt – 1 .
Inferensi model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins biasanya dikerjakan
dalam dua tahap, yaitu:
1. Pada langkah pertama melakukan satu kali proses diferensi untuk suatu
time series (runtun waktu).
2. Langkah kedua mengestimasi parameter-parameter yang ada pada
model ARIMA (1,1,0) Box-Jenkins. Pada langkah kedua ini digunakan
estimasi maksimum likelihood dan estimasi kuadrat terkecil.
Selanjutnya masing-masing langkah tersebut akan dibahas sebagai
berikut.
1. Menentukan selisih (diferensi) pertama runtun waktu
Misalkan Zt didefinisikan seperti pada persamaan (4.1), untuk
sederhananya diambil μ diketahui sama dengan nol. Jika struktur
probabilistik tidak berubah dengan berubahnya waktu, proses ini
dinamakan stasioner. Untuk proses Gaussian yang didefinisikan dengan
sifat bahwa fungsi kepadatan peluang (fkp) yang berkaitan dengan
sembarang himpunan waktu adalah normal multivariate.
Motivasi untuk memusatkan perhatian pada pengambilan selisih
nilai yang berurutan runtun waktu nonstasioner homogen sebagai cara
untuk membuatnya stasioner. Hal ini akan menjadi jelas dengan
memandang contoh proses autoregresif (AR) tingkat pertama.
Zt = ΦZt – 1 + at
xlix
Dan nilai-nilai yang mungkin dijalani oleh parameter Φ. Jika nilai mutlak
Φ kurang dari 1, maka proses itu stasioner dan jika lebih besar dari satu
maka tingkat gerak runtun waktu itu menjadi eksplosif. Artinya jika mulai
gerak proses itu dari 0 misalnya maka suku gangguan (sesatan) menjadi
penting dalam menentukan beberapa nilai pertama runtun waktu tersebut.
Namun demikian setelah beberapa saat waktu akan tinggal
landasan dan berkembangan secara eksponensial. Suku gangguan (sesatan)
menjadi kecil dan dapat diabaikan relatif terhadap tingkat runtun waktu
itu, sehingga runtun waktu menjadi deterministik (pada dasarnya) dalam
perkembangannya. Kondisi ini merupakan runtun waktu nonstasioner yang
homogen, karena distribusi selisih dalam proses itu tidak berubah.
Dengan demikian runtun waktu selisih adalah stasioner karena selisih-
selisih itu adalah Zt – Zt – 1 = at (4.2)
Dengan distribusi at tertentu (tetap). Secara generalisasi dari proses
random walk ini adalah untuk memandang AR (P) yang stasioner sebagai
mekanisme pembentukan yang penting proses selisih suatu runtun waktu
nonstasioner. Untuk ini didefinisikan Wt sebagai barisan selisih
Wt = Zt – Zt – 1 = at (4.3)
Maka proses umum autoregresif dapat menjadi
Wt = Φ1Wt – 1 + ………..+ ΦpWt – p + at (4.4)
Jika Wt diganti dengan (Zt – Zt-1), maka runtun waktu Zt dapat ditulis
sebagai
Zt = Zt-1 + Φ(Zt-1 – Zt-2) + ….. + Φp (Zt-p – Zt-p-1) + at (4.5)
l
Dari persamaan (4.3), Zt dapat ditulis menjadi;
Zt = Zt-1 + Wt dan selanjutnya
Zt-1 = Zt-2 + Wt-1
Zt-2 = Zt-3 + Wt-2
Sehingga diperoleh Zt = Wt + Wt-1 + Wt-2 + ……. (4.6)
Hal ini berarti Zt dapat dipandang sebagai integrasi runtun waktu Wt dan
proses (4.4) dipandang sebagai autoregressive integrated (ARI).
Dalam bentuk kasus selisih pertama suatu runtun waktu sudah
stasioner. Selanjutnya dengan menuliskan derajat selisih 1, maka suatu
proses ARIMA dapat dipandang dengan dimensi p, 1 dan q. Dengan
demikian proses ARIMA (p,1,q) berarti suatu runtun waktu nonstasioner
yang setelah diambil selisih ke 1 menjadi stasioner yang mempunyai
model autoregresif derajat p dan moving average q.
