Chap 7 Model-Gas Real dan Ekspansi Virial · 2020. 3. 17. · Permutasi dan Labelling • Arti...
Transcript of Chap 7 Model-Gas Real dan Ekspansi Virial · 2020. 3. 17. · Permutasi dan Labelling • Arti...
Chap 7Model-Gas Real dan
Ekspansi Virial
1. Ekspansi Virial
2. Gugus Mayer
Fungsi Partisi Kanonik Untuk Gas Dengan Interaksi Lemah
• Misalkan terdapat interaksi (potensial) antar 2 partikel : 𝑢𝑖𝑗,
sehingga Hamiltonian system N partikel diberikan oleh:
𝐻 𝒑, 𝒓 =1
2𝑚
𝑗=1
𝑁
𝑝2 +
𝑖<𝑗
𝑁
𝑗=1
𝑁
𝑢𝑖𝑗
Dengan 𝑢𝑖𝑗 = 𝑢 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 dan 𝑝𝑗2 = 𝑝𝑗𝑥
2 + 𝑝𝑗𝑦2 + 𝑝𝑗𝑧
2
• Fungsi partisi kanonik klasik akan diberikan oleh:
𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =1
ℎ3𝑁𝑁!න 𝑑𝒑𝑑𝒓 𝑒−𝛽𝐻(𝒑,𝒓)
Dengan 𝑑𝒑 ≡ 𝑑3𝑁𝒑𝑑3𝑁𝒓
Integral Konfigurasi
Integral di ruang momentum segera bisa dilakukan (lihat gas ideal tanpa interaksi):
1
ℎ3𝑁න0
∞
𝑑𝑁𝑝 exp −𝛽
2𝑚
𝑗=1
𝑁
𝑝𝑗2 =
1
𝜆3𝑁
Dengan : 𝜆 = ℎ/ 2𝜋𝑚 𝑘𝑇. Jadi fungsi partisi kanoniknya menjadi:
𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =𝑍𝑁
𝑁! 𝜆3𝑁Dengan ZN adalah integral konfigurasi sbb:
𝑍𝑁 = න𝑑𝑁𝑟 exp −𝛽
2𝑚
𝑗<𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑢𝑖𝑗
Integral Konfigurasi
Integral konfigurasi akan dihitung secara perturbative dengan ekspansi parameter kecil . Definisikan fij :
𝑓𝑖𝑗 = 𝑒−𝛽𝑢𝑖𝑗 − 1
Maka ZN dapat dituliskan sbg:
𝑍𝑁 = න𝑑𝑁𝑟ෑ
𝑖<𝑗
𝑁
ෑ
𝑗=1
𝑁
exp −𝛽𝑢𝑖𝑗 = න𝑑𝑁𝑟ෑ
𝑖<𝑗
𝑁
ෑ
𝑗=1
𝑁
1 + 𝑓𝑖𝑗
Perhatikan bahwa:
ෑ
𝑖<𝑗
𝑁
ෑ
𝑗=1
𝑁
1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 + 𝑓12 1 + 𝑓13 1 + 𝑓23 … . .
