Bidang kristal dan arah bidang Dalam menganalisis struktur kristal, suatu titik tertentu pada kristal akan memiliki seperangkat identitas untuk menspesifikasi atom-atom yang menduduki titik tersebut. Identitas suatu atom dinyatakan dalam koordinat titik dimana atom berada, letak bidang yang ditempati oleh atom dan juga arah bidang yang ditempati atom.

Koordinat titik Posisi suatu titik pada unit cell dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan dari sumbu-sumbu koordinat penyusun unit cell.

Misalkan suatu unit cell memiliki vektor satuan h, k, dan l yang berkaitan dengan ketiga sumbu koordinat. Maka posisi dari suatu atom dalam unit cell dapat dinyatakan oleh vektor p sebagai berikut

p = a h+ b k + c l

di mana a, b, dan c adalah bilangan bulat.

Contoh Tentukan koordinat titik dari posisi atom pada unit cell BCC berikut ini

Penyelesaian Untuk tiap-tiap titik pada unit cell koordinat titiknya dapat dinyatakan sebagai berikut :Posisi titik

Panjang sumbu x y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 0 0 0 1 1 1 1

Koordinat titik

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 1 0 0 1 1 0

000 100 110 010 001 101 111 011

Posisi titik (crystallographic direction)Langkah-langkah untuk menentukan crystallographic direction 1. Menarik suatu vektor dari titik yang diinginkan dan pusat sumbu koordinat acuan. Vektor satuan selalu berarah dari pusat sumbu koordinat menuju titik yang dimaksud. 2. Menentukan panjang proyeksi vektor pada ketiga sumbu unit cell. 3. Mencari kelipatan bulat terkecil untuk ketiga proyeksi vektor dengan membagi atau mengalikan dengan faktor yang sama untuk ketiga sumbu 4. Crystallographic direction dinyatakan dalam ketiga bilangan yang didapatkan pada Langkah 3 dan dituliskan dalam kurung siku tanpa dipisahkan dengan tanda koma. Sehingga crystallographic direction [u v w] menyatakan vektor satuan dari titik pada suatu unit cell.

Untuk koordinat negatif, crystallographic dituliskan sebagai

direction dapat

u v w Posisi-posisi [111], [110], dan [100] adalah posisi-posisi yang paling umum. Ketiga posisi ini dapat ditunjukkan pada gambar berikut ini

Contoh soalTentukan indeks arah untuk vektor pada unit cell pada gambar berikut ini

Penyelesaian1. 2. Menarik vektor dari titik yang diinginkan menuju pusat sumbu koordinat Menentukan proyeksi vektor terhadap sumbu x, y, dan z. Hasil proyeksinya berturut-turut adalah a/2, b, dan 0c. Jika vektor satuan untuk sumbu x, y, dan z berturutturut adalah a, b, dan c, maka faktor untuk masingmasing sumbu koordinat adalah , 1, dan 0. Kelipatan terkecil untuk ketiga proyeksi vektor pada sumbu x, y, dan z adalah 2, sehingga hasil perkaliannya berturut-turut adalah 1,2, dan 0. Crystallographic direction untuk vektor pada unit cell di atas dapat dinyatakan sebagai [120]

3. 4.

Bidang kristal (crystallographic planes) Orientasi bidang dalam unit cell dapat ditentukan dengan menggunakan metode yang sama. Orientasi bidang dalam unit cell dapat dinyatakan dengan indeks Miller (h k l). Bidang-bidang yang saling paralel akan memiliki indeks Miller yang sama.

Untuk menentukan nilai h, k, dan l dari indeks Miller digunakan prosedur sebagai berikut :1. Jika suatu bidang melewati sumbu koordinat pada titik tertentu, bidang paralel harus dibuat untuk menghasilkan suatu bidang yang melalui pangkal koordinat, atau pangkal kooordinat yang baru dibuat pada bidang yang akan ditentukan indeks Miller-nya Menentukan apakah suatu bidang sejajar atau memotong sumbu koordinat. Selanjutnya ditentukan titik potong untuk masing-masing sumbu Mencari nilai kebalikan (reciproc) untuk tiap titik potong dari sumbu koordinat. Bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat ditetapkan memiliki titik potong di tak hingga, sehingga nilai kebalikannya adalah nol Mencari kelipatan bulat terkecil untuk ketiga nilai kebalikan Indeks Miller dituliskan sebagai kumpulan bilangan bulat dalam tanda kurung tanpa dipisahkan koma seperti (h k l)

2. 3.

