DIFERENSIAL DAN INTEGRAL NUMERIK

ada bab ini akan dibahas metode-metode numerik yang digunakan untuk mencari

turunan dan integral dari suatu persamaan matematik atau yang lebih dikenal dengan

istilah numerical integration and differentiation. Dalam ilmu sains dan teknik, permasalahan

terkait pencarian turunan suatu persamaan sangatlah sering dijumpai, oleh karena itu metode

numerik untuk mencari turunan dan integral suatu persamaan penting untuk dipelajari.

Motivasi: Diferensial

Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati

nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah

titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara

umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik pada

titik tersebut. Sebagai contoh, sebuah fungsi f (x) = x2, maka akan didapatkan fungsi turunan

f’ (x) = 2x. Fungsi turunan tersebut diperoleh dari rumusan sebagai berikut,

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥𝑛 4.1

Turunan dari persamaan (4.1) dapat ditentukan secara analitik dengan rumusan berikut,

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑎. 𝑛𝑥𝑛−1 (4.2)

Rumusan (4.2) hanya dapat digunakan pada persamaan sederhana saja. Untuk persamaan

yang lebih rumit, rumusan tersebut tidak dapat digunakan. Contoh dari persamaan rumit yang

dimaksud yaitu,

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 𝑥3 + 𝑥2 cos 𝑥 + tan𝑥

3− sin 0,5 𝑥 + 4𝑥 − 15

Penyelesaian dari contoh diatas dapat diselesaikan menggunakan metode diferensial numerik.

Berikut akan dijelaskan beberapa metode dari diferensial numerik.

1.1 High-Accuracy Differentiation Formulas

Seperti yang kita ketahui, biasanya untuk menurunkan sebuah fungsi dapat

digunakan pula ekspansi deret Taylor. Sebagai contoh, ekspansi deret Taylor yang dapat

dituliskan adalah sebagai berikut,

𝑓 𝑥𝑖+1 = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 ′ 𝑥𝑖 𝑕 +𝑓" 𝑥𝑖

2𝑕2 + ⋯ (4.3)

Deret Taylor diatas dapat digunakan untuk perhitungan turunan dari fungsi 𝑓 𝑥𝑖

sehingga,

P

𝑓′ 𝑥𝑖 =𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓 𝑥𝑖

𝑕−

𝑓" 𝑥𝑖

2𝑕 + 𝑂 𝑕2 (4.4)

Dalam Forward Difference Approximation pada bagian truncation error, telah

dijelaskan bahwa,

𝑓 ′(𝑥𝑖) =𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓 𝑥𝑖

𝑕+ 𝑂 𝑕 (4.5)

Sehingga turunan kedua dari 𝑓 𝑥𝑖 dapat dituliskan dalam bentuk,

𝑓"(𝑥𝑖) =𝑓 𝑥𝑖+2 − 2𝑓 𝑥𝑖+1 + 𝑓 𝑥𝑖

𝑕2+ 𝑂 𝑕 (4.6)

Terdapat 3 metode High-Accuracy Differentations Formulas yang akan dibahas pada

modul ini, yaitu Forward Finite-Divided-Difference (FFD), Backward Finite-Divided-

Difference (BFD), dan Centered Finite-Divided-Difference (CFD)

1.1.1 Forward Finite-Divided-Difference (FFD)

Di bawah ini merupakan pendekatan FFD yang digunakan untuk menghitung

nilai turunan dari suatu fungsi f (x). Untuk tiap orde turunan, ditampilkan dua jenis

rumusan perhitungan. Rumus yang kedua dari tiap orde turunan menggunakan deret

Taylor yang lebih spesifik sehingga menghasilkan nilai turunan yang lebih akurat.

Berikut ini merupakan grafik pendekatan FFD yang dapat menggambarkan

rumusan diatas,

1.1.2 Backward Finite-Divided-Difference (BFD)

Di bawah ini merupakan pendekatan BFD yang digunakan untuk menghitung

nilai turunan dari suatu fungsi f (x). Untuk tiap orde turunan, ditampilkan dua jenis

rumusan perhitungan. Rumus yang kedua dari tiap orde turunan menggunakan deret

Taylor yang lebih spesifik sehingga menghasilkan nilai turunan yang lebih akurat.

