zy

C

Tugas: Proses Berpikir Matematik

TANYA JAWAB SEPUTAR

TRIPLE PHYTAGORAS

Disusun oleh:

IKHSAN MAGRIBI (0907504)

Dosen Pengampu: Wono Setyabudhi, P.hD

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKASEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIABANDUNG

2009

Perhatikan segitiga siku-siku ABC berikut ini:

Dari gambar di atas sesuai dengan Teorema Pythagoras maka

berlaku x2+ y2=z2 dimana z adalah sisi miring atau sering disebut

hypotenusa. x dan y adalah sisi-sisi yang saling tegak lurus

membentuk sudut 90° yang masing-masing panjangnya kurang dari

panjang z.

Contoh:

a. Jika diketahui x=3 dan y=4 maka z=√32+42=√25=5b. Jika diketahui x=2 dan y=3 maka z=√22+32=√13≈3.6055Dari contoh di atas terlihat bahwa nilai z ada yang berupa bilangan

bulat positif dan bilangan desimal. Dalam hal ini apabila dihasilkan

pasangan bilangan (x , y , z) yang ketiganya merupakan bilangan

bulat positif maka disebut dengan Triple Phytagoras. Sebagai

contoh lainnya adalah bilangan (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25) dan

lainnya. Bilangan-bilangan yang membentuk Tripel Pythagoras ini

menarik untuk dikaji sehingga menimbulkan beberapa pertanyaan

yang nantinya akan dibahas pada makalah ini.

x2+ y2=z2 dengan x≤ y ≤ z∈Z⨁

Tabel 1. Tabel Pasangan Tripel Pythagoras

x y z

3 4 5

5 12 13

6 8 10

7 24 25

8 15 17

9 12 15

9 40 41

10 24 26

11 60 61

:.

:.

:.

Dari tabel di atas diperoleh beberapa informasi yaitu:

a. Terdapat pasangan bilangan Triple Phytagoras (TP) yang fpbnya

1 atau relative prima. TP ini disebut Triple Phytagoras Primitif.

Tabel 2. Tabel Pasangan Tripel Pythagoras yang fpbnya 1

x y z

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

:.

:.

:.

b. Terdapat pasangan bilangan Triple Phytagoras (TP) yang

diperoleh dari mengalikan TP primitif dengan n∈N (bilangan asli).

Contohnya mengalikan 2 pada pasangan TP (3, 4, 5) sehingga

menghasilkan (6, 8, 10) dan juga lainnya.

Tabel 3. Tabel Pasangan Tripel Pythagoras yang diperoleh dari

hasil kali n∈N

Triple Phytagor

asTP x 2 TP x 3 TP x 4 TP x …

3, 4, 5 6, 8, 10 9, 12, 15 12, 16, 15 :

5, 12, 13 10, 24, 26 15, 36, 39 20, 48, 52 :

7, 24, 25 14, 48, 50 21, 72, 7528, 96,

100:

9, 40, 41 18, 80, 8227, 120,

12336, 160,

164:

= =

=

=

||| ||| ||| |||Segitiga yang diperbesar 3 kali

:.

:.

:.

:.

:.

Pertanyaan muncul pada kasus ini:

Apakah dengan mengalikan n∈N pada setiap pasangan TP

primitif berlaku secara umum?

Jika di lihat secara geometris, mengalikan pasangan TP dengan

n∈N sama dengan memperbesar ukuran segitiga sebesar n kali.

Akan ditunjukkan bahwa ini berlaku umum:

x , y , z adalah pasangan TP. n adalah bilangan asli.

Maka: x2+ y2=z2.

Akan ditunjukkan bahwa (xn)2+( yn)2=(zn)2

(xn)2+( yn)2=x2n2+ y2n2=(x¿¿2+ y2)n2=(z¿¿2)n2=( zn)2¿¿

Terbukti bahwa pasangan TP yang lain dapat diperoleh dengan

mengalikan n∈N pada setiap bilangan TP.

