ANALISIS DATA PANEL TIDAK LENGKAP PENGARUH INFRASTRUKTUR JALAN

TERHADAP PDRB DENGAN METODE MINIMUM VARIANCE QUADRATIC UNBIASED (MIVQUE)

Oscar Pratama140610110068

DEPARTEMEN STATISTIKAFMIPA UNIVERSITAS PADJAJARAN

2014

(Studi kasus Kementerian Pekerjaan Umum Republik Indonesia)

LATAR BELAKANG

Infrastruktur Jalan

Analisis Data Panel Tidak Seimbang

Kondisi infrastruktur jalan

Anggaran pembangunan

jalan

Produk Domestic Regional Bruto

(PDRB)

Hubungan PDRB dengan faktor

infrastruktur jalan

RUMUSAN MASALAH

Mengetahui bagaimana model terbaik data panel tidak seimbang (unbalanced panel data) dari Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) berdasarkan infrastruktur jalan yang direpresentasikan oleh panjang jalan, kondisi jalan, dan anggaran pembangunan jalan.

Maksud adalah mendapatkan model terbaik tentang pola hubungan PDRB berdasarkan infrastruktur jalan

Tujuan adalah menaksir parameter dari setiap faktor infrastruktur jalan yang mempengaruhi PDRB.

MAKSUD & TUJUAN

Regresi Data Panel Lengkap & Tidak Lengkap/Tidak Seimbang

REGRESI DATA PANEL

DATA PANEL LENGKAP

•model regresi menggunakan 2 komponen error• banyak observasi sama untuk setiap kurun waktu

DATA PANEL TIDAK LENGKAP/TIDAK SEIMBANG

•model regresi menggunakan 3 komponen error•Banyak observasi berbeda pada kurun waktu tertentu

Model Regresi Data Panel Tidak Seimbang komponen error 2 arah

Yit = variabel respon untuk observasi ke-i pada waktu ke-t

Xitk = variabel prediktor ke-k untuk observasi ke-i pada waktu ke-t

Uit = komponen error pada observasi ke-i dan waktu ke-tμi = pengaruh yang tidak terobservasi dari observasi ke-i tanpa dipengaruhi faktor waktu

λt = pengaruh yang tidak terobservasi dari waktu ke-t tanpa dipengaruhi faktor observasi

Vit = pengaruh yang benar-benar tidak diketahui (remainder disturbance) observasi ke-i pada waktu ke-t.

𝑌𝑖𝑡 = 𝛽0 + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑡𝑘𝑘

𝑘=1 + 𝑈𝑖𝑡

dengan 𝑈𝑖𝑡 = 𝜇𝑖 + 𝜆𝑡 + 𝑉𝑖𝑡

Model Regresi Data Panel Tidak Seimbang komponen error 2 arah

Y=Xβ + U

dengan U=∆1μ+∆2λ+∆3V

ۏێێێێێێێێێێێێۍ

𝑌11𝑌12⋮𝑌1𝑇1𝑌21𝑌22⋮𝑌2𝑇2⋮𝑌𝑁1𝑌𝑁2⋮𝑌𝑁𝑇𝑁 ےۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑې

=

ۏێێێێێێێێێێێێۍ

1 𝑋111 𝑋112 … 𝑋11𝑘1 𝑋121 𝑋122 … 𝑋12𝑘⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮1 𝑋1𝑇11 𝑋1𝑇12 … 𝑋1𝑇1𝑘1 𝑋211 𝑋212 … 𝑋21𝑘1 𝑋221 𝑋222 … 𝑋22𝑘⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮1 𝑋2𝑇21 𝑋2𝑇22 … 𝑋2𝑇2𝑘⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 𝑋𝑁11 𝑋𝑁12 … 𝑋𝑁1𝑘1 𝑋𝑁21 𝑋𝑁22 … 𝑋𝑁2𝑘⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮1 𝑋𝑁𝑇𝑁1 𝑋𝑁𝑇𝑁2 … 𝑋𝑁𝑇𝑁𝑘 ےۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑې

൦

𝛽1𝛽2⋮𝛽𝑘൪+

ۏێێێۍ

𝐷1𝐷2⋮𝐷𝑇 ےۑۑۑې

൦

𝜇1𝜇2⋮𝜇𝑁൪ +൦

𝐷1𝑡𝑁 0 … 00 𝐷2𝑡𝑁 … 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … 𝐷𝑡𝑡𝑁൪൦

𝜆1𝜆2⋮𝜆𝑇൪+ ൦

1 0 … 00 1 … 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … 1൪

ۏێێێێێێێێێێێێۍ

𝑉11𝑉12⋮𝑉1𝑇1𝑉21𝑉22⋮𝑉2𝑇2⋮𝑉𝑁1𝑉𝑁2⋮𝑉𝑁𝑇𝑁 ےۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑۑې

dalam bentuk vektor dan matriks :

Asumsi :𝜇𝑖~𝑁𝐼𝐷൫0,𝜎𝜇2൯ 𝜆𝑡~𝑁𝐼𝐷൫0,𝜎𝜆2൯ 𝑉𝑖~𝑁𝐼𝐷(0,𝜎𝑉2)

Metode Minimum Variance Quadratic Estimation (MIVQUE)

• Menaksir komponen variansi error dengan bentuk kuadratik dimana A adalah matriks simetris yang bersifat translation invariant, unbiased, dan variance minimum.

• Kombinasi linier dari komponen variansi error yang tidak diketahui dalam bentuk matriks g dan R yang diperoleh dengan matriks simetris A, dimana var(A) minimum sehingga adalah estimator unbiased dari kombinasi linier komponen variansi error dan invariant pada translasi β.

YTAY

YTAY

YTAY

Kriteria bentuk kuadratik agar menjadi taksiran yang memenuhi MIVQUE :

1. Translation Invariant

merupakan satu syarat agar taksiran yang diperoleh dapat digunakan untuk parameter model yang bertranslasi.

Dengan adalah suatu parameter tetap yang diketahui.

YTAY

𝒇ሺ𝒀ሻ= 𝒇ሺ𝒀− 𝑿𝜷∗ሻ ∀ 𝒀 𝒅𝒂𝒏 𝜷∗ 𝜷∗

2. UnbiasedSifat ini diharapkan agar nilai taksiran yang diperoleh

tidak berbeda jauh dengan nilai parameter yang ditaksir.

Sehingga ekpekstasi taksiran dari kombinasi linier komponen variansi error harus sama dengan kombinasi

linier komponen varians error.

dengan :

agar syarat unbiased terpenuhi maka :

,dengan

𝑬ሺ𝒀𝒕𝑨𝒀ሻ= (𝒑𝒓𝝈𝒓𝟐)𝟑𝒓=𝟏

𝑬ሺ𝒀𝒕𝑨𝒀ሻ= 𝑬ሺሺ∆𝝃ሻ𝒕𝑨∆𝝃ሻ

𝝈𝒓𝟐𝑡𝑟(𝑨𝑩𝒓)3𝑟=1 = 𝒑𝒓𝝈𝒓𝟐

𝟑𝒓=𝟏 ∆𝒓∆𝒓𝒕= 𝑩𝒓

3. Minimum VarianceUntuk mendapatkan model regresi yang baik diharapkan penyebaran/variansi error yang minimum.

Oleh karena itu, diharapkan variansi minimum, dengan mencari matriks A yang minimum.

bentuk matriks A :

dengan :

Taksiran kombinasi linier komponen variansi error :

YTAY

𝐴= 𝜔𝑟3

𝑟=1 𝑅𝐵𝑟𝑅

𝑹= −𝟏 �ൣ𝑰− 𝑿(𝑿𝒕𝜮−𝟏𝑿)−𝟏𝑿𝒕−𝟏൧𝝈𝑽𝟐

𝜔= ൭𝜔1𝜔2𝜔3൱,𝜔≠ 0

𝑌𝑡𝐴𝑌= 𝜔𝑟𝑌𝑡𝑅𝐵𝑟𝑅𝑌3𝑟=1

Sehingga taksiran untuk komponen variansi error :

dengan :

karena pada matriks R mengandung , maka dibutuhkan nilai priori dari komponen variansi error yang dilambangkan dengan

.

besar nilai priori adalah :

untuk mempermudah perhitungan, nilai priori yang digunakan adalah 1 untuk setiap komponen varians error.

