Bedah Soal APGI ASPEK MULIVARIAT

1.1. Matriks data yang terdiri dari = 3 pengukuran pada = 2 variabel (bivariat): = 2 21 65 7a. Buat scatter plot data dalam = 2 dimensi, dan tentukan lokasi mean data sampel ( , ).b. Buat sketsa data dalam = 3 dimensi yang merepresentasikan vektor-vektor data danc. Hitung vektor-vektor deviasi = dan = , serta sketsa grafiknyad. Hitung panjang vektor deviasi dan sudut apitnya

SolusiVariabel X bivariat , berarti = atau = [X X ]. Pada setiap variabel dilakukan = 3 pengukuran,sehingga matriks datanya berbentuk = = 2 21 65 7a. Titik-titik koordinata data adalah (2, 2), (1, 6) dan (5,7)

Mean data sampel adalah = = 11+ 21+ 3112+ 22+ 32 = 21+52+6+7 = 25Scatter plot (diagram pencar) dataditunjukkan dalam gambar 1Perhatikan bahwa mean sampel merupakan titik pusat dataatau titik kesetimbangan (grafitasi) data

b. Pandang kolom-kolom data sebagai vektor, sehinggavektor-vektor dan masing-masing memiliki 3komponen (R ), yaitu

= = 215 dan = = 267sehingga grafiknya dalam dimensi tiga ditunjukkan pada Gbr 2

c. Vektor-vektor deviasi = = 2 111 = 215 222 = 033= = 5 111 = 267 555 = 312

Perhatikan bahwa grafik vektor-vektor deviasi dan masing-masing tegak lurus pada vektor

d. Norm = = (0) + (3) + (3) = 18Norm = = (3) + (1) + (2) = 14cos = = , sudut yang dibentuk antara vektor dan

(2,5) (5,7)(2,2)(1,6)

0Gbr.1 Plot data data dalam p=2 dimensidengan lokasi mean sampel di (2,5)

Gbr.2. Sketsa vektor data dan vektor2 deviasi2

56

57

7

12

3

1.2. Diberikan 10 pasang data dari suatu perusahaan surat kabar sebagai berikut

3 5 5 7 7 7 8 9 10 112.30 1.90 1.00 0.70 0.30 1.00 1.05 0.45 0.70 0.30

a. Scatter plot (diagram pencar) dan diagram titik (dot diagram) dari data diberikan dalam Gambar 3

b. Berdasar diagram pencar tampak bahwa data berkorelasi negatif (monoton turun), hal ini dapatdicek melalui tanda negatif dari nilai kovarians sampel

c. Mean sampel : = , = 1,2 dan = 1,2, ,10 = (3 + 5 + 5 + 7 ++ 11) = 7.2 = (2.3 + 1.9 + 1.0 + 0.7 + + 0.3) = 1.07variansi sampel : = ( ) = 1,2 dan = 1,2, ,10= ( ) = ( ) {(3 7.2) + (5 7.2) + + (11 7.2) } = 11.311= ( ) = ( ) {(2.3 1.07) + (1.9 1.07) ++ (0.3 1.07) } = 0.479covarians sampel := ( ) , , = 1,2 dan = 1,2, ,10= ( ) = ( ) {(3 7.2)(2.3 1.07) + (5 7.2)(1.9 1.07) ++ (11 7.2)(0.3 1.07)} = 0.664=Maka matriks varians-covarian sampel adalah = 11.311 0.6640.664 0.479Jika perhitungan , , dan menggunakan pembagi (bukan pembagi n-1), maka diperoleh= 11.08 0.5980.598 0.432

Dotd

iagram

Dot diagram

2

1

0.20.40.60.8

1.21.41.61.8

2.22.4

02 4 6 8 10 12

7 9 1153

0.30.5

1.05

1.9

2.3

x1

x2

Gbr. 3 : Diagram pencar dan diagram titik dari 10 pasang data

d. Koefisien korelasi sampel = = ( . ) . . = 0.2735, = dan matriks korelasisampel adalah = 1 0.27350.2735 1

