Basic Mathematics and Solutions

7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions

1/39

LATIHAN

01. Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini !

(a) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A dan B

(2).........BA4

7

(1).........BA2

5

+=

+=

(b) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A dan B

(2)...........BA44

1!

(1)...........BA4

27

+=

+=

(c) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )2

121

1

7&

4

5

2

1

&

+=

+=

(d) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A , B ,

dan "

(!).........."B2A4

(2).........."BA4

7

(1).........."BA4

27

++=

++=+=

(e) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A , B ,

dan "


2/39

"B4A14

1!

"B1*A!24

"B2A4

++=

++=++=

(&) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( ) 42

5

4

1&

4

5

2

1&

2 +=

+=

($) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )2

121

1

7&

42

5

4

1&

2

+=

+=

(h) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )2

121

1

7&

2*

117

2*

5

112

1!&

2

+=

+=

(i) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )4

5

2

1&

2*

117

2*

5

112

1!& 2

+=

+=

(+) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '


3/39

( )

( ) 42

5

4

1&

2*

117

2*

5

112

1!&

2

2

+=

+=

JAWAB 01

(a) in+au sistem persamaan linear '

(2).........BA47

(1).........BA2

5

+=

+=

-liminasi B dari persamaan (1) dan (2) , diper#leh

(!)..........2

1A =

Substitusi nilai A pada persamaan (1) , diper#leh

(4)..........4

5B=

(b) in+au sistem persamaan linear '

(2)...........BA44

1!

(1)...........BA4

27

+=

+=

-liminasi B dari persamaan (1) dan (2) , diper#leh


4/39

(!)..........1

7A =

Substitusi nilai A pada persamaan (1) , diper#leh

(4)..........2

121B=

(c) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )2

121

1

7&

4

5

2

1&

+=

+=

isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( , maka

( ) ( )

( )2

121

1

7

4

5

2

1/,"

2

121

1

7&0

4

5

2

1&

"""" +=+

+=+=

( )

4

2

25

2

121

1

7

1

5

2

121

1

7

4

5

2

1/,"

"

"

""""

==

+

+=+

( ) ( )4

1!/

4

54

2

14&/ "" =+==

aka k#rdinat titik " ( )"" /,( , adalah


5/39


6/39


7/39

( )

( ) 42

5

4

1&

4

5

2

1&

2 +=

+=

Secara umum titik p#t#n$ dari &un$si linear dan &un$si kuadrat adalah dua buah

titik p#t#n$. isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( dan

( ) /,( , maka

( ) ( )

( ) ( )

4

11(!(

4

1

4(2

5(

4

1

4

5(

2

1

/,(,/,("

4(2

5(

4

1(&0

4

5(

2

1(&

",2

",

",2

",",

""

2

+=

+=+

+=+=

( ) ( )

11(01(4

12

4

11

4

14!!

(

"

2

",

==

=

aka k#rdinat titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , adalah

"

4

7,1 dan

4

27,11

($) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )2

121

1

7&

42

5

4

1&

2

+=

+=


8/39



( ) /,( , maka

( ) ( )

( ) ( )

2

41(

5

(

4

1

4(2

5(

4

1

2

121(

1

7

/,(,/,("

4(2

5(

4

1(&0

2

121(

1

7(&

",2

",

",2

",",

""

2

=

+=+

+=+=

5

41(01(

4

12

2

41

4

14

5

5

(

"

2

",

==

=


"

4

27,1 dan

1

!1,

5

41

(h) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )2

121

1

7&

2*

117

2*

5

112

1!&

2

+=+=



( ) /,( , maka


9/39

( ) ( )

( ) ( )

!5

!5*

14

42!

112

1!

2*

117

2*

5

112

1!

2

121

1

7

/,,/,"

2*117

2*5

1121!&0

2121

17&

",2

",

",2

",",

""

2

+=

+=+

+=+=

)5

14!2(04(

112

1!2

14

2!

14

42!

(

112

1!2

!5

!5*

112

1!4

14

42!

14

42!

(

"

",

2

",

==

=

=


"

4

1!,4 dan

1!

121*!,

5

14!2

(i) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( )4

5

2

1&

2*

117

2*

5

112

1!& 2

+=

+=


10/39



( ) /,( , maka

( ) ( )

( ) ( )

7!*

2*51

1121!

2*

117

2*

5

112

1!

4

5

2

1

/,,/,"

2*

117

2*

5

112

1!&0

4

5

2

1&

",2

",

",2

",",

""

2

+=

+=+

+=+=

1!