𝝈 ෝ��= (𝑺)−𝟏𝒈

S= 𝑡𝑟(𝑅𝐵1𝑅𝐵1) 𝑡𝑟(𝑅𝐵2𝑅𝐵1) 𝑡𝑟(𝑅𝐵3𝑅𝐵1)𝑡𝑟(𝑅𝐵1𝑅𝐵2) 𝑡𝑟(𝑅𝐵2𝑅𝐵2) 𝑡𝑟(𝑅𝐵3𝑅𝐵2)𝑡𝑟(𝑅𝐵1𝑅𝐵3) 𝑡𝑟(𝑅𝐵2𝑅𝐵3) 𝑡𝑟(𝑅𝐵3𝑅𝐵3) 𝑔 = 𝑌𝑡𝑅𝐵1𝑅𝑌𝑌𝑡𝑅𝐵2𝑅𝑌𝑌𝑡𝑅𝐵3𝑅𝑌

𝜎𝜇2,𝜎𝜆2,𝜎𝑉2 𝜎𝜇02 ,𝜎𝜆02 ,𝜎𝑉02

𝜎𝜇02 0 , 𝜎𝜆02 0 , dan 𝜎𝑉02 0

Penaksiran Parameter

Metode yang digunakan untuk mencari taksiran parameter model adalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).

fungsi Likelihood untuk variabel random Y

taksiran parameter model regresi data panel tidak lengkap komponen error dua arah adalah :

dengan merupakan taksiran dari komponen variansi error sesuai persamaan :

𝐿(𝛽;𝑌11,..,𝑌1𝑇 ..,𝑌𝑁𝑇𝑁) = �� 𝑓𝑚ሺ𝑦ሻ𝑛𝑚=1 = ሺ2𝜋ሻ−𝑛2ȁM𝛺ȁM−12𝑒−12ሺ𝑦−𝑋𝛽ሻ𝑡𝛺−1(𝑦−𝑋𝛽)

𝜷 = (𝑿𝒕𝚺−𝟏 𝑿)−𝟏𝑿𝒕𝚺−𝟏 𝒀 𝚺−𝟏

Σ-1= V-VΔ2P*-1Δt

2V

Uji Kecocokan Model

mengetahui pengaruh variabel bebas secara bersama-sama terhadap variabel tak bebas.

Hipotesis :

Statistik Uji :

Keterangan :

H0 : β1= β2=…=βk=0

H1 : paling sedikit ada satu βj ≠ 0,dimana j=1,2,3,..,k

Fhitung = 𝛽 𝑡𝑋𝑡𝑌−𝑁𝑌ത2 𝑘−1ൣ�𝑌𝑡𝑌−𝛽 𝑡𝑋𝑡𝑌 𝑁−𝑘ൣ�

𝛽መ𝑡 : transpose matriks koefisen regresi 𝑋𝑡 : transpose matriks variabel bebas 𝑌 : matriks variabel tak bebas 𝑌𝑡 : transpose matriks variabel tak bebas 𝑌ത2 : kuadrat rata-rata Y 𝑁 : banyak observasi 𝑘 : banyaknya variabel bebas

Uji Signifikansi Parameter

menguji parameter secara parsial.

Hipotesis :

Statistik Uji :

Keterangan :

H0 : 𝛽መ𝑗 = 0

Ha : 𝛽መ𝑗 ≠ 0

thitung = 𝛽 𝑗𝑠𝑒𝛽 𝑗

𝛽መ𝑗 : taksiran koefisien regresi variabel bebas 𝑠𝑒𝛽መ𝑗 : standar error dari 𝛽መ𝑗

Uji Asumsi

Hipotesis melihat besarnya nilai VIF dari variabel prediktor.

