KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan petunjuk, bimbingan dan kekuatan lahir batin sehingga makalah ini dapat kami selesaikan. Shalawat dan salam senantiasa dihanturkan pada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW dan keluarganya.

Makalah ini dibuat sebagai salah satu tugas matakuliah analisis kompleks, makalah ini memuat materi tentang Deret bilangan kompleks yang diambil dari beberapa sumber.

Kami telah berusaha semaksimal mungkin untuk membuat makalah ini dengan sebaik-baiknya. Namun ibarat pepatah tak ada gading yang tak retak. Kami menyadari masih banyak kekurangan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi peningkatkan dan penyempurnakan makalh ini.

Akhirnya semoga makalah ini dapat member manfaat bagi para mahasiswa khususnya yang mengikuti mata kuliah Analisis Kompleks. Amin .

Jakarta,

Penyusun

BAB I

PENDAHULUANA. Latar belakang

Analisis komples adalah salah satu mata kuliah di program studi pendidikan matematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang berhubungan dengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku, fungsi bilangan kompleks, dan lain-lain. Diantaranya juga dipelajari tentang deret bilangan kompleks. Untuk lebih memahami deret bilangan kompleks beserta teorema dan aturan yang berlaku dalam deret bilangan kompleks itu sendiri maka dosen member tugas pembuatan makalah mengenai deret bilangan kompleks. Oleh sebab itu penulis membuat makalah ini untuk lebih memahami mengenai deret bilangan kompleks sekaligus menyelesaikan tugas dari dosen.

B. Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang maka dibuat rumusan masalah sebagai berikut :

Apa itu Deret bilangan kompleks ?

Apa saja teorema dan aturan yang berlaku dalam Deret bilangan kompleks ?

C. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui apa itu Deret bilangan kompleks beserta teorema dan aturan yang berlaku dalam Deret bilangan kompleks.

BAB II

DERET BILANGAN KOMPLEKS

Deret bilangan kompleks merupakan penjumlahan suku-suku pada barisan bilangan kompleks.

Deret bilangan kompleks dinotasikan

dengan suku-suku deret yaitu . Misalkan,

merupakan jumlah suku pertama

merupakan jumlah dua suku pertama

merupakan jumlah tiga suku pertama

merupakan jumlah suku pertama

Jika barisn mempunyai limit diperoleh jumlah tak berhingga

Jadi dalam symbol dituliskan

=

1. Deret konvergen

Kekonvergenan suatu deret ditentukan oleh ada atau tidak adanya limit barisan jumlah bagiannya. Kekonvergenan deret tersebut disajikan pada definisi berikut ini :

Definisi 1 :

Deret konvergen ke jika dan hanya jika

Deret divergen ke jika dan hanya jika tidak ada.Contoh :Dari barisan = dibentuk deret . Tentukanlah apakah deret tersebut konvergen atau divergen!

Penyelesaian :

==

Bagian ruas kanan yang didalam kurung merupakan deret geometri dengan suku pertama dan dan jumlah tak hingganya adalah =1.

Maka diperoleh limit = . Jadi deret konvergen ke .2. Uji konvergensi pada deret bilangan kompleks

a. Teorema konvergensiTEOREMA 6.2.2

Diberikan deret bilangan kompleks dengan ;

(a) konvergen jika dan hanya jika dan konvergen.(b) konvergen, maka .(c) konvergen mutlak, maka konvergen, artinya jika maka konvergen.Teorema di atas hanya akan dibuktikan bagian (a) dan (b), sedangkan bagian (c) diberikan kepada para pembaca sebagai latihan.Bukti (a):

misalkan deret konvergen ke , sehingga . Akan ditunjukan bahwa deret konvergen ke dan deret konvergen ke . Menurut definisi diperoleh,

Akibatnya diperoleh,

dan

Karena dan berturut-turut merupakan jumlah bagian dari dan , maka dan konvergen.

misalkan konvergen ke dan konvergen ke Akan tunjukan konvergen ke . Karena , menurut teorema diperoleh Karena , diperoleh Jadi terbukti bahwa konvergen.

Bukti (b):

Diberikan bilangan sebarang. Akan dibuktikan berarti terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku Diketahui konvergen, berarti terdapat bilangan kompleks sehingga berlaku

Jadi untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku dan Menurut ketaksamaan segitiga, diperoleh

Jadi terbukti bahwa b. Uji Rasio

Teorema 6.2.4 (Uji Ratio):

Diberikan deret dengan suku-suku tak negative dan .

