Bahan Ajar Model Indeks Tunggal
35
Transcript of Bahan Ajar Model Indeks Tunggal
William Sharpe mengembangkan model yang
disebut dengan model indeks tunggal. Dimana model
ini digunakan untuk menyederhanakan perhitungan
di model Markowitz dan juga digunakan untuk
menghitung return ekspektasian dan risiko portofolio.
MODEL INDEKS TUNGGAL
Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks pasar.
Hal ini menyarankan bahwa return-return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan-perubahan nilai pasar.
Dengan dasar ini, return sekuritas ke-i dapat dirumuskan:
Keterangan:
Ri = retrun sekuritas ke i
RM = tingkat retrun dari indeks pasar
ai = kompenen dari retrun sekuritas ke-i
βi = beta (dibahas bab 11)
αi = nilai ekspektasian dari return pasar yg independen thdp
return pasar
ei = kesalahan residu
Ri = ai + βi . RM
ai = αi + ei Ri = αi + βi . RM + ei
Komponen Model Indeks
Tunggal
Model indeks tunggal membagi return sekuritas ke
dalam dua komponen utama, yaitu:
1. Komponen return yang unik dan independen
terhadap return pasar (αi).
2. Komponen return yang berhubungan dengan
return pasar (βi).
Model indeks tunggal juga dinyataka dalam
retrun ekspektasian, dirumuskan:
Contoh:
Diketahui return ekspektasian dari indeks pasar
adalah 25%. Bagian dari retrun ekspaktasian suatu sekuritas yg independen thdp pasar (αi)
adalah 4% dan βi sebesar 0,75. Ternyata return
realisasi sebesar 26%.
E(Ri) = E(αi) + E(βi . RM) +
E(ei)
E(Ri) = αi + βi .
E(RM)
Jawaban:
E(Ri) = αi + βi . E(RM)
E(Ri) = 4% + 0,75 . 25%
E(Ri) = 22,75%
Jadi nilai retrun realisasi berdasarkan model indeks tunggal adalah Ri = 22,75% + ei. Dan kesalahan estimasi (ei) adalah sebesar 26% - 22,75% = 3,25%
Jika nilai retrun realisasinya sama dengan nilai retrun yang diharapkan, maka investor mengestimasi retrun ekspektasian tanpa kesalahan.
Asumsi Model Indeks Tunggal
Kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau ei tidak berkovari (berkorelasi) dengan ej untuk semua nilai dari i dan j. Asumsi ini secara matematis dapat dituliskan sebagai:
Cov (ei,ej) = 0
E (ei.ej) = 0
Return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu untuk setiap sekuritas (ei) merupakan variabel-variabel acak. Oleh karena itu, ei tidak berkovari dengan return indeks pasar, RM. Asumsi ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai:
Cov (ei,RM)
= 0
E (ei.[RM-E(RM)]) =
0
VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL
INDEKS TUNGGAL
Secara umum varians return dari suatu sekuritas sebagai berikut:
disubtitusikan
E(Ri) = αi + βi .
E(RM)
Ri = αi + βi . RM
+ ei
Maka rumus varian return sekuritas berdasarkan model indekstunggal sebagai berikut:
Resiko (varian retrun) sekuritas yang dihitung
berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian:
Resiko yang berhubungan dengan pasar (market
related risk), yaitu:
Resiko untuk masing – masing perusahaan (unique
rsik), yaitu:
Contoh A:
Retrun saham PT.A dan return indeks pasar selama 7 periode dan rata-rata aritmatikanya adalah sebagai berikut:
Diketahui αi dan βi adalah konstan dari waktu ke waktu. Dan βA untuk sekuritas PT.A adalah 1,7.
Periode ke-t Retrun saham PT.A
(RA)
Retrun Indeks Pasar
(RM)
1
2
3
4
5
6
7
0,060
0,077
0,095
0,193
0,047
0,113
0,112
0,040
0,041
0,050
0,055
0,015
0,065
0,055
Rata-rata
aritmatika
0,09957 0,04586
Hitunglah :
1. Nilai ekspektasian PT.A (αA)
2. Nilai ekspektasian dari kesalahan residu E(eA)
3. Varian dari kesalahan residu
4. Varian dari retrun pasar
5. Total resiko berdasarkan model indeks tunggal dan varian retrun sekuritas.
1
1.
Periode
ke-t
eA,t = RA,t - αA – (ΒA . RM,t)
1
2
3
4
5
6
7
eA,1=0,060-0,0216-(1,7.0,040)=-0,0296
eA,2=0,077-0,0216-(1,7.0,041)=-0,0143
eA,3=0,095-0,0216-(1,7-0,050)=-0,0116
eA,4=0,193-0,0216-(1,7-0,055)=0,0779
eA,5=0,047-0,0216-(1,7-0,015)=0,0001
eA,6=0,113-0,0216-(1,7-0,065)=0,0191
eA,7=0,112-0,0216-(1,7-0,055)=0,0031
2.
