NOTASI SIGMABARISAN DAN DERET

0leh:Drs. Markaban, M.Si

Widyaiswara PPPPTK Matematika

disampaikan pada Diklat Guru Matematika SMK

se propinsi DIY DI PPPPTK MATEMATIKA

YOGYAKARTATanggal 28 Oktober s.d 10 Nopember 2007

NOTASI SIGMAKonsep Notasi Sigma

Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1)

Pada bentuk (1) Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1

Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1, k { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :

6

1k

1)-(2k1197531

Bentuk

6

1)12(

kk

dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”

atau “jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6”

1 disebut batas bawah dan

6 disebut batas atas,

lambang k dinamakan indeks

(ada yang menyebut variabel) Secara umum:

9

4)1)3(2(

kk

9

4)72(

kk

Nyatakan dalam bentuk sigma

1. a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9

2. (a + b)n =

nnn

1n bCabC...baCbaCbaCa n1n

33nn3

22nn2

1nn1

n

10

1k)1kbk(a

n

0r

rrnnr baC

)142()132()122()112()12(4

1

k

k

Contoh:

249753

Hitung nilai dari:

Sifat-sifat Notasi Sigma : Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku:

1.

2.

3.

4.

5.

n

n

1k1

∑b

akcf(k) ∑

b

akf(k)c

g(k)]b

ak[f(k)∑ ∑

b

akg(k)

∑∑∑n

1kf(k)

n

mkf(k)

1m

1kf(k)

pn

pmkp)f(k

n

mkf(k)

∑b

akf(k)

Buktikan: Bukti:

610

5k

6

1k

6

1kk42k427)(2k

410

45k27]4)[2(k

10

5k27)(2k

6

1k27)8(2k

6

1k21)(2k

6

1k1)4k2(4k

6

1k1

6

1k4k

6

1k24k

66

1kk4

6

1k2k

4

Sifat no. 5

Sifat no. 3

Sifat no. 1 dan 2

Barisan BilanganContoh

BARISAN BILANGAN ASLI1, 2, 3, 4, 5, 6, … ; un = n

BARISAN BILANGAN (ASLI) GANJIL

1, 3, 5, 7, 9, … ; un = 2n – 1

BARISAN BILANGAN (ASLI) GENAP

2, 4, 6, 8, 10, … ; un = 2n

UNTUK SELANJUTNYA DOMAIN BARISAN DAN DERET ADALAH HIMPUNAN BILANGAN ASLI

BARISAN BILANGAN SEGITIGABarisan Bilangan Asli:

Deret Bilangan Asli:

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

Barisan Bilangan Segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, … atau Jadi:

Jumlah n suku pertama Deret Bilangan Asli: 1+2+3+4+5 + … adalah

1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+61 3 6 10 15 21

1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+51

(12)21 (23)2

1 (34)21 (45)2

1 (56)21 (67)2

1

21(12) 2

1(23) 21(34) 2

1(45) 21 (56)

21n(n+1)

BILANGAN PERSEGIBarisan Bilangan Ganjil:

Deret Bilangan Ganjil:

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

1 + 3 + 5 + 7 + …

1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+9 1+3+5+7+9+111 4 9 16 25 36

12 22 32 42 52 62

Barisan bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Jumlah n suku pertama Deret Bilangan Asli Ganjil: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … adalah n2

1+3 1+3+5 1+3+5+7 1+3+5+7+91

Jadi:

BILANGAN PERSEGIPANJANGBarisan Bilangan Genap:

Deret Bilangan Genap:

2, 4, 6, 8, 10, 12, …

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + …

2+4 2+4+6 2+4+6+8 2+4+6+8+102 6 12 20 30

12 2 3 3 4 4 5 5 6Barisan Bilangan Persegipanjang adalah: 2, 6, 12, 20, 30, … atau 12, 23, 34, 45, 56, …

2+4 2+4+62

Jadi:

2 2+4+6+8

Jumlah n suku pertama Deret Bilangan Asli Genap: 2+4+6+8+10 + … adalah n(n + 1)

Kalender

Minggu

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

1

2

3

4

5

6

78

9

10

11

12

13

1415

16

1718

19

20

2122

23

2425

26

27

28

29

30

31

AGUSTUS 2007

Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?

Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Misalkan un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka

barisan tersebut disebut barisan aritmetika jika un+1 un

selalu bernilai tetap untuk setiap n.

un+1 un disebut beda barisan tersebut dilambangkan b

un+1 = un + b; u1 = ...

Susunlah sebuah barisan aritmetika 15 suku Berapa jumlah suku ke-3 dan ke-13 Berapa jumlah suku ke-2 dan ke-14

Berapabesar suku ke-8?