1.3. Hitung jarak statistik dari titik P(2,2) ke titik Q (0,0) bila = 45Penyelesaian. Misalkan ( , ) dan ( , ), makaJarak statistik ( , ) = ( ) + 2 ( )( ) + ( )= (2 0) + 2 (2 0)(2 0) + (2 0)= 4 + 8 + 4dimana = cos s cos + 2 s sin cos + s sin + sin s cos 2 s sin cos + s sin = sin s cos + 2 s sin cos + s sin + cos s cos 2 s sin cos + s sin = cos sin s cos + 2 s sin cos + s sin sin cos s cos 2 s sin cos + s sin

Untuk = 45 , sin 45 = 2 dan cos 45 = 21.4. Diketahui 8 pasang data dari pengukuran dua variabel dan

-6 -3 -2 1 2 5 6 8-2 -3 1 -1 2 1 5 3

Bila diberikan pengukuran baru ( , ) = (4, 2).a. Hitung mean sampel dan b. Hitung , danc. Hitung ~ , ~ dan ~d. Transformasikan ( , ) ke koordinat baru ~ , ~ , bila = 26 (cos 26 = 0.899, sin 26 = 0.438)e. Hitung jarak statistika d(O, P) dimana O(0,0) titik asal dan ( , ) = (4, 2)

Solusia. = , maka = (6 3 2 + 1 + 2 + 5 + 6 + 8) = 1.375 = (2 3 + 1 1 + 2 + 1 + 5 + 3) = 0.75b. = 23.411 , = 7.071 dan = 10.392 (untuk pembagi (n-1))c. ~ = 27.952 , ~ = 1.986 dan ~ = 0.1423 (untuk pembagi (n-1))d. Matriks transformasi adalah cos sin sin cos .

Jadi transformasinya~ = cos + sin~ = sin + cos ~ = 4 cos 26 + (2) sin 26 ~ = 2.72~ = 4sin 26 + (2) cos 26 ~ = 3.53

e. Jarak statistik dari ~ , ~ ke titik asal O(0,0) adalah ( , ) = ~~ + ~~( , ) = ( . ). + ( . ). = 0.2647 + 6.2744 = 2.557

Atau dengan cara lain jarak statistik dari ( , ) ke titik asal adalah( , ) = ( ) + 2 ( )( ) + ( )= (2 0) + 2 (2 0)(2 0) + (2 0) = 4 + 8 + 4dimana = cos s cos + 2 s sin cos + s sin + sin s cos 2 s sin cos + s sin = sin s cos + 2 s sin cos + s sin + cos s cos 2 s sin cos + s sin = cos sin s cos + 2 s sin cos + s sin sin cos s cos 2 s sin cos + s sin

Dalam hal ini titik ( , ) = (4, 2), sedangkan titik ~ , ~ = (2.73, 3.53)1.5. Tentukan mean dan variansi dari kombinasi linier berikut dalam bentuk mean dan covariansi dari variabel

random , dana. 2 b. + 3 c. + +d. + 2 e. 3 4 jika dan variabel random independen f. 2

PembedahanVektor random = [ ]mempunyai vektor mean = [ ] dan matrik varians-covarians =

a. Mean dari ( 2 ) adalah( 2 ) = ( ) (2 ) = ( ) 2 ( ) = 2Variansi dari ( 2 ) adalah( 2 ) = {( 2 ) ( 2 )} = {( ) 2( )}= [( ) + 4( ) 4( )( )]= ( ) + 4 ( ) 4 ( )( )= ( ) + 4 ( ) 4 ( , )= + 4 4Cara lain:

Tuliskan ( 2 ) = [1 2] = dimana = [1 2]Dengan menggunakan espektasi, makaMean dari adalah ( ) = E( ) = = [1 2] = 2Varian dari ( ) = ( ) = ( )= [1 2] 12 = + 4 4

b. Mean dari ( + 3 ) adalah( + 3 ) = ( ) + (3 ) = ( ) + 3 ( ) = + 3Variansi dari ( + 3 ) adalah( + 3 ) = {( + 3 ) ( + 3 )} = {( ) + 3( )}= [( ) + 9( ) 6( )( )]= ( ) + 9 ( ) 6 ( )( )= ( ) + 9 ( ) 6 ( , )= + 9 6

