Barisan dan Deret

1. Diketahui barisan ,.......77,80,8421 Suku ke-n akan menjadi 0 bila n = …..

Jawab :

25))(1(840

)1(

27 =⇔−−+=

−+=nn

bnaUn

2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5

Jawab :

7800)295105()(

395).1(105295)1(

295......115110105

239

3921 =+=⇒+=

=⇔−+=⇒−+=++++

SUanS

nnbnaU

nn

n

3. Jika k + 1, k – 1, k – 5 membentuk barisan geometri, maka tentukan harga k !

Jawab :

31

5

1

1 −=⇔−−=

+−

kk

k

k

k

4. Jika suku pertama deret geometri adalah 03 >mdenganm , sedangkan suku ke-5 adalah 2m , maka tentukan suku ke-21 !

Jawab :

( ) 3 2885

5432021

244324

51

32

35

31

35

31

..

.

mmmmmrmarU

mm

mrrmmarUarU n

n

==

===

==⇔=⇔=⇒= −

5. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, …. Disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk !

Jawab :

84)3.63.2())1(2(

314

15

1'

27

72=+=⇒−+=

=+

=+

=

SbnaSk

bb

nn

6. Tentukan batas-batas x agar deret .......)1(log)1(log)1log( 32222 ++++++ xxx merupakan deret konvergen

Jawab :Deret konvergen (deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah) mempunyai syarat 11 <<− r

1

121

1)1log(11)1log(

)1(log1

21

21

22

22

<<−⇔<+<

<+<−⇔<++<−

xx

xx

x

7. Tentukan jumlah deret ........30tan30tan30tan1 642 +−+−

Jawab :

4

3

1

1

)30tan(1

1

1 312

=+

=−−

=−

=∞ r

aS

8. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Pantulan bola setinggi 2/3 tinggi bola sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola itu berhenti !

Jawab :

523

23.1.

:

51.21.21

.....1

32

32

94

94

32

32

=−+=

−+=

=−

+=+=

+++++

∞

nm

nmaS

rumusnmenggunakaAtau

SS

Dimana m dan n perbandingan rasio yaitu m

n

9. Diketahui 1+3+5+…….. Jika 225=nS maka tentukan nU !

Jawab :

292.141)1(

15)2)1(1.2(225

))1(2(

15

2

2

=+=⇒−+==⇔−+=

−+=

UbnaU

nn

bnaS

n

n

nn

10. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah )1(4 2 +nn maka tentukan 3U !

Jawab :96)12(2.4)13(3.4 22

2331 =+−+=−=⇒−= − SSUSSU nnn

11. Jumlah n suku pertama deret aritmetika di tentukan dengan rumus .62 2 nnSn −= Tentukan bedanya !

Jawab :

42.262

222

2

==⇒−=

=⇒−+=⇒++=

bnnS

ababanUcbnanS

n

nn

12. Suku ke-n suatu deret aritmetika adalah 53 −= nUn . Tentukan rumus jumlah n suku pertama !

2

Jawab :

)73()532()(

251.3

222

1

−=−+−=+=−=−==

nnUaS

Uann

nn

n

13. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh )195(2 −= nS nn . Tentukan

bedanya !

Jawab :5.2

25

2192

25 ==⇒−= bnnSn

14. Jika suku pertama suatu deret aritmetika adalah 5, suku terakhir adalah 23 dan selisih suku ke-8 dengan suku ke-3 adalah 10. Tentukan banyak suku !

Jawab :

102)1(523

)1(

2105)2(738

=⇔−+=−+=

=⇔==+−+=−

nn

bnaU

bbbabaUU

n

15.Dari deret aritmetika diketahui 20151296 =+++ UUUU . Tentukan 20S !

Jawab :

10010.10)192(

1019220384

20141185

220

20 ==+==+⇔=+

=+++++++

baS

baba

babababa

16. Pada barisan aritmetika diketahui 2314,8 42 === nUdanUU . Tentukan banyak sukunya

Jawab :

7233).1(523

35143

8

=⇔=−+⇒=

==⇒

=+=+

nnU

bdanaba

ba

n

17. Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasilkalinya 1536, maka tentukan bilangan terbesarnya !

Jawab :Misal ketiga bilangan itu adalah x – b, x , x + b

4128144

1536)12.(12).12(

1236

2 ±=⇔=−

=+−=⇔=+++−

bb

bb

xbxxbx

Jadi bilangan terbesarnya adalah x + b = 12 + 4 = 16

18. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka tentukan selisih bilangan terbesar dan terkecil !

