Beberapa Aplikasi Turunan

1. Koefisien arah Garis Singgung, (Garis Normal, Garis Singgung, Sub-Normal, Sub-Tangen).

2. Limit dengan bentuk taktentu (Dalil L’Hospital)

3. Laju Perubahan

4. Maksima & Minima

Koefisien arah Garis Singgung

Jika turunan pertama dari f(x) pada titik (x0,y0) adalah f’(x0) yang hingga, maka grafik

y=f(x) mempunyai garis singgung di (x0,y0) dgn koefisien arah m=tg=f’(x0).

Pers. garis singgung : y-y0 = m(x-x0)

Jika m=0, garis singgung sejajar sb x

Dengan pers. y = y0

Bila f(x) kontinyu pada x=x0, tetapi f’(x)=, maka f(x) mempunyai garis singgung yang

sejajar sb y x = x0

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 + 4 pada titik (2,4).

y = f (x) = x3 - 2x2 + 4

y’ = f’ (x) = 3x2 – 4x f’ (2) = 3(2)2 – 4(2) = 4

m=4

Pers. Grs singgung : y – 4 = 4(x-2) Atau y = 4x -4

Garis Normal

Y Grs. Singgung f(x) (x0,y0) Grs. Normal X

Jika koefisien arah grs singgung = m maka koefisien arah grs normal = ? Sub-Normal, Sub-Tangen

Y Grs. Singgung f(x) P (x0,y0) Grs. Normal X Q R

SUBTANGEN = QR

SUBNORMAL = RS

Panjang Grs Singgung = PQ

Panjang Grs Normal = PS

m=tg=

PRQR

Panjang Subtangen = QR = |

y0

m |

Panjang Subnormal = RS = |my0|

Dari kurva xy+2x-y=5, tentukan :

pers. grs singgung dan panjangnya

pers. grs Normal dan panjangnya

panjang subnormal

panjang subtangen

Limit dengan bentuk taktentu (Dalil L’Hospital)

Yang dimaksud dengan limit dengan bentuk tak tentu adalah limit dengan bentuk-

bentuk : 0/0, /, 0. , -, 00, 0 dan 1

Untuk menghitung limit dengan bentuk-bentuk tersebut digunakan aturan L’Hospital.

Aturan L’Hospital :

Jika a adalah suatu bilangan, f(x) dan g(x) differensiabel, g(x)0, utk setiap x pada

interval 0<|x-a|<,

Limx→ a

f ( x )=0, Lim

x→ a

g ( x )=0, maka bila

Limx→a

f'( x )g'( x )

=L,

berlaku :

Limx→ a

f ( x )g( x )

=

Limx→a

f'( x )g'( x )

=L,

Contoh :

Hitung : Lim

x→2

x3−8x−2

Limx→2

x3−8x−2

=Limx→2

3x2

1=12

Catatan :

jika Lim

x→a

f( x )=0 dan Lim

x→ a

g ( x )=0 diganti dengan :

Limx→ a

f ( x )=∞ dan Lim

x→a

g ( x )=∞

akan diperoleh bentuk

∞∞ Laju Perubahan (Dalam Fisika)

Jika s=f(t) adalah posisi partikel P yang bergerak sepajang garis lurus, maka :

ΔsΔt menyatakan kec. rata-rata pada periode waktu Δt

v=

dsdt menyatakan kec. sesaat

Jika v>0, maka P bergerak searah dengan naiknya s

Jika v<0, maka P bergerak searah dengan turunnya s

Jika v=0, maka P dalam keadaan berhenti

Percepatan dari P pada waktu t adalah :

a =

dvdt

=

d2s

dt2

Jika a>0 v naik

Jika a<0 v turun

Kelajuan (Speed) bertambah jika v dan a bertanda sama.

Kelajuan (Speed) berkurang jika v dan a berbeda tanda.

Contoh :

Posisi partikel ditunjukkan oleh pers. s=f(t)=t3-6t2+9t (t dlm detik dan s dlm meter).

a. Cari kecepatan pada waktu t

b. Cari kecepatan setelah 2 detik

c. Kapan partikel berhenti

d. kapan partikel bergerak maju ?

Jawab :

a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.

s=f(t)=t3-6t2+9t

v(t) =

dsdt

= 3t2-12t+9

b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2

v(t) =

dsdt

= 3t2-12t+9

v(2) = 3(2)2 - 12(2) + 9 = -3m/dt

c. Partikel berhenti jika v(t)=0

v(t)= 3t2-12t+9=0

3t2-12t+9=3(t2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0

t1=1 dan t2=3

Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3

d. Partikel bergerak maju (dlm arah positif) jika v(t)>0

3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0 Partikel bergerak maju jika t<1 atau t>3 (dari mana ?)

Partikel bergerak mundur jika 1<t<3

Dalam Ekonomi

Misal C(x) adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan untuk menghasilkan x

satuan barang tertentu. Fungsi C disebut sebagai fungsi biaya. Jika banyakya barang yg

dihasilkan bertambah dari x1 menjadi x2, biaya tambahan = ΔC=C(x2)-C(x1).

Laju perubahan rata-rata biaya adalah :

ΔCΔx

=

C (x2

)−C( x1

)

x2

−x1

=C ( x1+Δx )−C ( x1)Δx

=

Limit besaran ini ketika Δx0 disebut laju perubahan sesaat biaya, terhadap banyaknya barang

yang dihasilkan.

Oleh para ekonom disebut dengan biaya marjinal.

Biaya Marjinal = Lim

Δx→0

ΔCΔx

=dCdx

Contoh :

Misal perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang (dlm USD) adalah :

C(x)=10.000+5x+0,01x2

Maka fungsi biaya marjinalnya adalah

dCdx

=

C’(x)=5+0,02x

Biaya marjinal untuk tingkat produksi 500 unit adalah :

C’(500)=5+0,02(500)=USD 15/unit