Berikut ini merupakan grafik pendekatan BFD yang dapat menggambarkan

rumusan diatas,

1.1.3 Centered Finite-Divided-Difference (CFD)

Di bawah ini merupakan pendekatan CFD yang digunakan untuk menghitung

nilai turunan dari suatu fungsi f (x). Untuk tiap orde turunan, ditampilkan dua jenis

rumusan perhitungan. Rumus yang kedua dari tiap orde turunan menggunakan deret

Taylor yang lebih spesifik sehingga menghasilkan nilai turunan yang lebih akurat.

(4.7)

Berikut ini merupakan grafik pendekatan CFD yang dapat menggambarkan

rumusan diatas,

1.2 Derivatives of Unequally Spaced Data

Pada pendekatan FFD, BFD, dan CFD, tiap data harus memiliki selang yang sama

besar (equally spaced). Namun, pada pendekatan ini berlaku hal yang sebaliknya. Itulah

sebabnya pendekatan ini disebut “turunan dari data yang memiliki selang tidak sama”

atau Derivatives of Unequally Spaced Data. Untuk data yang tak memiliki selang sama,

dapat digunakan rumusan sebagai berikut,

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑖−1 2𝑥 − 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖+1 + 𝑓 𝑥𝑖

2𝑥 − 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖+1

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1

+ 𝑓 𝑥𝑖+1 2𝑥 − 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖

𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

Dimana x merupakan nilai akan ditentukan turunannya.

Contoh soal.

Gradien suhu dapat diukur hingga kedalam tanah. Fluks panas antara permukaan

tanah dan udara dapat dihitung dengan Hukum Fourier.

𝑞 𝑧 = 0 = −𝑘𝜌𝐶 𝑑𝑇

𝑑𝑧 𝑧=0

Dimana q = fluks panas (W/m2), k = koefisien termal dalam tanah (≅ 3.5 × 10

-7 m

2/s),

ρ = densitas tanah (≅ 1800 kg/m3), dan C = panas spesifik tanah (≅ 840 J/(kg.℃)).

Gunakan diferensial numerik untuk menentukan gradien suhu diantara permukaan tanah

dan udara, dan tentukan fluks panas dalam tanah.

Berikut merupakan grafik suhu terhadap kedalaman tanah.

Penyelesaian:

Persamaan (4.7) dapat digunakan untuk menghitung turunan sebagai berikut,

𝑓 ′ 𝑥 = 13.52 0 − 1.25 − 3.75

0 − 1.25 0 − 3.75 + 12

2 0 − 0 − 3.75

1.25 − 0 1.25 − 3.75

+ 102 0 − 0 − 1.25

3.75 − 0 3.75 − 1.25

= −14.4 + 14.4 − 1.333333 = −1.333333℃/𝑐𝑚

Kemudian dari hasil turunan tersebut dapat dihitung besarnya fluks panas

𝑞 𝑧 = 0 = −3.5 × 10−7 𝑚2

𝑠 1800𝑘𝑔

𝑚3 840𝐽

𝑘𝑔. ℃ −133.3333 ℃𝑚

= 70.56 𝑊 𝑚2

1.3 Penggunaan fungsi diff dan gradient pada MATLAB

MATLAB memiliki banyak fungsi bawaan untuk menghitung turunan, termasuk

fungsi diff dan gradient. Ketika melewati vektor satu dimensi dengan panjang n,

fungsi diff akan me-return vektor dengan panjang n – 1 yang berisi nilai selisih antara

unsur-unsur yang berdekatan. Nilai selisih tersebut kemudian dapat digunakan untuk

menentukan turunan pertama dengan aproksimasi finite-difference.

Fungsi gradient juga me-return nilai selisih. Namun, fungsi gradient lebih

cocok digunakan untuk mengerjakan turunan pada suatu nilai dibandingkan pada interval

diantara nilai. Contoh sederhana dari syntax gradient dapat dilihat dibawah ini

fx = gradient(f)

dimana f merupakan vektor satu dimensi dengan panjang n, dan fx adalah vektor

dengan panjang n yang berisi nilai selisih dari f. Sama seperti pada fungsi diff, nilai

pertama yang direturn adalah nilai selisih antara nilai pertama dan kedua. Akan tetapi

pada nilai tengah, nilai yang direturn adalah,

𝑑𝑖𝑓𝑓𝑖 =𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1

2

Jika vektor menunjukkan data bersifat equally-spaced, gunakan syntax berikut dalam

fungsi gradient

fx = gradient(f, h)

dengan h = jarak antar titik

Contoh soal.