Selanjutnya muncul beberapa pertanyaan yang akan dijawab

seputar Triple Phytagoras, antara lain:

a. Saya tahu 9, 12, 15 adalah Triple Phyatgoras. Ada yang lain?

Jawaban:

Ada, yaitu 9, 40, 41.

b. Bahwa x ganjil, y genap maka z ganjil. Buktikan?

Contoh: x=7 y=24 z=25

x=9 y=12 z=15

x=11 y=60 z=61

Dari contoh di atas, diduga bahwa jika x ganjil, y genap maka z

ganjil. Akan dibuktikan jika x ganjil, y genap maka z ganjil

Bukti:

Misalkan x=2n+1 dan y=2n

x2+ y2=z2↔z2=(2n+1)2+(2n)2

¿4 n2+4 n+1+4 n2=8n2+4n+1

¿2 (4 n2+2n )+1

Misalkan 4 n2+2n=p maka z2=2 p+1

Perkalian dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. Jika kuadrat

dari suatu bilangan adalah bilangan ganjil maka bilangan

tersebut adalah bilangan ganjil. Sehingga z adalah bilangan

ganjil.

c. 5 muncul dua kali. Berapa kali 7 muncul?

Jawaban:

Hanya satu kali, yaitu 7, 24, 25.

d. Diberikan suatu bilangan n, carilah Triple Phytagoras yang

memuat n:

Jawaban:

Cara mencari pasangan TP (x , y , z) yang memuat n adalah:

i. Jika x=n maka carilah faktor dari n selain 1 dan n. Kemudian

jika faktor dari n adalah bilangan yang terdapat pada TP

primitif maka TP primitif tersebut kalikan dengan faktornya

sehingga diperoleh TP yang memuat n.

Contoh:

x=45 maka cari faktornya selain 1 dan 45 yaitu: 3, 5, 9, 15

TP primitif yang mengandung 3 adalah: (3, 4, 5) x 15 = (45,

60, 75)

TP primitif yang mengandung 5 adalah: (5, 12, 13) x 9 = (45,

108, 117)

TP primitif yang mengandung 9 adalah: (9, 40, 41) x 5 = (45,

200, 205)

TP primitif yang mengandung 15 adalah:(15, 112, 113)x3

=(45,336,339)

TP yang baru: (45, 60, 75), (45, 108, 117), (45, 200, 205), (45,

336, 339)

ii. Jika x=n dengan n adalah bilangan ganjil maka pergunakan:

x2= y+z dengan z− y=1↔z=1+ y

Contoh: x=45 maka dapat ditemukan nilai y dan z.

x2= y+z↔ 452= y+1+ y↔2025=2 y+1↔ y=1012

Maka nilai z=1013

Jadi TP yang baru adalah: (45, 1012, 1013)

iii. Jika y=n dengan z− y=a↔z=a+ y ,a adalah bilangan genap,

maka: x2=a ( y+z)

Contoh: y=45 dengan a=2↔z=45+2=47

x2=2 (45+47 )=√184↔x=13,56 ini tidak memenuhi.

Coba lagi untuk a=4 ,6 ,8…

y=45 dengan a=6↔z=45+6=51

x2=6 (45+51 )=√576↔x=24, ini memenuhi.

Sehingga TP yang baru dengan y=n=45 adalah: (24, 45, 51)

y=45 dengan a=8↔z=45+8=53

x2=8 (45+53 )=√784↔x=28, ini memenuhi.

Sehingga TP yang baru dengan y=n=45 adalah: (28, 45, 53)

iv. Jika z=n dan terdapat faktor n pada TP primitif maka TP

primitif dikalikan dengan faktor dari n tersebut.

Contoh: x=45 maka cari faktornya selain 1 dan 45 yaitu: 3, 5,

9, 15

Carilah TP primitif dari faktor tersebut:

TP primitif yang mengandung 3 adalah: (3, 4, 5) x 9 = (27, 36,

45)

TP yang baru: (27, 63, 45).

e. Apakah mungkin dalam Triple Phytagoras 2 bilangan sama?

Jawaban:

Tidak mungkin.