Jawab :

3

41614225161)215)(215(

1575222 ±=⇔=−⇔=+−

=⇔=+++++−+−

bbbb

xbxbxxbxbx

Jadi selisih bilangan terbesar – bilangan terkecil =(15+2.4)-(15-2.4)=16

19. Pada barisan aritmetika suku-suku positif diketahui 1024 321321 −==++ UUdanUUU .

Tentukan 4U

Jawab :

201823

6282

0)2)(3(10)8.(2

1028

10210

8242

4

2

2

23

21

=+=+==−=⇒=

=−+⇔−−+=−+=−=

−+=⇒−=

−=⇔=++++

baU

ba

aaaaa

baakeabSubstitusi

baaUU

abbabaa

20. Tentukan penyelesaian yang bulat dari persamaan 116

115

2......642

)12(......531 =++++

−++++n

n

Jawab :

115116

115

1116

115

)22(

)121(

2

2 =⇒=+

⇔=+

−+n

n

n

n

nn

n

21. Seorang petani mencatat hasil panennya selama 11 hari. Jika hasil panen hari pertama 15 kg dan mengalami kenaikan tetap sebesar 2 kg setiap hari, maka tentukan jumlah hasil panen yang dicatat !

Jawab :275)2.1015.2(2

1111 =+=S kg

22. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupakan suatu garis lurus. Jika produksi pada tahun pertama 110 unit dan pada tahun ketiga 150 unit maka tentukan produksi pada tahun ke-15 !

Jawab :

unitU

bbU

39020.14110

201502110150

15

3

=+==⇔=+⇔=

23. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka tentukan jumlah usia enam anak tersebut !

Jawab :

4

tahunS

bdanaba

ba

5,49)5,2.52.2(

5,22124

72

26

6 =+=

==⇒

=+=+

24. Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-3, maka hasil kali suku ke-1, suku ke-2 , suku ke-4 dan suku ke-5 adalah 324. Tentukan jumlah 8 suku pertamanya !

Jawab :

4))3.(710.2(103

68)3.7)2.(2(23

3324)2)()()(2(

324))2(4))(2(3))(2())(2((

)1.(..........4220)42(20

28

8

28

8

25

5

−=−+=⇒=⇒−=

=+−=⇒−=⇒=±=⇔=−−

=+−++−++−++−=+⇔=+⇒=

Sab

Sab

bbbbb

bababababababaa

babaS

25. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan keempat 30 ribu rupiah dan sampai bulan kedelapan 172 ribu rupiah, maka tentukan keuntungan sampai bulan ke-18 !

Jawab :

000.017.1)000.7.17)000.3.(2(

000.7000.3000.4372

000.1532

000.4372000.172)72(

000.1532000.30)32(

218

18

28

8

24

4

=+−=

=−=⇒

=+=+

=+⇔=+=

=+⇔=+=

S

bdanaba

ba

babaS

babaS

26. Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka tentukan sisi siku-siku yang terpendek !

Jawab :Misal sisi-sisinya 40, 40 – b, 40 – 2b

248.2408

40

0)40)(8()240()40(40 222

=−=⇒==

=−−⇔−+−=

terpendekyangsisib

mungkintidakb

bbbb

27. Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 100.000 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp 5.000 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka tentukan jumlah uang yang diterima si bungsu !

Jawab :Misal masing-masing menerima x, x – 5000, x – 10000, x – 15000x + x – 5000 + x – 10000 + x – 15000 = 100000x = 32500Maka uang yang diterima si bungsu = x – 15000 = 32500 – 15000 = 17500

28. Tentukan jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 !

5

Jawab :252, 259, 266, ………., 994994 = 252 + (n – 1).7 atau n = 107

661.66)994252(2107

107 =+=S

29. Jumlah n bilangan positif genap yang pertama adalah 306. Tentukan jumlah 5 bilangan terakhir !

Jawab :

156)12.22(

17

18

0)17)(18()22(306

3062........642

212

12

2

=+==

−==−+⇔+=

=++++

S

n

mungkintidakn

nnn

nn

Jadi jumlah 5 bilangan terakhir = 306 – 156 = 150

30. Jika a + 2, a – 1, a – 7 membentuk barisan geometri, maka tentukan rasionya !

Jawab :

225

15

2

1

51

7

2

1

=+−−−=

+−=

−=⇒−−=

+−

a

ar

aa

a

a

a

31. Jika tiga bilangan q, s dan t membentuk barisan geometri, maka tentukan tsq

sq

+−−2

Jawab :

ts

s

tsts

tss

tsq

sq

t

sq

s

t

q

s

ttst

ts

tst

ts

−=

−−−=

−−

=+−

−

=⇔=

+ ))((

)(

222

2

2

2

32. Jika jumlah n suku deret geometri yang rasionya r adalah nS maka tentukan n

n

S

S

3

6

Jawab :

11

)1)(1(

)1(

1.

1

)1( 33

33

3

6

3

6 +=−

+−=−

−−

−= nn

nn

n

n

n

n rr

rr

ra

r

r

ra

S

S

33.Dari deret geometri diketahui p

UUdanpUU1

.: 8264 == maka tentukan 1U

Jawab :

ppapa

ppararaararUU

prp

rar

ar

U

U

=⇔=

=====

=⇒===

32

4242282782

225

3

6

4

1)1()(..

11

6

34. Jumlah 5 suku pertama sebuah deret geometri adalah –33. Jika nilai pembandingnya adalah –2 maka tentukan jumlah suku ke-3 dan ke-4 !