Telusuri bagaimana fungsi diff dan gradient pada MATLAB dapat digunakan

untuk mendiferensiasikan fungsi 𝑓 𝑥 = 0.2 + 25𝑥 − 200𝑥2 + 675𝑥3 − 900𝑥4 +

400𝑥5 dari x = 0 sampai 0.8. Bandingkan hasilnya dengan perhitungan manual dengan

hasil 𝑓′ 𝑥 = 25 − 400𝑥 + 2025𝑥2 − 3600𝑥3 + 2000𝑥4

Penyelesaian:

Pertama-tama kita bisa menyatakan f(x) sebagai fungsi anonim

>> f=@(x) 0.2+25*x-200*x.^2+675*x.^3-900*x.^4+400*x.^5;

Kemudian inisialisasikan deret yang memiliki nilai equally-spaced dari variabel bebas

dan terikat,

>> x=0:01:0.8;

>> y=f(x);

Fungsi diff digunakan untuk menentukan selisih antara unsur-unsur terdekat dari

masing-masing vektor. Contohnya,

>> format short g

>> diff(x)

0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000

Seperti yang telah diduga, hasil diatas menunjukkan selisih antara tiap pasangan pada

unsur x. Untuk menghitung turunan dengan aproksimasi divided-difference, kita gunakan

pembagian vektor dari selisih y dengan selisih x dengan

>> d=diff(y)./diff(x)

10.89 -0.01 3.19 8.49 8.69 1.39 -11.01 -21.31

Karena kita menggunakan data bersifat equally-spaced yaitu vektor x, maka vektor d

diatas bisa juga dihitung dengan,

>> d=diff(f(x))/0.1;

Sekarang vektor d berisi estimasi turunan yang diperoleh dari nilai selisih antara unsur-

unsur terdekat. Akan tetapi, agar dapat membuat plot sebagai hasil akhir, pertama-tama

kita harus menginisialisasikan sebuah vektor yang berisi nilai x untuk tiap interval

>> n=length(x);

>> xm=(x(1:n-1)+x(2:n))./2;

Kita dapat pula memasukkan nilai dari turunan analitik (perhitungan manual) untuk

mencantumkannya kedalam plot untuk perbandingan lebih lanjut.

>> xa=0:0.01:0.8;

>> ya=25-400*xa+3*675*xa.^2-4*900*xa.^3+5*400*xa.^4;

Hasil perhitungan numerik dan analitik kemudian dibuat grafiknya,

>> subplot(1,2,1),plot(xm,d,’o’,xa,ya)

>> xlabel(‘x’),ylabel(‘y’)

>> legend(‘numerical’,’analytical’),title(‘(a) diff’)

Kita dapat pula menggunakan fungsi gradient untuk menghitung turunan

>> dy=gradient(y,0.1)

dy = 10.89 5.44 1.59 5.84 8.59 5.04 -4.81 -16.16 -21.31

Seperti pada fungsi diff, kita juga dapat membandingkan hasil dari fungsi gradient

dengan hasil perhitungan analitik dengan menampilkan plot grafik,

>> subplot(1,2,2),plot(x,dy,’o’,xa,ya)

>> xlabel(‘x’)

>> legend(‘numerical’,’analytical’),title(‘(b) gradient’)

Motivasi: Integral

Sebelumnya, telah dipelajari mengenai diferensial numerik dari suatu persamaan. Pada

kalkulus, invers dari diferensial ialah integral. Secara matematik, integral dapat

direpresentasikan sebagai berikut:

𝑇 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Persamaan integral diatas dapat didefinisikan sebagai jumlah atau sigma dari f(x) dx dengan

batas integral x dari a hingga b. Bila dinyatakan secara grafik, maka akan sesuai dengan

grafik berikut ini.

Representasi grafik integral f(x) dx dengan batas x=a hingga b. Nilai integral akan setara

dengan luas daerah dibawah kurva

Formulasi Metode Integrasi Newton-Cotes

Formulasi metode integrasi Newton-Cotes merupakan pola integrasi yang sering dijumpai.