Integral Konfigurasi
ෑ
𝑖<𝑗
𝑁
ෑ
𝑗=1
𝑁
1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 +
𝑖<𝑗
𝑁
𝑗=1
𝑁
𝑓𝑖𝑗 +
𝑖<𝑗
𝑁
𝑗=1
𝑁
𝑘<𝑙
𝑁
𝑙=1
𝑁
𝑓𝑖𝑗 𝑓𝑘𝑙 +⋯
Conoth untuk 3 partikel:
ෑ
𝑖<𝑗
3
ෑ
𝑗=1
3
1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 + 𝑓12 1 + 𝑓13 1 + 𝑓23
ෑ
𝑖<𝑗
3
ෑ
𝑗=1
3
1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 + 𝑓12 + 𝑓13 + 𝑓23 +
𝑓12𝑓13 + 𝑓12𝑓23 + 𝑓13𝑓23 + 𝑓12𝑓13 𝑓23
Integral Konfigurasi
Suku pertama : gas ideal – tak ada interaksi:
𝐼1 = 𝑉 𝑑𝑁𝑟 1 𝑉= 𝑑3𝒓1 𝑉 𝑑3𝒓2…𝑉 𝑑3𝒓𝑁 = 𝑉𝑁
Suku kedua :
𝐼2 =
𝑖<𝑗
𝑁
𝑗=1
𝑁
න𝑉
𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁𝑓𝑖𝑗
Salah satu sukunya misalnya:
න𝑉
𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12න
𝑉
𝑑3𝑟3…𝑑3𝑟𝑁 = 𝑉𝑁−2න𝑉
𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12
Suku semacam ini untuk semua pasangan (I,j) berbeda ada sebanyak 𝑁(𝑁 − 1)/2, sehingga:
Integral Konfigurasi
𝐼2 =𝑁 𝑁 − 1
2𝑉𝑁−2 න
𝑉
𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12
Akan tetapi potensial 𝑢𝑖𝑗 biasanya hanya bergantung jarak
relative 𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 sehingga :
න𝑉
𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12 = 𝑉න
𝑉
𝑑3𝑟 𝑓(𝑟)
Dan
𝐼2 =𝑁 𝑁 − 1
2𝑉𝑁−1 න
𝑉
𝑑3𝑟 𝑓(𝑟)
Fungsi Partisi Kanonik
Pada umumnya potensial interaksi hanya bergantung jarak ri
dan rj bukan pada posisi absolutnya, sehingga:
𝑍𝑁 = 𝑉𝑁 +𝑁 𝑁 − 1
2𝑉𝑁−1 න
0
∞
4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 + ⋯ .
Dan fungsi partisi kanoniknya dapat dinyatakan sbg:
𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =𝑍𝑁
𝜆3𝑁𝑁!=
𝑉𝑁
𝜆3𝑁𝑁!(1 + 𝛼 𝑇 + …)
Dengan
𝛼 =𝑁 𝑁 − 1
2𝑉න
0
∞
4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟
Fungsi Energi Bebas Helmhotz
Seperti biasa berbagai hubungan thermodinamika bisa didapatkan melalui ungkapan energy bebas Helmhotz:
𝐴 = −𝑘𝑇 ln𝑄𝑁 = −𝑘𝑇 ln𝑉𝑁
𝜆3𝑁𝑁!1 + 𝛼 𝑇 +⋯ .
𝐴 = −𝑘𝑇 ln𝑉𝑁
𝜆3𝑁𝑁!− 𝑘𝑇 ln 1 + 𝛼 𝑇 +⋯ .
Untuk 𝛼 kecil maka ln 1 + 𝛼 ≈ 𝛼 sehingga :
𝐴 ≈ −𝑘𝑇 ln𝑉𝑁
𝜆3𝑁𝑁!+ 𝛼(𝑇)
Persamaan Keadaan Gas Real
Persamaan keadaan dapat diperoleh melalui hubungan:
𝑃 = −𝜕𝐴
𝜕𝑉𝑁,𝑇
=𝑁𝑘𝑇
𝑉− 𝑘𝑇
𝜕𝛼
𝜕V+ . .
𝜕
𝜕𝑉
𝑁 𝑁 − 1
2𝑉න
0
∞
4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = −𝑁 𝑁 − 1
2𝑉2න
0
∞
4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟
Dengan aprosimasi 𝑁 𝑁 − 1 ≈ 𝑁2 dan definisi 𝑛 =𝑁
𝑉, maka
𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 +1
2𝑛 න
0
∞
4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 +⋯
Persamaan Keadaan Gas Real- Ekspansi Virial
𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 + 𝑛𝐴2 𝑇 + 𝑛2𝐴3 𝑇 +⋯
Dimana 𝐴2(𝑇) dikenal sebagai koefisien virial kedua :
𝐴2 𝑇 = 2𝜋න
0
∞
𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟
• Secara teknis, persoalan menjadi, bagaimana cara mencari koefisien-koefisien virial untuk mendapatkan hasil yg lebih teliti, bilamana model potensial interaksi antar partikel diketahui : u(r)
Potensial Bola Keras (Hard Sphere)
Model potensial Hard-Sphere dg jari-jari a:Sehingga:
Jadi koefisien virial kedua:
𝐴2 𝑇 = −2𝜋න
0
𝑎
𝑟2𝑑𝑟 = −2
3𝜋𝑎3
𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 −2
3𝑛𝜋𝑎3 +⋯ → 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇{1 −
2𝑁
3𝑉𝜋𝑎3 +⋯ . }
=
ar
arru
0)(
U(r)
r
−=−= −
ar
arerf ru
0
11)( )(
Bagaimana merumuskan dan mencari koefisien virial orde-ordeberikutnya??
Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer
Telah didemonstrasikan kebutuhan untuk secara sistematismendapatkan suku-suku koreksi pada fungsi partisi ataupersamaan keadaan. Sepasang suami istri Mayer menemukancara mengasosiasikan suku-suku koreksi dengan sekumpulangrafik yg khas .Kita mulai dari integral konfigurasi:
+++=
i ij
kl
k kl
ij
i ij
ijN fffdrZ 1
Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer
Gambar disamping mengilustrasikanberbagai suku-suku:Biru : suku-suku fij merah fijfkl kuningfijfklfmn , misal
Misal suku f8b fab f9a dan f23 f47 f56
Jadi tiap garis menghubungkan 2 vertex melambangkan fij
2
3 4 5
8 9
b a
7 6
Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer
Jadi ekspansi berbagai suku terasosiasi dengan berbagai grafikconnected maupun disconnected. Tetapi semua grafikdisconnected bisa dinyatakan dengan grafik connected.
Berikut contoh beberapa gambar-gambar grafik yg terkait dengan suku-suku tertentu: (contoh-contoh)fij
fijfkl
fijfklfmn
Semua bisa dinyatakansebagai jumlah
connected-graph (gugus) saja
Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer
Dapat dibuktikan bahwa fungsi partisi grand kanonik dapatdituliskan sbg:
ln 𝜁 =𝑉
𝜆3
𝑘
∞
𝑧𝑘𝑏𝑘
Dengann z : fugacity, dan bk dihitung berdasarkan linked-cluster (gugus) sbb:
𝑏𝑘 𝑉, 𝑇 =1
𝑘! 𝜆3(𝑘−1)𝑉𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑔𝑢𝑔𝑢𝑠 − 𝑘 𝑦𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑎𝑡
Gugus –k adalah connected-graph dengan k-titik atau vertex.Contoh:
111
!1
11
3
0)11(31 ==== −V
Vrd
VVb
Vb
)12(32!2
1−
=
= 122
3
1
3
32
1frdrd
V1 2
l=
•l=3
•k=1
•k=2
Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer
Vb
)13(33!3
1−
=
1323123
3
2
3
1
3
23123
3
2
3
1
3
63 36
1fffrdrdrdffrdrdrd
Vb +=
+ ++
1 3
2 2
31
2
1 3 1 3
2
Vb
)14(34!4
1−
=
+
+=
341323124
3
3
3
2
3
1
3
34124
3
3
3
2
3
1
3
34124
3
3
3
2
3
1
3
94
63
24
1
ffffrdrdrdrd
ffrdrdrdrdffrdrdrdrd
Vb
•k=4
•k=3
+ 6 +
1 3
2 2
31
2
1 3
44 4
3
Fungsi Partisi Grand Kanonik
• Fungsi partisi grand kanonik:
𝑃𝑉
𝑘𝑇= ln 𝜁 =
𝑉
𝜆3
𝑘
∞
𝑧𝑘𝑏𝑘
• Jumlah partikel rata-rata:
𝑁 =< 𝑁 >= 𝑧𝜕
𝜕𝑧ln 𝜁 =
𝑉
𝜆3
𝑘
∞
𝑘𝑧𝑘𝑏𝑘
Atau :
𝑁
𝑉= 𝑛 =
1
𝜆3
𝑘
∞
𝑘𝑧𝑘𝑏𝑘
Perhatikan nilai bk dihitung dari integral terhadap graph yg terkait.
