beberapa distribusi teoritis

5/14/2018 beberapa distribusi teoritis

1/12

BEBERAPA DISTRIBUSI TEORITIS

A. D ISTRmUSI PROBABILITAS D ISKRIT1. Distribusi Diskrit Uniform

Distribusi Diskrit Uniform juga disebut sebaran peluang seragarn, yaitu bila peubah aeakx mempunyai nilai-nilai Xl' X2' ... , Xk dengan probabilitas yang sarna maka distribusi probabilitasuniformnya diberikan oleh,

f(x,k) = 1 1 k . (1)untuk k = 1.2. 3, ...nTeladan 1. Jika sebuah dadu dilemparkan dan setiap unsur ruang contoh adalah { 1,2,3,

4. 5. 6 }. serta mempunyai peluang yang sarna untuk muneul yaitu 1/6. Olehkarena itu diperoleh distribusi uniformnya adalah :

f(x:6) = 1/6 untuk x = 1.2. 3.4. 5, 6Teladan 2. Misalkan seorang staf dipilih secara acak, dari 10 staf yang tersedia, untuk

mengawasi suatu proyek tertentu. Bila para staf itu dinomori dari 1 sarnpai57


2/12

b(x;n.p) = ~ pXqn-x ...........................(2)

dengan 10, maka distribusi nya adalah uniform denganf(x: 10) = 1/10 untuk x = 1.2. 3, ...,10

2. Distribusi BinomialSuatu percobaan sering kali terdiri atas ulangan-ulangan. dan masing-masing mempunyai

dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil atau gagal. Misalnya saja dalampelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisigambar atau sisi angka. Dan salah satu diantara keduanya ditentukan sebagai 'berhasil'.Begitu pula, bila 5 kartu diambil berturut-turut. Untuk kartu merah diberi label 'berhasil' atau'gagal' bila yang terambil adalah hitam.

Bila setiap kartu dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya, maka kedua percobaanyang dilakukan diatas mempunyai ciri-ciri yang sama, yaitu bahwa ulangan -ulangan tersebutbersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sarna yaitu sebesar 1/2. Percobaansemacam ini dinamakan percobaan binom. Perhatikan bahwa dalam percobaan pengambilankartu tersebut, peluang keberhasilan dalam setiap ulangan akan berubah bila kartu tidakdikembalikan sebelum pengambilan berikutnya: karena peluang terambilnya kartu merahpada pengambilan pertarna adalah 1/2, sedangkan pada pengarnbilan yang kedua peluang itubersifat bersyarat, bemilai 26/51 atau 25/51, bergantung pada hasil pengambilan pertama,Bila demikian halnya percobaan ini bukan lagi bersifat binom. Untuk lebih ringkasnya dapatdilihat pada definisi berikut.

Jika suatu ulangan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalanq = 1 - p, maka distribusi probabilitas bagi peubah acak binomial X, yaitu banyaknyakeberhasilan dalarn n ulangan bebas, adalah

untuk x =O.1.2. 3... , nTeladan 3. Tentukan peluang mendapat kan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setiJnbang

dilemparkan 5 kali.Jawab. Peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang kegagalanadalah 5/6. Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap keberhasilan. Maka

b [ x;5,1/6] = C~ (1/6)3 (5/6)25! 52= 3! 2! ~

= 0.032

58


3/12

Teladan 4. Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sejenisnyatemyata melatar belakangi 75% penstiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluangbahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi olehkeperluan uang untuk membeli ganja?

Jawab. Dengan anggapan bahwa kasus pencurian itu bersifat bebas dan p = 3/4 makab [ x;4. 3/4 ] = C! (3/4)2 0/4)2

4! 32= - - -2! 2! 44= 0.211

Selain masalah diatas. mungkin ada masalah yang menghendaki dihitung probabilitasP( X < r) atau P( a ::;X ::;b ). Untuk masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan menggunakantabel A2 yang terdapat pada lampiran.Teladan 5. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4. Bila 15 orang

diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa :a. sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuhb. Ada 3 sampai 8 orang yang sembuhc. tepat 5 orang yang sembuh

Jawab. a. Misalkan X adalah banyaknya orang yang sembuh. makaP( X ~ 10) = 1- P( X < 10 )