Formulasi ini ditentukan dengan menggantikan suatu fungsi yang dianggap sulit dengan

mengaproksimasi fungsi tersebut sehingga lebih mudah untuk diintegralkan:

𝑇 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≅ 𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Dimana fn(x) adalah bentuk polinomial seperti berikut:

𝑓𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑥

𝑛

Dimana n meupakan pangkat polinomial. Formulasi Newton-Cotes dapat digunakan pada

integral terbuka ataupun tertutup.

2.1. Metode Trapezoidal

Metode trapezoidal merupakan metode Newton-Cotes yang pertama untuk integral tertutup.

Metode trapezoidal dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≅ 𝑓1 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

garis lurus fungsi diatas dapat diketahui dengan persamaan:

𝑓1 𝑥 = 𝑓 𝑎 +𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎(𝑥 − 𝑎)

Luas daerah di bawah garis lurus ini dapat diestimasikan sebagai hasil integral dari f(x)

dengan batas a dan b:

𝐼 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Hasil integrasinya dapat dituliskan sebagai berikut:

𝐼 = (𝑏 − 𝑎)𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)

2

yang disebut sebagai metode Trapezoidal. Dalam suatu perhitungan numerik, tentunya

terdapat kesalahan perhitungan (error). Metode Trapezoidal juga memiliki error yang dapat

dirumuskan sebagai berikut:

𝐸𝑡 = −1

12𝑓"(𝜉) 𝑏 − 𝑎 3

2.2. Metode Simpson

Selain metode Trapezoidal, terdapat metode lain yang lebih akurat dalam menghitung integral

numerik, yaitu metode Simpson. Terdapat dua metode Simpson yang akan kita bahas pada

modul ini, yang pertama metode Simpson 1/3 dan metode Simpson 3/8.

2.2.1. Metode Simpson 1/3

Secara matematis, metode Simpson 1/3 dapat dituliskan dengan persamaan:

𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎)𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 𝑓(𝑥2)

6

Dimana a = x0, b = x2 dan x1 = titik tengah antara a dan b hasil dari (b+a)/2. Kesalahan

perhitungan (error) dari metode Simpson 1/3 dapat ditentukan dengan:

𝐸𝑡 = − 𝑏 − 𝑎 5

2880𝑓 4 (𝜉)

2.2.2. Metode Simpson 3/8

Simpson 3/8 dapat dirumuskan ke dalam bentuk persamaan berikut:

𝐼 ≅ (𝑏 − 𝑎)𝑓 𝑥0 + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓 𝑥2 + 𝑓(𝑥3)

8

Dengan error:

𝐸𝑡 = − 𝑏 − 𝑎 5

6480𝑓 4 (𝜉)

2.3. Metode Romberg

Metode integrasi romberg ialah salah satu teknik untuk mencari integral numerik dari suatu

fungsi. Metode ini hampor menyerupai metode-metode lain seperti Trapezoidal dan Simpson.

Tetapi, metode ini merupakan modifikasi dari metode trapezoidal. Metode Romberg, dapat

dirumuskan dengan persamaan sebagai berikut:

𝐼𝑗 ,𝑘 ≅4𝑘−1𝐼𝑗+1,𝑘−1 − 𝐼𝑗 ,𝑘−1

4𝑘−1 − 1

Dimana Ij+1,k-1 dan Ij,k-1 berturut-turut adalah integrasi yang lebih akurat dan integrasi yang

kurang akurat. Dan Ij,k merupakan perbaikan dari hasil integrasi. Nilai k menunjukkan tingkat

integral, dimana jika k=1 maka menujukkan pada estimasi asli metode Trapezoidal, k=2

menunjukkan O(h4), k=3 menunjukkan O(h

6) dan seterusnya. Nilai j berfungsi untuk

membedakan nilai integral yang lebih akurat dan yang kurang akurat.

CONTOH:

Tentukan hasil integral berikut:

3𝑥2𝑑𝑥2

0

Jika kita mengerjakan menggunakan metode Simpson 1/3 dan Trapezoidal maka script

Matlab yang harus dibuat ialah sebagai berikut:

A. Metode Simpson 1/3

function [I,h]=simp13(f,a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=a;

sum=f(x);

for i=1:2:n-2

x=x+h;

sum=sum+4*f(x);

x=x+h;

sum=sum+2*f(x);

end

x=x+h;

sum=sum+4*f(x);

sum=sum+f(b);

I=h*sum/3;

End

f=inline('3*x^2','x');

a=0;

b=2;

k=0:7;

fprintf('N\t\th\t\t\tIntegral\n')

for i=1:length(k)

n=2^k(i);