Ekspansi Virial
Dengan v= V/N persamaan keadaandapat diekspansikan sebagai deretkuasa dari (3 /v):
𝑃𝑣
𝑘𝑇=
𝑘=1
∞
𝑎𝑘𝜆3
𝑣
𝑘−1
=
Koefisien ekspansi ak dihitung dari 2 persamaan sebelumnya melalui nilai bk
(σ𝑘=1∞ 𝑧𝑘𝑏𝑘/σ𝑘=1
∞ 𝑘𝑏𝑘(𝑧𝑘)
𝑃𝑣
𝑘𝑇=
𝑘=1
∞
𝑎𝑘𝜆3
𝑣
𝑘−1
𝑃
𝑘𝑇=
1
𝜆3
𝑘=1
∞
𝑧𝑘𝑏𝑘
1
𝑣=
1
𝜆3
𝑘=1
∞
𝑘𝑧𝑘𝑏𝑘
Ekspansi Virial
𝑘=1
∞
𝑏𝑘𝑧𝑘 =
𝑘=1
∞
𝑘𝑏𝑘𝑧𝑘
𝑛=1
∞
𝑎𝑛𝜆3
𝑣
𝑘−1
=
𝑘=1
∞
𝑏𝑘𝑧𝑘 =
𝑘=1
∞
𝑘𝑏𝑘𝑧𝑘
𝑛=1
∞
𝑎𝑛
𝑚=1
∞
𝑚𝑧𝑚𝑏𝑚
𝑛−1
Berarti:
𝑏1𝑧1 + 𝑏2𝑧
2 + 𝑏3𝑧3 +⋯ . .=
𝑏1𝑧1 + 2𝑏2𝑧
2 + 3𝑏3𝑧3 +⋯ ∗
{𝑎1+𝑎2 𝑏1𝑧1 + 2𝑏2𝑧
2 + 3𝑏3𝑧3 +⋯ +
𝑎3 𝑏1𝑧1 + 2𝑏2𝑧
2 + 3𝑏3𝑧3 +⋯ 2 +⋯}
Ekspansi VirialSamakan koefisien 𝑧𝑘:
𝑧 : 𝑏1 = 𝑏1𝑎1 → 𝑎1 = 1 ingat 𝑏1 = 1𝑧2 : 𝑏2 = 2𝑏2𝑎1 + 𝑎2𝑏1
2 → 𝑏2 = 2𝑏2 + 𝑎2 → 𝑎2 = −𝑏2𝑧3 : 𝑏3 = 3𝑎1𝑏3 + 2𝑎2𝑏1𝑏2 + 2𝑎2𝑏1𝑏2 + 𝑎3𝑏1
3
𝑏3 = 3𝑏3 − 4𝑏22 + 𝑎3 → 𝑎3 = −2𝑏3 + 4𝑏2
2
Dst
Model Hard sphere:
𝑢 𝑟 = ቊ∞ 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎
→ 𝑓 𝑟 = 𝑒−𝛽𝑢(𝑟) − 1 = ቊ−1 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎
Ekspansi Virial
𝑢 𝑟 = ቊ∞ 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎
→ 𝑓 𝑟 = 𝑒−𝛽𝑢(𝑟) − 1 = ቊ−1 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎
𝑏2 =1
2𝜆3𝑉න𝑑3𝒓𝟏𝑑
3𝒓𝟐 𝑓12 =1
2𝜆3 𝑑3𝒓12𝑓(𝑟12)
𝑏2 =1
2𝜆3න0
∞
4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = −1
2𝜆3න0
𝑎
4𝜋𝑟2𝑑𝑟
𝑏2 = −2𝜋𝑎
3𝜆3
Dengan ini :
𝑎2 = −𝑏2 =2𝜋𝑎
3𝜆3
Pers. Keadaan
Maka:
𝑃𝑣
𝑘𝑇=
𝑘=1
∞
𝑎𝑘𝜆3
𝑣
𝑘−1
= 𝑎1 + 𝑎2𝜆3
𝑣+⋯
𝑃𝑣
𝑘𝑇= 1 +
2𝜋𝑎
3
1
𝑣+⋯
• Dengan 𝑣 =𝑉
𝑁maka hasil ini sama dengan ekspansi virial yang
sebelumnya.
Perumusan Linked Cluster Expansions*)
• Pada bagian ini akan diturunkan cara menghitung integral konfigurasi dengan Linked-Cluster Expansions.