Cara lain :Tuliskan + 3 = [1 3] = = ,maka

Mean dari adalah ( ) = E( ) = = [1 3] = + 3 danvar ( ) = var ( ) = [1 3] 13 = + 9 6 c. Mean dari ( + + ) adalah= ( + + ) = ( ) + ( ) + ( ) = + +

Variansi dari ( + + ) adalah( + + ) = {( + + ) ( + + )} = {( ) + ( ) + ( )}= [( ) + ( ) + ( ) + 2( )( ) + 2( )( ) + 2( )( )]= ( ) + ( ) + ( ) + 2 [( )( ) + ( )( ) + ( )( )]= ( ) + ( ) + ( ) + 2[ ( , ) + ( , ) + ( , )]= + + + 2( + + )Cara lain

Tuliskan + + dalam bentuk [1 1 1] = ,maka( ) = ( ) = = [1 1 1] = + +( ) = var ( )= [1 1 1] 111 = + + + 2( + + )

d. Mean dari ( + 2 ) adalah= ( + 2 ) = ( ) + 2 ( ) ( ) = + 2 Variansi dari ( + 2 ) adalah( + 2 ) = {( + 2 ) ( + 2 )}= {( ) + 2( ) ( )}= [( ) + 4( ) + ( ) + 4( )( ) 2( )( ) 4( )( )]= ( ) + 4 ( ) + ( ) + 4 ( )( ) 2 ( )( ) 4 ( )( )= ( ) + 4 ( ) + ( ) + 4 ( , ) 2 ( , ) 4 ( , )= + 4 + + 4 2 4 )Cara lain

Tuliskan + 2 = [1 2 1] = ,maka

( ) = ( ) = = [1 2 1] = + 2 dan( ) = var ( )= [1 2 1] 121 = + 4 + + 4 2 4 e. Mean dari (3 4 ) adalah(3 4 ) = 3 ( ) 4 ( ) = 3 4

Variansi dari (3 4 ) adalah(3 4 ) = {(3 4 ) (3 4 )} = {3( ) 4( )}= 9( ) + 16( ) 24 ( )( )= 9 ( ) + 16 ( ) 24 ( )( )= 9 ( ) + 16 ( ) 24 ( , )= 9 + 16 24Karena dan inependen, maka = 0, sehingga(3 4 ) = 9 + 16

f. Tuliskan Mean dari (2 ) = [2 1] = ,makaMean dari (2 ) = ( ) = E( ) = = [2 1] = 2 danvar ( ) = var ( ) = [2 1] 21 = 4 + 4

1.6.. Jika = = 4 1 21 9 32 3 25a. Hitung matriks standar deviasi / dan matriks korelasib. Hitung dan korelasi antara X dan +

Pemecahan

a. Matriks standar deviasi adalah / = 0 00 00 0 = 2 0 00 3 00 0 5 dan inversnya/ = 1/ 0 00 1/ 00 0 1/ =

0 00 00 0

Matriks korelasi dapat diperoleh dari hubungan

= / / = 0 00 00 0

4 1 21 9 32 3 25 0 00 00 0

= 1 1 1

b. =koefisien korelasi antara dan =Korrelasi X , + = ,( )dimana X , + = ( , ) + ( , ) = += (1) + (2) =( ) = = 4+ = ( ) = ( )

= = 9 33 25 = 7Jadi Korrelasi X , + = /

II MATRIKS PARTISI , KOMBINASI LINIER DAN DISTRIBUSI MULTIVARIAT

2.1. Show that | | = +1 1, if is a p p orthogonal matrixPenyelesaianKarena matrik ortogonal berukuran p p, maka berlaku = =Sehingga | | = | | (*) . Tetapi juga | | = | || | = | | (**)Dari (*) dan (**) diperoleh | | = | | , dimana = 1. Jadi | | = 1 atau | | = 1

