* Matemtica Bsica I Ing. Ricardo Rosas Roque 2010 - II

* La recta en R2 formas de la ecuacin de una recta.Area de un tringuloPuntos notables de un tringuloPosiciones relativas de dos rectas.

*Ecuacin vectorial de la recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una direccin dada .Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector PX tiene igual direccin que v, luego es igual a v multiplicado por un escalar:

*

Ecuacin Vectorial:

*Ejemplo Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir su ecuacin vectorial

*Hallar la ecuacin vectorial de la recta R que pasa por A(-3, 1) y B (1, 4).

*Ecuaciones paramtricas de la recta A partir de la ecuacin vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares

*Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir sus ecuaciones paramtricas.

*Obtener el sistema de ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos A(-2, 3) y B (5, 1)

*Ecuacin continua de la recta Si de las ecuaciones paramtricas despejamos el parmetro k.

*

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir su ecuacin continua.

*Ecuacin punto-pendiente de la recta La pendiente de una recta es la tangente del ngulo que forma la recta con la direccin positiva del eje OX.

*

Pendiente dado el ngulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

*

Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ngulo.

*Ecuacin punto-pendientePartiendo de la ecuacin continua la recta

quitando denominadores:

despejando:

Como se obtiene:

*

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir su ecuacin punto pendiente.

*Ejercicios Hallar la ecuacin de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4, 2).

*

Hallar la ecuacin de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinacin de 45.

*Ecuacin general de la recta Partiendo de la ecuacin continua de la recta

quitando denominadores se obtiene Trasponiendo trminos:

*

Haciendo:

Se obtiene: Esta expresin recibe el nombre de ecuacin general o implcita de la recta

*

Los componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

*

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como vector director igual v = (-2, 1).

*

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = -2.

*Ecuacin de la recta en forma explcita Si en la ecuacin general de la recta

despejamos y, se obtienen El coeficiente de la x es la pendiente, m.El trmino independiente, b, se llama ordenada en elorigen de una recta siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

*

Hallar la ecuacin en forma explcita de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = -2.

*

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, -5)

*Rectas paralelas a los ejes Rectas paralelas al eje OX

*

Una recta paralela al eje OX, se expresa mediante la ecuacin: y = b

*

*Rectas paralelas al eje OYUna recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuacin: x = a

*

*ngulo que forman dos rectas Se pueden obtener a partir de:

Sus vectores directoresSus pendientes

*Vectores directoresCalcular el ngulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: u = (2, 1) y v =(2, 3).

*Sus pendientesCalcula el ngulo que forman las rectas r = x + 3y - 2 = 0 y s = 2x - 3y + 5 = 0

*Rectas paralelasDos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente

*Rectas perpendicularesSi dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo

*Ejercicio Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r = x + 2y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3, 5).

*Distancias: Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.d d

*

Calcula la distancia del punto P(2, -1) a la recta r de ecuacin 3x + 4y = 0

*Distancia entre rectas Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

*

Hallar la distancia entre r = 3x - 4y + 4 = 0 y s = 9x - 12y - 4 = 0

*

Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5). Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s = 2x + y + 2 = 0. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (2, -1) y tiene como vector director v = (1, -4)