• Kita mulai dengan integral konfigurasi ZN:
𝑍𝑁 𝑉,𝑇 = 𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁ෑ
𝑗<𝑖
𝑁
ෑ
𝑖=1
𝑁
(1 + 𝑓𝑖𝑗)
Arti perkalian tsb, adalah perkalian factor (1 + 𝑓𝑖𝑗) untuk
seluruh kemungkinan pasangan (i,j) (dengan i<j, mengapa?).
Contoh N=3:
ς𝑗<𝑖𝑁 ς𝑖=1
𝑁 (1 + 𝑓𝑖𝑗) = (1 + 𝑓12) (1 + 𝑓13) 1 + 𝑓23 =
= 1 + (𝑓12+𝑓13 + 𝑓23) +𝑓12𝑓13 + 𝑓12𝑓23 + 𝑓13𝑓23 + 𝑓12𝑓13𝑓23
Hubungan ZN dengan Graph
• Sehingga secara umum dapat dituliskan:
𝑍𝑁 𝑉,𝑇 = 𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁{1 +
𝑖<𝑗
𝑁
𝑗
𝑁
𝑓𝑖𝑗 +
𝑘<𝑙
𝑁
𝑙
𝑁
𝑖<𝑗
𝑁
𝑗
𝑁
𝑓𝑘𝑙𝑓𝑖𝑗 +… . }
Setiap suku di integrand tsb dapat divisualisasikan sebagai graph:
1 f12 f12 f34 f12 f13
1 1 21 2
3 4
1
2
3
Apakah Graph?
• Apakah grafik ?
Himpunan titik (vertex) dan garis (bond).
• Grafik bisa berlabel atau tak berlabel
• Grafik bisa connected/linked (terhubung) atau
disconnected (tak terhubung)
1 2
vertex
bond
Grafik Partikel-N
• Grafik partikel-N :– Kumpulan N vertex yang dilabeli 1,2,…N dan mengandung sejumlah
garis penghubung antara vertex yang berbeda
• Jika 𝛼, 𝛽 …𝛾 adalah garis-garis penghubungnya, maka grafik tsb diasosiasikan dengan integral berikut ini:
𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁 𝑓𝛼𝑓𝛽 …𝑓𝛾
• Karena grafik partikel –N berlabel, maka cara pelabelan berbeda menghasilkan grafik yg beda. Contoh:
2
1
3 1
2
3 3
2
1 1
2
3
=
Grafik Partikel-N dan ZN
• Grafik sebagai cara visualisasi berbagai suku integral:
• Maka integral konfigurasi dapat dinyatakan sebagai jumlah total seluruh grafik partikel N:
𝑍 = (𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 𝑁 𝑦𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎)
Disconnected graph dapat dituliskan sebagai perkalian dari masing-masing connected graph
Grafik Cluster-k dan Integral Cluster-k
• Grafik cluster-k : connected k-vertex graph. Himpunan k vertex yang saling terhubung.
• Definisikan integral cluster-k sebagai :
𝑏𝑘 𝑉, 𝑇 =1
𝑘!𝜆3(𝑘−1)𝑉[jumlah seluruh cluster-k berlabel yg beda]
Grafik Cluster-k
• Contoh beberapa integral konfigurasi bk
• Sebuah Grafik-Partikel N adalah kumpulan (hasil kali) dari cluster-graph dengan jumlah vertex k, yg memenuhi kriteria:
𝑘
𝑘𝑚𝑘 = 𝑁
Cara membuat Grafik Cluster-k
• Tetapi dengan mendefinisikan himpunan tertentu {mk} yg memenuhi kriteria tsb, tidak mendefinisikan secara unik grafik partikel-N. Ada banyak macam cluster-graph yg terkait dengan {mk} yg sama, sebab:
• a. Banyak cara membentuk cluster-k yg berbeda
• b. Banyak cara labeling untuk cluster-k yang sama
• Jadi himpunan {mk} tertentu terkait dengan sekumpulan grafik.
2
1
3 1
2
3
S{mk}
• Jika S{mk} himpunan seluruh grafik yg terkait dengan suatu distribusi {mk} tertentu, maka jumlah terhadap seluruh kemungkinan {mk} yg memenuhi kriteria adalah Z:
𝑍 =
{𝑚𝑘}
𝑆 𝑚𝑘
• Yang memenuhi kriteria σ𝑘 𝑘𝑚𝑘 = 𝑁
• Bagaimana cara mendapatkan S{mk}?