2.2. Show each of the following a). = | || | b). = | || |, for | | Bukti

a). = Ekspansikan determinan menurut baris 1, = 1 | |(1) + 0 | |(1) = | | (*)Dengan cara serupa, ekspansikan determinan menurut baris 2, = 0 | |(1) + 1 | |(1) = | | (**)Dari (*) dan (**), diperoleh = = | || |b). = | || |, for | |

= Ekspansikan determinan menurut baris kedua

= 0 | |(1) + 1 | |(1) = 0 + | | = 1 , | | (*)Seadangkan berdasarkan (a) diketahui = | || | (**)Dari (**) dan (*), diperoleh = | || |, for | |

2.3. Show that, if A is square,| | = | | , for | | = | | , for | | Bukti

Partisi matriks A, kemudian ferivikasi bentuk berikut = (*)

Kemudian hitung detreminan pada kedua ruas persamaan diatas.Gunakan Lemma 5-1, (soal no.2.2) untuk menghitung determinan matrik pertama, ketiga danmatriks ruas kanan, sehingga

1111

2212 II

I0AAI

t;

11121

122

IIIAA0I

211

2212112222

211

221211 AAAAAA0

0AAAA t

Jadi 211221211222221

1211 AAAAAAAAA

A Dengan cara sama tuliskan

IAA

0I1

1121

2221

1211

AAAA

I0AAI

t12

111

12

1112122

11

AAAA00A

t

Kemudian hitung detreminan pada kedua ruas persamaan diatas, diperoleh

121

112122112221

1211 AAAAAAAAA

A 2.4. Show that, for A is symmetric=

BuktiPerhatikan ekspresi (*) dari lemma 5-2 (soal no.2.3)

=

Pada kedua ruas, kalikan dari kiri dengan11

2212

I0

AAIt

dan dari kanan dengan

1

211

22

IAA

0I , diperoleh:

IAAAA

I2221

121111

2212

I0

AAIt

22

211

221211

A00AAAA

t

1

211

22

IAA

0I

atau

2221

1211

AAAA 112212

I0

AAIt

22

211

221211

A00AAAA

t

1

211

22

IAA

0I

Kemudian ambil invers dari hasil tersebut, diperoleh :

1

2221

1211

AAAA

IAA

0I21

122

122

121

1221211 )(

A00AAAA

t

I0AAI

t

12212

Catatan

Ingat sifat invers matriks. Jika A dan Bmatriks bujur sangkar berukuran sama, maka berlaku(i). 11 tt AA (ii). 111 ABBA

2.5. Diberikan vektor random =

~ ( , ) dengan vektor mean =

=

24130 dan matriks varian

covarians =

=

41 131 01 1 06 1 1 1 1 4 00 0 1 0 2 .

Partisi atas = ( )( ) =

.

Misalkan pula ( ) dan ( ) merupakan kombinasi-kombinasi linier dimana = 1 1 11 1 2 dan= 1 11 1 .Tentukanlah

a. ( ) dan ( )b. ( ) dan ( )c. ( ) dan ( )d. ( ) dan ( )e. ( ), ( )f. ( ), ( )g. Apakah ( ) dan ( ) independen ? Jelaskanh. Tentukan distribusi dari ( )

Pembedahan

Partisi atas = ( )( ) =

.

dimana vektor random ( ) = XXX berukuran 3 1 danvektor random ( ) = XX berukuran 2 1

a. Vektor mean untuk ( ) adalah ( ) = = = 410 danVektor mean untuk ( ) adalah ( ) = = = 23

b. ( ) = = = 3 1 01 6 10 1 2 , perhatikan variabel yang terlibat di ( )( ) = = = 4 4 , perhatikan variabel yang terlibat di ( ).

c. Diketahui = 1 1 11 1 2 dan ( ) ,maka kombinasi linier ( ) = 1 1 11 1 2 XXX . Berdasarka sifat, mean dari ( ) adalah

( ) = ( ) = ( ) = 1 1 11 1 2 = + + + 2 = 4 1 + 04 1 0 = 33Kombinasi linier ( ) = 1 11 1 XX . Berdasarkan sifat, mean dari ( ) adalah