E(eA) = (-0,0296-0,0143-
0,0116+0,0779
+0,0001-0,0191-0,0031) /
(7-1)
= 0
𝟒. 𝛔𝐌𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐
+ (𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐
+ 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐+ 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐
+ 𝟎, 𝟎𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔 𝟐 /(𝟕 − 𝟏)
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝟔/𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔
3. 𝜎𝑒𝐴2 = [(−0,0296 − 0)2 + (−0,0143 − 0)
+(-0,0116-0)2 + (0,0779 − 0)2
+(0,0001-0)2 + (−0,0191 − 0)2
+(-0,0031-0)2]/(7 − 1)
= 0,0068/6
= 0,00128
5a.total resiko berdasarkan model indeks tunggal
b. Total resiko berdasarkan varian retrun sekuritas
𝜎𝐴2 = 𝛽𝐴
2. 𝜎𝑀2 + 𝜎𝑒𝐴
2
= 1,7 2. 0,00026 + 0,00128
= 0,002
𝜎𝐴2 = [(0,060 − 0,09957)2+ 0,077 − 0,09957 2
+ 0,095 − 0,09957 2+ 0,193 − 0,09957 2
+ 0,047 − 0,09957 2+ 0,113 − 0,09957 2
+ 0,112 − 0,09957 2]/(7 − 1)
= 0,002
KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS
MODEL INDEKS TUNGGAL
Rumus kovarian retrun antar dua sekuritas:
Contoh :
Dua buah sekuritas A dan B masing-masing mempunyai Beta yaitu βA=1,7 dan βB=1,3. Varian return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026. Kovarian antara sekuritas A dan B adalah :
Jawab :
σij= βA . βB . σM²
= 1,7 . 1,3 . 0,00026
= 0,00057
𝝈𝒊𝒋 = 𝑬 𝑹𝒊 − 𝑬 𝑹𝒊 . 𝑹𝒋 − 𝑬 𝑹𝒋
E(Ri,j) = αi + βi . E(RM)
Ri,j = αi + βi . RM + ei
disubtitusikan
𝝈𝒊𝒋 = 𝜷𝒊. 𝜷𝒋. 𝝈𝑴𝟐
PARAMETER – PARAMETER INPUT
UNTUK MODEL MARKOWITZ
Model indeks tunggal dapat digunakan untuk
menghitung return ekspektasi (E(Ri)), varians dari
sekuritas (σi2), dan kovarians antar sekuritas (σij) yang
merupakan parameter-parameter input untuk analisis
portofolio menggunakan model Markowitz.
Setelah perhitungan seperti contoh A :
Diketahui :
Contoh B:
Periode
Ke-t
Return
saham PT ‘A’
(RA)
Return
saham PT
‘B’ (RB)
Return index Pasar
(RM)
1
2
3
4
5
6
7
0,060
0,077
0,095
0,193
0,047
0,113
0,112
0,15
0,25
0,30
0,40
0,27
0,15
0,55
0,040
0,041
0,050
0,055
0,015
0,065
0,055
Rata-
rata
0,09957 0,2957 0,04586
𝛽𝐴 = 1,7, 𝜎𝐴2 = 0,02, 𝜎𝑀2 = 0,00026,
𝛽𝐵 = 1,3, 𝜎𝐵2 = 0,01998, 𝑊𝐴. 𝐵 = 0,5
Hitunglah
Kovarian antara return PT.A dan PT.B
Resiko portofolio berdasarkan model indeks tunggal
Jawab :
1.𝝈𝑨. 𝑩 = 𝜷𝑨. 𝜷𝑩. 𝝈𝑴𝟐
= 1.7.1,3.0,00026
= 0,00057
2. 𝝈𝒑𝟐 = 𝑾𝑨𝟐. 𝝈𝑨𝟐 + 𝑾𝑩𝟐. 𝝈𝑩𝟐 + 𝟐. 𝒘𝑨. 𝒘𝑩. 𝝈𝑨𝑩
= (𝟎, 𝟓)𝟐. 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 + (𝟎, 𝟓)𝟐. 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟗𝟖 + 𝟐 . 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟓 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕
= 0,0035
ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKAN MODEL INDEKS TUNGGAL
Return Ekspektasi Portofolio
Return realisasi merupakan rata-rata tertimbang dari return-return realisasi tiap-tiap sekuritas tunggal,
𝑬 𝑹𝑷 = 𝒘𝒊. 𝜶𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
+ 𝒘𝒊. 𝜷𝒊. 𝑬(𝑹𝑴)
𝒏
𝒊=𝟏
RESIKO PORTOFOLIO
Risiko adalah kemungkinan terjadinya perbedaan antara return aktual dengan return yang diharapkan.
