Dimensi Fraktal

1. Pengantar Dimensi FraktalDimensi menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah ukuran yang meliputi: panjang, luas, tinggi, lebar, dan sebagainya. Karakteristik kunci lain sebuah fraktal adalah sebuah parameter matematika yang disebut dimensi fraktal. Tidak seperti dimensi dalam geometri Euclid, dimensi fraktal pada umumnya dinyatakan dengan bilangan bukan bulat yakni berupa bilangan pecahan. Dimensi fraktal dapat digambarkan dengan melihat sebuah contoh khusus misalnya kurva bongkahan salju yang didefinisikan oleh Helge von Koch pada 1904. Contoh fraktal ini merupakan gambar matematika secara murni dengan enam simetri lipat, seperti kepingan salju alami. Fraktal ini bersifat menyerupai dirinya, dalam arti bahwa bentuk ini terdiri atas tiga bagian identik, masing-masing pada gilirannya tersusun dari empat bagian dan secara persis merupakan bentuk secara keseluruhan dalam skala kecil. Jadi setiap bagian dari empat bagian itu sendiri terdiri atas empat bagian yang juga merupakan bentuk keseluruhan dalam skala kecil. Tidaklah mengherankan apabila faktor skalanya empat, karena sifat demikian benar untuk sebuah segmen garis atau busur lingkaran. Akan tetapi, untuk kurva bongkahan salju, faktor skala pada setiap tahap adalah tiga. Dimensi fraktal, dinyatakan dengan huruf D, adalah pangkat untuk bilangan 3 sehingga menghasilkan 4, yakni 3D = 4. Dimensi dari fractal bongkahan salju adalah D =log 4/ log 3, atau sekitar 1,26. Dimensi fractal merupakan sebuah sifat kunci dan sebagai indicator kekomplekannya.Dimensi menurut fraktal berbeda dengan dimensi menurut Euclid. Seperti yang kita ketahui bersama, dalam dimensi Euclidean titik merupakan dimensi nol, garis merupakan dimensi satu, bidang merupakan dimensi dua, dan ruang merupakan dimensi tiga. Namun, pada dimensi fraktal kita mengenal dimensi pecahan, seperti dimensi 2,7 dan dimensi 1,5. Dalam fraktal, dimensi biasa dilambangkan dengan D yang menyatakan dimensi topologi pada setiap objek fraktal. Banyaknya subunit atau subsegmen hasil iterasi dari suatu objek fraktal dilambangkan dengan N. Sedangkan panjangnya subsegmen tersebut dilambangkan dengan r. Sehingga hubungan antara D,N , dan r dinyatakan dengan persamaan N=(1/r)D Dengan mengambil logaritma dari kedua ruas persamaan tersebut, dimensi dapat dicari dengan persamaan (1) di bawah ini:D=log (N)/log(1/r)Terdapat beberapa metode untuk menentukan dimensi fraktal. Metode tersebut antara lain adalah metode eksponen Hurst dan metode box counting.Titik (point) tidak memiliki dimensi karena tidak memiliki panjang, lebar maupun bobot. Garis (line) berdimensi 1 karena memiliki panjang. Bidang (plane) berdimensi 2 karena memiliki panjang dan lebar. Ruang (space) berdimensi 3, karena memiliki panjang, lebar, dan kedalaman. Bila diperhatikan, dimensi dari objek-objek Eucledian (garis, bidang, dan ruang) merupakan bilangan bulat, yaitu berturut-turut 1, 2, dan 3.

Objek-objek Fraktal dapat memiliki dimensi pecahan (fractional dimension). Metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi dari objek fraktal adalah metode penghitungan kotak (box counting) yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

dengan N(s) menyatakan banyaknya kotak berukuran s yang berisi informasi (pixel) objek, danD(s) adalah dimensi fraktal objek dengan kotak berukuran s. Langkah-langkah metode penghitungan kotak adalah sebagai berikut. Pertama, citra dibagi kedalam kotak-kotak dengan ukuran s. Kedua, hitung banyaknya kotak N(s) yang dibutuhkan melingkupi suatu objek. Nilai N(s) sangat tergantung pada s. Nilai s berubah dari 1 sampai 2k, dengan k = 0, 1, 2,dan seterusnya, dan 2k tidak boleh lebih besar dari ukuran citra. Bila citra berukuran 2m x 2m, makanilai k akan berhenti sampai m. Ketiga, hitung D(s) dengan persamaan (2.31). Langkah terakhir adalah membuat garis lurus (regresi linier) berdasarkan nilai-nilai log(N(s)) (sebagai sumbu y) dan nilai-nilai log(s) (sumbu x). Kemiringan (slope) dari garis lurus tersebut merupakan dimensi fraktal dari suatu objek.

