MODUL I

1. Persoalan pengangkutan dua jenis barang A dan B dari dua pabrik (P1 dan

P2) akan di kirim keempat tempat tujuan yaitu pasar (T1, T2, T3 dan T4).

Untuk jenis barang A dari P1 adalah 30, K, 50 dan 9 unit, sedangkan P2

adalahn18, 20, K dan 10 unit. Untuk jenis barang B dari P1 adalah 10, 12, K

dan 7 unit, sedangkan dari P2 adalah 10, 23, K dan 30 unit. Berapakah jumlah

pengiriman barang A dan B selama 1 tahun. (K = dua digit terakhir nim)

2. Buatlah persamaan linear berikut kedalam bentuk matrik. Kemudian cari nilai

x1, x2 dan x3.

a. 2 x1−x2+3 x3=1

K x1+x2−x3=2

x1+ K x2+3 x3=−6

b. x1−2 x2+x3=4

3 x1−K x2−2 x3=2

5 x1+3 x2+K x3=−1

(K = dua digit terakhir nim)

3. Sinta melakukan pengukuran kerja terhadap seorang operator yang

melakukan perakitan produk dengan menggunakan stopwatch. Data hasil

pengukurannya adalah sebagai berikut:

No. Elemen

Kegiatan

Siklus Pengamatan (Dalam Menit Ke-:)

1 2 3 4

1 53 30 60 40

2 45 40 43 45

3 54 36 55 47

Pada saat melakukan pengukuran, operator tersebut mempunyai performansi

sebesar 110% dan allowance 15%. Hitunglah:

a. Waktu Normal

b. Waktu Baku

4. Diketahui S = [-2 0 1 3 5] dan W = [-7 4 3 -2 6 8]. Sebutkan nilai dari:

a. S(3)

b. W(2:5)

c. S(1:2:5)

d. W(6:-2:1)

5. Jika diketahui A=[1 2 36 9 37 8 9], B=[1 0 0

0 1 00 0 1], C=[2 1 3

4 3 66 5 9]. Buktikan:

a. (kA)B = k(AB) = A(kB)

b. A(BC) = (AB)C

c. (A+B)C = AC + AB

6. Situasi dimana terdapat dua kejadian yang mutually exclusive. Andaikata

ditentukan bahwa 45% dari semua pembeli barang A dan 40% dari semua

semua pembeli barang B. Juga, diketahui 15% mengambil keduanya.

Berapakah nilai probabilistik mahasiswa yang mengambil satu atau satunya

atau keduanya mengambil pelajaran?

MODUL II

7. Menggunakan polyder mencari turunannya.

a. f ( x )=x5+4 x3+5 x2+6 x−8

b. f ( x )=x 4−5 x3+2x2+4 x+7

c. f ( x )=x5−2x4−5 x2+8 x+9

d. f ( x )=3 x4+5 x3−8 x2+6 x+2

e. f ( x )=x5+3 x4+7 x2−4 x+1

8. Jika diketahui ¿ 2 x3−3 xx2−6

− 2+ xx2−4

, maka hitunglah turunan pertama dan kedua

serta turunan pertama terhadap a dalam MATLAB.

9. Terdapatsebuah kurva yang di batasi bidang-bidang koordinat dengan

persamaan kurva 2x + 4y + 3z = a. dengan batas-batas x dan y berturut-turut

adalah 0 ≤ x ≤ a – 2 dan 0 ≤ y ≤ 2. Maka berapakah luas benda tersebut? Jika

a = satu digit terakhir NIM anda, namun bila nol maka diganti dengan 10.

10. Jika terdapat dua buah kurva yaitu y=4 x2+5 x−2 dan g=x2−4 berapakah

luas kurva minimum tersebut jika diketahui kurva y dibatasai oleh g.

11. Jika ada sebuah penelitian pada rokok A dan dapat diketahui hasilnya bahwa

rokok tersebut mengandung tar sebanyak 0,3% lebih banyak dari rokok B dan

Merk C sebanyak 0,1% lebih sedikit dari merk B. Maka berapakah

kandungan tar di B dan mana yang paling sedikit mengandung tar dari ketiga

merk tersebut?