Selanjutnya proses ARIMA yang tidak mempunyai bagian moving
average ditulis sebagai ARI (p,d) atau ARIMA (p,d,0). Untuk melihat
proses ARIMA (p,d,0) menunjukan tingkat gerak yang homogen, yakni
tingkah gerak yang independen dengan tingkat Zt. Langkah ini dapat
dilihat bagaimana akibat pemindahan seluruh runtun waktu dengan
kuantitas sebarang c sampai waktu t-1. Melalui cara pemindahan runtun
waktu itu Zt menjadi:
Zt = (Zt-1 + c)+ Φ[(Zt-1 – c) – (Zt-2 + c)]+ …..+ Φp
[(Zt-p + c) – (Zt-p-1+ c)]+at (4.7)
li
yang tidak lain adalah nilai Zt sebelum pemindahan ditambah kuanittas c.
Ini berarti pemindahan tidak mengubah tingkah gerak runtun waktu itu,
melainkan hanya menggeser tingkatnya saja.
Selisih nilai runtun waktu dapat ditulis dalam bentuk ∇Zt=Zt– Zt-1.
Dengan bentuk ini akan ditulis selisih derajat d dengan ∇ dZ sehingga t,
∇Zt = Zt + Zt-1
∇ 2Z = Z – 2 Z + Zt t t-1 t-2
∇ 3Z = Z – 3 Z + 3Z – Z t t t-1 t-2 t-3,
dan seterusnya.
Jika ditulis ∇ dZt = Wt, maka proses ARI (p,d) untuk Wt, sehingga teori
untuk runtun waktu stasioner berlaku pula untuk runtun waktu Wt. Jika
E(wt) ≠0, digunakan Wt = Wt – W, sehingga E(Wt) = 0.
Bentuk runtun waktu yang ditulis dalam persamaan (4.5) dapat
ditulis kembali menjadi:
Zt = (1 + Φ1) Zt-1 + (Φ2 – Φ1) Zt-2 + …… +
(Φp – Φp-1) Zt-p – ΦpZt-p-1 + at (4.8)
atau
Zt – (1 + Φ1) Zt-1 + …… + ΦpZt-p = at
atau
Φ(B) Zt = at (4.9)
Dengan Φ(B) operator autoregresif berubah dan merupakan polinomial
derajat p+1 untuk selisih derajat d, yakni Wt = ∇ dZ maka Φ(B) t,
lii
merupakan polinomial derajat (p+d) dengan d nilai nola sama dengan 1
dan nilai nol yang lain di luar lingkaran satuan.
Jadi Φ(B) = Φp(B) (1-B)d
= Φp(B) d∇ (4.10)
dengan Φ(B) adalah operator autoregresif stasioner tingkat p.
Pandang suatu proses yang akan stasioner kecuali adanya
pergeseran tingkat yang terjadi secara random. Ini memerlukan model
yang tingkat geraknya tidak dipengaruhi oleh tingkat proses yang
sekarang, dengan demikian jika M sebarang konstanta, maka
Φ(B) (Zt + M) = Φ(B) Zt
atau
Φ(B) M = 0
Ini berarti jika Φ(1) = 0 maka Φ(B) mempunyai satu faktor (1 – B) dan
Φ(B) mempunyai bentuk:
Φ(B) = Φ(B) (1-B) = Φ(B) (1 – B) = Φ(B) ∇
Jika Φ(B) hanya mempunyai satu faktor semacam itu, maka selisih derajat
1 cukup untuk menghasilkan runtun waktu yang stasioner.
Prosedur atau cara umum untuk mengenali runtun waktu
nonstasioner adalah dengan memeriksa grafik runtun waktu dan kemudian
menghilangkan nonstasioneritasnya dengan menghitung selisih derajat
tertentu yang diperlukan, sehingga runtun waktu mencapai stasioner.
Sebelum membahas estimasi maksimum likelihood pada model
ARIMA (1,1,0) klasik Box-Jenkins, terlebih dahulu akan dibahas
liii
mengetahui fungsi likelihood untuk model ARIMA (1,1,0) dan fungsi
likelihood untuk model sebagai berikut.
2. Fungsi Likelihood Model ARIMA (p,d,0)
Dengan melakukan diferensi Wt = ∇ dZt = (1 – B)dZt dan
mengambil nilai μ = 0 ternyata menghasilkan bentuk autoregresif
orde p yang stasioner.
