ertemuan 13Distribusi Teori J0682

P

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari bab ini, Mahasiswa diharapkan mampu:

Menjelaskan arti bebrapa jenis distribusi teoretis, seperti distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi hypergeometrik, distribusi normal

Memahami aplikasi berbagai jenis distribusi tersebut dalam menyelesaikan berbagai permasalahan

Materi

istribusi Binomial

istribusi Poison

istribusi Hypergeometrik

istribusi Normal

DDD

D

Statistika, (2000) kar. J. Supranto, jilid 2 Chap.01 edisi keenam, halaman 31 – 82

Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), Bab 10, 11, dan 12, kar. Wayan Koster, edisi pertama, halaman 289 – 371

Buku Acuan

1

2

Distribusi TeoriDua uang logam berisi muka m dan belakang b maka himpunannya apabila dilempar bersama sama S = {(mm),(mb),(bm),(bb)} misalkan : yang mengandung m dihitung

(bb) => 0

(bm) => 1 jadi Rx = {0,1,2}

(mb) => 1

(mm) => 2

X = S => Rx

Relasi x pada S ke himpunan bagian bilangan rill Rx

Distribusi Probabilitas

X=x 0 1 2 3P(X=x)1/4 1/2 ¼Penulisannya : Distribusi x(x1,P(X=x1)),(x2,P(X=x2)),(x3,P(X=x3))Bagaimana kalau 3 mata uang logam

distribusi probabilitas xS={(mmm),(mmb),(mbm),…dll…(bbb)}0 1 2 31/8 3/8 3/8 1/8

Nilai Harapan

Nilai harapan atau ekspektasi matematis atau harapan teoritis dari x yang ditulis E(x)

Rumus x f(x)= x P(X=x) jika x

diskrit

E(x)= x

f(x)dx jika x kontinyu

Contoh ~

Pada lemparan 3 mata uang logam, Berapa nilai harapan

E(x) = x f(x) = P(X=x)

= (0)1/8 + (1)3/8 + (2)3/8 + 3(1/8)

= 1,5

—|——|— E(x)—|———|

0 1 1,5 2 3

Kegunaan Nilai Harapan

1. Mean populasi = E(x)

2. Variansi populasi 2 = E {(x-)2}= E(x2)-2

3. Standar deviasi = 2

Contoh: Tentukan mean dan standar devasi dari banyaknya muka pada lemparan 3 mata uang logam.

Jawab:

Mean = E(x) = 1,5

Variansi 2 = E(x2)-2

3

E(x2) = x2 P(X=x) = (0)2 P(X=0) + (1)2 + P(X=1)

x=0

+ (2)2(P(X=2) + (3)2 P(X=3)

= (0)1/8 + (1)3/8 + (4)3/8 +(9)1/8

= 24/8 = 3

Maka 2 = 3- (1,5)2

= 3- 2,25 = 0,75

Jadi standar deviasi = 0,75 = 0,87

Rumus Binom lain

1. = E(x) = np

2. = E[x –E(x)]2 = E[x – np]2 = npq

3. = npq

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson(Perancis, Simoon Denis Poisson 1781-1840) hampir sama dengan binom hanya poisson untuk menghitung n > 100 (n besar) dan p < 0,05 (p kecil)

Contoh binomP ( X=4) dengan n =100= 100! Atau 196! 4!(100-4)! 5!(196-5)!Menghitung ini sulit walaupun mungkin bisa

dengan kalkulator :memakan waktu dan h

Hasilnya semakin melenceng

Soal diatas dengan poisson lebih mudah. Misal perhitungan poisson

• Dering telepon dalam 1 jam di kantor

• Banyaknya kesalahan ketik dalam 1 hal skripsi

Rumus Poisson

P(x)= x e- = rata-rata distribusi

x! e = eksponensial=konstanta

=2,71828

Contoh :

Tuan Bimo menjual mobil mewahnya dengan memasang iklan pada sebuah surat kabar yang mencapai 100000 pembaca. Dengan anggapan nilai probabilitas, bahwa seorang yang membaca iklan tersebut berminat akan membeli mobil p =1/50000. Jika dari 100000 pembaca ada 2 orang yang berminat membeli mobil( p= 0,00002) dan x= banyaknya pembaca yang berminat. Berapa P(X=0), P(X=1) ,P(X=2), P(X=3) dan P(X=4)

Jawab:

n = 100000 (n terlalu besar)

P = 1/50000 (p terlalu kecil) = np = (100000)(1/50000) = 2 (rata-rata)

Diharapkan 2 orang pembaca akan menanyakan keadaan mobil

x P(x) = x e-

x! 0 P(0)= 0,1353

1 P(1)= 0,27072 P(2)= 0,27073 P(3)= 0,18044 P(4)= 0,09025 P(5)= 0,03616 P(6)= 0,0002

P(0)= 0,1353 = 20 (2,718)-2

0!