12. Berapakah nilai integral fungsi y=2 x2+5x+8 jika dibatasi oleh x = 1 dan x =

3?

MODUL III

13. Sebuah perusahaan peternakan burung “Unta” membutuhkan paling sedikit

200 kg makanan ternak setiap hari. Pakan ternak tersebut harus memenuhi

kandungan gizi sebagai berikut: paling sedikit 10% kalsium, paling sedikit

30% protein dan paling sedikit 12,5% serat mentah. Untuk memperoleh

kandungan gizi tersebut dapat diperoleh dari bahan jagung dan kacang

kedelai dengan harga Rp. 500 per kg untuk jagung dan Rp. 1.250 per kg

untuk kacang kedelai. Kedua bahan tersebut setiap kg memiliki gizi seperti

tabel:

Gizi Jagung Kacang Kedelai

Kalsium 4% 20%

Protein 15% 40%

Serat Mentah 25% 10%

Berapa banyak jagung dan kacang kedelai yang harus dibeli untuk

dicampurkan agar di peroleh biaya minimum dengan memperhatikan

persyaratan gizi yang ditentukan.

14. Perusahaan “Den Sinyo” memproduksi dua tipe barang yaitu barang A dan B.

Produk ini diproduksi dalam jangka waktu 40 jam dalam satu minggu

kemudia dipasarkan pada akhir minggu. Kedua jenis barang tersebut

membutuhkan 20 dan 5 kg bahan baku per kg produk, dan perusahaan

memiliki pasokan bahan baku 10.000 kg per minggu. Waktu produksi untuk

setiap barang adalah 0,05 dan 0,15 jam. Gudang bahan jadi hanya mampu

menampung 550 kg barang jadi per minggu. Perusahaan “Den Sinyo”

menentukan keuntungan $ 45 dan $ 30 untuk masing-masing produk A dan B

dengan berbagai pertimbangan. Berapakah keuntungan maksimal perusahaan

“Den Sinyo” yang dicapai?

15. Sebuah perusahaan manufaktur gas “Fajar Tree” menerima pasokan bahan

mentah pembuat gas setiap minggu. Bahan baku tersebut diproses sedemikian

rupa sehingga menghasilkan output tiga tingkatan jenis gas yakni regular,

premium dan supreme. Produksi gas melibatkan waktu dan ketersediaan

gudang perusahaan manufaktur gas “Fajar Tree”. Hanya satu produk

tingkatan gas yang dapat di produksi dalam satu satuan waktu, fasilitas

produksi berjalan hanya 80 jam per minggu. Ada berbagai batasan gudang

penyimpanan bahan jadi untuk setiap produk yang tercantum pada tabel

berikut:

KeteranganProduk

KetersediaanRegular Premium Supreme

Bahan Baku Gas 7 m3/ton 11 m3/ton 15 m3/ton 154 m3/minggu

Waktu Prod. 10 jam/ton 8 jam/ton 12 jam/ton 80 jam/minggu

Penyimpanan 9 ton 6 t0n 5 ton

Profit 150/ton 175/ton 250/ton

Berapa jumlah tiap-tiap macam tingkatan gas yang harus diproduksi agar

supaya perusahaan manufaktur gas “Fajar Tree” dapat menerima untung yang

maksimal?

16. Maximize f ( x , y )=53

x+ y, subject to

x+2,5 y≤ 15

x+ y≤ 7

2 x+ y≤ 9

x≥ 0∧ y ≥0

17. Buatlah 3 buah grafik tiga dimensi lengkap dengan nama label, dan nama

grafik.

Jawab:

MODUL I

1. Diket: K = 57

T1 T2 T3 T4

AP1 30 57 50 9

P2 18 20 57 10

BP1 10 12 57 7

P2 10 23 57 30

Dit: A & B selama 1 Tahun..?

Bentuk Matrik:

A=[30 57 50 918 20 57 10]

B=[10 12 57 710 23 57 30]

Penyelesaian:

>> A = [30 57 50 9;18 20 57 10]

A =

30 57 50 9

18 20 57 10

>> B = [10 12 57 7;10 23 57 30]

B =

10 12 57 7

10 23 57 30

>> %Jumlah Produk A selama 1 Tahun.