Dimensi fraktal pada umumnya dinyatakan dengan bilangan bukan bulat, yakni berupa bilangan pecahan. Yang dimaksud dengan dimensi fraktal yaitu sebuah pola yang bersifat rekursif yang setiap bagiannya mirip dengan bagian keseluruhan pada suatu objek geometri. Untuk objek yang memiliki dimensi Euclid D memiliki rasio pembagian , dimana N adalah banyak garis hasil iterasi. Jadi didapat

Telah dikenal beberapa metode untuk mencari dimensi fraktal. Metode tersebut antara lain adalah metode eksponen Hurst dan metode box counting. Metode eksponen Hurst digunakan untuk menghitung dimensi fraktal dengan data yang bentuknya berupa data runtun waktu. Sedangkan metode box counting lebih dikenal sebagai metode perhitungan kotakDimensi menurut Euclid berbeda dengan dimensi menurut fraktal. Seperti yang kita ketahui bersama, dalam dimensi Euclidean titik merupakan dimensi nol, garis merupakan dimensi satu, bidang merupakan dimensi dua, dan ruang merupakan dimensi tiga. Namun, pada dimensi fraktal kita mengenal dimensi pecahan, seperti dimensi 2,7 dan dimensi 1,5 (Azmi, 2013). Dalam fraktal, dimensi biasa dilambangkan dengan D yang menyatakan dimensi topologi pada setiap objek fraktal. Banyaknya subunit atau subsegmen hasil iterasi dari suatu objek fraktal dilambangkan dengan N. Sedangkan panjangnya subsegmen tersebut dilambangkan dengan r. Sehingga hubungan antara D,N , dan r dinyatakan dengan persamaan

Dengan mengambil logaritma dari kedua ruas persamaan tersebut, dimensi dapat dicari dengan persamaan (1) di bawah ini:

Terdapat beberapa metode untuk menentukan dimensi fraktal. Metode tersebut antara lain adalah metode eksponen Hurst dan metode box counting.

2.2 Metode Eksponen Hurst Dimensi Fraktal Metode Eksponen Hurst pertama kali diperkenalkan pada tahun 1951 oleh H.E. Hurst. Metode tersebut terbukti dapat digunakan untuk menganalisa data runut waktu dengan sangat baik. Nilai Eksponen Hurst berada pada interval 0 dan 1 (Sampurno, 2011). Dengan menggunakan nilai eksponen tersebut, dimensi fraktal suatu data runut waktu dapat ditentukan. Nilai eksponen Hurst dihitung dengan cara melihat tingkat kebergantungan nilai rasio perbandingan panjang jangkauan suatu data (R ) terhadap nilai standar deviasi data pada rentang tersebut (S ) yang dievaluasi untuk masing-masing nilai rentang (n ) Nilai komponen n didapatkan dengan membagi total panjang data (N ) dengan beberapa pembagi tetap Hurst menemukan bahwa skala perbandingan nilai meningkat seiring dengan bertambahnya nilai melalui suatu hubungan pada persamaan (2)

Dimana, (c ) merupakan suatu konstanta, dan (H) merupakan nilai Eksponen Hurst. Lalu untuk mendapatkan nilai Eksponen Hurst, dilakukan pengeplotan nilai log terhadap masing-masing nilai log (n ) (Sampurno, 2011).Suatu data runtun waktu dapat diklasifikasikan berdasarkan nilai Eksponen Hurst, yaitu sebagai berikut: a. 0 H < 0,5 menunjukan data runtun waktu tersebut bersifat antipersistence. Dimana meningkatnya data pada suatu waktu tertentu akan diikuti oleh menurunnya data pada waktu berikutnya, dan berlaku sebaliknya. b. H = 0,5 menunjukkan bahwa data sepenuhnya bersifat acak. c. 0,5