3/28/2012

1

3/28/2012 EKO EFENDI 1

Diagram Venn.

Hubungan antara kejadian dengan ruang contohnya

Representasi secara grafis untuk mengilustrasikan logical relations di antara kejadian – kejadian

S = Himpunan bilangan asli A = Himpunan bilangan ganjil A’= Himpunan bilangan genap

3/28/2012 EKO EFENDI 2

Diagram Venn mempermudah memahami himpunan

• Diagram Venn digunakan untuk menggambarkan himpunan-himpunan dan bagaimana hubungan antar himpunan-himpunan tersebut.

• Gabungan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung semua anggota yang dimiliki oleh himpunan pertama atau himpunan kedua. Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka gabungan dari A dan B dinotasikan dengan A B = {1,2,3,4,5,7}

• Irisan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung anggota yang ada pada himpunan pertama dan juga sebagai anggota pada himpunan kedua. Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka irisan dari A dan B dinotasikan dengan A B = {1,3,5}.

• Komplemen atau pelengkap dari suatu himpunan adalah himpunan yang memiliki anggota, dimana gabungan dari himpunan dan komplemennya adalah himpunan semesta dan irisan himpunan dengan komplemennya adalah himpunan kosong. Misalkan A adalah munculnya mata dadu ganjil dari sebuah dadu standar, maka A = {1,3,5}. Karena S = {1,2,3,4,5,6}, maka komplemen dari A, dituliskan dengan notasi Ac = munculnya mata dadu genap dari dadu standar, atau Ac = {2,4,6}.

3/28/2012

2

3/28/2012 EKO EFENDI 3

Pengolahan kejadian

Pengolahan kejadian itu dapat berbentuk irisan kejadian, kejadian saling bebas, gabungan kejadian, dan komplemen kejadian

3/28/2012 EKO EFENDI 4

Irisan

Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A Π B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B.

A Π B = daerah arsir hitam

3/28/2012

3

3/28/2012 EKO EFENDI 5

Saling bebas (terpisah)

Dua kejadian C dan D dikatakan saling bebas (terpisah) bila CΠD = φ , artinya kejadian C dan kejadian D tidak memiliki unsur persekutuan.

3/28/2012 EKO EFENDI 6

A U B = daerah arsiran hitam

Paduan (union) dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A U B adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A dan b atau keduanya.

3/28/2012

4

3/28/2012 EKO EFENDI 7

Komplemen suatu kejadian

Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A. Kita lambangkan komplemen A dengan A’

A’ = daerah yang diarsir hitam

Beberapa persamaan dalam diagram venn akibat definisi-definisi di atas adalah. A Πφ = φ S’ = φ A U A’ = S A U φ = A φ’ = S A Π A’ = φ (A’) = A

3/28/2012 EKO EFENDI 8

Mencacah titik contoh

Prinsip dasar mencacah = kaidah penggandaan

Kaidah penggandaan :

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara dan setiap

cara tersebut dapat dilakukan dengan n2 maka kedua operasi

tersebut dapat dilakukan dalam n1 n2

cara.

3/28/2012

5

3/28/2012 EKO EFENDI 9

Peluang suatu Peristiwa

Peluang adalah suatu nilai diantara 0 dan 1 (inklusif) yang menggambarkan besarnya kesempatan akan munculnya suatu kejadian tertentu pada kondisi tertentu. Istilah lain dari peluang adalah probabilitas.

Metode Klasik / a priori

Metode Frekuensi / a posteriori

Subyektif (hanya boleh digunakan apabila kedua cara diatas tak dapat dihitung)

3/28/2012 EKO EFENDI 10

Aksioma Peluang

Aksioma merupakan bukti diri yang secara umum telah diterima kebenarannya. Terdapat tiga aksioma dasar dalam semua penghitungan peluang yang akan disarikan disini yang berhubungan dengan ruang contoh S dan kejadian A dan B. Notasi untuk menyatakan peluang digunakan P( ).

1. Ketidaknegatifan. Setiap kejadian memiliki peluang yang tidak negatif. P(A) 0.

2. Kepastian. Peluang ruang contoh adalah 1. P(S) = 1.

3. Gabungan. Peluang gabungan dari dua kejadian yang saling lepas adalah jumlah peluang dari tiap kejadian. P(AB) = P(A)+P(B) jika AB=.