>> x = sum(A)

x =

48 77 107 19

>> Total_A = sum(x')*12

Total_A =

3012

>> %Jumlah Produk B selama 1 Tahun.

>> x = sum(B)

x =

20 35 114 37

>> Total_B = sum(x')*12

Total_B =

2472

Jadi, jumlah pengiriman barang A dan B selama 1 tahun adalah A = 3012 unit

dan B = 2472 unit.

2. a. 2 x1−x2+3 x3=1

57 x1+ x2−x3=2

x1+57 x2+3 x3=−6

Bentuk Matriks:

[ 2 −1 357 1 −11 57 3 ]×[x1

x2

x3]=[ 1

2−6 ]

Penyelesaian:

>> A = [2 -1 3;57 1 -1;1 57 3]

A =

2 -1 3

57 1 -1

1 57 3

>> B = [1;2;-6]

B =

1

2

-6

>> Nilai = A\B

Nilai =

0.0418

-0.1200

0.2654

Jadi, didapat nilai x1 = 0,0418, x2 = -0,1200 dan x3 = -0,2654.

b. x1−2 x2+x3=4

3 x1−57 x2−2x3=2

5 x1+3 x2+57 x3=−1

Bentuk Matriks:

[1 −2 13 −57 −25 3 57 ]×[ x1

x2

x3]=[ 4

2−1]

Penyelesaian:

>> A = [1 -2 1;3 -57 -2;5 3 57]

A =

1 -2 1

3 -57 -2

5 3 57

>> B = [4;2;-1]

B =

4

2

-1

>> Nilai = A\B

Nilai =

4.9474

0.2416

-0.4642

Jadi, didapat nilai x1 = 4,9474, x2 = 0,2416 dan x3 = -0,4642.

3. Diket : Data Pengamatan = [53 30 6045 40 4354 36 55

404547] ,

Performance = 110%, Allowance = 15%

Dit : Waktu Normal dan Waktu Baku?

Penyelesaian:

>> Data_Pengamatan = [53 30 60 40;45 40 43 45;54 36 55 47]

Data_Pengamatan =

53 30 60 40

45 40 43 45

54 36 55 47

>> Performance = 1.1

Performance =

1.1000

>> Allowance = 0.15

Allowance =

0.1500

>> Waktu_Siklus = sum(Data_Pengamatan')/4

Waktu_Siklus =

45.7500 43.2500 48.0000

>> Waktu_Siklus_Tot = sum(Waktu_Siklus')/3

Waktu_Siklus_Tot =

45.6667

>> Waktu_Normal = Waktu_Siklus_Tot*Performance

Waktu_Normal =

50.2333

>> Waktu_Baku = Waktu_Normal+(Waktu_Normal*Allowance)

Waktu_Baku =

57.7683

4. Diket : S = [-2 0 1 3 5] dan W = [-7 4 3 -2 6 8]

Dit: Nilai-nilai Penyelesaian..??

Penyelesaian:

>> S = [-2 0 1 3 5]

S =

-2 0 1 3 5

>> W = [-7 4 3 -2 6 8]

W =

-7 4 3 -2 6 8

>> %a. S(3)

>> S(3)

ans =

1

>> %b. W(2:5)

>> W(2:5)

ans =

4 3 -2 6

>> %c. S(1:2:5)

>> S(1:2:5)

ans =

-2 1 5

>> %d. W(6:-2:1)

>> W(6:-2:1)

ans =

8 -2 4

5. Diket: A = [1 2 36 9 37 8 9], B = [1 0 0

0 1 00 0 1 ], C = [2 1 3

4 3 66 5 4 ], k = 57

Dit:

a. (kA)B = k(AB) = A(kB)

b. A(BC) = (AB)C

c. (A+B)C = AC + BC

Penyelesaian:

>> A = [1 2 3;6 9 3;7 8 9]

A =

1 2 3

6 9 3

7 8 9

>> B = eye(3)

B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

>> C = [2 1 3;4 3 6;6 5 9]

C =

2 1 3

4 3 6

6 5 9

>> k = [57]

k =

57

>> % a. Membuktikan (kA)B=k(AB)=A(kB)

>> %(kA)B

>> (k*A)*B

ans =

57 114 171

342 513 171

399 456 513

>> %k(AB)