4. 5.

Berikut ini contoh indeks Miller untuk bidang (001), (110), dan (111)

Contoh soal Tentukan indeks Miller untuk bidang pada Gambar a berikut ini

Penyelesaian Bidang yang akan dicari melalui pangkal sumbu koordinat O sehingga harus dibuat bidang lain yang paralel dengan bidang asal atau dibuat pangkal sumbu koordinat yang baru. Gambar b menunjukkan sumbu koordinat yang baru yaitu O. Titik potong terhadap sumbu x dapat dianggap pada a, sedangkan titik potong pada sumbu y dan z adalah b dan c/2, dimana a, b, dan c, adalah vektor satuan pada unit cell (lattice constant). Perbandingan panjang antar sumbu x, y,dan z adalah , -1, dan . Nilai kebalikan (reciprocal) dari bilangan-bilangan ini adalah 0, -1, dan 2. Karena ketiga bilangan ini sudah berupa bilangan bulat, maka tidak diperlukan lagi perkalian dengan faktor pengali. Dengan demilkian indeks Miller dapat dinyatakan (0 -1 2).

Densitas linear (linear density) dan densitas bidang (planar density) Linear density (LD) didefinisikan sebagai jumlah atom per satuan panjang dimana garis terletak pada arah yang dispesifikasikan untuk vektor kristalografi tertentu. Secara matematis LD dapat dinyatakan sebagai berikutjumlah atom pada arah tertentu LD = panjang vektor pada arah tersebut

Satuan dari LD adalah nm-1 atau m-1 (tergantung satuan panjang yang diinginkan).

Contoh soal Tentukan Linear density struktur kristal FCC Penyelesaian Vektor [110] pada struktur kristal FCC dapat digambarkan sebagai berikut untuk arah vektor [110] pada

Pada Gambar a ditunjukkan posisi garis yang diwakili oleh vektor [110]. Gambar b menunjukkan atom-atom yang terdapat di dasar unit cell yang berjumlah lima buah atom. Dari Gambar b dapat dilihat bahwa vektor [110] bergerak dari atom x melalui atom y dan menuju atom z. Atom-atom yang terletak di titik sudut (di x dan z) dibagi dengan satu atom lain yang juga memiliki arah pada vektor [110]. Sehingga jumlah atom yang terdapat pada arah [110] adalah

1 1+ 2 = 2 2

Sementara itu panjang vektor [110] adalah 4R. Dengan menggunakan persamaan untuk Linear density didapatkanLD110 2 atom 1 = = 4R 2R

Dengan analogi yang sama, planar density (PD) dapat didefinisikan sebagai jumlah atom per satuan bidang dimana bidang dispesifikasikan untuk indeks kristalografi tertentu. Secara matematis PD dapat dinyatakan sebagai berikutPD = jumlah atom pada bidang krista log rafi tertentu luas bidang krista log rafi tersebut

Satuan dari PD adalah nm-2 atau m-2 (tergantung satuan panjang yang diinginkan).

Contoh soal Tentukan planar density untuk bidang (110) pada struktur kristal FCC Penyelesaian Untuk kasus bidang (110) pada unit cell FCC, terdapat dua atom di diagonal sisi yang dimiliki secara bersama oleh dua bidang (110) dan 4 atom di titik sudut yang dimiliki oleh empat bidang (110) yang lain. Sehingga jumlah atom total yang dimiliki oleh bidang (110) adalah2 1 1 + 4 = 2 2 4

Sementara itu jika a adalah kisi kristal, maka luas bidang (110) dapat dicari sebagai berikut

p 2 = a 2 + a 2 = 2a 2

Sehingga panjang diagonal sisi p adalahp=a 2

Luas bidang (110) adalahp a = a 2 a = a2 2

Untuk struktur kristal FCC terdapat hubungan antara a dan R sebagai berikuta = 2R 2

Sehingga luas bidang (110) jika dinyatakan sebagai fungsi R adalaha 2 2 = 2R 2

(

)