3/28/2012

6

3/28/2012 EKO EFENDI 11

Penentuan Peluang: Metode Klasik / a priori

Metode Klasik atau A Priori. Jika diketahui bahwa kejadian A dapat muncul dalam m cara dan total seluruh kemungkinan kejadian adalah n, maka peluang sebenarnya kejadian A dinotasikan dengan

n

m

carasemuatotal

AcarabanyaknyaAP )(

Bisa ditentukan tanpa harus melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu

3/28/2012 EKO EFENDI 12

Penentuan Peluang: Metode Frekuensi / a posteriori

• Metode Frekuensi atau A Posteriori. Jika kejadian serupa A muncul m kali dalam total percobaan n, maka peluang pengamatan A dapat dinyatakan dengan

n

m

percobaantotal

munculAbanyaknyaAP )(

Ditentukan dengan melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu

3/28/2012

7

3/28/2012 EKO EFENDI 13

Beberapa Peluang Peubah Diskrit

Nama Peubah Diskrit

Notasi dan Parameter P(X=x) dan x dimana P(X=x)

terdefinisi

X 2X

Seragam X ~ SD(N) 1/N

x=1,2,3,…,N

(N+1)/2 (N2-1)/ 12

Bernouli X ~ Bin(1,p) 0<p<1 q=1-p

pxq1-x x=0,1

P Pq

Binomial X ~ Bin(n,p) 0<p<1 q=1-p

x=0,1,2,…,n Np Npq

Geometrik X ~ Geo(p) 0<p<1 q=1-p

pqx-1

x=1,2,…

1/p q/p2

Negatif Binomial

X ~ NB(r,p) 0<p<1 q=1-p

r=1,2,3,…

x=r,r+1,r+2,… r/p rq/p2

Hipergeometrik X ~ Hyp(n,M,N) n=1,2,…,N

M=0,1,2,…,N

x=0,1,2,…,n NM/N n(M/N)(1-M/N) *((N-n)/(N-1))

Poisson X ~ Poi() > 0

x=0,1,2,…

3/28/2012 EKO EFENDI 14

Beberapa Peluang Peubah Kontinu

Nama Peubah Kontinu

Notasi dan Parameter

fX(x) dan x dimana fungsi terdefinisi*

X 2X

Seragam X ~ SK(a,b) a < b

1/(b-a) a < x < b

(a+b)/2 (b-a)2/12

Normal X ~ N(,2) 2 > 0

Gamma X ~ Gam(,) 0 < 0 <

0 < x 2

Eksponensial X ~ Exp() 0 <

0 < x 2

Eksponensial 2-Parameter

X ~ Exp(,) < x + 2

Eksponensial Ganda

X ~ EG(,) 22

Weibul X ~ Wei(,) 0 < x (1+1/)

2[(1+2/)-2(1+1/)]

Pareto X ~ Par(,) 0 < x /(-1) > 1

(2) / ((-2)(-1)2) > 2

Beta X ~ Beta(a,b) 0 < a 0 < b

0 < x < 1

3/28/2012

8

3/28/2012 EKO EFENDI 15

Beberapa aturan peluang

Nilai peluang adalah antara 0 dan 1

0 ≤ P ≤ 1

P(E) = 0 → peristiwa E pasti tidak terjadi

P(E) = 1 → peristiwa E pasti terjadi

Jika E’ menyatakan bukan peristiwa E

P(E’) = 1 – P(E)

P(E) + P(E’) = 1

3/28/2012 EKO EFENDI 16

Beberapa hubungan dalam peluang.

1.Jika K buah peristiwa saling eksklusif (E1, E2, … Ek) Peluang terjadinya E1

atau E2 atau …. Ek adalah jumlah peluang

masing-masing peristiwa.

P(Etot) = P(E1) + P(E2) …… + P(Ek)

2. Peluang terjadinya E1 dan E2

dan … Ek adalah

P(Etot) = P(E1) - P(E2) …… P(Ek)

3/28/2012

9

3/28/2012 EKO EFENDI 17

3. Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi syarat peristiwa yang lain.

4. Hubungan inklusif dua peristiwa (A,B) berlaku hubungan atau A atau B atau keduanya terjadi. P(A dan atau B) = P(A) + P(B) – P (A dan B)

3/28/2012 EKO EFENDI 18

Kaidah Penjumlahan dalam peluang

Dalil 1 : Bila A dan B adalah dua kejadian

sembarang maka : P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A Π B). Bila A dan B saling eksklusif P (A U B) = P(A) + P(B) Umumnya Bila A1, A2, A3, …. Saling eksklusif maka P(A1

U A2 U A3 U … U Ak) = P(A1) + P(A2) +

… + P(Ak).

3/28/2012

10

3/28/2012 EKO EFENDI 19

Dalil 2 :

Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya maka

P(A) + P(A’) = 1

3/28/2012 EKO EFENDI 20

Contoh : 1. Peluang seorang mahasiswa lulus matematika adalah 2/3 dan

peluang ia lulus statistik dasar adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut ?

Jawab : M = lulus matematika D = lulus statistik dasar M U D = lulus matematika atau statistik dasar (minimal satu) M Π D = lulus kedua mata kuliah Jadi berdasarkan dalil 1 : P(MΠ D ) = P(M) + P(D) – P(M U D)

3/28/2012

11

3/28/2012 EKO EFENDI 21

PELUANG BERSYARAT

Contoh : Perhatikan eksperimen pelemparan dadu B = kejadian munculnya bilangan kuadrat murni A = bilangan yang muncul lebih dari 3

3/28/2012 EKO EFENDI 22

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Jika dadu dibuat sedemikian hingga peluang muncul bilangan genap dua kali lebih besar dari bilangan ganjil

P(1) = 1/9 P(2) = 2/9

P(3) = 1/9 P(4) = 2/9

P(5) = 1/9 P(6) = 2/9

P(A) = 5/9

P(A Π B) = 2/9

3/28/2012

12

3/28/2012 EKO EFENDI 23

3/28/2012 EKO EFENDI 24

Kejadian Bebas

Jika A adalah suatu kejadian, maka adanya keterangan

tentang suatu kejadian lain, misal kejadian B, dapat memperkecil atau memperbesar atau tidak mengubah besarnya peluang kejadian A.