Stat Uji maka terdapat Multikolinieritas

Normalitas Multikolinieritas

H0 : F(x) = F0(x)

H1 : F(x) ≠ F0(x)

DN = maks | F0(x)- F(x)|

Nilai VIF > 10

Uji Asumsi

Melihat scatter plot nilai residual Hipotesis : terhadap nilai prediksi.

Jika membentuk pola tertentu

yaitu bergelombang, menyebar lalu Stat Uji :menyempit (heteroskedastisitas)

Homoskedastisitas Autokorelasi

H0 :=0 error tidak terdapat otokorelasi

H1 :0 error terdapat otokorelasi

dhitung = σ (𝑒𝑖−𝑒𝑖−1)𝑁𝑖=2σ 𝑒𝑖2𝑁𝑖=1

Hasil & Pembahasan

• Transformasi data dengan Box Cox

1.51.00.50.0-0.5-1.0

150000

125000

100000

75000

50000

Estimate -0.07

Lower CL -0.18Upper CL 0.04

Rounded Value 0.00

(using 95.0% confidence)

λ

λ

StD

ev

Lower CL Upper CL

Limit

Box-Cox Plot of PDRB • Pada tampilan chart menunjukkan hubungan antara lambda dan standar deviasi. Lambda yang dcoba dari 1,5 sampai -1. Terlihat pada gambar nilai standar deviasi semakin kecil berada pada Lower CL dan Upper CL yang berupa garis vertikal. Batas itulah yang menunjukkan bahwa lambda yang terbaik berada pada garis tersebut karena nilai standar deviasi yang kecil.

• Nilai lambda yang baik Lower CL dan Upper CL adalah -0,18 sampai 0,04 dimana nilai lambda yang terbaik yaitu -0,07.

Lakukan uji normalitas dengan data hasil transformasi. Berdasarkan hasil output uji normalitas variabel Y, didapatkan nilai p-value > 0,057 sehingga bisa dikatakan hasil transformasi tersebut menjadi normal.

1514131211109876

99.9

99

95

90

80706050403020

10

5

1

0.1

Mean 10.34StDev 1.285N 130KS 0.077P-Value 0.057

hasilPDRB

Perc

ent

Probability Plot of hasilPDRBNormal

• Taksiran Parameter• Menaksir Varians Komponen Error

Model Regresi Data Panel Tidak Seimbang Komponen Error 2 Arah :

𝜎ෝ��𝜇2 = 1.07115679

𝜎ෝ��𝜆2 = 0.00153480

𝜎ෝ��𝑉2 = 0.00728019

𝛽መ0 = 9.91439533

𝛽መ1 = 0.00003092

𝛽መ2 = -0.00003164

𝛽 3 = -0.00001705

𝑌𝑖𝑡 = 9.91439533 + 0.00003092𝑋𝑖𝑡1 − 0.00003164𝑋𝑖𝑡2 − 0.00001705𝑋𝑖𝑡3

Statistik Uji :

Berdasarkan hasil output nilai Fhitung = 9,0809 > Ftabel(0,05,2,127) = 3,09 maka H0 ditolak yang berarti model tersebut memberikan pengaruh yang signifikan.

Uji Kecocokan Model

H0 : β1= β2=…=βk=0

H1 : paling sedikit ada satu βj ≠ 0,dimana j=1,2,3,..,k

α = 0,05

Fhitung = 𝛽 𝑡𝑋𝑡𝑌−𝑁𝑌ത2 𝑘−1ൣ�𝑌𝑡𝑌−𝛽 𝑡𝑋𝑡𝑌 𝑁−𝑘ൣ�

Uji Signifikansi Parameter

Statistik Uji :

• β1

nilai thitung diperoleh bahwa thitung = 1.3883e+005 > ttabel(0,025; 127) = 1.97882 . Oleh karena itu, H0 ditolak yang berarti koefisien β1 signifikan.

• β2

nilai thitung diperoleh bahwa thitung = -378.7485 < ttabel(0,025; 127) = -1.97882 . Oleh karena itu, H0 ditolak yang berarti koefisien β2 signifikan. 