Contoh: x=10 dan y=10 maka z=√102+102=√200=10√2Bukti:

Misalkan x= y maka z2=x2+ y2↔z2=x2+x2=2 x2↔z=x √2Pasangan TP tersebut akan menghasilkan bilangan bentuk akar,

hal ini jelas bukan TP karena syaratnya adalah pasangan

bilangan bulat positif.

f. Apakah benar z− y=1?

Jawaban:

Contoh: x=3 y=4 z=5

x=7 y=24 z=25

x=6 y=8 z=10

x=8 y=15 z=17

x=21 y=72 z=75

Dari contoh di atas terlihat bahwa pasangan TP primitif untuk x

ganjil maka berlaku z− y=1. Tetapi untuk TP primitif dengan x

genap maka z− y ≠1.

Bukti:

Misalkan x=2n+1 maka y=2(n2+n) sehingga:

z2=x2+ y2↔z=√ x2+ y2=√(2n+1)2+(2n2+2n)2

z=√4 n2+4 n+1+4 n4+8n3+4n2

z=√4 n4+8n3+8n2+4 n+1

z=√ ([2(n2+n)]+1)2

z=2n2+2n+1

Jika x=2n+1, y=2(n2+n) maka z=[2(n2+n)]+1 berlaku umum untuk

semua n∈N .

Akan dibuktikan bahwa:

x2+ y2¿ z2↔ (2n+1 )2+(2n2+2n )2=(2n2+2n+1 )2

a) Akan ditunjukkan benar untuk n=1

(2.1+1 )2+(2 .12+2.1 )2=(3 )2+(4 )2=25=(2.12+2.1+1 )2

b) Andaikan benar untuk n=k maka:

(2k+1 )2+(2k2+2k )2=(2k2+2k+1 )2

c) Akan ditunjukkan benar untuk n=k+1

(2k+1 )2+(2k2+2k )2=(2k2+2k+1 )2

(2 (k+1 )+1)2+(2 (k+1 )2+2 (k+1 ))2=(2(k+1)2+2(k+1)+1 )2

→4 (k+1)2+4 ( k+1 )+1+4 (k+1)4+8(k+1)3+4 (k+1)2

→4 (k+1)4+8 (k+1)3+8(k+1)2+4 (k+1 )+1

→ (2(k+1)2+2 (k+1 )+1 ) (2(k+1)2+2 (k+1 )+1 )

→ (2(k+1)2+2 (k+1 )+1 )2

Dari a), b), dan c), maka dapat disimpulkan bahwa rumus

tersebut berlaku umum untuk semua n∈N .

Dengan demikian z− y=2n2+2n+1−2(n2+n)

z− y=1

g. Apakah mungkin ketiganya ganjil?

Jawaban:

Tidak mungkin.

Misalkan x dan y ganjil, dengan x=2n+1 dan y=4n+1

z2=x2+ y2

z2=(2n+1 )2+(4 n+1 )2=4n2+4 n+1+16n2+8n+1

¿20n2+12n+2=2 (10n2+6n+1)

Misalkan 10n2+6n+1=a maka z2=2a. Artinya z2 pastilah bilangan

genap dan tidak mungkin z adalah bilangan ganjil.

h. Apakah mungkin ketiganya prima?

Jawaban:

Tidak mungkin.

Untuk TP primitif dengan x bilangan genap, tidak mungkin

termasuk dalam ketiganya bilangan prima, karena x habis dibagi

dua.

Sedangkan untuk TP primitif untuk x bilangan ganjil, selalu

terdapat y bilangan genap.

Contoh:

3, 4, 5 5, 12, 13 8, 15, 17

Sehingga muncul pertanyaan baru: Apakah mungkin ketiganya

genap?

Sangat mungkin, karena setiap bilangan ganjil yang dikalikan

dengan bilangan genap maka hasilnya adalah bilangan genap.

Contoh:

TP primitif 3, 4, 5 jika masing-masing dikalikan dengan 2 maka

hasilnya 6, 8, 10. Begitu pula jika dikali dengan 4 hasilnya 12,

16, 20. Ini membuktikan bahwa sangat mungkin jika ketiganya

bilangan genap.

i. Apakah dalam Triple Phytagoras selalu ada bilangan yang habis

dibagi 3, 4, 5, 6?