9= 1 - L b (x; 15. 0.4)x = O

= 1 - 0.9662= 0.0338

8b. P ( 3 sX s 8) = L b (r; 15. 0.4)x=3

8 2= L b (r; 15.0.4) - L b (r; 15. 0.4)x = O

= 0.9050 - 0.0271= 0.8779

59


4/12

c. P ( x = 5) = b (5; 15, 0.4)5 4= I b (x; 15,0.4) - Ib (x; 15, 0.4)

x = O x = O

= 0.4032 - 0.2173= 0.1859

Nilai tengah (rata-rata) dan ragam bagi distribusi binom b (x;ll,p) adalahJ . . l = IIp (3)(f2 = npq (4)

Teladan 6. Dari teladan diatas tentukan nilai rata-ratanya dan ragamnyaJawab.

J . . l = lip = (15)(0.4) = 6s 2 = npq = (15 (0.4) (0.6) = 3.6Selain itu ada distribusi binom lainnya, yaitu distribusi binom negatif. Bila u1angan yang

bebas dan beru1ang-u1ang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalandengan peluang q = 1 - p, maka distribusi probabilitas bagi peubah acak X, yaitu banyaknyau1angan sampai terjadinya k keberhasilan, diberikan menurut rumus

b*(J: ; k ,p ) = C ~~~ .................(5)untuk r = k, k+ 1, k+Z, ...Teladan 7. Hitunglah peluang seseorang yang melemparkan 3 uang log am akan

mendapatkan semua sisi gambar atau semua sisi angka untuk yang kedua kalinyapada lemparan kelima ?

Jawab. Dengan menggunakan distribusi binom negatif dengan x = 5, k = 2, dan p = 1/4,didapatb*(5; 2, 1/4 ) ( 1 /4 )2 (3/ 4 )3

= 372563. Distribusi Hipergeometrik

Bila dalam popu1asi N benda, k benda diantaranya diberi label 'berhasil' dan N - k bendalainnya diberi label 'gagal', maka distribusi probabilitas bagi peubah acak hipergeometik X,yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran 11, adalah60


5/12

c- e n - xk N-k

h(x;N,Il,k) = - - - - - ...............(6)

Untukx = 0, 1.2,3, ..., kTeladan 8. Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa probabilitas

diperoleh 3 kartu hati.Jawab. Dengan menggunakan sebaran hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13, dan x

= 3, maka probabilitas memperoleh 3 kartu hati adalah.

3 2C 13 C 39h(3;52,5,13) = = 0.0815

c~Sedangkan Nilai rata-rata dan ragam bagi distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k), adalah

IlkJ.l=---N

................ (7)

i!= __ N_-_n__ n__{ l __k_}N- I N N

...... (8)

Teladan 9. Tentukan J.ldan S 2 dari teladan 8.Jawab.

(5) (13)J.l = ---- = 1.250 = (47/51)(5)(13/52)(1-13/52)

= 705/816

4. Distribusi PoissonDistribusi probabilitas bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil

percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah

61


6/12

e-J.lIpp(x; f . . l ) = - - - - .................. (9)xluntuk x = 1.2, ...sedangkan dalam hal ini f . . l adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama

selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan. dan e = 2.71828 ....Teladan 10. Rata-rata banyaknya tikus per acre dalam suatu ladang seluas 5 acre diduga

sebesar 10. Hitung probabilitas bahwa dalam suatu luasan 1 acre terdapat lebihdari 15 tikus.

Jawab. MisalkanX adalah banyaknya tikus per acre. Maka dengan menggunakan Tabel A3.didapatP(X> 15) = 1 - P(X $ 15)

15= 1 - I p(x; 10)x = o

= 1 - 0.9513= 0.0487

Distribusi Binom dan Poisson memiliki histogram yang bentuknya hampir sama bila nbesar dan p kecil (dekat dengan nol), Oleh karena itu bila kedua kondisi itu dipenuhi,distribusi Poisson dengan f . . l = np dapat digunakan untuk menghampiri probabilitas binom.Teladan II. Misalkan bahwa secara rata-rata 1 Orang diantara 1000 orang adalah pencandu

alkohol. Hitung probabilitas bahwa dalam suatu contoh acak 8000 orang terdapatkurang dari 7 pencandu alkohol.

