Latar belakang Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita berhubungan

dengan peluang dari sebagian ruang sampel.

Peluang seorang konsumen yang menyukai produk A yang dipilih secara acak dari suatu komunitas akan berbeda dengan peluang terpilihnya seorang pemakai produk A dari komunitas lainnya.

Ini adalah beberapa contoh bagaimana kita harus memilah suatu peristiwa yang ada dalam suatu populasi ke dalam subpopulasi.

Dalam teori peluang hal semacam ini penting untuk diketahui karena peluang dalam sebagian ruang sampel bisa berbeda dengan peluang pada ruang sampel secara keseluruhan.

Subpopulasi didefinisikan secara khusus dalam populasi ini dan peluang-peluang yang berhubungan dengan setiap peristiwa dalam subpopulasi dikenal dengan nama peluang bersyarat.

Untuk mempermudah pemahaman tentang peluang bersyarat ini sebaiknya kita ambil contoh berikut ini. Sebuah perusahaan membuka lowongan kerja untuk mengisi pekerjaan sekretaris perusahaan. Ada 100 orang pelamar yang terdiri atas berpengalaman lebih dari tiga tahun dan kurang dari tiga tahun serta dengan status menikah dan tidak menikah. Secara rinci jumlahnya diberikan dalam tabel berikut :

Menikah Tidak Menikah Jumlah

Pengalaman > 3 tahun 12 24 36

Pengalaman < 3 tahun 18 46 64

Jumlah 30 70 100

Karena tidak ada waktu untuk melakukan penyaringan, maka seluruh peserta dianggap memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sekretaris.

Misal

E : peristiwa pelamar yang dipilih memiliki pengalaman lebih tiga tahun

M : peristiwa pelamar yang dipilih statusnya menikah

Dari tabel di atas bisa dihitung :

Jumlah titik dalam ruang sampel S = 100

P(E) = 36/100 = 0,36

P(M) = 30/100 = 0,30

P(EM) = 12/100 = 0,12

Anggaplah karena ada sesuatu hal maka pelamar dibatasi pada pendaftar yang statusnya telah menikah. Selanjutnyai perusahaan ingin mengetahui peluang terpilihnya pelamar dengan pengalaman lebih dari tiga tahun dari pembatasan tersebut. Dalam notasi peluang bersyarat, peluang yang demikian dituliskan sebagai P(EM) atau peluang terjadinya E bersyarat M.

Dengan membatasi pelamar yang hanya menikah, ini berarti ruang sampel atau populasi telah berubah menjadi ruang sampel yang lebih kecil atau menjadi subpopulasi. Dalam hal ini subpopulasi yang dipilih adalah pelamar yang menikah atau M. Dari tabel di atas subpopulasi M ini memiliki titik sampel 30. Disini telah terjadi pengurangan jumlah titik sampel dari 100 menjadi 30. Dengan mengganggap setiap pelamar masih memiliki peluang yang sama, maka peluang terpilihnya pelamar yang memiliki pengalaman lebih dari 3 tahun dengan syarat telah menikah adalah :

P(EM) = 12/30 = 0,40 Dari hasil ini terlihat bahwa 12 adalah titik sampel irisan antara E dan M populasi (EM), sedangkan 30 adalah titik sampel subpopulasi atau ruang sampel untuk syarat M dengan peluang P(M) Apabila hasil ini kita tuliskan dalam notasi peluang maka diperoleh bentuk :

Peluang bersyarat juga bisa dihitung dari pendekatan subpopulasi. Perhatikan subpopulasi pelamar yang telah menikah. Jumlah peluang yang ada pada subpopulasi tetap harus memenuhi aturan peluang yakni sama dengan satu, P(M) = 12/30 + 18/30 = 1.

Perhatikan bahwa P(EM) pada ruang sample awal adalah 12/100 = 0,12, akan tetapi setelah menjadi subpopulasi P(EM) menjadi 12/30 = 0,40.

Sedangkan peluang terpilihnya pelamar menikah P(M) pada ruang sample awal adalah 30/100 = 0,30 , sekarang menjadi 18/30 = 0,60.

Mengapa menjadi 18 bukannya 30? Karena yang 12 ada pada ruang sample irisan (EM).

Dengan demikian P(EM) berdasarkan subpopulasi adalah :

P(EM) = 0,40/1,00 = 0,40

Jadi hasil perhitungan peluang bersyarat baik dengan menggunakan ruang sample asli maupun pendekatan subpopulasi akan memberikan hasil yang sama.

8

KEJADIAN BERSYARAT

Peristiwa tidak bebas peristiwa bersyarat (Conditional Probability)

Suatu event mempunyai hubungan bersyarat bila suatu event itu terjadi setelah event lain.

