CONTOH SOAL UJIAN AKHIR

Mata Kuliah : Aljabar Linear ElementerProgram Studi : MatematikaWaktu : 120 menitSifat : 1. Buku Tertutup;

2. Tidak diperkenankan menggunakan alat elektronika.

1. Diberikan vektor-vektor berikut:

{

1230

,

2101

,

0112

,

322

1

}.

(a.) Tentukan apakah vektor-vektor tersebut bebas linear atau tidak.

(b.) Jika vektor-vektor tersebut tidak bebas linear, nyatakan sebuah vektor diantaranya sebagai kombinasi linear vektor-vektor yang lain.

2. Diberikan transformasi linear berikut

T

xyz

=

x y + 2z2x + 3y zx + 2y 2z

.

(a.) Tentukan vektor-vektor di R3 yang dipetakan ke vektor 0 oleh T .(b.) Diberikan vektor

w =

769

.

Tentukan apakah ada vektor v R3 sehingga T (v) = w.3. Diberikan S dan T himpunan-himpunan bagian tak kosong di Rn. Didefinisikan

S + T = {s + t | s S, t T}. Jika S = Span(u1,u2, . . . ,uk) dan T = Span(v1,v2,. . . ,vt), buktikan

S + T = Span(u1,u2, . . . ,uk,v1,v2, . . . ,vt).

4. Diketahui matriks persegi A yang berukuran n n merupakan matriks invertibel.Jika adalah nilai karakteristik matriks A, buktikan:

(a.) 6= 0,(b.) 1/ adalah nilai karakteristik untuk A1.

5. Diberikan x dan y vektor-vektor di Rn. Buktikan :

(a.) x + y x+ y.(b.) | x y | x y.

CONTOH PEMBAHASAN JAWABAN SOAL NOMOR 1

Dibentuk kombinasi linear berikut

1

1230

+ 2

2101

+ 3

0112

+ 4

322

1

=

0000

1 2 0 32 1 1 23 0 1 20 1 2 1

1234

=

0000

Matriks dalam sistem persamaan linear tersebut diselidiki apakah mempunyai invers. MelaluiOBE diperoleh bentuk eselon baris tereduksi matriks tersebut adalah

1 2 0 30 1 2 10 0 1 10 0 0 0

yang menunjukkan tidak mempunyai invers. Jadi sistem persamaan linear tersebut mem-punyai solusi tak nol. Akibatnya vektor-vektor tak bebas linear.

1

1230

+ 1

2101

+ (1)

0112

=

322

1