[I,h]=simp13(f,a,b,n);

fprintf('%g\t\t%f\t%f\n',n,h,I)

end

B. Metode Trapezoidal

function [I,h]=trapz(f,a,b,n)

h=(b-a)/n;

x=a;

sum=f(x);

for i=1:n-1

x=x+h;

sum=sum+2*f(x);

end

sum=sum+f(b);

I=(b-a)*sum/(2*n);

end

f=inline('3*x^2','x');

a=0;

b=2;

k=0:7;

fprintf('N\t\th\t\t\tIntegral\n')

for i=1:length(k)

n=2^k(i);

[I,h]=trapz(f,a,b,n);

fprintf('%g\t\t%f\t%f\n',n,h,I)

end

Cobalah ketikkan coding diatas pada Matlab! Dan bandingkan hasilnya, manakah hasil

integral yang lebih akurat?

LABORATORY EXERCISE 4

1. Tujuan dari soal ini adalah untuk membandingkan nilai diferensial menggunakan

pendekatan FFD, BFD, dan CFD dengan nilai diferensial menggunakan perhitungan

kalkulus biasa. Fungsi yang akan dibandingkan adalah:

𝑓 𝑥 = 𝑒−2𝑥 − 𝑥

a. Tentukan turunan dari fungsi diatas ketika x = 2 menggunakan perhitungan

kalkulus biasa.

b. Tentukan turunan dari fungsi diatas menggunakan pendekatan FFD, BFD, dan

CFD, dengan h = 0,5 sehingga x = 2 ± 0,5 atau x = 1,5 dan 2,5. Gunakan selang

0,01 dalam metode ini.

c. Bandingkan metode manakah yang memberikan hasil yang paling akurat jika

dibandingkan dengan perhitungan manual (point a). Dan jelaskan!

d. Plot grafik hasil perhitungan point b terhadap nilai x.

2. (8𝜋/2

0+ 4 cos 𝑥) 𝑑𝑥

Hitunglah hasil dari integral diatas menggunakan metodeTrapezoidal, Simpson 1/3 dan

Simpson 3/8. Hitung pula errornya dan bandingkan manakah yang lebih akurat?

Jelaskan!

3. Gradien tekanan dari aliran yang melewati sebuah tabung dapat dirumuskan dengan,

𝑑𝑝

𝑑𝑥= −

8𝜇𝑄

𝜋𝑟4

Dimana p = tekanan (N/m2), x = panjang tabung (m), 𝜇 = viskositas dinamis (N.s/m

2),

Q = debit aliran (m3/s) dan r = jari-jari tabung (m).

a. Tentukan tekanan jatuh dari tabung yang panjangnya 10 cm dengan viskositas 𝜇

= 0,005 N.s/m2 dengan debit 10

-5 m

3/s, serta variasi jari-jari tabung sebagai

berikut:

x, cm 0 2 4 5 6 7 10

r, mm 2 1,35 1,34 1,6 1,58 1,42 2

b. Bandingkan hasilnya dengan tekanan jatuh yang terjadi jika tabung memiliki jari-

jari konstan dan besarnya sama dengan jari-jari rata-rata dari variasi pada point a.

4. Kecepatan linear dari suatu gerak bebas suatu benda dapat dituliskan dengan persamaan

sebagai berikut:

𝑣 𝑡 =𝑔𝑚

𝑐(1 − 𝑒−

𝑐𝑚 𝑡)

Dimana v(t)= kecepatan linear (m/s), t=waktu (s), g=9.81 m/s2, m=massa (kg),

c=koefisien gesekan linear (kg/s). Gunakan metode Romberg dan Trapezoidal untuk

menghitung berapa kecepatan benda saat t = 8 sekon, m = 80 kg dan c = 10 kg/s.

5. Gunakan perintah diff dan gradient pada MATLAB untuk

mendiferensiasikanfungsi berikut:

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 𝑥3 + 𝑥2 cos 𝑥 + tan𝑥

3− sin 0,5 𝑥 + 4𝑥 − 15

Dengan nilai x = 0 sampai 10, buatlah plot grafik dari hasil perhitungan menggunakan

kedua perintah MATLAB diatas dan analisis secara tajam perbedaan pada kedua perintah

tersebut. Bandingkan pula dengan perhitungan manual kalkulus dalam analisismu.

SELAMAT BEKERJA