152(04(

112

1!2

2*

25

2*

51

(

112

1!2

7

!*

112

1!4

2*

51

2*

51

(

"

",

2

",

==

=

=


" 41!,4 dan 52

!,1!152

(+) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '

( )

( ) 425

41&

2*

117

2*

5

112

1!&

2

2

+=

+=


11/39

Secara umum titik p#t#n$ dari &un$si kuadrat dan &un$si kuadrat adalah dua buah

titik p#t#n$. isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , maka

( )

( )

( ) ( )

2*

22(

2*

1!5(

112

41

2*

117(

2*

)5(

112

1!

4(2

5(

4

1

/,(,/,("

2*

117(

2*

)5(

112

1!(&

04(2

5(4

1(&

",2

",

",2

",

",2

",

""

2

2

+=

+=

+

+=

+=

41

45*(02(

112

412

2*

4

2*

1!5

(

112

412

2*

22

112

414

2*

1!5

2*

1!5

(

"

",

2

",

==

=

=


" ( ),2 dan

1*1

1222,

41

45*


12/39

02. 3erhatikan $ambar 1 di baah ini '

x

y = f(x)

F

B

G

K2L

2

L1

H

I

gambar 01

A

C

D

J

K1

K

L

!

"

#

$


13/39

K%&%ra'ga' gambar

ur%a &un$si linear, 61, meleati titik titik A, B, , 8, , dan . itik

titik Adan B berturut turut adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear, 61, den$an

sumbu dan & (). ur%a &un$si linear, 61 , berp#t#n$an den$an kur%a &un$si

kuadrat, 1, di titik titik dan , dan berp#t#n$an +u$a den$an kur%a &un$si

kuadrat, 2, di titik titik 8 dan . ur%a &un$si linear, 62, meleati titik titik

, -, 8, 9, dan :. itik titik -dan : berturut turut adalah titik p#t#n$ kur%a

&un$si linear, 62 , den$an sumbu dan & () . ur%a &un$si kuadrat, 1 ,

meleati titik titik , ", , ;,


14/39

(h) "ari &un$si linear, 62

(i) "ari k#rdinat titik - ( )-/,

(+) "ari k#rdinat titik : ( ),:

(k) "ari k#rdinat titik 9 ( )99 /,(

(l) "ari &un$si kuadrat, 2

(m) "ari k#rdinat titik ( ) /,(

JAWAB 02

(a) encari &un$si kuadrat, 1.

9nrmasi /an$ dibutuhkan adalah k#rdinat titik titik

4

27,1 ,

47,1 , dan ; ( ),2 , /an$ berada pada kur%a

iketahui bentuk umum &un$si kuadrat '

( ) bmt&' 21 ++=

arena titik titik , , dan ;, berada pada kur%a atau dileati kur%a 1,

artin/a '

( )

( ) bm2t4,2;

bmt4

7

4

7,1

bmt4

27

4

27,1

bmt&' 2

1

++=

++=

+=

++=


15/39

:adi kita mendapatkan buah persamaan linear den$an buah %ariabel /aitu t ,

m , dan b. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh

4b02

5m04

1t ===

sehin$$a, &un$si kuadrat, 1, berbentuk

( ) 42

5

4

1&'

21 +=

(b) encari k#rdinat titik " ( )"/,

itik " adalah titik p#t#n$ kur%a kuadrat , 1, den$an sumbu & () , maka

( )

( ) 4//,"

42

5

4

1&'

""

21

=

+=

aka k#rdinat titik " adalah

" ( )4,

(c) encari k#rdinat titik < ( ),(<

itik


16/39


17/39

arena titik titik A

,

4

1 dan

4

7,1 , /an$ berada pada kur%a

&un$si linear, 61 , artin/a '

( )

na4

7

4

7,1

na4

1,

4

1A

na&'61

+=

+=

+=

:adi kita mendapatkan 2 buah persamaan linear den$an 2 buah %ariabel /aitu a

dan n. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh

4

5n0

2

1a ==

sehin$$a, &un$si linear, 61, berbentuk

( )45

21&'61 +=

(e) "ari k#rdinat titik B ( )B/,

itik B adalah titik p#t#n$ &un$si linear, 61, den$an sumbu & () , maka

( )

( )4

5//,B

4

5

2

1&'6

BB

1

=

+=


18/39

aka k#rdinat titik B adalah

B

4

5,

(&) "ari k#rdinat titik ( ).. /,(

itik adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear, 61, den$an kur%a &un$si

kuadrat , 1, maka

( ) ( ) 42

5

4

1&'0

4

5

2

1&'6

211 +=+=

( ) ( )

( )

( )

42

5

4

1

4

5

2

1

45

21//,

42

5

4

1//,

42

5

4

1&'0

4

5

2

1&'6

2

2

211

+=+

+=

+=

+=+=

aka k#rdinat titik adalah

4

27,11

($) embuktikan baha titik 8

4

1!,4 dileati #leh kur%a &un$si linear, 61

in+au &un$si linear, 61


19/39

( )

( )

4

1!

4

1!

4

5

24

1!