Jawab. Sesungguhnya ini merupakan percobaan binom dengan 1 1 = 8000 dan p = 0.001.Karena p sangat dekat dengan nol dan II sangat besar, maka dapat dihampiri dengandistribusi Poisson dengan f . . l = (8000)(0.001) = 8. Oleh karena itu, jika X menyatakanbanyaknya pencandu alkohol, akan diperoleh6P(X < 7) = Ib(x; 8000.0.001)

x=O

6= Ip(.\~8)x:{1

= 0.313462


7/12

B. DISTRmUSI PROBABILITAS KONTINUSalah satu contoh paling penting dari suatu distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi

Normal. Grafiknya, yang disebut kurva normal. adalah kUIVayang berbentuk genta sepertipada Garnbar.

xGarnbar 1.KUIVanormal

Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilai rata-rata ~ dan ragarn OZ, makapersarnaan kurva nonnalnya adalah

1 x - J . . 1ll(x;~,(j) = e -1/2 ( ) 2~ o ..........;..(10)

untuk - 00< x < 00, sedangkan dalarn hal ini 1t =3.14159 ... dan e = 2.71828 ...Jika peubah X dinyatakan dalam satuan baku z = (X - ~)/ o, persarnaan diatas digantikan

oleh bentuk baku1y = _ _ - - e -Ifl z2-r: .............(11)

Beberapa sifat dari kurva normal adalah:a. Modusnya, yaitu titik pada sumbu mendatar yang membuat fungsi mencapai maksimum,

terjadi pada x = ~ .b. Kurvanya setangkup terl1adap suatu garis tegak yang melalui nilai tengah ~.c. Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik dalarn kedua arah bila semakin

jauh dari nilai tengahnyad. Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas sumbu mendatar sarna

dengan 1.

Jika dalam penyelesaian masalah yang berkaitan dengan distribusi normal, dan ingindihindari penggunaan rumus yang menggunakan kalkulus integral, dapat digunakan tabel A4.63


8/12

Hal ini dimungkinkan karena setiap pengarnatan yang berasal dari sembarang peubah acaknormal X dapat ditransfonnasikan menjadi suatu nilai peubah acak norarnal Z dengan nilairata-rata nol dan ragarn satu. 1n i dapat dilakukan melalui transfonnasi

Z= ....................... (12)

Distribusi peubah acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku satu disebutdistribusi normal baku.

Bila X berada diantara x = xl dan x = x2' maka peubah acak Z akan berada diantara nilai-nilai padanannyaxI-1l x2-1lZI =----danZ2=----a a

Karena semua nilai X yang jatuh antara xl dan x2 mempunyai nilai-nilai padanannyaantara zl dan z2 ' maka luas daerah di bawah kurva X antara x = x I dan x = x2 sarna denganluas daerah di bawah kurva Z antara Z = zi dan Z = z2. Dengan demikian

Berarti sekarang banyaknya tabelluas kurva normal dikurangi menjadi hanya satu. TabelA4 pada larnpiran mencantumkan luas daerah di bawah kurva normal baku yang merupakannilai P(Z < z) untuk berbagai nilai z dari -3.49 sarnpai 3.49.

~

.'. I (j..... I....... I

~............... I

X2 Il x

Garnbar 2. Populasi normal asal dan hasil transfonnasiTeladan 12. Untuk distribusi normal dengan Il = 50 dan a = 10, hitunglah peluang bahwa

X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62.

Jawab. Nilai-nilai z padanan Xl = 45 dan X2 = 62 adalah64


9/12

45 - 50Zl = = -0.510cr2 - 50

Z2 = - - - - = 1.210Dengan demikian,P(45 < X < 62) = P(-O.5 < Z < 1.2)Dengan menggunakan tabel A4 diperoleh

P(45 < X < 62) = P(-O.5 < Z < 1.2)= P(Z < 1.2) - P(Z < -0.5)= 0.8849 - 0.3085= 0.5764Bila X adalah suatu peubah aeak binom dengan nilai tengah Il = 1lp dan ragam C f2 = npq,

maka bentuk hampiran bagi distribusiX -liPZ = ------;;:::::::==_. y IIpq

...............(13)

untuk n->0, adalah distribusi normal bakuTeladan 13. Peluang bahwa seorang pasien dapat sembuh dari suatu penyakit darah adalah

0.6. Bila 100 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa probabilitas bahwakurang dari separuhnya akan dapat sembuh?