>> k*(A*B)

ans =

57 114 171

342 513 171

399 456 513

>> %A(kB)

>> A*(k*B)

ans =

57 114 171

342 513 171

399 456 513

>> %(kA)B=k(AB)=A(kB) Benar

>> % b. Membuktikan A(BC)=(AB)C

>> %A(BC)

>> A*(B*C)

ans =

28 22 42

66 48 99

100 76 150

>> %(AB)C

>> (A*B)*C

ans =

28 22 42

66 48 99

100 76 150

>> %A(BC)=(AB)C Benar

>> % c. Membuktikan (A+B)C=AC+BC

>> %(A+B)C

>> (A+B)*C

ans =

30 23 45

70 51 105

106 81 159

>> %AC+BC

>> A*C+B*C

ans =

30 23 45

70 51 105

106 81 159

>> %(A+B)C=AC+BC Benar

6. Diket: P(A) = 0,45, P(B) = 0,40 dan P(A B) = 0,15

Penyelesaian:

>> PA = 0.45

PA =

0.4500

>> PB = 0.40

PB =

0.4000

>> PAB = 0.15

PAB =

0.1500

>> %a. Pembeli barang A

>> PAb = PAB/PA

PAb =

0.3333

>> %b. Pembeli barang B

>> PbA = PAB/PB

PbA =

0.3750

>> %b. Pembeli Keduanya

>> Pab = PA + PB - PAB

Pab =

0.7000

Jadi, probabilitas pembeli barang A adalah 33%, pembeli barang B adalah

37,5% dan pembeli keduanya adalah 70%.

MODUL II

7. a. f ( x )=x5+4 x3+5 x2+6 x+8

Penyelesaian:

>> fx = [1 0 4 5 6 8]

fx =

1 0 4 5 6 8

>> x = polyder(fx)

x =

5 0 12 10 6

b. f ( x )=x 4−5 x3+2x2+4 x+7

Penyelesaian:

>> fx = [1 -5 2 4 7]

fx =

1 -5 2 4 7

>> x = polyder(fx)

x =

4 -15 4 4

c. f ( x )=x5−2x4−5 x2+8 x+9

Penyelesaian:

>> fx = [1 -2 0 -5 8 9]

fx =

1 -2 0 -5 8 9

>> x = polyder(fx)

x =

5 -8 0 -10 8

d. f ( x )=3 x4+5 x3−8 x2+6 x+2

Penyelesaian:

>> fx = [3 5 -8 6 2]

fx =

3 5 -8 6 2

>> x = polyder(fx)

x =

12 15 -16 6

e f ( x )=x5+3 x4+7 x2−4 x+1

Penyelesaian:

>> fx = [1 3 0 7 -4 1]

fx =

1 3 0 7 -4 1

>> x = polyder(fx)

x =

5 12 0 14 -4

8. Diket: 2 x3−3 x

x2−6− 2+ x

x2−4

Penyelesaian:

>> fx = sym('(((2*(x^3)-3*x)/((x^2)-6))-((2+x)/((x^2)-4)))')

fx =

(((2*(x^3)-3*x)/((x^2)-6))-((2+x)/((x^2)-4)))

>> t1gx = diff(fx) %Turunan Pertama fx

t1gx =

(6*x^2-3)/(x^2-6)-2*(2*x^3-3*x)/(x^2-6)^2*x-1/(x^2-4)+2*(2+x)/

(x^2-4)^2*x

>> t2gx = diff(fx,2) %Turunan kedua fx

t2gx =

12*x/(x^2-6)-4*(6*x^2-3)/(x^2-6)^2*x+8*(2*x^3-3*x)/(x^2-6)^3*x^2-

2*(2*x^3-3*x)/(x^2-6)^2+4/(x^2-4)^2*x-8*(2+x)/(x^2-

4)^3*x^2+2*(2+x)/(x^2-4)^2

>> t1ga = diff(fx,'a') %Turunan pertama fx terhadap a

t1ga =

0

9. Diket: 2 x+4 y+3 z=7

0 ≤ x≤ 5 dan 0 ≤ y≤ 2

Penyelesaian:

Formulasi:

2 x+4 y+3 z=7

3 z=7−2 x−4 y

z=73−2

3x−4

3y

Dengan Matlab:

>> z = sym('7/3-2/3*x-4/3*y')

z =

7/3-2/3*x-4/3*y

>> x = int(z,0,5) %DiIntegralkan Terhadap x dari 0 sampai dengan 5

x =

10/3-20/3*y

>> xyz = int(x,'y',0,2) %DiIntegralkan Terhadap y dari 0 sampai dengan 2

xyz =

-20/3

Jadi Luas Benda tersebut adalah 20/3 satuan luas.