P(9) = 29 (2,718) –2 = (512) (0,135363) 9! 362880

Atau dengan tabel poisson dengan = 2Contoh:Seorang pemilik pabrik rokok akan promosi

penjualan.Diantara 1000 batang rokok terdapat 5 batang yang bertuliskan”berhadiah” dicampur secara acak

X= banyaknya batang rokok yang bertuliskan”berhadiah” dari 1 bungkus berisi 20 batang. Berapa P(X=0),P(X=1),P(X=2), dan P(X=4)

Jawab:

N = 20

P = 5/1000 = 0,005 = np = 20 (0,005) = 0,1

x 0 1 2 4

P(x) 0,9048 0,0905 0,0045 0,0000

Seorang kepala bagian kredit dari suatu bank beranggapan bahwa 4 % dari nasabahnya marasa tidak puas dengan pelayanan bank. Kemudian 50 nasabah dipilih secara acak.

X = banyaknya nasabah tidak puas

Hitung P(X) untuk x=2 dan x=9

Jawab: n = 50 = 50 (0,04) = 2

P(x=2) = 0,2707

P(x=9) = 0,0002

Hipergeometrik

Sangat erat dengan distribusi binom. Hanya pada hipergeometrik, percobaannya tidak bebas(independent) tapi dependent artinya antara percobaan yang satu dengan yang lainnya sangat berkait.

Notasi :r = jumlah unit/elemen dalam populasi

berukuran n yang dikategorikan suksesn = jumlah percobaan N-r = jumlah unit yang gagal

N = jumlah elemen dalam populasiRumus:

P(X) = rCx N-rC n-x , 0 x r

NC n

Contoh : Sebuah anggota komite terdiri 5 orang, dimana 3 adalah wanita dan 2 laki-laki. Misalkan 2 orang dari 5 anggota tsb dipilih untuk mewakili delegasi dalam sebuah konvensi.

• Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan acak didapat 2 wanita

• Berapa probabilitas kalau 1 laki-laki 1 wanita.

Jawab : n =2 N =5 r =3 x=2

3! 2!

• P (2) = 3C2 2C0 = 2! 1! 2! 0! = 3/10

5C 2 5!

2! 3!

= 0,3

3! 2!

• P(1) = 3C 1 2C1 = 1! 2! 1! 1! = 6/10 =0,65C 2 5!

2! 3!Jadi probabilitas terpilih 1 orang wanita dan I

orang pria = 0,6Soal : Pengurus himpunan mahasisiwa ada 15 orang.

10 orang pria dan 5 wanita. Sampel 5 orang anggota dipilih secara acak untuk menghadiri seminar. Hitung apabila :

Semua wanita• Semua pria• Paling sedikit 1 pria• 2 wanita, 3 pria dan bila 1 wanita dan 1 pria

tertentu harus ikutJawab:• Banyaknya sampel yang bisa dibentuk ialah

15 = 3003, yang masing-masing 5 mempunyai peluang yang sama

Sedangkan sampel terdiri 5 wanita =

5 10 = 1 cara maka P(5w) = 1/3003 5 0 10 5• P(5L) = 5 0 = 12/143

15 5• P(L > 1 ) = P(1L)+P(2L)+P(3L)+P(4L)+P(5L) =

1- P(0L) = 1 – P(5w) = 3002/3003

Seorang pria dan seorang wanita harus ikut, berarti tinggal 9 pria dan 4 wanita yang harus dipilih untuk membentuk sampel yang terdiri dari 1 wanita dan 2 pria sehingga :

P(2w dan 3L ; 1w dan 1L harus ikut) =

4 9

1 2 = 72/143

13

3

Combinasi dan Permutasi

Permutasi(P) mis: huruf, misal: himpunan {a,b,c} n =3

•Kita ambil 1 per satu r=1 susunannya : a b c•Kita ambil 2 dua r=2 susunannya ab ac bc ba ca

cbDisini ab tidak sama dengan ba karena a pada

susunan pertama letaknya berbeda dengan a pada susunan kedua

Rumus : nPr = n! Cara lain penulisan nPr

(n-r)! atau P(n,r)

P = susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggotanya.

Combinasi ( C )

Himpunan {a,b,c}

• Diambil dua-dua r=2 ab ba ac ca bc cb

disini ab=ba ac=ca bc=cb

Rumus :

nCr = n = n! dapat ditulis C(n,r)

r r! (n-r)! Atau C n,r

C = susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota tanpa memberi arti atau tidak diperhatikan

Bila dari himpunan {a,b,c,d} diambil 3 objek maka banyaknya C dan P

C Permutasi

Abc abc acb bac bca cab cba

Acd abd adb bad cda dab dba

Abd acd adc cad bda dac dca

bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb

4 4 x 6 = 24

4P 3 = 24 4C 2 = 4

Contoh :

Ada 4 orang bernama A B C D bila dipilih 2 orang, ada berapa banyak pilihan ?

Jawab: 4 = 6 AB AC AD BC BD CD 2Suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3

fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri dari 2 kimiawan dan 1 fisikawan

Jawab : Misalkan kimiawan={K1,K2,K3,K4} fisikawan={ F1,F2,F3 }2 kimiawan dipilih dari 4 = 4 = 6

2

1 fisikawan dipilih dari 3 = 3 = 3 1

Banyak panitia = 6 x 3 = 18

►Selamat Mengikuti Ujian Akhir