Model autoregresif order p [AR(p)] sebagaimana pada (2.18)
dapat dinyatakan dalam bentuk:
at = Wt – Φ1Wt-1 - ….. – ΦpWt-p (4.11)
Densitas probabilitas dari (4.11) adalah:
P(W / θ, Φ, μ, σa2) = (2μσ2)-n/2
2/1)0,( pnM exp ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2
)0,(
2 a
np
na WMWσ
(4.12)
Dengan Mn(p,0) adalah matriks simetri berukuran nxn dari elemen-
elemen diagonal utama. Bentuk (4.12) pengkontruksinya adalah
sebagai berikut:
P(W / θ, Φ, μ, σa2) dapat dinyatakan sebagai
P(W / θ, Φ, μ, σa2)= p(Wp+1, Wp+2, ….., Wn | Wp, Φ, σa
2).
P(Wp | θ, Φ,μ,σa2) (4.13)
Dengan Wp = (W1, W2,….., Wp) faktor pertama ruas kanan dari
(4.13), diperoleh bentuk:
P(ap+1, ap+2, ……, an) = ( ) ( ) 2/22 pn−−μσ exp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ∑
+=
n
ptt
a
a1
222
1σ
(4.14)
Untuk suatu Wp, (ap+1, ap+2, ….. , an), dan (Wp+1, Wp+2, …., Wn) tertentu,
ketiganya dihubungkan oleh suatu transformasi:
ap+1 = Wp+1 + Φ1Wp + ….. + ΦpW1
ap+2 = Wp+2 + Φ1Wp+1 + ….. + ΦpW
Μ
an = Wn + Φ1Wn-1 + ….. + ΦpWn-p
liv
yang mempunyai Jacobian satu (unit), sehingga diperoleh:
p(Wp+1, Wp+2, ….., Wn | Wp, Φ, σa2) = ( ) 2/22 p−μσ exp ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ∑
+=
n
ptt
a
a1
222
1σ
Sedangkan faktor keduanya adalah:
P(W / θ, Φ, μ, σa2) = (2μσ2)-p/2
2/1)0,( pnM exp ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2
)0,(
2 a
np
na WMWσ
Sehingga (4.13) menjadi
P(Wn / θ, Φ, μ, σa2) = (2μσ2)-p/2
2/1)0,( pnM exp ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22)(
a
Sσφ
(4.15)
dengan (4.16) ( )∑∑∑+=
−−= =
++++=n
ptptptji
p
i
p
j
pij WWWwwmS
1111
1 1
)( ......)( φφφ
Juga Mp(p,0) =mij
(p)=
1
02-p1p
2-p01
1-p10
2a
1j-i
−
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
γγγ
γγγγγγ
σγ
ΛΜΜ
ΛΛ
2aσ
dengan 110 ,...,, −pγγγ adalah autokovariansi teori dari proses itu dan
)0,( ppM = )0,( p
nM
Selanjutnya misalkan n=p+1, maka :
Wp+1 Mp(p,0) Wp+1
( )∑∑= =
++=p
i
p
j1 1
21p1-p2p11pji
pij )W-...-W-W-(Wwwm φφφ
Sehingga diperoleh
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
+
1000
0M0
M
1
11-p1-p
1p2
p0,1p
ΜΛΛΜΛΛΛΜΜΛΜΜ
ΜΛΜΛ
ΜΜΜΛΛ
ΜΜ
pp
pp
ppp
pp
φφ
φφφφφφφφ
elemen dari Mp(p,0)=Mp
(p,0) dapat diperoleh secara dedukatif dari dua
matriks simetri Mp(p,0) dan Mp+1
(p) sebagai contoh
lv
( )
( )
( )( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−+
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
21
1111
12
11
1112
1
12
111
112
mm
M
100
-MM
φφφφ
φ
φφφ
ΜΛΜΛ
Μ
ΜΛΜΛ
Μ
dengan menyamakan elemen kedua matriks tersebut diperoleh ( ) ( ) 2
11
12
11
1 1M sehingga 1M φφ −==+ dan ( ) ( ) 21
111
11 1mM φ−==
Selanjutnya untuk proses orde 1 dan 2 ditentukan oleh: ( ) 2
11
1 1 φ−=M dan ( ) 21
11 1 φ−=M
( )
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100
0
11
12
112
1122
121
22
ΛΜΜΜ
ΛΛ
ΜΛΜΛ
Μ
φφ
φφφφφφφφ
MM
= ( )
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−−−
2221
222
1111φφφφφφ
dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21
22
22
2
22
12
2 1111 φφφφφφ −−+=−−+=M
Berdasarkan hasil ini dapat dilihat bahwa S )(φ =Wn Mn(p) Wn
adalah bentuk kuadrat dalam runtun W, juga merupakan bentuk
kuadrat dalam parameter φ .