10. Diket: y=4 x2+5 x−2

g=x2−4

Misal:

Batas:

g=x2−4 x = 0, g=02−4 , g=−4

x = 1, g=12−4 , g=−3

∫−4

−3

4 x2+5 x−2

Solusi:

>> y = sym('4*x^2+5*x-2')

y =

4*x^2+5*x-2

>> Luas_kUrva = int(y,-4,-3) %Integral y dari -4 sampai -3.

Luas_kUrva =

179/6

Jadi Luas Kurva tersebut adalah 179/6 satuan luas.

11. Diket: A = B + 0,3%

C = B – 0,1%

Dit: Kandungan Tar merk B dan merk berkandungan tar terendah.?

Jawab:

A = B + 0,3% B = A – 0,3%

C = B – 0,1% B = C + 0,1%

B = B

A – 0,3% = C + 0,1%

A – C = 0,3% + 0,1%

A – C = 0,4%

Kandungan Tar B = 0,4%

Kandungan Tar A = B + 0,3%

= 0,4% + 0,3%

= 0,7%

Kandungan Tar C = B – 0,1%

= 0,4% - 0,1%

=0,3%

Jadi kandungan tar pada merk B adalah 0,4% dan merk dengan kandungan tar

terendah adalah merk C yaitu 0,3%.

12. Diket: ¿2 x2+5 x+8 , x = 3 dan x = 1.

Penyelesaian:

>> y = sym('2*x^2+5*x+8')

y =

2*x^2+5*x+8

>> y13 = int(y,1,3) %Integral y dari 1 sampai 3.

y13 =

160/3

MODUL III

13. Diket:

Bahan

GiziJagung Kacang Kedelai

Kebutuhan

Minimum

Kalsium 4% 20% 10%

Protein 15% 40% 30%

Serat Mentah 25% 10% 12,5%

Jumlah 1 1 200kg

Biaya 500 1.250

Formulasi:

x1 = Jagung

x2 = Kacang Kedelai

Min Z=500 x1+1250 x2

Kendala: x1+ x2 ≥ 200

4 x1+20 x2≥ 10

15 x1+40 x2≥ 30

25 x1+10 x2 ≥12,5

Solusi:

>> c = [-500,-1250]

c =

-500 -1250

>> A = [1,1;4,20;15,40;25,10]

A =

1 1

4 20

15 40

25 10

>> b = [200;10;30;12.5]

b =

200.0000

10.0000

30.0000

12.5000

>> xsol = linprog(c,A,b)

Optimization terminated.

xsol =

0.3261

0.4348

>> -c*xsol

ans =

706.5217

Jadi dari perhitungan diatas dapat diimplementasikan kebutuhan pakan untuk

jenis jagung (x1) adalah 32,61% dan jenis kacang kedelai (x2) adalah 43,48%

dengan total biaya Rp. 706,5217,-.

14. Diket:

Merk

Proses

Barang A Barang B Kapasitas

Maksimum

Bahan Baku 20 5 10.000

Waktu Produksi 0,05 0,15 40

Gudang 1 1 550

Laba 45 30

Formulasi:

x1 = Barang A

x2 = Barang B

Maks Z=45 x1+30 x2

Batasan: 20 x1+5 x2 ≤10.000

0,05 x1+0,15 x2 ≤ 40

x1+ x2 ≤550

Bentuk Matriks:

[ 20 50,05 0,15

1 1 ]×[x1

x2]≤[10.000

40550 ]

Solusi:

>> c = [-45,-30]

c =

-45 -30

>> A = [20,5;0.05,0.15;1,1]

