1. 2) BARISAN DAN DERET ARITMETIKA 3) BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1) NOTASI SIGMA

2. STANDAR KOMPETENSI Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah 3. 2.Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri 1.Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian KOMPETENSI DASAR 3.Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret 4.Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya 4. Sigma Notation and Mathematic Induction A. Basic Meaning The process of writing the sum from sequence or sum of number series can be used with sigma notation, for example the sum from = =++++ ++++ n k kU 1 n321 n321 U.UUU :writtenbecan U.UUU 3333 n 1j 3 2 2i 22322 5 1i 2 ....321c. 2][3(2)2][3(1)2][3(0)2]1)[3(2]2)[3(2)(3ib. 54321ia. :onIllustrati nj ++++= +++++++++=+ ++++= = = = 5. 1.NOTASI SIGMA sumataujumlahdibaca"" = = =+++ =++++ ++++ n 1i in321 n 1k kn321 n321 aa....aaa UU.UUU :ditulisdapat U.UUU 6. 3333 n 1j 3 22322 5 1i 2 5 1i n....321jc. 54321i.b 2][3.52][3.42][3.32]2.[32]1.[32)(3ia. :Contoh ++++= ++++= +++++++++=+ = = = [ ] [ ]222225.34.33.32.31.3 2i3 2][3.52][3.42][3.32]2.[32]1.[32)(3i acontohDari 5 1i 5 1i 5 1i +++++++++= += +++++++++=+ == = 7. [ ] === = += ++++== 5 3i 2 1i 5 1i 5 1i 5 1 i3i3i3Dari 543213i3i3Dari Mengubah batas pada notasi sigma ( ) ( ) = = = ++++=+ ++++= ++++= 3 1i 7 3i 5 1i 5.34.33.32.31.32i3 1digantibawahbatasJika 5.34.33.32.31.32i3 3digantibawahbatasJika 5.34.33.32.31.3i3 8. ( ) = + += = = + = = += = == === = = = = = = += 1 r ra Sn n = 1 )1( 1 )1( = r ra Sn n 55. 455 545 43214 543215 SSU USS UUUUS UUUUUS Dari = = +++= ++++= RUMUS 1nnn SSU = 1 12 1 2 122 11 S SS U U r SSU SU :Catt == = = Rumus suku ke-n: 56. Suku tengah Barisan Geometri ( )1n 2 1t 7t 6t 5t UUtengahsukuMaka . . UU13n UU11n UU9n + = == == == 57. Suku tengah barisan geometri ( ) ( ) ( ) ( ) n1t nt 1n t 1n2 1n 2 1 t 21n 2 1 t 11n 2 1 t 1n 2 1t U.UU U.aU ar.aU r.aarU arU arU UU = = = == = = = + + + 65432 432 2 ar,ar,ar,ar,ar,ar,a7n ar,ar,ar,ar,a5n ar,ar,a3n = = = 58. Suku tengah barisan geometri ( ) ( ) ( ) ( ) nt 1n t 1n2 t 1n 2 1 t 21n 2 1 t 11n 2 1 t 1n 2 1t U.aU ar.aU raU arU arU arU UUmakaganjilnJika = = = = = = = + + + 59. Suku tengah barisan geometri Suku tengah barisan geometri yang banyaknya suku ganjil dapat ditentukan sbb Barisan Geometri: a, U2, U3, . . . , Ut , . . . , Un Jika n= 2t-1 , maka barisan geometri dapat ditulis sbb a, U2, U3, . . . , Ut , . . . , U2t-1 60. Sisipan pada Barisan Geometri Jika diantara U1 dan U2 disisipkan k bilangan sehingga membentuk barisan geometri dengan rasio r U2 = U k+2 a r = a .