Selanjutnya sebut ( )pK φφφφ ,...,,,1 21= untuk suatu matriks D
dengan ukuran (p+1)x(p+1) akan menjadi jelas dan benar bahwa
fungsi kuadrat dari runtun W adalah : ( )
KKnp
nn DWMW φφ=
dengan D=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++
+
=+
11pp13.p12.p11.p
12.p231212
11.p131211
DDD-D-
DDDD-D-D-D-D
ΛΜΜΜΜ
ΛΛ
elemen dari Dij adalah symetris jumlah kuadrat dari perkaliaan
langkah yang didefinisikan sebagai :
lvi
Dij=Dji=WiWj+Wi+1Wj+1+…+Wn+1-jWn+1-I
dimana Dij memuat n-(i-1)-(j-1) suku (term)
Sehingga dapat disimpulkan barhwa fungsi densitas
probabilitas eksak dapat ditulis seperti bentuk (4.15) fungsi likelihood
eksaknya yaitu:
( ) ( )n2a
2 W,L,Wp σφσφ =a
= ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2a
21
pp
2n
2
2SexpM2σφπσ a (4.17)
dengan ( ) ( )∑+=
−− ++++=n
ptptpt WWWS
1
2111p
ppop ......WMW)( φφφ
= kk Dφφ
dan log bilangan pokoknya “e” dari fungsi likelihoodnya adalah :
( ) ( )n2a
2 W,l,Lln σφσφ =na W
= ( ) ( )2a
2
2Sln2ln
2 σφσ −+− p
pa Mn (4.18)
3. Fungsi Likelihood ARIMA(1,1,0) atau ARI (1,1)
Bentuk proses ARIMA (1,1,0) adalah
( ) t2-t1-`t1t aZZ1Z +−+= φφ atau t1-t1t aWW += φ (4.19)
Fungsi likelihood proses ARIMA(1,1,0) merupakan bentuk yang
paling sederhana dari proses ARIMA(p,d,0), sehingga pengkontruksian
fungsi likelihood model ARIMA(1,1,0) sejalan dengan model
ARIMA(p,d,0). Selanjutnya dari (4.17) dapat dinyatakan dalam bentuk:
1-tttt W-Wa φ= ; t=1,2,3,…,N (4.20)
W(W1,W2,…,Wn) adalah runtun waktu stasioner, dengan asumsi
( )2at 0,N~a σ , oleh karena ( )Σ,N~Wt μ , sehingga fungsi densitas
bersama dapat dinyatakan dalam bentuk :
lvii
( )=2,Wp aσφ ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2a
n12n2
111
2n
2
2WMW
expM2σ
πσ a (4.21)
bentuk (4.21) dapat dinyatakan sebagai :
( ) ( ) ( )22132
2 ,,,,,...,,, aaNa WpWWWWpWp σμφσφσφ = (4.22)
faktor pada ruas kanan dari (4.22) kontruksi distribusinya diperoleh
dari :
( ) ( ) )a2
1exp(-2,a,...,a,ap2
2t2
a
2)1(
22n32 ∑
=
−−
=n
t
n
aa σπσσφ (4.23)
untuk suku W1,(a2,a3,…,an) dan (W2,W3,…,Wn) tertentu, ketiganya
dihubungkan oleh suatu transformasi :
1122 WWa φ+=
2133 WWa φ+=
Μ
1-N1NNt WWa φ+=
yang mempunyai Jacobian satu unit, sehingga dipeoleh :
( ) =2132 ,,,...,, aN WWWWp σφ ( ) ))W-(W
21exp(-2
2
21-tt2
a
2)1(
2 ∑=
−− n
t
n
a φσ
πσ
Sedangkan faktor keduanya adalah:
( )=2,Wp aσφ ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
2a
n12n2
111
2n
2
2WMW-expM2
σπσ a (4.24)
dengan ( ) ( )∑+=
−−+=n
pttt WWS
1
211
21
21 W-1)( φφφ (4.25)
fungsi likelihood eksaknya adalah :
( )n2a
2 W,L,Wp σφσθ =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
a
dan log bilangan pokoknya “e” dari fungsi likelihoodnya adalah
lviii
( ) ( )n2a
2 W,l,Lln σφσφ =na W
= ( ) ( )2a
11
2
2Sln2ln
2 σφσ −+− Mn
a (4.26)
dengan ( ) 2111 1 φ−=M dan M1
(1)= 21 φ−
B. Estimasi Maksimum Likelihood pada Model ARIMA (1,1,0)
Metode maksimum yang digunakan untuk mengestimasi model
ARIMA (1,1,0) klasik Box-Jenkins disini adalah estimasi maksimum
likelihood (EML) atau estimasi kemungkinan maksimum (EKM).Metode
estimasi perhitungan yang akan menemukan estimasi-estimasi untuk
setiap model ARIMA yang mungkin ditentukan bagaimanapun datanya
atau nilai-nilai p,q. Apabila banyaknya observasi cukup besar , estimasi
yang memaksimumkan fungsi likelihood adalah estimasi yang efisien.