A =

20.0000 5.0000

0.0500 0.1500

1.0000 1.0000

>> b = [10000;40;550]

b =

10000

40

550

>> xsol = linprog(c,A,b)

Optimization terminated.

xsol =

483.3333

66.6667

>> Keuntungan_Max = -c*xsol

Keuntungan_Max =

2.3750e+004

Dari hasil perhitungan diatas dapat di implementasikan bahwa Barang A (x1

= 483.3333) menyatakan banyak barang yang di produksi adalah 483 unit

dan 1 unit belum selesai. x2 = 66.6667 menyatakan banyak barang B yang

diproduksi 66 dan 1 unit belum selesai. Dengan keuntungan penjualan kedua

produk tersebut adalah $ 23.750,-.

15. Diket:

Produk

Ket

Regular Premium Supreme Ketersediaan

BB gas 7 11 15 154

Waktu Prod 10 8 12 80

Penyimpanan 9 6 5

Laba 150 175 250

Penyelesaian: x1 = Regular

x2 = Premium

x3 = Supreme

Formulasi:

Maks Z=150 x1+175 x2+250 x3

Batasan: 7 x1+11x2+15 x3≤ 154

10x1+8 x2+12 x3≤ 80

x1≤ 9

x2≤ 6

x3≤ 5

Bentuk Matriks:

Tujuan:

[ 150 175 250 ] ×[x1

x2

x3]=Z

Batasan:

[7

10118

1512

1 0 000

10

01

]×[ x1

x2

x3]≤[

15480965

]Solusi:

>> c = [-150,-175,-250]

c =

-150 -175 -250

>> A = [7,11,15;10,8,12;1,0,0;0,1,0;0,0,1]

A =

7 11 15

10 8 12

1 0 0

0 1 0

0 0 1

>> b = [154;80;9;6;5]

b =

154

80

9

6

5

>> lb = zeros(3,1)

lb =

0

0

0

>> xsol = linprog(c,A,b,[],[],lb)

Optimization terminated.

xsol =

0.0000

6.0000

2.6667

>> -c*xsol

ans =

1.7167e+003

Dari hasil perhitungan diatas dapat di implementasikan bahwa tingkatan gas

jenis regular tidak diproduksi (x1 = 0,000). x2 = 6.0000 menyatakan

banyaknya tingkatan gas jenis premium yang diproduksi 6 ton. Sedangkan

tingkatan gas jenis supreme (x3 = 2,6667) diproduksi 3 ton dan 1 ton belum

selesai. Dengan total keuntungan yang diperoleh adalah 1.716,7,-.

16. Maks f (x , y )=53

x+ y

Batasan: x+2,5 y≤ 15

x+ y≤ 7

2 x+ y≤ 9

x≥ 0∧ y ≥0

Bentuk Matriks:

Tujuan:

[ 53

1]×[ xy ]=Z

Batasan:

[1 2,51 12 1 ]×[ x

y ]≤[1579 ]

Solusi:

>> c = [-5/3,-1]

c =

-1.6667 -1.0000

>> A = [1,2.5;1,1;2,1]

A =

1.0000 2.5000

1.0000 1.0000

2.0000 1.0000

>> b = [15;7;9]

b =

15

7

9

>> lb = zeros(2,1)

lb =

0

0

>> xsol = linprog(c,A,b,[],[],lb)

Optimization terminated.

xsol =

2.0000

5.0000

>> -c*xsol

ans =

8.3333

17. a. Grafik Pertama

>> [x y z] = sphere(100);

>> surfc(x,y,z)

>> xlabel('sb-x'), ylabel('sb-y'), zlabel('sb-z')

>> title('Lampu Ajhep-Ajhep')

b. Grafik kedua

>> [x y z] = cylinder(13);

>> surf(x,y,z)

>> shading interp

>> colormap(prism)

>> xlabel('sb-x'), ylabel('sb-y'), zlabel('sb-z')

>> title('Kaleng Rombeng')

c. Grafik Ketiga

>> N = 75;

>> R = [10 5];

>> [x y z] = cylinder(R,N);

>> surfc(x,y,z)

>> shading faceted

>> colormap(cool)

>> xlabel('sb-x'), ylabel('sb-y'),zlabel('sb-z')

>> title('Kerucut Terpancung')