( r) k+1 ( ) 1k 1k r'r 'rr + + = = 61. CONTOH 1: Diketahui barisan geometri dengan U2=6 dan U5=162 Tentukan suku pertama dan rasionya. Jawab: 2a 63.a 6ar 3r 27r 6 162 r.a r.a U U 3 4 2 5 = = = = = == 62. Diketahui deret geometri dengan U1 + U2= 9 dan U3+U4=36 Tentukan keempat bilangan tersebut Jawab; 2atau2r 4r 4 )ara( )ara(r 9 36 UU UU 2 2 21 43 = = = + + = + + Untuk r=-2 maka a + ar=9 Untuk r=2 maka a+ar=9 a-2a=9 a+2a=9 a=-9 3a=9 maka a=3 Keempat bilangan adalah -9,18,-36,72 atau 3,6,12,24 CONTOH 2 63. Diketahui deret geometri dengan S2 = 4, S4 = 40 Tentukan rasio dan suku pertama Contoh 3: 4 40 2 4 = S S 10 1 )1( 1 )1( 2 4 = r ra r ra ( )( ) ( ) 3r 9r 101r 10 1r 1r1r 2 2 2 22 = = =+ = +JAWAB 2a4a2 4a3a3r 1a4a4 4a3a3r == == == =+= 64. CONTOH 4: Diantara 2 dan 162 disisipkan 3 bilangan sehingga membentuk barisan geometri Tentukan a) rasio deret geometri yang baru b) suku ke-n dari barisan geometri yang baru Suku pertama barisan geometri: U1 = 2, U2 = 162 dengan rasio : r = = 81 disisipkan = k = 3 a)Rasio yang baru = r= 2 162 3381 4 413 ==+ 1n1n n 3.2r.aU == 65. CONTOH 5: Diketahui barisan geometri dengan U1+U3=p and U2+U4=q Nyatakan U4 dalam p dan q Jawab: 22 3 3 3 22 3 4 22 3 2 2 2 2 2 3 31 42 qp q p q x qp p U qp p ap) p q 1(apara p q r p q ara )ara(r p q ara arar maka p q UU UU 2 + = + = + ==+=+ == + + = + + = + + 66. Contoh 6: Diketahui deret geometri a)1+3+9+ Tentukan S8 b)16+8+4+Tentukan S10 Jawab: a) a=1, r=3 3280 2 16561 13 )13(1 S 1r )1r(a S 8 8 n n = = = = 67. 2 1 r,16a)b == 32 31 31 32 1023 1024 1023 .32 ] 1024 1 1[32 2 1 1 ]) 2 1 (1[16 S r1 )r1(a S 10 10 n n === = = = 68. c)Hitunglah jumlah 8 suku yang pertama deret geometri .... 9 2 3 2 26 ++++ 3 1 6 2 U U r 6Ua 1 2 1 === == JAWAB: 1 1 1 ,r r )ra( S n n < = ( )[ ] 729 728 8 729 6560 6561 16561 9 3 1 19 3 1 1 2 3 .6 3 2 3 1 16 S 1 16 S 8 8 8 8 3 1 8 3 1 8 == = = = = = CONTOH 6: 69. Contoh 7: Tentukan banyaknya suku jika a)3+6+12+=93 b)2+6+18+=728 Jawab: 5n322 3112 93 12 )12(3 93S 2r,3a)a n n n n == = = = == 70. 6n7293 72813 728 13 )13(2 728S 3r,2a)b n n n n == = = = == JAWAB: 71. Contoh 8: Tiga bilangan membetuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya adalah 216 Tentukan ketiga bilangan tersebut JAWAB: Misalkan ketiga bilangan adalah 6216a216a 216ar.a. r a 216hasilkali ar,a, r a 33 === = = 72. Jawab: 3,6,12bilanganketigamaka 2 1 runtuk 12,6,3bilanganketigamaka2rUntuk 2ratau 2 1 r 0)2r)(1r2( 02r5r2 0 r 6 15r6 21r66 r 6 2 = = == = =+ =+ =++ 3 r x 73. Tiga bilangan p,q,r merupakan tiga bilangan yang membentuk barisan geometri naik dengan jumlah 26 Apabila bilangan kedua ditambah 4 akan membentuk barisan aritmetika .Tentukan ketiga bilangan tersebut. JAWAB: 10x 30x3 26bx4xbx 26Jumlah bx,4x,bx:BG bx,x,bx:BA = = =+++ = + + 74. ( ) ( )( ) ( ) 18,6,2naikBG8b 8b 6436100b b10036 b10b106 UUU U U U U 2 2 2 31 2 2 2 3 1 2 = = == = += = = 75. Contoh 9: Diketahui barisan geometri dengan U1=x dan U11=y Nyatakan U6 dalam x dan y y.x U.UU 1116 = = JAWAB: 