Estimasi maksimum likelihood untuk parameter-parameter pada
model autoregresif klasik Box-Jenkins dengan memaksimumkan fungsi
likelihoodnya, dengan cara mendiferensialkan ( )n2a W,I σφ terhadap
parameter-parameternya dan menyamakannya dengan nol,sehingga diperoleh:
( ) 0Snla
3aˆa
=+−=∂∂
=σφ
σσσσ aa
(4.27)
dari (4.27) diperoleh ( )n
ˆSˆ 2 φσ =a dengan estimator φ φ
11.jpp12.j111.j2
jj
D-...-D-DMl++++
−+=∂∂ φφσφ a (4.28)
dengan j
pp
j
Mln21
Mφ∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂
=
lix
Kuantitas Mj (j=1,2,…,p) adalah fungsi dari φ yang cukup rumit
(complicated), sehingga untuk menentukan estimator untuk φ merupakan
masalah yang tidak mudah. Menurut Box-Jenkins ada tiga alternatif metode
pendekatan yang dapat digunakan untuk menetukan estimator dari φ , yaitu: 1.
Metode estimasi kuadrat terkecil, 2. Pendekatan estimasi maksimum
likelihood dan 3.Estimasi Yule-Walker. Pada skripsi ini dibahas metode
kuadrat terkecil untuk mengatasi kesulitan dalam menentukan estimator φ ,
metode estimasi ikuadrat terkecil pembahasannya sebagai berikut :
Metode Estimasi Kuadrat Terkecil
Bentuk (4.17) didominasi oleh term(suku) S(φ ), sedangkan nilai
dari ( )11Mln sangat kecil untuk ukuran sampel sedang atau besar
(N>30),sehingga dapat diabaiakan,akibatnya bentuk (4.17) menjadi :
( )n2a W,I σφ ( )
2a
2a 2
Sln2n
σφσ −−≈ (4.29)
Estimator untukφ φ dengan memaksimumkan (4.29). Penggunaan
metode estimasi kuadrat terkecil dalam bentuk ini, adalah dengan
meminimumkan S(φ )=φ kDφ k ; dengan D adalah matriks simetri
berukuran (p+1)x(p+1),sehingga diperoleh :
1.1p13.p21.2111.p
23.p33223213
12.pp23222212
ˆ...ˆˆD
Dˆ...DˆDˆD
D...DˆDˆD
+++++
+
+
+++=
+++=
+++=
ppp DDD φφφ
φφφ
φφφ
Μ (4.30)
atau d=D1φ dan
lx
jika dinyatakan dalam bentuk matriks (4.30) menjadi :
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
++++
+
+
+ p
2
1
11.pp13.p12p
13.p3.32.3
12.p2.32.2
11.p
13
12
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ;
DDD
DDDDDD
D ;
D
DD
d
φ
φ
φ
φΜ
ΛΜΜ
ΛΛ
Μ
sehingga dDˆ 1p−=φ 12
111 DD −=
∑
∑
=
=+
= n
2i
2i
n
1ii1i
W
WW
Jika p=2 maka 131
23 DDˆ −=φ
∑
∑
=
=+
= n
2i
2i
n
1ii2i
W
WW
Contoh :
Dipunyai model ARIMA(1,1,0): ( ) tt aZ =− B1 φ atau dari hasil perhitungan
diperoleh nilai fak dan fakp sebagai berikut :
K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 rk 0,68 0,54 0,2 0,35 0,09 0,25 -0,02 0,03 0,04
lxi
dengan N=55, Z =0,135 dan Sz2=1,267
kkφ 0,68 0,14 0,52 -0,2 0,29 -0,02 -0,16 -0,21 0,11
Tentukan estimasi awal parameternya !