Jika besarnya peluang kejadian A tidak berubah karena adanya keterangan bahwa kejadian B telah terjadi, maka A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas

3/28/2012

13

Definisi Kejadian Saling Bebas : Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) P(B) Example: A ball is drawn at random from a box containing 6 red balls, 4 white balls, and 5 blue balls. Determine the probability that the ball drawn is (a) red, (b) white, (c) blue, (d) not red, and (e) red or white.

3/28/2012 EKO EFENDI 25

3/28/2012 EKO EFENDI 26

3/28/2012

14

3/28/2012 EKO EFENDI 27

Three balls are drawn successively from the box of above. Find the probability that they are drawn in the order red, white, and blue if each ball is (a) replaced and (b)not replaced.

Jika kejadian A dan B bebas, maka kejadian bersyaratnya tidak merubah nilai peluang

3/28/2012 EKO EFENDI 28

3/28/2012

15

3/28/2012 EKO EFENDI 29

KAIDAH PENGGANDAAN

a). Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus maka

P(A I B) = P(A) . P(BΠA)

b). Bila dua kejadian saling bebas maka P(A I B) = P(A) . P(B) secara umum;

3/28/2012 EKO EFENDI 30

Contoh :

Sebuah uang logam tak seimbang sehingga peluang muncul sisi gambar dua kali lebih besar dari sisi angka. Bila uang itu dilemparkan 3 kali, berapa peluang mendapatkan dua sisi angka dan satu sisi gambar ?

B = kejadian mendapat dua sisi angka & satu sisi gambar.

= {AAG, AGA, GAA}

3/28/2012

16

3/28/2012 EKO EFENDI 31

Latihan :

1. Populasi sarjana dalam suatu kota dikategorikan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan. Berapa peluang seorang laki-laki yang telah bekerja untuk menjadi duta dalam pertemuan nasional ? 2. Peluang seorang dokter mendiagnosis penyakit secara benar adalah 0,7. Bila diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, pasien akan menuntut ke pengadilan adalah 0,9. Berapa peluang dokter salah mendiagnosis dan pasien menuntut ke pengadilan ?

3/28/2012 EKO EFENDI 32

Jawaban

1. M = yang terpilih laki-laki

E = yang terpilih telah bekerja

3/28/2012

17

3/28/2012 EKO EFENDI 33

2. A = Diagnosis benar

B = Diagnosis salah

C = Pasien menuntut kepengadilan

Maka

3/28/2012 EKO EFENDI 34

KAIDAH BAYES

Lihat kembali soal latihan no 1.

Jika ada tambahan informasi bahwa 36 orang yang bekerja menjadi anggota Rotary Club dan 12 orang yang menganggur menjadi anggota Rotary Club. Berapa peluang kejadian A = yang terpilih menjadi duta adalah anggota Rotary Club.

3/28/2012

18

3/28/2012 EKO EFENDI 35

Jadi

3/28/2012 EKO EFENDI 36

3/28/2012

19

Dalam diagram pohon dapat digambarkan sebagai berikut :

Generalisasi dari kasus diatas dinyatakan dalam kaidah eliminasi atau dalil peluang total berikut : “ Bila kejadian-kejadian B1, B2, … ≠ 0 untuk I = 1, 2, … k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku :

3/28/2012 EKO EFENDI 37

Contoh : Tiga mahasiswa telah dicalonkan menjadi ketua HMJ. Peluang Adam, Brown dan Cony terpilih masing-masing 0,3; 0,5 ; 0,2. Seandainya Adam terpilih peluang kas himpunan bertambah adalah 0,8. Jika Brown atau Cony terpilih, peluang tambahnya kas adalah 0,1 dan 0,4. Berapa peluang kas HMJ bertambah ? Jawab :

A = kas HMJ bertambah B1

= Adam terpilih B2

= Brown terpilih B3

= Cony terpilih

3/28/2012 EKO EFENDI 38

3/28/2012

20

Dengan menerapkan kaidah eliminasi

Kaidah Bayes “ Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, … Bk

merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2, 3,… ,k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) ≠ 0

3/28/2012 EKO EFENDI 39

Contoh : Dari contoh kaidah eliminasi, jika ternyata sebelum pemilikan kas HMJ sudah bertambah, berapa peluang Cony terpilih menjadi ketua HMJ ?

Jawab : Dengan menggunakan kaidah Bayes

3/28/2012 EKO EFENDI 40