Materi 2

Desimal, Kerapatan, Kalkulator

Sebarang bilangan rasional dapat ditulis sebagai suatu desimal, karena berdasarkan definisi bilangan ini selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika pembilang kita bagi dengan penyebut, kita peroleh suatu desimal. Misalnya (gambar 1)

½ = 0,5

3/8 = 0,375

13/11 = 1,181818...

3/7 = 0,428571428571328571....

Bilangan-bilangan tak rasional dapat juga diungkapkan sebagai desimal-desimal. Sebagai contoh.

√2 = 1,4142135623....

√3 = 1,7320508075....

π= 3,1415926335...

Desimal Berulang dan Tak Berulang

Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir (seperti dalam 3/8 = 0,375) atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya (seperti dalam 13/11 = 1,181818...). Percobaan kecil dengan proses pembagian panjang akan menunjukkan kepada anda mengapa demikian. (disebabkan hanya terdapat suatu bilangan berhingga sisa-sisa yang berlainan). Sebuah desimal yang mempunyai akhir dapat dipandang sebagai suatu desimal berulang yang angka-angka akhirnya semuanya nol. Misalnya, 3/8 = 0,375 = 0,3750000000....

Jadi setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Adalah suatu kenyataan yang penting bahwa kebalikannya juga benar. Setiap desimal yang berulang menyatakan suatu bilangan rasional. Ini jelas dalam kasus suatu desimal berulang (misalnya, 3,137 = 3137/1000) dan mudah dibuktikan secara umum.

Contoh 1. (desimal berulang adalah rasional)

Buktkan bahwa :

0,136136136..... dan 0,27171717... menyatakan bilangan-bilangan rasional

Penyelesian :

Misalkan x = 0,136136136..... maka 1000x = 136,136136136......

1000x = 136,136136136....

X = 0,136136136.... –

999x = 136 maka x = 136/999 .

jadi 0,136136136.... = 136/999 adalah bilangan rasional

Misalkan y = 0,27171717... maka 100y = 27,171717....

100y = 27,171717...

Y = 0,271717... –

99y = 26,9 maka y = 26,9/99 = 269/990. Jadi 0,27171717.... = 269/990 adalah bilangan rasional.

Secara umum, langkah pertama adalah mengalikan suatu desimal berulang z dengan 10m

jika desimal tersebut berulang dalam suatu daur yang memuat m angka.

Pernyataan desimal bilangan-bilangan tak rasional tidak berulang menurut suatu daur. Sebaliknya, suatu desimal tak berulang pasti menyatakan suatu bilangan tak rasional. Sehingga, misalnya 0,10100100001..... pasti menyatakan suatu bilangan tak rasional. Diagram dalam gambar 2 meringkaskan apa yangtelah disampaikan.

Kerapatan

Di antara dua bilangan riil sebrang yang berlainan x dan y, terdapat suatu bilangan riil lain. Khususnya bilangan z = (x + y)/2 adalah bilangan pertengahan antara x dan y (gambar 3). Karena terdapat juga suatu bilangan s antara x dan z dan bilangan lain t antara z dan y dan karena argumentasi ini dapat diulang sampai tak terhingga, kita dipaksa mengambil kesimpulan yang menakjubkan tetapi benar bahwa di antara dua bilangan rill sembarang (tidak perduli betapapun dekatnya), terdapat tak terhingga banyaknya bilangan riil lain. Ini akan menghapus sama sekali pemikiran seperti “ bilanangan yang sedikit lebih besar dari 3”. Tidak terdapat bilangan yang demikian.

Sebenarnya kita dapat mengatakan lebih banyak. Di antara dua bilangan riil sembarang yang berlainan, terdapat bilangan rasional maupun bilangan tak rasional – dan karenanya tak terhingga banyaknya dari tiap jenis.

Contoh 2.

Carilah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional di antara x dan y jika diketahui x = 0,31234158....... dan y = 0,31234200........

Penyelesaian :

Andaiakan : z = 0,312341600000..... dan w = 0,3123416010010001.....