Penyelesaian :
68,054,0ˆ
1
20 ==
rr
φ =0,794
24ˆ
2
0−±
=bbθ dengan
( ) ( )( )
( ) 83,4114,0
550463,0114,0
630436,008,11)794,0(68,0
794,054,021ˆ
21 2
01
202 −=
−=
−+−
=−
+−=
−
+−=
xr
rb
φφ
sehingga
( ) ( ) 216,02433,0
2396,483,4
2
483,483,4ˆ
2
0 −=−
=+−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+−
=θ
( ) zES σ= = 21
1
12
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
rr
NSz
= ( ) 0043,01904,055267,1
68,0168,01
55267,1 2
1
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
( )20
22 ˆ1 φσ −= za S
= (1,267(1-(-0,216))
= 1,540672
Sehingga model tersebut adalah Zt=-0,47Zt-1 + at dimana at~N(0;1,540672)
lxii
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
lxiii
Berdasarkan hasil pembahasan pada bab-bab sebelumnya maka dapat
diambil kesimpulan :
1. Fungsi Likelihood untuk model ARIMA(1,1,0) Box-Jenkins dapat
dikontruksikan melalui asumsi kenormalan dan independensi dari sesatan
at dengan distribusai probabilitas bersamanya p(a1,a2,…,at2a,σφ ),dan
fungsi densitas bersama Wn adalah p(Wn2a,σφ ) dan fungsi likelihood
untuk parameter-parameternya jika data observasi diketahui adalah :
( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=−
2a
21
1,0n
2n
2an
2a 2
S-expM2W,Lσφ
πσσφ
2. Dalam proses maksimum likelihood, bentuk (1,0)nM untuk ukuran sampel
kecil atau sedang dapat diabaikan,hal ini karena tidak berpengaruh
terhadap hasil yang diperoleh. Sedangkan parameter-parameter yang
diestimasi masuk pada bentuk jumlah kuadrat S(φ ) dan mendominasi log
fungsi likelihood, sehingga langkah untuk memperoleh estimatornya,
diperoleh dengan cara meminimumkan S(φ ) dengan metode kuadrat
terkecil diperoleh
dDˆ 11−=φ
121
11 DDˆ −=φ∑
∑
=
=+
= n
2i
2i
n
1ii1i
W
WW dan ( )
nSˆ 2
aφσ =
Skripsi ini hanya membahas model ARIMA (1,1,0) disarankan kepada
penulis lain untuk mengkaji lebih lanjut dengan cakupan yang lebih luas,dengan
lxiv
mengambil model ARIMA(0,p,d) ataupun bentuk ARIMA (p,d,q) dengan
p>1,q>0 dan d>1.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, O. D. 1977. Time Series Analysis and Forecasting – The Box-Jenkins Approach. London : Butterworths.
Bain, Lee J dan Engelhardt, Max. 1992. Introduction Probalbility and
Mathematical Statistic. California : Belmont.
lxv
Chatfield, C . 1975. The Analysis of Time Series : Theory and Practise. London : Chapman and Hall.
Kharis, M. 2004. Peramalan Jumlah Produksi Gondorukem Pada Pabrik
Gondorukem dan Terpentin (PGT) diBawah Perum PERHUTANI Unit I Jawa Tengah dengan Metode Analisis Runtun Waktu dan Aplikasi MINITAB. FMIPA UNNES
Linda. 2003. Peramalan dengan Model Analisis Runtun Waktu pada Indeks
Harga The di Pasar Dunia. Lerbin R, Aritonang R. 2002. Peramalan Bisnis. Jakarta: Ghalia Indonesia Makridakis; Wheelwright & McGee.1993. Metode Peramalan. Jakarta:
Erlangga
Makridakis; Wheelwright & McGee. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Binarupa Aksara
Soejoeti Zanzawi.1987. Materi Pokok Analisis Runtun Waktu. Jakarta: Karunika, Universitas Terbuka
Sugiarti, Harijono.2000. Peramalan Bisnis. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka
Utama
Swastha, Basu, dkk. 1990. Manajemen Pemasaran Modern. Yogyakarta: Liberty
lxvi