Jawaban:

a) Untuk x yang habis di bagi 3 mempunyai ciri-ciri 3 p dengan

p=1 ,2 ,3…

Contoh: (3, 4, 5) (6, 8, 10) (9, 40, 41) (15, 112, 113)

(21, 220, 221)…

b) x , y , z adalah pasangan TP pastilah ketiganya memenuhi:

x2+ y2¿ z2, sehingga diperoleh hubungan:

y2 ¿ z2−x2

¿ (2n2+2n+1 )2− (2n+1 )2

¿ (4n4+8n3+8n2+4 n+1 )− (4 n2+4n+1 )

¿ (4n4+8n3+4 n2 )

¿4 n2 (n2+2n+1 )

y=√4n2 (n2+2n+1 )=2n√n2+2n+1 Misalkan √n2+2n+1=m maka:

y=2nm dimana m>n, m ,n∈N sehingga diperoleh:

x=m2−n2 dan

z=m2+n2

Berdasarkan hasil tersebut, dengan mengambil sebarang n∈N

maka dapat dibuat pasangan TP dengan bilangan:

x=m2−n2 , y=2nm dan z=m2+n2 dengan m=√n2+2n+1 Akan ditunjukkan bahwa bilangan tersebut memenuhi TP:

x2+ y2¿ (m2−n2)2+(2nm)2

¿m4−2n2m2+n4+4 n2m2

x2+ y2=m4+2n2m2+n4

¿¿¿

¿ z2

Andaikan dipilih n=1 maka bilangan tersebut menjadi:

x=m2−1 , y=2m dan z=m2+1

Apakah bilangan yang baru ini juga TP?

x2+ y2¿ (m2−1)2+(2m)2

¿m4−2m2+1+4m2

¿m4+4n2m2+n4

¿¿¿

¿ z2

Ternyata, bilangan tersebut memenuhi TP dengan nilai y

selalu genap.

Andaikan dipilih untuk nilai m sealu genap, misalkan m=2k,

k∈N maka akan diperoleh:

x=(2k )2−1 y=2 (2k ) z=(2k )2+1

x=4k2 y=4k z=4k2+1

Dari persamaan diatas diperoleh pasangan TP yang baru

dimana y akan selalu habis dibagi 4.

c) Untuk unsur TP yang habis di bagi 5 tidak ada ciri khusus,

karena selalu ada unsur di TP yang habis dibagi 5, bisa x , y

atau z.

Contoh: (15, 112, 113) (11, 60, 61) (17, 144, 145) …

d) Tidak semua unsur pada TP habis di bagi 6 seperti (3, 4, 5), (9,

40, 41), (21, 220, 221), (8, 15, 17)…

j. Keliling Triple Phytagoras bagaimana?

Jawaban:

Tabel 4. Tabel Pasangan Tripel Pythagoras, Keliling dan Luasnya

x y z Keliling x+ y+z

Luas 12(x . y)

3 4 5 12 6

5 12 13 30 30

6 8 10 24 24

7 24 25 56 84

8 15 17 40 60

9 12 15 36 54

9 40 41 90 180

10 24 26 60 240

11 60 61 132 330

14 48 50 112 336

21 72 75 168 756

:.

:.

:.

:.

:.

z= y+n

x2=n ( y+z )=n ( y+ y+n )=n (2 y+n )=2ny+n2

2 y= x2−n2

n

Keliling segitiga ¿ x+ y+z=x+2 y+n=x+ x2−n2

n+n

Keliling segitiga ¿ xn+x2−n2+n2

n= x

2+xnn

Dengan x≥3 dan n≥1.

Contoh: x=8dann=2

Keliling segitiga = x2+xnn

=64+162

=802

=40

Dari tabel di atas terlihat bahwa keliling dan luas pada TP primitif

maupun tidak maka akan menghasilkan bilangan bulat genap.

k. Luas Triple Phytagoras bagaimana?

