ESTADÍSTICA PARA LA EDUCACION SUPERIOR 2

8/14/2019 ESTADSTICA PARA LA EDUCACION SUPERIOR 2

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Probabilidad

PROBABILIDADES

Experimentos Aleatorios

Espacio Muestral,Eventos y Sucesos

Tipos de Experimentos Aleatorios

Relaciones entre Eventos

Enfoques de Probabilidad/TeoremasBsicos de Probabilidad

Eventos Dependientes/Independientes

Probabilidad Total/Teorema de Bayes


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Experimentos

Determinsticos

No Determinsticos

Se conocen su resultadosantes de realizarlo

No son de inters para laEstadstica

Sus resultados se conocenuna vez que el experimento haconcluido

Se pueden describir losposibles resultados sin poderdecir, cul de ellos va aocurrir

PROBABILIDADES


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Experimentos

Determinsticos

No Determinsticos

Sus resultados se conocen conanticipacin sin necesidad derealizar el experimento

Sus resultados se conocen unavez que el experimento hafinalizado

Es un proceso planificado a

travs del cual se obtieneuna observacin (o unamedicin) de un fenmeno

Se pueden describir losposibles resultados pero no sepuede decir cul de ellosocurrir

Experimentos AleatoriosSon experimentos nodeterminsticos cuyos resultados

estn regidos por el azar

PROBABILIDADES


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Supngase que se lanzan dos monedas legales al mismotiempo y que a una cara de cada moneda se la llamaCara a la otra Sol entonces:

={CC, CS, SC, SS}

Supngase ahora que se lanza undado legal. Entonces:

={1, 2, 3, 4, 5, 6,}

ExperimentosAleatorios

Son aquellos experimentos no determinsticoscuyos resultados estn regidos por la

casualidad (azar)

PROBABILIDADES


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M = {CC, CS, SC, SS}

O bien en el caso del lanzamiento

del dado

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}

Espacio Muestral

Retomando el caso del lanzamiento de las dosmonedas, hay otro posible resultado en esteexperimento?.

Son todos los resultadosque estn asociados a un

experimento aleatorioSupngase que el lanzamiento deldado se est interesado en laocurrencia de una cara impar

A = {1,3,5} Evento

Es subconjunto del espaciomuestral, es decir, susresultados pertenecen alespacio muestral

PROBABILIDADES


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Espacio Muestral

Evento

2

1

3

4

5

6

M

A

Suceso (wi)

LetrasMaysculas delAlfabeto

A= (wiA /wi M

PROBABILIDADES


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Experimentos

Aleatorios

Simples

Compuestos

Un solo experimento aleatorio

Cuando ocurren dos o msexperimentos simples al mismo

tiempo o bien uno despus delotro

Unidos por lapartcula (v)

Unidos por lapartcula y ( )

Los experimentos simples quelo componen ocurren deforma sucesiva

Los experimentos simples quelo componen ocurren al mismotiempo

M = {M1 M2Mi}M = {M1UM2UMi}

PROBABILIDADESTipos de Experimentos Aleatorios


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Experimentos

Aleatorios

Simples

Compuestos

Un solo experimento aleatorio

Cuando ocurren dos o msexperimentos simples al mismotiempo o bien uno despus delotro

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}

M = {CC, CS, SC, SS}

PROBABILIDADES


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M2M1 C S

C CC CSS SC SS

Experimentos compuestosunidos por la partcula y

M3

M1*M2 C S

CC CCC CCS

CS CSC CSS

SC SCC SCS

SS SSC SSS

El espacio muestral es elproducto cartesiano de losespacios muestrales simplesque lo conforman

PROBABILIDADES


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Experimentos compuestosunidos por la partcula y

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

M

CCC

CCS

CSC

CSS

SCCSCS

SSC

SSS

Diagrama del rbol

Diagrama de Senderos1ra Moneda

2da Moneda

3era Moneda

PROBABILIDADES


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De acuerdo a cmo ocurren los eventos se pueden estableceralgunas relaciones entre ellos tales como:

AUB AUB

AB

A

PROBABILIDADES


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Enfoques de

Probabilidades

Clsico

FrecuenciaRelativa

Probabilidad A priori. LlamadaTambin Probabilidad deLaplace

Probabilidad A posteriore

Subjetivo

PROBABILIDADES


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Probabilidad

Clsica

Supuesto

Frecuencia

Relativa Probabilidad A posteriore

Subjetivo

Todos los sucesos de unexperimento aleatorio tienenla misma posibilidad deocurrir, entonces:

[ ] Mna

AP =

[ ] 10 AP

Si en la realizacin deexperimento aleatorio apareceun evento A n veces N,entonces:

[ ]N

nAP =

PROBABILIDADESEnfoques de Probabilidad


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Teoremas Bsicos deProbabilidades

P[AUB] = P [A] + P [B]

P[AUB] = P [A] + P [B] P[AB]

P[] = 0

P[M] = 1

[ ] [ ] %1000/10 APAP

[ ]APAP c =1

PROBABILIDADESPrincipales Teoremas de Probabilidad


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Cuando la ocurrencia de un evento est en dependencia de otroevento, se dice que ste es dependiente.

Sea A y B dos eventos en el espacio muestral M, se dice que Aes un evento dependiente de B s;

o bien:[ ] [ ] 0; = BPB

APAP [ ] [ ] 0; = APA

BPBP

Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:

Respecto al espacio muestral original

Respecto al espacio muestral del evento condicionante

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ] 0; =

= BPAPBP

BAP

BAP [ ][ ]

[ ] [ ] [ ] 0; =

= APBPAP

ABP

ABP

PROBABILIDADESEventos Dependientes


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En una institucin de Educacin Superior se tiene 300 docentes,de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dichainstitucin hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar undocente al azar:a. Que sea mujerb. Que sea soltero (a)c. Que sea un hombre y est casado (a)d. Que sea una mujer divorciadae. Dado que el docente es casado (a), cul es la probabilidad

que sea hombre?f. Si el docente seleccionado es hombre, cul es la probabilidadque sea casado?

PROBABILIDADES


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En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias,30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% sonvarones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azarun estudiante, calcule la probabilidad que:a. Sea mujerb. Se estudiante varn dado si es de Cienciasc. Sea estudiante de Ciencias dado que es varnd. Sea estudiante de Ciencias y varn.

PROBABILIDADES


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Cuando la ocurrencia de un evento no est en dependencia de laocurrencia de otro evento, se dice que stos son independientes.

Sea A y B dos eventos en el espacio muestral M, se dice que Aes un evento independiente de B s se cumple con cualquiera delas siguientes condiciones:

[ ] [ ] [ ]BPAPBAP *=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 0; == APBPAP

ABPA

BP

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ] 0; =

= BPAPBP

BAP

BAP

PROBABILIDADESEventos Independientes


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Sea A1, A2, , Ak, eventos que forman una particin del espaciomuestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],P[A2], P[A3], P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3], P[B/Ak]son probabilidades conocidas entonces:

[ ] [ ] [ ] ]/[][...]2/[]2[1/1 AkBPAkPABPAPABPAPBP ++=

Probabilidad Total [ ] [ ] [ ]AkBPAkPBPk

i/

1==

PROBABILIDADESProbabilidad Total


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Sea A1, A2, , Ak, eventos que forman una particin del espaciomuestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],P[A2], P[A3], P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3], P[B/Ak].Si B ya ha ocurrido y se est interesado en saber a cual de los

eventos que forman la particin muestral se ha debido suocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes

[ ][ ]

[ ] [ ]=

=k

i Ak

BPAkP

AkBPAkP

BAkP

1

PROBABILIDADESTeorema de Bayes


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VARIABLE ALEATORIASuponga que el siguiente experimento consiste enel lanzamiento de tres monedas al mismo tiempo ysuponga que se define la variable X como nmerode soles en el experimento

M = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}

0 1 2 3

X = Nmerode soles

Es X una variable? S

{ 0, 1, 2, 3}


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VARIABLE ALEATORIAVariable Aleatoria es una funcin que asignavalores reales a cada uno de los resultados deun experimento aleatorio