2

2 = 8R 2 2

Dengan demikian planar density (PD) dapat dihitung sebagai berikutPD110 = 2 atom 8R 2 2 = 1 4R 2 2

Metode analisis struktur kristal Struktur kristal dapat ditentukan dengan menggunakan gelombang yang memiliki panjang gelombang dalam orde yang yang dengan kisi kristal atau jarak antar bidang kristal. Persyaratan ini dapat dipenuhi oleh dua jenis gelombang yaitu 1. sinar-X 2. partikel yang dipercepat (memanfaatkan efek dualisme partikel-gelombang)

Metode yang digunakan untuk menganalisis struktur kristal adalah difraksi kisi. Dalam metode ini, jarak antar bidang atau kisi kristal berperan sebagai kisi difraksi untuk sumber gelombang. Proses difraksi sinar-X oleh kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut ini

Berdasarkan persamaan yang dirumuskan Bragg, difraksi orde ke n dari suatu gelombang dengan panjang gelombang pada suatu kristal dengan jarak antar bidang d dapat dinyatakan dalam persamaan berikut ini

2d sin = n Di mana adalah sudut hambur yang dibentuk oleh gelombang hambur dan permukaan bidang kristal. Untuk suatu kristal dengan indeks Miller (h k l), maka hubungan antara jarak antar bidang d dan kisi kristal a dapat dinyatakan sebagai berikutd= a h2 + k 2 + l 2

Dengan demikian persamaan difraksi Bragg dapat dituliskan kembali sebagai berikut2 a sin h +k +l2 2 2

= n

Beberapa contoh pola difraksi Bragg dapat ditunjukkan pada gambar berikut ini

Gambar a menunjukkan pola untuk struktur FCC dari tembaga, Gambar b menunjukkan pola struktur BCC dari tungsten, dan Gambar c menunjukkan pola HCP dari seng.

Bidang Difraksi Bragg Intensitas gelombang hamburan pada difraksi Bragg ditentukan oleh struktur geometri dari kristal yang bersangkutan. Sementara itu setiap struktur kristal tertentu akan memiliki densitas atom (nilai APF maupun PD) yang tertentu pula. Sehingga dapat disimpulkan bahwa intensitas gelombang hamburan akan sebanding dengan densitas atom. Beberapa pola kristalografi tertentu akan menghasilkan pola difraksi minimum sehingga tidak dapat teramati. Pada saat gelombang hamburan berdifat destruktif satu sama lain, akan terjadai pola difraksi minimum.

Tabel berikut menunjukkan struktur bidang kristalografi yang akan menghasilkan pola difraksi maksimum.hkl 100 110 111 200 210 211 220 221 300 310 311 222 simple cubic + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + BCC FCC

Contoh soalBubuk sodium fluoride (NaF) dianalis dengan menggunakan metode difraksi sinar X menggunakan panjang gelombang 154 pm (1.54 ). Sudut hamburan Bragg teramati sebesar 19o31, 41o50, dan 76o25. Diketahui tetapan kisi untuk NaF adalah a = 463,42 pm (4,6342 ). Tentukan jarak antar bidang dan bidang-bidang yang diperkenankan untuk hamburan Bragg.

Penyelesaian.Persamaan difraksi Bragg dapat dituliskan kembali sebagai berikutd = n 2 sin

Nilai d/n untuk tiap-tiap sudut diringkaskan pada tabel berikut iniSudut 19o31 41o50 76o25 d/n 232 pm 116 pm 79,1 pm

hamburan

dapat

Jika diamati, nilai d/n untuk sudut hamburan 19o31 adalah dua kali dari sudut hamburan 41o50 dan tiga kali dari sudut hamburan 76o25. Dapat disimpulkan bahwa nilai n bervariasi dari 1, 2, dan 3. Sehingga jarak antarbidang adalah 232 pm. Berdasarkan hubungan antara a dan d didapatkan463,42 pm a = h2 + k 2 + l 2 = 2 d 232 pm

Untuk struktur FCC bidang-bidang hamburan Bragg yang diperkenankan adalah (111), (200), (220), (311), (222), dan (400). Dari seluruh bidang yang diperkenankan yang memenuhi harus dipenuhi syarat khusus a/d = 2, sehingga yang memenuhi syarat adalah bidang (200).