4

54

2

1

4

1!

4

1!,48

4

5

2

1&'61

=

+=

+=

+=

arena diper#leh ruas kiri sama den$an ruas kanan, maka titik 8

4

1!,4

dileati #leh kur%a &un$si linear, 61

(h) "ari &un$si linear, 62

9nrmasi /an$ dibutuhkan adalah k#rdinat titik titik

4

27,1 dan 8

4

1!,4 , /an$ berada pada kur%a &un$si linear, 62

iketahui bentuk umum &un$si &un$si linear, 62 '

( ) r(p(&'62 +=

arena titik titik

4

27

,1 dan 8

4

1!

,4 , /an$ berada pada kur%a

&un$si linear, 62 , artin/a '

( )

rp4

4

1!

4

1!,48

rp4

27

4

27,1

rp&'62

+=

+=

+=


20/39

:adi kita mendapatkan 2 buah persamaan linear den$an 2 buah %ariabel /aitu a

dan n. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh

2

121r01

7p ==

sehin$$a, &un$si linear, 62, berbentuk

( )2

121

1

7&'62 +=

(i) "ari k#rdinat titik - ( )-/,

itik - adalah titik p#t#n$ &un$si linear, 62, den$an sumbu & () , maka

( )

( )2

121//,-

2

121

1

7&'6

--

2

=

+=

aka k#rdinat titik - adalah

-

2

121,

(+) encari k#rdinat titik : ( ),:

itik : adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear , 62, den$an sumbu , maka


21/39

( )

( )

14

121

2

121

1

7,:

2

121

1

7&'6

:

::

2

=

+=

+=

aka k#rdinat titik : adalah

:

,14

121

(k) "ari k#rdinat titik 9 ( )99 /,(

itik 9 adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear, 62, den$an kur%a &un$si kuadrat ,

1, maka

( ) ( ) 42

5

4

1&'0

2

121

1

7&'6

212 +=+=

( ) ( )

( )

( )

42

5

4

1

2

121

1

7

2

121

1

7//,

42

5

4

1//,

42

5

4

1&'0

2

121

1

7&'6

92

99

9999

9

2

9999

212

+=+

+=

+=

+=+=

aka k#rdinat titik 9 adalah

9

1!1,

541


22/39

(l) encari &un$si kuadrat, 2

9nrmasi /an$ dibutuhkan adalah k#rdinat titik titik ; ( ),2 , 3 ( ),1* ,

dan 8

4

1!,4 , /an$ berada pada kur%a

iketahui bentuk umum &un$si kuadrat '

( ) edc&' 22 ++=

arena titik titik ;, 3, dan 8, berada pada kur%a atau dileati kur%a 2,

artin/a '

( )

( )

( )

ed4c14

1!

4

1!,48

ed1*c!24,1*3

ed2c4,2;

edc&' 2

2

++=

++=

++= ++=

:adi kita mendapatkan buah persamaan linear den$an buah %ariabel /aitu

c , d , dan e. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh

2*

117e0

2*

5d0

112

1!c ===

sehin$$a, &un$si kuadrat, 2, berbentuk

( )2*

117

2*

5

112

1!&'

22 +=


23/39

(m) "ari k#rdinat titik ( ) /,(

itik adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si kuadrat, 2, den$an kur%a &un$si

kuadrat , 1, maka

( )

( )

( )

( )

42

5

4

1

2*

117

2*

5

112

1!

2*

117

2*

5

112

1!//,

42

5

4

1//,

42

5

4

1&'

02*

117

2*

5

112

1!&'

2

2

2

2

21

22

+=+

+=

+=

+=

+=

aka k#rdinat titik adalah

1*1

1222,

41

45*

0. Selesaikan pertidaksamaan berikut ini dan cari himpunan pen/elesaiann/a !

(a)( ) ( )

realbilan$an05

1!

+

(b)( ) ( )

( ) ( ) realbilan$an04

5

1!4

++

(c) realbilan$an0*

42

5

4

1

!2

2

+

(d) realbilan$an0112

2*

117

2*

5

112

1!

!512

2

+


24/39

JAWAB 0

(a) en/elesaikan pertidaksamaan '

( ) ( )realbilan$an0

5

1!

+

( ) ( )

5

1!

+

( )

5

5!22

( )

5

1!

Buat $aris bilan$an

aka himpunan pen/elesaian untuk pertidaksamaan di atas adalah

realbilan$an051 >

atau

{ }realbilan$an051=

1 *

++

gambar 02


25/39

(b) en/elesaikan pertidaksamaan '

( ) ( )


5

1!4

++

( ) ( )

( ) ( ) 4

5

1!4

++

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

5

541!4

+

++

( )( ) ( )

)(5(

!(! +

Buat $aris bilan$an


realbilan$an0!5


26/39

(c) en/elesaikan pertidaksamaan '

realbilan$an0*

42

5

4

1

!2

2

+

( )

( ) ( )

*(2(4

1

1((2

Buat $aris bilan$an


realbilan$an01*2


27/39

realbilan$an0112

2*

117

2*

5

112

1!