Jawab :

12)2)(3()2)(3(

3)2(1

))2(1(33

323243

5

=−−+−−=+=+

−=⇔−−−−=−

ararUU

aa

35. Dari barisan 4 buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama = 0 dan kuadrat bilangan pertama = -2/3 kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya, maka tentukan bilangan yang keempat !

Jawab :

3

4).(33

0

0)23(

04230423)2(

0)22(0

32

32

4

32

32

22322

23

3

−=−+=+=

−=⇒==

=−=−+⇒=++⇔+−=

−=⇔=+⇒=

baU

ba

mungkintidaka

aa

aaabaabaa

abbaS

36. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2, maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut !

Jawab :Misal p, q, r membentuk barisan aritmetika maka :

:2,2,

)1..(..........2

makageometribarisanmerupakanrqp

rpqqrpq

+−

+=⇔−=−

( ) ( )

( )

8614

142

2262226.46

0)6)(23(42

424

22422

:)2()3()1(

)3......(..........2442

)2...(..........222

22

22

2

2

=−=−=

=+=⇒=−=⇒=

=−−⇔=

−−+

+−=

−+

−=⇔=+

+=−⇔−+=−

pqb

qrp

ppppp

pprp

sehinggakedanSubstitusi

prpr

rpqq

r

p

q

37. Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu. Setiap 24 jam masing-masing virus membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka tentukan banyaknya virus pada hari ke-6 !

Jawab :

7

96 jam = hari ke-4 dibunuh 4

1 jumlah virus. Berarti tersisa

4

3 jumlah virus.

1922.48.48

482.8.22

6

343

4

===

==

rU

U

38.Diketahui p dan q akar-akar persamaan 02 2 =++ axx . Jika p, q dan 2

pq merupakan

barisan geometri, maka tentukan a !

Jawab :

12

1).1.(22

2

2

1

2

)1(10)1(

2.2

1

22

1

22

22

2

222

2

−=−==⇔=

=−=⇒−=⇒=+

−=+⇒−=+⇒−=+

=⇔=⇔=

pqaa

pq

qpp

ppqp

a

bqp

pq

qpq

q

q

ppq

39.Diketahui 21 xdanx akar-akar positif persamaan kuadrat 02 =++ baxx . Jika 21,,12 xx membentuk barisan aritmetika dan 4,, 21 xx membentuk barisan geometri,

maka tentukan diskriminan persamaan kuadrat tersebut !

Jawab :

954.4)15(4

546.91

15691

96

0)4)(6(42

12

4

4

2

1212

22

21

21

12

22

222

22

121

2

21121

=−−=−=

=⇔=⇒=

−=⇔−=+⇒−=+

=⇒=

=+−⇔=+

=⇔=

+=⇔−=−

baD

bbb

xx

aaa

xx

xx

xxxx

xx

xx

x

xxxxx

40.Diketahui deret geometri ........321 +++ aaa . Jika 3log62log4loglogloglog162 54326 +=+++= aaaadana maka tentukan 3a !

8

Jawab :

( ) ( )

63.

3

2

3

162

333.2.162

:3.2162

3.23.2loglog

162162162

2322

3

5

101064104

5

641045

64104645432

55

6

===

==

=⇔=⇔=

==

=⇒=

=⇔=⇔=

ara

a

rrrr

sehinggaraker

aSubstitusi

raaaaa

raara

41. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret ........1

log1

log1

log32

+++xxx

aaa

Jawab :

( ) xxxxS

xxxxx

b

aaaax

a

aaaaa

log55log9log25))log.(9log.2(

logloglog21

log1

log

1210

10

2

−=−−=−+=

=−+−=−=

42. Agar deret ( ) .,.........1

1,1,1

−−

xxxx

xjumlahnya mempunyai limit, maka tentukan nilai

x !

Jawab :

200)1(

)2(0

12

12

12

1

112

11

1

11

1

11

:11

1

1

22

2

2

2

1

1

><⇒>−−⇔<

+−+−−

+−

<+−

⇒<−

⇔<−

<−

<<−−

==−

xatauxx

xx

xx

xx

xx

xxxx

sehinggarSyarat

xr

xxx

43. Suku-suku barisan geometri tak hingga positif, jumlah 2045 4321 =+=+ UUdanUU . Tentukan jumlah suku-suku barisan itu !

Jawab :

811

27

1

274545.3

22045

45.45

32

32

23243

232221

=−

=−

=

=⇔=+⇒=+

=⇒==+=+

=+⇒=+=+

∞ r

aS

aaaraa

rrararUU

rararraraUU

9

44. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1, sedang jumlah suku-suku yang bernomor ganjil = 2, maka tentukan jumlah deret dengan rasio yang positif !

Jawab :

221

12

12

1

12.........

2

1

2531

+=−

=

=⇒=−

⇒=+++

∞S

rr

UUU

45. Jika 20 π<< x maka .............cossincossincossin 5533 =++++++ xxxxxx

Jawab :

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

xS

22

33

2222 cossin

cossin

sin

cos

cos

sin

cos1

cos

sin1

sin +=+=−

+−

=∞

10