Domino de X = Es el espacio muestralRango de X = Los Nmeros Reales

Tipos de Variables Aleatoria

Variables Aleatoria Discretas

Variables Aleatoria Continuas


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VARIABLE ALEATORIA

Variables Aleatoria Discreta

Rango de X x1 x2 x3 xk

P[X = x] p(x1) p(x2) p(x3) p(xk) 1

Funcin de Distribucin de

Probabilidades o Cuanta

Condiciones dela Funcin deDistribucin o

Cuanta

p[X = x] = 1

p(xk) 0

X, p(x) Vx rangoX


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VARIABLE ALEATORIAVariables Aleatoria Continua

No se puede establecer una correspondenciaentre el valor que toma la variable y unaprobabilidad asociada al mismo ya que laVAC, puede tomar cualquier valor dentro delintervalo donde se define

Ecuacin llamada Funcin de Densidad

Condiciones dela Funcin deDensidad

E E


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VARIABLE ALEATORIAEsperanza Matemtica

M son todos losresultados posibles queestn asociados a unexperimento aleatorio

Dom X = M

PoblacinTodos losvalores quepuede tomaruna variable

aleatoriaParmetrosEsperanza Matemtica(x) = xVarianza Var(x) = x


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VARIABLE ALEATORIA

EsperanzaMatemtica

Tipo de V.A

Discreta

Continua

Es el promedio que toma laV.A en el rango donde sedefine


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VARIABLE ALEATORIA

Propiedades de la

Esperanza Matemtica

(x) =

(ax) = a(x)(ax + b) = (ax) + b


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VARIABLE ALEATORIAVarianza

Varianza Tipo de V.A

Discreta

Continua


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VARIABLE ALEATORIA

Propiedades de la

Varianza

Var(X)= XVar(X) = X 0

Var (aX)= aVar(X)Var(aX + b) = aVar(X)


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MODELOS PROBABILISTICOS

Modelos

Probabilstico

Si el comportamiento de una V.Apuede ser simulado ya sea deforma aproximada o total , sedice que se tiene un modeloprobabilstico

Tipo de V. A

ModelosProbabilsticoDiscretos

ModelosProbabilsticoContinuos


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MODELOS PROBABILISTICOSDISCRETOS

ModelosProbabilsticoDiscretos

Dn Binomial Puntualo Bernoulli

Dn Binomial

Dn de PoissonDn Multinomial

Dn Hipergeomtrica

Dn Hipergeomtrica

GeneralizadaOtras

Dn Uniforme Discreta


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MODELOS PROBABILISTICOSDISCRETOS

DnBinomial Puntual oBernoulli

Dn de Poisson

Dn Hipergeomtrica

Dn Binomial


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MODELOS PROBABILISTICOSCONTINUOS

Xa < b

Y

Dn Uniforme Continua


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MODELOS PROBABILISTICOSCONTINUOSDn Normal

Si un experimento Binomial bien definido, se repite ungran nmero de veces, el histograma de probabilidadesforma una curva en forma de campana llamada curva

Normal o Campana de Gauss SimtricaPromedio = Mediana = ModaEs asinttica al eje de las XEs mesocrticaSe le llama ley Normal de losErrores. Errores pequeostienen una alta probabilidad deocurrencia, errores grandesbaja


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Dn Normal Estndar o Dn Z

Debido a lo tedioso de la funcin de densidad de laDn Normal, en su lugar se utiliza otra Dn que permiteel uso de tablas previamente determinada evitando

as, el proceso de integracin de la f(x) de la DnNormal. Esta Dn es llamada Dn Normal Estndar oDn Z

Si X~N(, ), entonces X se puede someter a unproceso de estandarizacin dando origen a una

variable Z de la siguiente forma:


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Dn Normal Estndar o Dn Z

Uso de Tablas

Las Tablas de Dn Normal Estndarpermiten resolver dos tipos deproblemas:

Determinar el rea bajo la curva una vez obtenido el valor estndar de X

Dada un rea bajo la curva, determinar el valor z a que corresponde

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