BarisandanDeret

Hand out Matematika Bisnis 17

V. BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan

tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-

suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan

tertentu.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,

maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya

b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut

barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya

b. 80, 40, 20, 10, 5, 2, ............ dikalikan dari suku di depannya

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmatika

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an

a1 = 2 = a

a2 = 5 = 2 + 3 = a + b

a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

an = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

b)1n(aa 1n -+= atau b)1n(aS 1n -+= dimana:

Sn = an = Suku ke-n

a1 = suku pertama

b = beda antar suku

n = banyaknya suku

Latihan:

1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................

2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku

pertama dan bedanya !


3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-

11 = 23

Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Misal: Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...........+ (Sn 2b) + (Sn b) + Sn

Dn = Sn + (Sn - b) + (Sn 2b) + ......+ (a + 2b) + (a + b) + a + 2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ................... sebanyak n

2 Dn = n(a + Sn)

)Sa(2n

D nn += atau

)b 1)-(n aa(2n

Dn ++=

)b 1)-(n a2(2n

Dn += dimana

Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)

Latihan:

1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, .........

2. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan

suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3

an = arn-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

1n

n ara-= dimana:

an = suku ke-n (Sn)

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku


Latihan:

1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya

adalah 2.

2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan

suku ke-9 adalah 768

Deret Geometri (Deret Ukur)

Misal: Dn = a + ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1

r Dn = ar + ar2 + ar3 + ............ + arn-1 + arn - Dn - rDn = a - arn

(1-r)Dn = a (1-rn)

)r1()r1(a

Dn

n --

= dimana:

Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)

Latihan:

1. Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri: 3, 6,

12, 24, ........

2. Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari suatu deret ukur masing-masing adalah 800

dan 204.800, berapakah suku pertama (a), rasio (r), suku ke-5 (S5) dan jumlah 5

suku pertama (D5) ?

6. PENERAPAN BARISAN DAN DERET

A. Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (misalnya:

produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, penanaman modal) berpola seperti

barisan aritmetika, maka prinsip-prinsip barisan aritmetika dapat digunakan untuk

menganalisa perkembangan variabel tersebut. Berpola seperti barisan aritmetika

maksudnya bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode

ke periode berikutnya.

Soal latihan:

1. Perusahaan genteng nglames menghasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama

produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas,

perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika

perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada

bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?


2. Besar penerimaan PT ABC dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun

kelima dan Rp 980 pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan hasil penjualan tersebut

berpola seperti barisan aritmetika, berapa perkembangan penerimaannya per tahun ?

Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa

penerimaannya sebesar Rp 460 juta ?

3. Pabrik sepatu jempol memproduksi 10.000 pasang sepatu pada tahun pertama

operasinya. Namun karena situasi perekonomian yang tidak menguntungkan,

produksinya terus menyusut 500 pasang setiap tahun. Berapa produksinya:

a. pada tahun keempat ?

b. pada tahun kelima belas ?

c. Berapa yang telah diproduksi sampai dengan tahun kesepuluh ?

4. Pabrik kecap XYZ memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya.

Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurun

secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol.

a. Berapa botol penurunan produksinya per tahun ?

b. Pada tahun keberapa pabrik kecap XYZ ini tidak berproduksi lagi (tutup) ?

c. Berapa botol kecap yang dihasilkan selama operasinya ?

5. Seorang pedagang memperoleh laba sebesar Rp 700 ribu pada bulan kelima kegiatan

usahanya. Sedangkan jumlah seluruh laba yang diperoleh selama tujuh bulan pertama

sebanyak sebanyak Rp 4.620 ribu. Hitunglah:

a. Laba yang diperoleh pada bulan pertama dan peningkatan labanya per bulan !

b. Laba pada bulan kesepuluh !

c. Jumlah laba selama setahun pertama dari kegiatan usahanya !

6. Jumlah hasil produksi sebuah perusahaan selama 5 tahun pertama operasinya sebanyak

3.000 unit, pada tahun ke-6 perusahaan tersebut tutup. Hitunglah produksi pada tahun

pertama dan prosentase kenaikan atau penurunan produksinya !

7. Perusahaan X memulai produksinya dengan 1.000 unit, dan berkurang 100 unit setiap

bulannya. Sedangkan perusahaan Y mengawali produksinya dengan 500 unit,

meningkat 25 unit setiap tahun.

a. Pada tahun keberapa produksi mereka sama jumlahnya ?

b. Kapan perusahaan X akan memproduksi sebanyak 0 ?

c. Berapa produksi perusahaan Y pada tahun tersebut ?