Maka z adalah rasional (berakhir dengan pengulangan 0), sedangkan w adalah tak rasional (perhatikan pola penyisipan 0 yang semakin banyak di antara angka 1). Seharusnya jelas bagi kita bahwa : x < z < w < y

Satu cara bagaimana matematikawan memeriksa situasi yang telah dibahas tersebut adalah dengan mengatakan bahwa bilangan rasional dan tak rasional keduanya rapat sepanjang garis riil (gambar 4).

Setiap bilangan mempunyai tetangga rasional dan tak rasional yang cukup dekat dengannya. Kedua jenis bilangan tersebut saling berkaitan tak terpisahkan dan menggerombol bersama-sama.

Salah satu manifestasi dari sifat kerapatan yang baru saja diuraikan adalah bahwa sebarang bilangan tak rasional dapat dihampiri oleh suatu bilangan rasional sedekat yang kita sukai. Contohnya adalah √2. Barisan bilangan-bilangan rasional : 1 ; 1,4 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,41421 ; 1,414213 ; ........ berbaris dan tak dapat ditawar-tawar menuju √2. (gambar 5). Dengan berjalan cukup jauh dalam barisan ini, kita berada sedekat mungkin ke √2 seperti yang kita inginkan.

Kalkulator

Di masa lalu para ilmuwan dan insinyur berkeliaran di kampus dengan slide-rule tergantung di ikat pinggangnya. Saat ini mereka mengantongi kalkulator di sakunya. Jika anda belum mempunyai salah satu dari ahli sihir elektronika ini, kami anjurkan anda untuk membelinya. Yakinkan untuk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma) dan jika anda mampu, kami rekomendasikan versi yang dapat diprogram. Anda akan menjumpai banyak penggunaan kalkulator dalam materi ini.

Satu kenyataan yang segera jelas kelihatan adalah bahwa kita tidak dapat memasukkan suatu desimal tak berhingga ke dalam sebuah kalkulator. Kalkulator secara eksklusif bekerja dengan desimal yang panjangnya telah ditentukan sebelumnya (misalnya, 10 angka).

Nyatanya, kalkulator hanya menangani bilangan-bilangan rasional dengan uraian desimal yang berhenti secara cepat. Sehingga, kita sering harus membulatkan suatu bilangan untuk memasukkanya ke kalkulator, dan jawab yang diberikan kalkulator biasanya juga akan dibulatkan. Misalnya, kalkulator tidak akan pernah memakai nilai sebenarnya dari √2 tetapi harus puas dengan nilai hampiran seperti

√2≈ 1,414213562

Di sini kita telah memakai lambang ≈ untuk menyingkat ungkapan “ secara hampiran sama dengan”.

Nasehat kami adalah ini: lakukan perhitungan yang mudah tanpa kalkulator, khusunya jika ini dapat menjawab yang sebenarnya, misalnya, secara umum kita lebih menyukai jawaban

sebenarnya √32

untuk sinus π/3 dibandingkan nilai hasil kalkulator 0,8660254. Tetapi, dalam

perhitungan yang rumit kami anjurkan penggunaan kalkulator.

Latihan soal 2

Dalam soal 1-6, ubah tiap bilangan rasional menjadi desimal dengan melakukan pembagian panjang

1. 7/82. 3/133. 3/204. 5/135. 11/36. 11/7

dalam soal 7 – 12, ubah masing-masing desiaml menjadi suatu hasil bagi dua bilangan bulat (contoh 1)

7. 0,123123123.....8. 0,217171717...9. 2,56565656.....10. 3,92929292.....11. 0,1999999.....12. 0,3999999.....13. Carilah sebuah bilangan rasional positif dan sebuah bilangan tak rasional positif yang

keduanya lebih kecil dari pada 0,0000114. Cari bilangan tak rasional antara 3,14159 dan π (lihat contoh 2, dan π = 3,141592... )15. Apakah (π - 22/7) positif, negatif atau nol ?16. Apakah terdapat bilangan antara 0,999999..... dengan angka 9 yang berulang terus

dengan angka 1?17. Carilah bilangan rasional antara 17/37 dengan 52/11118. Carilah dua bilangan tak rasional yang jumlahnya rasional.