• β3

nilai thitung diperoleh bahwa thitung = -319.5552 < ttabel(0,025; 127) = -1.97882 . Oleh karena itu, H0 ditolak yang berarti koefisien β3 signifikan.

H0 : 𝛽መ𝑗 = 0

Ha : 𝛽መ𝑗 ≠ 0

α = 0,05

thitung = 𝛽 𝑗𝑠𝑒𝛽 𝑗

Uji Asumsi Klasik

• Normalitas

H0 : F(x) = F0(x) residual berasal dari distribusi normal

H1 : F(x) ≠ F0(x) residual bukan berasal dari distribusi normal One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

Unstandardized

Residual

N 130

Normal Parametersa,,b Mean .0000000

Std. Deviation .99012165

Most Extreme Differences Absolute .110

Positive .110

Negative -.062

Kolmogorov-Smirnov Z 1.253

Asymp. Sig. (2-tailed) .086

a. Test distribution is Normal.

b. Calculated from data.

Berdasarkan output, nilai p-value = 0,086 > α = 0,05 sehingga Ho diterima yang berarti data residual berasal dari distribusi normal.

• Non-Multikolinieritas

Deteksi adanya Multikolinieritas adalah dengan melihat besarnya VIF (Variance Inflation Factor). Jika VIF melebihi angka 10, maka variabel tersebut mengindikasikan adanya multikolinieritas.

VIF

1.920

1.875

1.425

Dilihat dari output nilai VIF , diperoleh nilai VIF sebagai berikut :VIF1 = 1.920VIF2 = 1.875VIF3 = 1.425Karena semua nilai VIFk < 10, maka asumsi non-multikolinieritas terpenuhi.

• Homoskedastisitas

Cara untuk mendeteksi adanya heteroskedastisitas adalah dengan melihat Scatter Plot Residual yaitu plot penyebaran nilai-nilai residual terhadap nilai-nilai prediksi.

Dapat dilihat dari output scatter plot diatas bahwa penyebaran nilai-nilai residual terhadap nilai-nilai prediksi tidak membentuk suatu pola apapun, sehingga asumsi homoskedastisitas terpenuhi.

• Non-Autokorelasi

Dapat dilihat dari hasil nilai dhitung = 1.982 > dU(n=130,k=3) = 1.7610 Sehingga, H0 diterima dan dapat disimpulkan bahwa error bersifat independen atau tidak ada autokorelasi.

H0 :=0 error tidak terdapat otokorelasi

H1 :0 error terdapat otokorelasi

Durbin-Watson test dL dUKesimpulan

1.982 1.6667 1.7610 H0 diterima

Kesimpulan

1. Analisis data panel tidak lengkap dapat digunakan untuk menganalisis data panel yang jumlah datanya tidak seimbang, dalam hal ini tidak semua observasi diobservasi dalam rentang waktu yang sama.

2. Dalam analisis data panel model komponen error dua arah, penaksiran parameter memerlukan nilai komponen variansi error terlebih dahulu. Oleh karea komponen variansi tidak diketahui maka perlu ditaksir menggunakan metode Minimum Variance Quadratic Estimation (MIVQUE). Dari studi kasus, diperoleh nilai taksiran dari komponen variansi error sebesar

𝜎ෝ��𝜇2= 1.07115679

𝜎ෝ��𝜆2 = 0.00153480

𝜎ෝ��𝑉2 = 0.00728019

3. Parameter model komponen error dua arah diestimasi dengan metode Maksimum Likelihood Estimation (MLE). Dari studi kasus, diperoleh nilai taksiran dari parameter model komponen error dua arah sebesar

4. Dari contoh aplikasi diperoleh taksiran model data panel tidak seimbang model komponen error dua arah, yaitu

𝛽መ0 = 9.91439533

𝛽መ1 = 0.00003092

𝛽መ2 = -0.00003164

𝛽 3 = -0.00001705

𝑌𝑖𝑡 = 9.91439533 + 0.00003092𝑋𝑖𝑡1 − 0.00003164𝑋𝑖𝑡2 − 0.00001705𝑋𝑖𝑡3

TERIMA KASIH