B. Model Pertumbuhan Penduduk

Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam

hal penghitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus,

penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.


Pn = Prn-1

Dimana :

P : populasi penduduk pada tahun basis (tahun pertama / ke-1)

Pn : populasi penduduk pada tahun ke-n

r : (1+ persentase pertumbuhan penduduk per tahun)

n : jumlah penduduk

Contoh soal:

1. Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1975, tingkat

pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada

tahun 1984 dan tahun 2000 !

2. Penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa pada tahun 1980. Berapa jumlah penduduk

pada tahun 1990 dan 2000, jika tingkat pertumbuhannya 3% per tahun ?

3. Penduduk sebuah kota tercatat 2,5 juta jiwa pada tahun 1982, dan diperkirakan

menjadi 3 juta jiwa pada tahun 1986. Jika tahun 1980 dianggap merupakan tahun basis

a. Berapa persen tingkat pertumbuhannya ?

b. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1980 ?

c. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1991 ?

d. pada tahun berapa penduduknya berjumlah 5 jut a jiwa ?

C. Bunga Majemuk

Penghitungan bunga majemuk merupakan penerapan dari deret geometri. Misal

suatu modal sebesar Rp 1.000,- (P) dibungakan secara majemuk dengan suku bunga 10%

per tahun (i) , maka besarnya modal tersebut di masa datang (F) dapat dihitung sebagai

berikut:

setelah 1 tahun: F1 = 1000 + (1000 X 0,10) = 1100

F1 = P + Pi = P(1 + i)

setelah 2 tahun: F2 = 1100 + (1100 X 0,10) = 1210

F2 = (P + Pi) + (P + Pi) i = P + Pi + Pi + Pi2

= P + 2 Pi + Pi2 = P (1 + 2i + i2)

= P (1 + i)2

setelah 3 tahun: F3 = P (1 + i)3

setelah n tahun: Fn = P (1 + i)n

dengan demikian nilai di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah:

n

n )i1(PF += Dimana: Fn = nilai uang di masa depan


P = nilai uang sekarang

i = suku bunga per tahun

n = jumlah tahun

Apabila bunga dibayarkan lebih dari satu kali (misalkan m kali) dalam satu tahun maka

rumus nilai di masa depan menjadi:

nmn )m

i1(PF +=

m = frekuensi pembayaran dalam setahun.

Secara matematis rumus di atas dapat dimanipulasi untuk menentukan nilai sekarang dari

nilai di masa datang.

nn

)i1(FP+

= atau

nn )i1(FP

-+=

untuk bunga yang dibayarkan m kali dapat ditulis rumus:

nm

n )mi1(FP -+=

Latihan:

1. Nona Fina menabung uangnya Rp 1.500.000 di Bank dengan tingkat bunga 15%

per tahun. Berapakah nilai uangnya di masa datang setelah 10 tahun kemudian jika

dibunga-majemukkan secara: a). Semesteran, b). Kuartalan, dan c). Bulanan.

2. Seorang pengusaha berharap lima tahun mendatang memperoleh laba sebesar Rp

25.000.000. Jika tingkat bunga yang berlaku saat ini 12% per tahun dan dibayarkan

secara kuarta, berapakah jumlah laba pengusaha tersebut saat ini ?

D. Nilai Masa Datang Dari Anuitas

Anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dibuat secara periodik dan dalam

jumlah uang yang tetap atau sama. Dalam anuitas diasumsikan bahwa semua pembayaran

dibuat pada akhir periode dengan bunga majemuk.

Ilustrasi:

Nina menabung uangnya sebanyak 1 juta setiap permulaan tahun, dimana bunga 12% per

tahun secara majemuk. Berapa jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun (akhir tahun ke-3

atau awal tahun ke-4) ?

1 jt (1,12)2 + 1 jt (1,12)1 + 1 jt = 3.374.400

1 jt (1,12)3 + 1 jt (1,12)2 + 1 jt (1,12)1 + 1 jt = 4.779.328

1 2 3 4

1 jt 1 jt (1,12)1 + 1 jt = 2.120.000


Ingat rumus Deret Geometri: )r1()r1(a

Dn

n --

= dapat ditulis sebagai )1r()1r(a

Dn

n --

=

Maka jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun dapat dihitung sbb:

)1r()1r(a

Sn

n --

=

328.779.4S12,0

574,0jtx1S

12,0)1)12,01((

jt1S

)112,1()1)12,1((jt1

S

n

n

4

n

4

n

=

=

-+=

--

=

Sehingga di dapat rumus nilai masa datang dari anuitas adalah:

i)1)i1((P

Sn

n-+

=

Dana Cadangan

Dana cadangan disebut juga sebagai sinking fund yaitu dana yang disisihkan

(dicadangkan) untuk pembayaran nilai tertentu dimasa yang akan datang. Misalkan

perusahaan menyisihkan sebagian labanya untuk membayar utang sejumlah tertentu

setelah sekian tahun di masa datang. Rumus dana cadangan diperoleh dari rekayasa rumus

nilai masa datang dari anuitas di atas, yaitu:

-+=

i1)i1(

SnP

n atau

-+

=1)i1(

iSnP n

Latihan:

1. Nona Debby menabung uangnya di Bank setiap awal bulan sebesar Rp 500.000

selama 8 tahun. Jika tingkat bunga yang berlaku sebesar 18% per tahun, berapakah

jumlah uang nona Debby di masa datang bila bunga dibayarkan (diperhitungkan)

secara bulanan ?

2. Suatu perusahaan ingin menyisihkan dananya setiap bulan selama 5 tahun untuk

pembayaran pinjaman perusahaan. Jumlah nilai pinjaman perusahaan tersebut

diperkirakan 5 tahun mendatang sebesar Rp 75.000.000. Bunga dibayarkan secara

majemuk sebesar 15% per tahun. Berapa jumlah dana yang harus disisihkan atau

dicadangkan setiap bulan oleh perusahaan agar dapat melunasi pinjaman tersebut ?


E. Nilai Sekarang Dari Anuitas

Nilai sekarang dari anuitas adalah jumlah dari nilai-nilai sekarang dari setiap

periode pembayaran atau penerimaan uang tertentu.

n21n )i1(P............)i1(P)i1(PA

--- ++++++=

Jika difaktorkan dengan (1+i)-n, maka persamaan di atas menjadi:

[ ]1)i1()i1()i1(...........)i1()i1()i1(PA 122n1nnn ++++++++++++= --- Karena [ ]1n21n )i1(..........)i1()i1()i1(1S -++++++++= persamaan diatas menjadi:

[ ]

+-=

-++=

+=

-

-

-

i)i1(1

PA

i1)i1()i1(PA

S)i1(PA

n

n

nn

n

nn

n

Jadi rumus nilai sekarang dari anuitas adalah:

+-=

-

i)i1(1

PAn

n

Dimana:

An = Nilai sekarang dari anuitas

P = Jumlah pembayaran per periode

i = Tingkat bunga tahunan

n = Jumlah periode pembayaran

Penyisihan Pinjaman

Konsep penyisihan pinjaman (loan amortization) hampir sama dengan dana cadangan

(sinking fund). Untuk dana cadangan pembayaran cicilan hutang secara periodik dilakukan

saat ini, agar di masa mendatang akan terlunasi jumlah tertentu utang atau pinjaman;

sedangkan penyisihan pinjaman jumlah tertentu utang atau pinjaman sudah diterima saat

ini, kemudian dilakukan pembayaran cicilan atau angsuran utang secara periodik.

Rekayasa rumus nilai sekarang dari anuitas akan diperoleh rumus penyisihan

pinjaman (loan amortization) yaitu:

+-=

-

i)i1(1

AP

nn

atau

+-

= -nn )i1(1i

AP

Dimana: An = Nilai sekarang dari anuitas

P = Jumlah pembayaran per periode

i = Tingkat bunga tahunan


n = Jumlah periode pembayaran

Latihan:

1. Nancy ingin menabung setiap bulan sebanyak Rp 2.500.000 setiap permulaan

tahun, selama 4 tahun di suatu Bank. Jika tingkat bunga yang berlaku adalah 12%

per tahun yang dibayar secara majemuk. Berapakah jumlah nilai sekarang dari

tabungan Nancy selama 4 tahun tersebut ?

2. Shinta berkeinginan membeli rumah dengan pembelian secara kredit seharga Rp

80.000.000. Sesuai perjanjian dari pihak pengembangan (developer) waktu

pembayaran rumah tersebut adalah 5 tahun, dimana pembayaran dilakukan secara

cicilan setiap bulan. Tingkat bunga yang dikenakan dalam pembayaran cicilan ini

adalah 15% per tahun. Berapakah jumlah pembayaran yang harus dicicil setiap

bulannya ?

BarisandanDeret

Documents

Transcript of BarisandanDeret