Jawaban:

z= y+n

x2=n ( y+z )=n ( y+ y+n )=n (2 y+n )=2ny+n2

2 y= x2−n2

n↔ y= x

2−n2

2n

Luas segitiga ¿ 12

( x . y )=12. x ( x

2−n2

2n)= x

3−n2 x4 n

Dengan x≥3 dan n≥1.

Contoh: x=8dann=2

Luas segitiga = x3−n2 x4n

=512−328

=4808

=60

Telah disimpulkan pada bagian sebelumnya bahwa luas yang

diperoleh berupa bilangan bulat genap.

l. Didalam Triple Phytagoras x , y , z, apakah mungkin z=√ x+ y?Jawaban:

Contoh: x=3 y=4 z=√ x+ y=√3+4=√7

Padahal seharusnya z=5 dengan z2=√ x2+ y2, sehingga tidak

mungkin diperoleh z=√ x+ y.

m. Diketahui x dan x , y , z∈ Triple Phytagoras dimana x ganjil. Apakah

berlaku untuk setiap x=√ y+z?Jawaban:

Contoh: y=4 z=5 x=√4+5=3 y=8 z=10x=√10+8=√18≠6 y=24 z=25 x=√25+24=7 y=15 z=17 x=√15+17=√18≠8

y=12 z=15 x=√15+12=√27≠9 y=60 z=61x=√60+61=√121=11 Dari contoh di atas terlihat bahwa mungkin saja berlaku x=√ z+ y. Kemudian muncul pertanyaan: Untuk x yang bagaimana x=√ z+ y terpenuhi? Dan adakah kemungkinan rumus untuk nilai x yang

lainnya?

a) x=√ z+ y terpenuhi untuk TP primitif dengan nilai x bilangan

ganjil.

Menurut teorema phytagoras:

z2=x2+ y2↔x2=z2− y2

x2=( z+ y )(z− y )…1)

Agar persamaan menjadi lebih sederhana maka diambil

identitas dari bilangan bulat untuk perkalian yaitu 1, sehingga:

untuk z+ y=1↔z=1− y ini tidak memenuhi karena z harus ∈Z⨁,

untuk z− y=1↔z=1+ y ini memenuhi ∈Z⨁.

Sehingga persamaan 1) menjadi: x2=( z+ y )(z− y )

x2=( z+ y ) .1

x=√ z+ yb) Dari rumus yang diperoleh: x=√ z+ y terpenuhi untuk selisih

dari z dan y adalah 1. Bagaimana dengan TP yang selisih dari

z dan y lebih dari satu? Apabila pertanyaan dibuat lebih

sederhana lagi maka: Bagaimana menemukan pasangan TP

dengan selisih dari nilai z dan y adalah bilangan genap atau

bilangan ganjil, apabila diketahui:

i. TP dengan x bilangan ganjil?

ii. TP primitif dengan x bilangan genap?

i. Untuk TP dengan x bilangan ganjil dan selisih dari nilai z

dan y adalah bilangan ganjil, maka:

z− y=q ,q≥3q∈N dengan q ganjil sehingga diperoleh:

x2=q ( y+z)

x=√q ( y+z )

Contoh: x=25 dengan q=5

z− y=5↔z= y+5

x2=q ( y+z )↔252=5 ( y+ y+5 )↔625=5(2 y+5)

10 y=625−25↔ y=60010

=60 sehingga z= y+5=60+5=65.

Sehingga TP adalah 25, 60, 65.

ii. Untuk TP primitif dengan x bilangan genap dan selisih dari

nilai z dan y adalah bilangan genap, maka:

z− y=r ,r ≥2 r∈N dengan r genap sehingga diperoleh:

x2=r ( y+z )

x=√r ( y+z )

Contoh: x=8 dengan q=2

z− y=2↔z= y+2

x2=q ( y+z )↔82=2 ( y+ y+2 )↔64=2(2 y+2)

4 y=64−4↔ y=604

=15 sehingga z= y+2=15+2=17.

Sehingga TP adalah 8, 15, 17.