!512

2

+

( ) ( )112

1*2112

1!

!512

( )

( ) ( )

1*(2(

112

1!

(1! 2

( ) ( )

( ) ( )

1*(2(112

1!

!(!(1!

+

Buat $aris bilan$an


realbilan$an0!2!


28/39

{ }realbilan$an0!2!


29/39

5"t# =

4=t# =

!28t# +=

2t#

=516t# =

:ika temperatur benda tersebut menurut term#meter 6 adalah 45#6 , maka

5

5154516t#

===

aka temperatur benda menurut term#meter '

( ) "25555"t ## ===

( ) =2544=t ## ===

( ) 877!25!28t ## =+=+=

( ) 1252t ## ===

t#()

5

25

t#"

t#=

2

2

77

t#8t#6

45

2 5

1

t#gambar 0/


30/39


31/39

K%&%ra'ga' gambar

ita mulai den$an men$$ambar

( ) ( ) realbilan$an(0(1)

>2

c#s!(&1

=

emudian kita men$$ambar


>2c#s!)(& 2

+=

ur&a & 2() diper#leh den$an men$$eser kur%a & 1() se+auh ke baah



>2c#s!)(&

+=

ur&a & () diper#leh den$an men$$eser kur%a & 2() ke kanan sebesar 4.

& 2()

& ()

12

1*4 12 2 24


32/39

(b) en$$ambar kur%a '

( ) realbilan$an(0)

5(

5

!>sin2)(&

+=

K%&%ra'ga' gambar

ita mulai den$an men$$ambar

& 1()& 2()

gambar 10

& ()

& ()

2

2

4

*

1?5?5? 15? 25? ?


33/39


!

1

>2sin2&1

=



!

1

>2sin2& 2

=

ur&a & 2() diper#leh den$an membalik kur%a & 1().



!

1

>2sin2&!

=

ur&a & () diper#leh den$an men$$eser kur%a & 2() ke baah sebesar .


( ) realbilan$an0

5

!

1

>2c#s2&

+

=

ur&a & () diper#leh den$an men$$eser kur%a & () ke kiri sebesar 5?.


34/39

0,. er+akan /an$ diperintahkan

(a) 3erhatikan $ambar berikut ini !

eteran$an ;ambar

iketahui se$iti$a siku siku 3 /an$

sudut siku sikun/a di titik . Sudut @

adalah siku siku.

3

@

gambar 12

gambar 11

& ()& ()

*

4

2

2

& ()

1?5?5? 15? 25? ?


35/39


36/39

(( )

(( )

( )

( )

=

==

====

21

72

7521

75

72

3tan

75

21

3

c#s0

75

72

3

3sin

( ) ( )

( )( )

=

==

====

72

21

75

72

75

21

3

tan

75

72

3

3c#s0

75

21

3

sin

4. encari @

( ) ( ) ( )

( )25

54@

75

7221sin@

=

==

5. encari @

( ) ( ) ( )

( )25

441@

75

2121c#s@

=

==

. encari @3

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )25

14!4@3

@325

44175

@3@3

=

+

=

+=


37/39

5. encari 3

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )37

1127

37

4327

4

7

3033

=

+=

=+=

aka

( )11

543 =

7. encari luas se$iti$a @3

6uas se$iti$a @3 C ( ) ( )( )sin3@32

1

6uas se$iti$a @3 C

75

21

11

54

5

14!4

6uas se$iti$a @3 C **,7!5 Dsatuan luasE

(b) 3erhatikan $ambar 1 ! ahap tahap pen$er+aan '

(1) ;unakan identitas tri$#n#metri untuk se$iti$a 3

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )4

3!tan

3

3tan

#

+=

+==

(2) ;unakan identitas tri$#n#metri untuk se$iti$a 3


38/39

( )( )

( )

( )( ) ( )3tan

3tan

3tan

#

#

=

=

=

() ;abun$kan lan$kah (1) dan (2) untuk mendapatkan

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )4

tan!tan

tan

3tan

##

#

+=

+==

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 2.

2

14

!

1!

!

1

4.

!tan)tan

!tan4.

##

#

=

=

=

=

(4) encari 3

( ) ( )( ) !23

tan3 #

=

=

(5) encari luas se$iti$a 3

6uas se$iti$a 3 C ( ) ( )32

1

6uas se$iti$a 3 C ( )( )!222

1


39/39

6uas se$iti$a 3 C !2 Dsatuan luasE

Basic Mathematics and Solutions

Documents

Transcript of Basic Mathematics and Solutions