(a) Jika L < 1, maka konvergen

(b) Jika L > 1, maka divergen

(c) Jika L = 1, maka pengujian gagal (deret dapat konvergen atau divergen)

Bukti:

(a) Diberikan bilangan sebarang. Karena untuk setiap n, maka L > 0.

Diketahui L < 1. Dipilih bilangan real r sehingga L < 2 < 1.

Kemudian diambil Karena , terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku

Diperoleh jika berlaku

atau (*)

Diambil sehingga dari (*) diperoleh

.

(**)

Deret adalah deret konvergen, karena merupakan deret geometri dengan ratio r < 1.

Dari (**) dan menggunakan uji banding, diperoleh bahwa deret konvergen.

Deret berbeda dari deret dalam suku pertama.

Jadi deret konvergen sehingga deret yang diberikan konvergen mutlak.

(b) Karena , dan L > 1, maka .

Hal ini berarti untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga jika

berlaku

.

Perhatikan bahwa jika dan hanya jika Diambil , sehingga diperoleh

Jadi jika , berlaku . Akibatnya . Karena , diperoleh deret divergen.

(c) Misalkan deret , diperoleh

Deret konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk .

Jadi deret dapat konvergen dan dapat juga divergen, sedangkan yang divergen memenuhi .

Contoh :

Tunjukkan bahwa deret konvergen dengan menggunakan uji ratio.

Penyelesaian:

Misalkan , maka Diperoleh,

Jadi menurut uji ratio, diperoleh bahwa deret tersebut konvergen mutlak.

c. Uji Akar

Diberikan deret dengan suku-suku tak negative dan .

EMBED Equation.3

Contoh :Tunjukkan bahwa deret konvergen dengan menggunakan uji akar .

Penyelesaian :

Berikut akan dipaparkan menggunakan uji akar. Kesimpulan dari uji akar ini sama dengan uji rasio.

=

Perhatikan bentuk di atas, jika maka = 1. Perhatikan juga bentuk . Jika maka = , sehingga limit diatas memiliki bentuk :

==

Karena nilai limitnya < 1, maka deret konvergen.d. Uji Integral

Andaikan adalah deret suku-suku tak negative dan andaikan bahwa fungsi didapat dari pengganti n pada suku umum deret dengan peubah kontinu x, maka deret akan konvergen jika hanya jika juga konvergen.

Dari kalkulus :

=

Apa bila limit pada ruas kanan bernilai terhingga, maka integral tak wajar tersebut konvergen dan memiliki nilai yang sama dengan limit tadi. Jika tidak maka integral tersebut divergen.Contoh :

Tunjukanlah bahwa deret merupakan deret konvergen dengan melakukan uji integral.Penyelesaian :

Coba lakukan pengujian dengan uji rasio, maka akan diperoleh hasil perhitungan , dengan demikian kita tidak dapat menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen dengan uji rasio. Inilah saatnya menggunakan uji integral. Lihat penjelasan teori diatas mengenai uji integral. Kita ubah notasi n menjadi peubah kontinu x sehingga diperoleh . Kita lakukan pengintegralan terhadap fungsi kontinu ini

Integral fungsi ini bersifat konvergen (ada hasilnya) dengan demikian deret konvergene. Uji Deret berganti tandaDiketahui suatu deret , dengan

Andaikan :

Untuk setiap yang lebih besar dari suatu bilangan bulat tertentu, maka deret yang diketahui tersebut konvergen.

Contoh

Tunjukanlah bahwa deret merupakan deret konvergen dengan melakukan uji deret berganti tanda.Penyelesaian :Kita lakukan uji rasio pada deret diatas

Berarti . Karena , maka kita tidak dapat mengetahui apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Dengan demikian kita harus menggunakan uji lain. Kita uji dengan pembanding sekali lagi, syaratnya harus hati-hati dalam memilih deret pembanding.

Untuk kasus ini kita pilih sebagai deret pembanding.

Namun bagaimana kita menguji deret ini ? coba kita uraikan deret ini

Tempat pada bagian pembilang berubah tanda dari . Dengan demikian uji deret berganti tanda merupakan uji yang paling tepat untuk deret ini. Lihat lagi teorema untuk deret berganti tanda.