76. PENERAPAN BARISAN GEOMETRI BUNGA MAJEMUK ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43 3 334 32 2 223 2 1 112 1 %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun4setelahModal %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun3setelahModal %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun2setelahModal %p1MM%pMMtahun1setelahModal MawalModal +=++=+= +== +=++=+= +== +=++=+= +== +=+== = CONTOH: Modal sebesar M disimpan di bank dengan bunga majemuk p% per tahun. Hitung modal setelah disimpan selama n tahun. 77. ( )n n %p1MM tahunnsetelahModal tahunper%pMajemukBunga MModal +== = = KESIMPULAN 78. CONTOH 1: Deni menyimpan uang Rp 1000.000,00 di bank dengan bunga majemuk 10% per tahun .Hitung uang Deni setelah disimpan selama 5 tahun JAWAB: ( ) ( ) ( ) ( ) 510.610.161051,1.000.000.1M 1,1000.000.1M 1,01000.000.1M %101000.000.1M %p1MM %10%p 000.1000M 5 5 5 5 5 5 5 5 5 == = += += += = = Jadi setelah disimpan lima tahun uang menjadi Rp 1.610.510,00 79. CONTOH 2: Pada setiap awal tahun Deni menyimpan uang Rp 1000.000,00 di bank dengan bunga majemuk 10% per tahun.Hitung uang Deni pada akhir tahun ke-5 JAWAB: 80. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) 610.715.6 61051,0.000.000.11 161051,1000.000.11 1,0 11,11,1 .000.1000 11,1 11,11,1 .000.1000 1,11,11,11,11,1000.1000 seluruhnyauangJumlah 1,1000.10005ke000.1000 1,1000.10004ke000.1000 1,1000.10003ke000.1000 1,1000.10002ke000.1000 1,1000.10001ke000.1000 5 5 54321 1TAHUN1 2TAHUN2 3TAHUN3 4TAHUN4 5TAHUN5 = = = = = ++++= + 81. PENERAPAN BARISAN GEOMETRI PENYUSUTAN ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43 3 334 32 2 223 2 1 112 1 %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun4setelahaargH %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun3setelahaargH %p1M%p1%p1M%p1M M%pMMtahun2setelahaargH %p1MM%pMMtahun1setelahaargH MawalaargH === == === == === == === = CONTOH: Sebuah barang dibeli dengan harga M dengan penyusutan p% per tahun. Hitung harga barang setelah dipakai selama n tahun. JAWAB: 82. KESIMPULAN Harga awal=M Penyusutan =p% per tahun Harga setelah n tahun=Mn=M(1-p%)n 83. CONTOH: Sebuah laptop dibeli dengan harga Rp 5.000.000,00 Faktor penyusutan 15% per tahun Tentukan harganya setelah digunakan selama 3 tahun. Jawab: ( ) ( ) ( ) ( ) 625.070.3M 85,0000.000.5M 15,01000.000.5M %151000.000.5M %p1MM 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = = = = = 84. EXAMPLE 2 Given that geometric series with S2 = 4, S4 = 40 4 40 2 4 = S S 10 1 )1( 1 )1( 2 4 = r ra r ra 10 1 1 2 4 = r r ( )( ) 10 1r 1r1r 2 22 = + 3r9r 101r 2 2 == =+ 3=r 85. Definition of Infinite geometric series Geometric series is called convergent 0and1if < ar r a S = 1 ~ Geometric series is called divergent 0and1if > ar ~~ =S 86. 1r11rjika konvergengeometriDeret