Contoh:

Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

Kejadian Bersyarat P(E|M)

Contoh (1):

9

Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak?

Jawab :

Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak

B = kejadian sekering kedua rusak

Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A B)

P(A B) = P(A). P(BA)

= 5/20 . 4/19

= 1/19

Contoh (2):

10

Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.

Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery?

Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk?

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

Jawab:

11

Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.

Jadi,

Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

Responsen J S Jumlah

R 20 40 60

W 30 10 40

Jumlah 50 50 100

67.060

40

10060

10040

)(

)()(

RP

RSPRSP

75.040

30

10040

10030

)(

)()(

WP

WJPWJP

40.050

20

10050

10020

)(

)()(

JP

JRPJRP

20.050

10

10050

10010

)(

)()(

SP

SWPSWP

Aturan Bayes :

12

Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S.

B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.

S

A1 A2 A3

B

probabilitas kejadian B adalah :

13

P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)

=

3

1

)().(

i

iiAPABP

disebut Hukum Probabilitas Total

14

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut :

n

i

ii

iii

i

APABP

APABP

BP

ABPBAP

1

)().(

)().(

)(

)()(

disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).

Contoh:

15

Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu..

Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?

Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

Jawab

16

P(bola yang terambil berwarna merah) =

P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

)3().3()2().2()1().1()( MPPMPPMPPMP

5.06

3

6

120.

3

1

2

1.

3

1

2

2.

3

1

33.03

1

63

61

63

21.

31

)(

)2().2()2(

MP

MPPMP

Soal 1:

17

Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola :

Merah

Tidak biru

Merah atau putih

Soal 2:

18

Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui : Sarjana teknik pria 1 orang, Sarjana teknik wanita 3 orang, , dan Sarjana ekonomi pria 2 orang, dan Sarjana ekonomi wanita 4 orang

Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran.

Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita?

Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik?

Hitunglah P(AB).

Hitunglah P(AB).

Soal 3:

19

Ada 3 kotak yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih, seperti yang dituliskan dalam tabel di bawah ini

Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil 1 bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih.

Berapa peluang bahwa bola itu merah ?

Berapa peluang bahwa bola itu putih ?

Bila bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1?

Bila bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2?

Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Jumlah

Bola merah

5 7 8 20

Bola putih 4 3 9 16

Jumlah 9 10 17 36

Soal 4

20

Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi sub-sistem yang saling berkaitan. Skema penyederhaan sistem tersebut terlihat dalam gambar di bawah. Terlihat bahwa A harus berfungsi dan sekurangnya salah satu dari B harus berfungsi agar sistem mekanik itu bekerja baik. Diasumsikan bahwa komponen-komponen B bekerja dengan tidak bergantung satu sama lain dan juga pada komponen A. Probabilitas komponen berfungsi baik adalah untuk A = 0.9 dan masing-masing B = 0.8. Hitunglah probabilitas sistem mekanik tersebut berfungsi dengan baik.

A B1

B2 Input

Output

Soal 5

21

Mesin produksi dari PT Sukses Jaya ada 2. Kapasitas produksi mesin pertama adalah 30% dan mesin kedua adalah 70%. 40% dari produksi mesin pertama menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Sedangkan 50% dari mesin kedua menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Apabila dipilih secara random sebuah produksi, berapa probabilitas:

Produk yang terambil menggunakan komponen lokal

Bila diketahui produk yang terambil menggunakan komponen lokal, berapa probabilitas produk tersebut dari mesin pertama.

2. Seorang peneliti akan mengolah data dengan komputer. Untuk keperluan tersebut dia menyewa komputer selama satu bulan. Didapat informasi bahwa selama pemakaian akan terjadi gangguan sebanyak 5% disebabkan oleh gangguan aliran listrik dan 3% akibat kerusakan alat.

a. Berapa besar peluang gangguan komputer

akibat gangguan aliran listrik

b. Berapa peluang gangguan komputer akibat keusakan alat, dan

c. Berapa peluang gangguan komputer akibat

aliran listrik dan kerusakan alat

3. Di suatu wilayah terdapat 120 anak balita, 50% diantaranya adalah laki-laki. Dari 50% anak laki-laki tersebut diambil sampel sebanyak 10%, sedangkan dari anak wanita diambil sampel sebanyak 15%. Dari sampel anak laki-laki tersebut 50% menderita gizi kurang, sedangkan dari sampel anak wanita terdapat 11% gizi kurang. Bila dari semua sampel anak balita diambil seorang dengan acak sederhana dan diperoleh anak wanita. Berapa peluang anak tersebut menderita gizi kurang?

Soal 6