( ) = ( ) = ( ) = 1 11 1 = + = 2 32 + 3 = 15d. Berdasarkan sifat, ( ) = ( ) =

= 1 1 11 1 2 3 1 01 6 10 1 2 1 11 11 2 = 11 88 23Dengan cara serupa ( ) = ( ) = = 1 11 1 4 4 1 11 1 = 9 00 7

e. ( ), ( ) = = = = 1 110 0 .f. Berdasarkan sifat, ( ), ( ) = ( ), ( ) == 1 1 11 1 2 1 110 0 1 11 1 = g. Jika ( ) dan ( ) independen maka ( ), ( ) = atau =

Dalam hal ini = 1 110 0 ,maka ( ) dan ( ) tidak independenh. Telah dihitung bahwa vektor mean dan matriks kovarians dari kombinasi linier ( ) berturut-turut

adalah ( ) = 33 dan = 11 88 23Jadi ( ) berdistribusi normal bivariat dengan mean ( ) = 33 dan matriks varian-covarians= 11 88 23 . Atau di tuliskansebagai( )~N ( ), atau ( )~N 33 , 11 88 23

2.6. Diberikan data X = = 2 21 65 7 . Tentukana. Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor-vektor deviasi dan adalah

(i). = . 1 (ii). = , dimana adalah sudut yangdibentuk oleh vektor-vektor deviasi dan

b. Tentukan matriks variansi sampel S dan matriks korelasi sampel Rc. Tunjukkn bahwa |S| = ( )( ) pada kasus diatas.

SolusiX = = 2 21 65 7 .a. Titik-titik koordinat data adalah (2,2), (1,6) dan (5,7) dengan mean sampel adalah

= = (2 + (1) + 5)(2 + 6 + 7) = 25

Vektor-vektor data : = 215 dan = 267Vektor-vektor deviasi :

= x = x xx xx x = 2 21 25 2 = 033= x = x xx xx x = 2 56 57 5 = 312Panjang vektor2 deviasi adalah = 0 + 9 + 9 = 18 , = 9 + 1 + 4 = 14dan cos = . = ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = = Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor2 dan adalah(i). = . 1 = 18 14 1 = 15.5885 satuan luas , atau(ii). = = 81 + 81 + 81 = 93 = 15.5885 satuan luas (hasil sesuai diatas)dimana = 0 3 33 1 2 = 3 31 2 0 33 2 + 0 33 1 = 9 9 9

b. = ((2 2) + (1 2) + (5 2) = 9 , = ((2 5) + (6 5) + (7 5) = 7 dan= [(2 2)(2 5) + (1 2)(6 5) + (5 2)(7 5)] = 3/2= 18 = 2 , = 14 = 2 , = 3 = 2 , maka = 9 3/23/2 7= 1, = 1 dan = = / = , sehingga = 1 1c. | | = 9 3/23/2 7 = 63 = 60 = 60.75 . Tampak bahwa , |S| = ( )( ) = = 60.75

(2,5) (5,7)(2,2)(1,6)

0Gbr.1 Plot data data dalam p=2 dimensidengan lokasi mean sampel di (2,5)

2

56

57

7

1

2

3

Gbr.2. Sketsa vektor data dan vektor2 deviasi

2.7. Diberikan matriks data = 1 3 22 4 25 2 3 , dimana = 3 observasi atas = 3 variabel, , .a. Hitung matriks deviasi , kemudian tentukan vektor-vektor deviasi , danb. Gunakan vektor-vektor deviasi , dan untuk menentukan matriks variansi-kovariansi S , kemudian

hitung pula generalisasi variansi | |.SOLUSI

Matriks data = 1 3 22 4 25 2 3 , mean = = 231a. = 1 2 3 3 2 12 2 4 3 2 15 2 2 3 3 1 = 3 0 30 1 13 1 2 , dimana = 303 , = 011 , = 312b. = 9 + 0 + 9 = 18 = 2 = = 9, = 2 = 2 = 1 , = 14 = 2 = = 7= 0 + 0 3 = 3 = 2 = , = 15 = 2 = 7.5 , = 0 + 1 2 = 1 = 2 = Jadi =

9 1 7 dan | | = = 202.5