1. Buat sebuah grafik partikel-N terkait dengan distribusi jumlah vertex tertentu {mk}.
1-vertex : m1 buah
2-vertex: m2 buah dst
S{mk}
• Masing-masing grafik cluster-k yg terlibat bisa berbeda
• Total vertex =N
• Kemudian tiap vertex bisa diberi label 1,2,…N. Setiap permutasi label ini akan menghasilkan grafik-N yang berbeda.
• Jika seluruh kemungkinan di atas dilakukan maka akan diperoleh S{mk}:
Permutasi dan Labelling
• Arti notasi jumlah P: dijumlahkan terhadap seluruh kemungkinan permutasi label 1,2,…N. Dan jika suku (..+..+..)m dibuka akan menghasilkan banyak grafik, tetapi ketika dijumlahkan thd P, total vertex =N
• Jadi ada mk cluster-k, permutasi diantara mk ini tidaklah menghasilkan grafik baru!
• Di dalam penjumlahan terhadap seluruh cluster-k, permutasi label diantara k vertex tsb tidak akan menghasilkan grafik N-partikel yg baru. Contoh:
Banyak Suku terkait {mk}
• Jadi banyaknya suku terkait dengan suatu distribusi {mk} tertentu di S{mk} adalah:
𝑁!
1! 𝑚1! 2! 𝑚2!… 𝑚1!𝑚2! …
• Dan setiap suku tsb berkontribusi (lihat definisi bk):
1! 𝑉𝑏1𝑚1 2! 𝜆3𝑉𝑏2
𝑚2 3! 𝜆6𝑉𝑏3𝑚3 …
• Menggunakan ini maka S{mk} adalah:
𝑆 𝑚𝑘 = 𝑁! ෑ
𝑘
𝑁𝑉𝜆3𝑘−3𝑏𝑘
𝑚𝑘
𝑚𝑘!= 𝑁! 𝜆3𝑁 ෑ
𝑘
𝑁𝑉𝑏𝑘/𝜆
3 𝑚𝑘
𝑚𝑘!
QN sebagai Integral Cluster-k
• Mengingat fungsi partisi kanonik QN:
𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =1
𝑁! 𝜆3𝑁𝑍𝑁
Dan definisi ZN dalam S{mk}:
𝑄𝑁(𝑉, 𝑇) =
{𝑚𝑘}
ෑ
𝑘=1
𝑁𝑉𝑏𝑘/𝜆
3 𝑚𝑘
𝑚𝑘!
Dengan kendala σ𝑘 𝑘𝑚𝑘 = 𝑁
• Kendala ini mempersulit penjumlahan tsb. Untuk melonggarkan hal tsb maka digunakan fungsi partisi Grand Kanonik, sehingga setiap mk=0,1,2,…..
𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇) dan Integral Cluster
• Fungsi partisi grand kanonik:
𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =
𝑁=0
∞
𝑧𝑁𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =
𝑁=0
∞𝑧
𝜆3
𝑁 𝑍𝑁 𝑉, 𝑇
𝑁!
𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇) =
𝑁=0
∞
𝑧𝑁
𝑚𝑘
ෑ
𝑘=1
𝑁𝑉𝑏𝑘/𝜆
3 𝑚𝑘
𝑚𝑘!
• Dengan σ𝑘 𝑘𝑚𝑘 = 𝑁 maka 𝑧𝑁 = 𝑧1𝑚1+2𝑚2+⋯
𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =
𝑚1=0
∞
𝑚2=0
∞
…𝑉𝑧𝑏1/𝜆
3 𝑚1
𝑚1!
𝑉𝑧2𝑏2/𝜆3 𝑚2
𝑚2!…
𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇) dan Integral Cluster
• Dengan mengingat 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!+
𝑥3
3!+⋯
𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =ෑ
𝑘=1
∞
exp𝑉𝑧𝑘𝑏𝑘𝜆3
Atau
ln 𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =𝑉
𝜆3
𝑘=1
∞
𝑧𝑘𝑏𝑘