Pada deret yang membuat berganti tanda adalah , dengan demikian pemeriksaan dilakukan terhadap bagian .

Ternyata dan

EMBED Equation.3 konvergen.

Karena konvergen, sementara

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , maka deret juga konvergen.

f. Uji BandingTEOREMA 6.2.3 (Uji Banding)

Diberikan untuk setiap (a) Jika konvergen, maka konvergen (mutlak)(b) Jika divergen, maka divergen.Bukti:

(a) Diketahui dan konvergen. Akan dibuktikan konvergen mutlak. Misalkan adalah barisan jumlah bagian untuk deret dan adalah barisan jumlah bagian untuk deret . Karena konvergen, berarti terdapat bilangan real M sehingga . Karena , diperoleh untuk setiap .Karena barisan sebagai jumlah bagian dari deret , sehingga berlaku untuk suatu bilangan real Akibatnya konvergen.

(b) Diketahui dan divergen. Akan dibuktikan divergen. Andaikan deret konvergen. Karena sehingga dari (a) diperoleh barisan deret konvergen. Hal ini bertentangan dengan hipotesis yang diketahui jadi pengandaian di atas salah, haruslah deret divergen.Contoh :Ujilah kekonvergenan deret dengan menggunakan uji banding.

Penyelesaian:

Diketahui:

Bentuk umum deret di atas adalah ,

Kita buat fungsi pembandingnya yaitu Sehingga berdasarkan definisi adalah .

Kemudian deret konvergen.

Bukti:

gunakan integral, maka:

(terbukti)

Karena konvergen, maka berdasarkan uji banding diperoleh bahwa deret juga konvergen

Latihan soal-soal :

1. Tentukanlah apakah deret bilangan kompleks dibawah ini konvergen atau divergen :

a.

b.

c.

d.

e.

Daftar Pustaka

Ekowati. CK 2010. Bahan Ajar Mandiri Kompleks. Kupang: Universitas Nusa Cendana.

http//:diktat-anakom.pdf

Gunawan Wibisono dan John D. Paliouras. 1987. Peubah Kompleks Untuk Ilmuan Dan Insinyur. Penerbit:Erlangga.

_1451790308.unknown

_1451790325.unknown

_1451790341.unknown

_1451790350.unknown

_1451790354.unknown

_1451790358.unknown

_1451790363.unknown

_1451790366.unknown

_1451790367.unknown

_1451790368.unknown

_1451790365.unknown

_1451790361.unknown

_1451790362.unknown

_1451790360.unknown

_1451790356.unknown

_1451790357.unknown

_1451790355.unknown

_1451790352.unknown

_1451790353.unknown

_1451790351.unknown

_1451790346.unknown

_1451790348.unknown

_1451790349.unknown

_1451790347.unknown

_1451790344.unknown

_1451790345.unknown

_1451790343.unknown

_1451790333.unknown

_1451790337.unknown

_1451790339.unknown

_1451790340.unknown

_1451790338.unknown

_1451790335.unknown

_1451790336.unknown

_1451790334.unknown

_1451790329.unknown

_1451790331.unknown

_1451790332.unknown

_1451790330.unknown

_1451790327.unknown

_1451790328.unknown

_1451790326.unknown

_1451790316.unknown

_1451790320.unknown

_1451790323.unknown

_1451790324.unknown

_1451790321.unknown

_1451790318.unknown

_1451790319.unknown

_1451790317.unknown

_1451790312.unknown

_1451790314.unknown

_1451790315.unknown

_1451790313.unknown

_1451790310.unknown

_1451790311.unknown

_1451790309.unknown

_1451790290.unknown

_1451790299.unknown

_1451790303.unknown

_1451790305.unknown

_1451790306.unknown

_1451790304.unknown

_1451790301.unknown

_1451790302.unknown

_1451790300.unknown

_1451790295.unknown

_1451790297.unknown

_1451790298.unknown

_1451790296.unknown

_1451790292.unknown

_1451790294.unknown

_1451790291.unknown

_1451790282.unknown

_1451790286.unknown

_1451790288.unknown

_1451790289.unknown

_1451790287.unknown

_1451790284.unknown

_1451790285.unknown

_1451790283.unknown

_1451790278.unknown

_1451790280.unknown

_1451790281.unknown

_1451790279.unknown

_1451790276.unknown

_1451790277.unknown

_1451790274.unknown