DEFENISI TURUNAN FUNGSI

Turunan fungsi f adalah fungsi f’ (dibaca f aksen), yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

Asalkan limitnya ada( )

( )h

f(c)-hcfcf

0→h

+lim='

PROSES MENCARI TURUNANLangsung dari definisi dengan mengganti sembarang bilangan c dengan x, sehingga didapat:

Asalkan limitnya ada. Notasi turunan fungsi sering kita memakai huruf D, misalnya Df=f’ atau Df(x)=f’(x)

( )( )

hf(x)-hxf

xf0→h

+lim='

Contoh-contoh1. Carilah turunan fungsi dari f(x)=7x-3

Jawab:

Jadi f’ dari fungsi yang diberikan adalah f’(x)=7

( )( )

hhxf

xfh

f(x)-lim'

0→

+=

( )

7

7

77

7

0

0

0

=

=

+=

+=

hh

lim

hhx

lim

hhx

lim

h

h

h

3)-(7x-3-

3)-(7x-3-

→

→

→

2. Carilah turunan dari

18 2 += x)x(g

Jawab:

( )( )

hhxf

limx'fh

f(x)-→

+=

0 ( )

x)hx(limhhhx

lim

h)hhxx(

limh

hxlim

hh

hh

161616

81288

0

2

0

22

00

=+=+

=

++++=

+++=

→→

2

→

22

→

1)x(-1)(8x-1

Teorema-teorema Turunan• Teorema A (Aturan konstanta)

Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f’(x)=0 - yakni:D(k)=0

• Teorema B (Aturan fungsi identitas)Jika f(x)=x, maka f’(x)=1 - yakni:D(x)=1

• Teorema C (Aturan pangkat)Jika untuk n anggota bilangan Rel, maka - yakni :

nxxf =)(1)(' nnxxf

1)( nn nxxD

SAMBUNGAN-1

( )[ ] ( )xkDfxfkD =.

• Teorema D (Aturan Kelipatan)Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan, maka (kf)’x=kf’(x) -yakni:

•Teorema E (Aturan Jumlah) Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan, maka (f+g)’x=f’(x)+g’(x) -yakni:

( ) ( )[ ] ( ) ( )xDgxDfxgxfD +=+•Teorema F (Aturan Selisih) Jika k suatu konstanta dan f fungsi yang terdefrensialkan, maka (f-g)’x=f’(x)-g’(x) -yakni:

( ) ( )[ ] ( ) ( )xDgxDfxgxfD -- =

SAMBUNGAN 2Teorema G (Aturan Perkalian)

Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan,maka(f.g)’(x)=f(x)g’(x)+g(x)f’(x) -yakni:

( ) ( )[ ] ( ) ( )xDfxfxgxfD g(x)+Dg(x)=

Teorema H (Aturan Pembagian) Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan dengan , maka -yakni:

0≠)(xg

)()()()()(

)()(

2 xgxDgxfxDfxg

xgxfD

)()(')()(')()( 2 xgxgxfxfxgx

gf

Bukti Teorema

1

1221

0

...2

)1(

lim

n

nnnn

hnx

h

hnxhhxnnnxh

nxxf )(

h

xhnxhhxnnhnxx

hxhx

hxfhxfxf

nnnnnn

h

nn

hh

1221

000

...2

)1()()()()(' limlimlim

Bukti Teorema C (Aturan pangkat), yaitu , maka

Bukti:

1)(' nnxxf

Contoh Soal; Carilah Dy dari:3.1 xy

xxy 11.2 2

)13)((.3 34 xxxxy

3252.4 2

2

xxxxy

Pemecahan soal-soal2133 33)(.1 xxxDDy

23231212

2

12)1(2)()()(11.2xx

xxxDxDxxDxx

DDy

)13)((.3 34 xxxxy

168157

1431243333)14)(13()33)((

)()13(13(13

346

34363463324

433434

xxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

xxDxxxxDxxxxxxDDy

3252.4 2

2

xxxxy

22

2

22

223223

22

22

22

2222

)32(248

)32()10104422(664422

)32()22)(52()22(32

)32()32()52()52(32

xxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxDxxxxDxxDy

2. Cari persamaan garis singgung pada grafik y = 3 sin 2x di titik ?

Jawab.Kita memerlukan turunan dari sin 2x yaitu:

0,2π

2πx

xxx

xxxxxxDxxDxxDxD

2cos6sincos6

coscos)sin(sin6)(sincos)(cossin6cossin2.32sin322

Pada maka turunannya bernilai 6, ini merupakan kemiringan garis singgung. Jadi persamaan garis singgung itu adalah:

ππ 36)2

(60)( 11 xyxyxxmyy

3. Perhatikan sebuah kincir feris yang berjari-jari 30 kaki, berputar berlawanan arah putaran jarum jam dengan kecepatan sudut 2 radian/det. Seberapa cepat dudukan pada pelek naik (dalam arah tegak) pada saat ia berada 15 kaki di atas garis mendatar yang melalui pusat kincir ? Jawab.

Misalkan bahwa kitncir berpusat di O(0,0) dan P berada di (30,0) pada saat t=0 Gambar di bawah.

P(30cos2t,30sint)Pada saat t, P bergerak melalui sudut 2t radian, sehingga koordinat P(30 sin2t,30 cos2t). Laju P naik adalh turunan koordinat vertikal 30 sin2t yaitu diukur untuk 30sin2t=15, maka sin2t=1/2, sehingga dengan demikian:

1262 ππ

tt

12π

t

Jadi P naik pada kaki/det.96,512360)

12.2cos(60 π

Soal-soal TPR

235.10

2372.11

2341.10

352.9)2)(1(8)5)((.7

)5(.6)5(.55.4

17211.32.22.1

2

22

2

2245

335

44

5

xxxxy

xxy

xxy

xyxxxyxxxy

xxxyxxxyxxy

xxyx

yxy

23 xxy

Kerjakan nomor ganjil atau genap sesuai dengan BP Saudara,

Dalam soal 1-12, carilah Dy mengunakan teorema-teorema sebelumnya:

13. Jika f(0) = 4, f’(0) = -1, g(0) = -3 dan g’(0) = 5 carilah (a) (f - g)’(0); (b) (f . g)(0); (c) (f/g)’(0)14. Jika f(3) = 7, f’(3) = 2, g(3) = 6 dan g’(3) = -10 carilah (a) (f . g)’(3); (b) (f + g)(3); (c) (f/g)’(3)15. Carilah semua titik pada garis di mana garis singgungnya mendatar ?16. Carilah semua titik pada garis di mana garis singgungnya mendatar ?

xxxy 23

31

tts 25,4 2

17. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas pada saat t detik diberikan oleh .

a. Berapa kecepatan sesaat pada saat t=2 ?b. Bilamana kecepatan sesaat ) ?

18. Sebuah bola mengelinding sepanjang bidang miring sehingga jarak s dari titik awalnya setelah t detik adalah kaki. Kapankah kecepatan sesaatnya akan sebesar 30 kaki/detik ?>

1004016 2 tts