Jawab. Misalkan peubah aeak X menyatakan banyaknya pasien yang dapat sembuh. Karenan = 100 .maka kita akan mendapatkan hasil yang eukup teliti bila menggunakanhampiran kUIVanormal denganIl = lip = (100) (0.6) = 60s = . y ; ; p q = - v (100) (0.6) (0.4) = 4.9Untuk mendapatkan peluang yang dicari, harns dihitung luas daerah di sebelah kirix = 49.5. Nilai padanan x = 49.5 adalah

49.5 - 604.9 = -2.14=

65


10/12

66

sehingga peluang bahwa yang sembuh kurang dari 50 pasien diberikan oleh daerahgelap dalam gambar 3. Dengan demikian

Gambar 3. Luas daerah bagi teladan 13

49P(X < 50) = I b(x; 100,0.6)x = o

= P(Z < -2.14)= 0.0162


11/12

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Cari probalitas untuk mendapatkan tepat dua kali bilangan 4 bila sebuah dadu setimbangdilemparkan 4 kali ?2. Sebuah panitia terdiri dari 7 orang diambil secara acak dari 4 wanita dan 6 pria. Tentukan

peluang banyaknya 3 wanita yang terpilih ?3. Seperti pada soal no. 2 , tetapi jika diinginkan hanya satu wanita yang terpilih maka

tentukan probabilitasnya ?

4. Bila peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya sisi gambar yang muncul bilasebuah uang logam dilemparkan sekali, maka distribusi probabilitas yang dapat dipakaiadalah :a. Distribusi Probabilitas Binomialb. Distribusi Probabilitas Uniformc. a dan b benard. a dan b salah

5. Probabilitas seorang berhasil adalah 2/3 . Dari peserta ujian diambil secara acak 5 orang.Tentukan probabilitas semuanya berhasila. semuanya berhasilb. sekurang-kurangnya satu orang berhasil

6. Tiga persen dari bola lampu yang diproduksi suatu perusahaan adalah rusak. Diambilsample 100 bola larnpu. Tentukan probabilitas bola lampu tidak ada yang rusak ?

7. Dari sekelompok orang yang terdiri dari 60 orang. 5 orang lahir pada tanggal29 februari,secara acak dipilih 10 orang.Untuk mencari probabilitas ada seorang yang lahir pada tanggal 29 februari digunakan:a. Distribusi Probabilitas Poissonb. Distribusi Probabilitas Hypergeometrikc. Distribusi Probabilitas Binomd. Distribusi Probabilitas Seragam

8. Jika pada suatu percobaan dengan distribusi probabilitas binom dimana p dekat dengan1/2 dan n sangat besar, maka penyelesaiannya dapat didekati dengan :a. Distribusi Probabilitas Binom negatifb. Distribusi Probabilitas Normalc. Distribusi Probabilitas Poissond. Distribusi Probabilitas Hypergeometris

67


12/12

9. Probabilitas bahwa seorang mahasiswa yang masuk STMIK Gunadarma akanmenyelesaikan studinya tepat waktu adalah 0.4. Tentukan probabilitas bahwa dari antara5 mahasiswa yang akan menyelesaikan studi tepat waktua. tidak adab. seorangc. paling sedikit seorang:

10. Hitunglah luas daerah di bawah kurva normal :a. antara z = 0 dan z = 1.2b. antara z = -0.68 dan z = 0c. antara z = 0.81 dan z = 1.94

11. Hitunglah peluang bahwa seseorang yang melemparkan sekeping uang logam setimbangmemperoleha. sisi gambar yang ketiga pada lemparan yang ketujuhb. sisi gambar yang pertama pada lemparan yang keempat

68

beberapa distribusi teoritis

Documents

Transcript of beberapa distribusi teoritis