Hubungan apa yang Anda peroleh?

Berapa jumlah suku ke-5 dan ke-11

Berapa jumlah suku ke-3 dan ke-9 Berapa jumlah suku ke-2 dan ke-10

Berapabesar suku ke-6?

un = a + (n1)b

Deret Aritmetika Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dibuat berdasarkan metode yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss (17771855) ketika ia masih kecil.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100 = ?

nn

n(a + u )S =

2

n 2a+(n-1)bS =n 2

atau

Setiap 2 tahun karyawan di suatu perusahaan gaji pokoknya

dinaikkan Rp 120.000,00. Jika gajinya sekarang Rp

1.600.000,00 sedangkan gaji pertama yang diterimanya

pertama kali Rp 720.000,00, berapa tahun ia telah bekerja di

perusahaan itu?

a = 720.000

b = 120.000

= 1.600.000 un

n = 8

Bekerja selama ......... tahun 16

BARISAN DAN DERET GEOMETRIMisalkan un menyatakan suku ke-n suatu barisan,

maka barisan tersebut disebutarisan geometri jika un+1 : un selalu tetap untuk setiap n.

un+1 : un disebut rasio atau pembanding barisan

tersebut dan dilambangkan r

un = arn1 Susunlah sebuah barisan geometri 15 suku positif Berapa hasilkali suku ke-3 dan ke-13 Berapa hasilkali suku ke-2 dan ke-14

Berapabesar suku ke-8?

Hubungan apa yang Anda peroleh?

Berapa hasilkali suku ke-5 dan ke-11

Berapa hasilkali suku ke-3 dan ke-9 Berapa hasilkali suku ke-2 dan ke-10

Berapabesar suku ke-6?

ru

u

n

1n

ruu n1n

Deret GeometriSn a + ar + ar2 + … + arn2 + arn1

n

na(1- r )

S =1- r

n

na(r - 1)

S =r - 1

atau

Jika – 1 < r < 1, maka

(1) lim rn

n∞= 0

(2) Akibat: lim Sn

n∞=

sehingga arn 0

a____1 – r

Lambang: S~ = a____

1 – r

rSn ar + ar2 + … + arn2 + arn1 + ar n1

(1 - r)Sn a - ar n1

Contoh Contoh Pada awal tahun 2001 Bagas menabung sebesar Rp 1.000.000,00 di sebuah bank yang memberinya bunga majemuk 10% per tahun. Jika Bagas tak mengambil simpanannya berapa tabungan Bagas pada akhir tahun 2005?

JawabAwal 2001

Akhir 2001

Akhir 2002

Akhir 2003

Akhir 2004

Akhir 2005

1000000

1000

000

+ 0

,1 ×

100

0000

=

1000

000(

1,1)

1000

000(

1,1)

+ 0

,1 ×

100

0000

(1,1

) =

10

0000

0(1,

1)2

1000

000(

1,1)

2 +

0,1

× 1

0000

00(1

,1)2

= 1

0000

00(1

,1)3

1000

000(

1,1)

3 + 0

,1 ×

100

0000

(1,1

)3 =

1000

000(

1,1)

4

1000

000(

1,1)

4 + 0

,1 ×

100

0000

(1,1

)4 =

1000

000(

1,1)

5

= 1

0000

00 ×

1,6

1051

= 1

6105

10

Jadi tabungan Bagas pada akhir 2005 adalah Rp 1.610.510,00

BBarisan Sebagai Fungsiarisan Sebagai Fungsi SSuatu barisan disebut berderajat satu bila selisih tetap uatu barisan disebut berderajat satu bila selisih tetap

diperoleh dalam satu tingkat pengerjaan, disebut diperoleh dalam satu tingkat pengerjaan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua

tingkat pengerjaan dsttingkat pengerjaan dst

RUMUS SUKU KE-NRUMUS SUKU KE-N

BARISAN TK I : UBARISAN TK I : Unn = An + B = An + B

dengan A = Udengan A = U22 –U–U11 dan B = 2U dan B = 2U11 – U – U22

BARISAN TK II : UBARISAN TK II : Unn = An = An22 + Bn + C + Bn + C

dengan A = ½dengan A = ½ (U(U33 -2U-2U22 +U+U11))

B = ½B = ½ (-3U(-3U33 +8U+8U22 -5U-5U11))

C = UC = U33-3U-3U22 +3U+3U11

Soal:Soal:

Hitunglah:Hitunglah:

1.1.

2. 1 + 3 + 6 + 10 + ..... Sampai 25 suku 2. 1 + 3 + 6 + 10 + ..... Sampai 25 suku

.....9.7

1

7.5

1

5.3

1

3.1

1