𝝈𝒑𝟐 = ( 𝒘𝒊. 𝜷𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
)𝟐. 𝝈𝑴𝟐 + ( 𝒘𝒊. 𝝈𝒆𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
)𝟐
Perbandingan jumlah parameter
model Makrowitz model indeks tunggal
n + (n.(n-1)/2 (2.n+1)
1 1 3
2 3 5
3 6 7
4 10 9
5 15 11
6 21 13
7 28 15
8 36 17
9 45 19
10 55 21
20 210 41
50 1,275 101
100 5,050 201
200 20,100 401
500 125,250 1,001
1,000 500,500 2,001
5,000 12,502,500 10,001
10,000 50,005,000 20,001
Jumlah sekuritas (n)
jumlah parameter yang harus dihitung
SIMPULAN
Semakin banyak sekuritas dalam portofolio maka nilai resiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dan akan bernilai nol jika jumlah sekuritas semakin besar. Resiko portofolio yang terdiversifikasi dengan baik hanya terdiri dari unsur sistematik saja.
MODEL PASAR Merupakan bentuk dari model indeks tunggal
dengan batasan yang lebih sedikit. Bentuk model
pasar yang sama dengan bentuk model indeks
tunggal mempunyai return dan return ekspektasian
sebagai berikut :
dan
Ri = αi + βi . RM + ei
E(Ri) = αi + βi . E(RM)
PORTOFOLIO OPTIMAL
BERDASARKAN MODEL INDEKS
TUNGGAL
Dimana :
ERBi = excess return to beta securities
E(Ri) = Ekspektasi return berdasarkan model indeks
tunggal untuk sekuritas i
RBR = Return bebas resiko
Bi = Beta Sekuritas i
i
BRii
B
RREERB
a
Langkah-langkah menentukan besarnya
titik pembatas :
1. Urutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar ke
kecil, yang terbesar merupa-kan kandidat untuk
dimasukkan ke dalam Portofolio Optimal
2. Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke
i, sebagai berikut
2
.
ei
iBRii
BRREA
2
ei
ii
BB
2.a 2.b
3. Menghitung nilai Ci
σm2 = varian dari return Indeks Pasar.
Nilai Ci adalah nilai C untuk sekuritas ke-i yang
dihitung dari kuulasi nilai-nilai A1 sampai dengan Ai
dan nilai B1 sampai dengan Bi.
Dengan mensubstitusikan nilai Ai dan Bi maka rumus
Ci menjadi sepeti dibuku halaman 432. :D
i
2
m
i
2
m
iBσ1
AσC
1. Besarnya cut off point (C*) adalah nilai Ci yang terbesar
2. Sekuritas yang membentuk Portofolio Optimal adalah
sekuritas yang mem-punyai nilai ERB lebih besar atau
sama nilainya. ERB di titik C* adalah nilai ERB yang kecil,
tidak disertakan dalam pem-bentukan Portofolio Optimal.
i
ii
x
xw
5. Menentukan besarnya proporsi sekuritas
wi = Proporsi Sekuritas
k = jumlah sekuritas di portofolio
= beta sekuritas ke-i
= varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i
ERBi=excess retrun to Beta sekuritas ke-i
C* =nilai Ci terbesar
*2
C i
ei
ii ERBz
5.a
5.b
i2
ei
Contoh D:
Nilai Saham E(Ri) Bi σei^2 ERBi
A B C D E
20 19 27 23 25
2,00 1,50 2,00 1,50 1,80
5,0 4,0 7,5 5,0 2,0
5 6
8,5 8,677 8,333
Diketahui:
1. Retrun aktiva bebas
resiko (RBR)=10%
2. Varian indeks pasar = 10%
Untuk masing –masing sekuritas dapat dihitung yg hasilnya disajikan ditabel berikut:
Nama Saham
E(Ri) Bi 𝜎𝑒𝑖2 ERBi Ai Bi
𝐴𝑖
𝑖
𝑖=1
𝐵𝑗
𝑗
𝑗=1
Ci
D C E B A
23 27 25 19 20
1,50 2,00 1,80 1,50 2,00
5,0 7,5 2,0 4,0 5,0
8,677 8,5 8,33 6 5
3,9 4,533 13,5 3,375 4
0,45 0,533 1,62 0,563 0,8
3,9 8,433 21,933 25,308 29,308
0,45 0,983 2,603 3,166 3,966
7,091 7,787 8,114 7,749 7,208
Simpulan:
Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah
sekuritas yang mempunyai Erb lebih besar dari Ci, yaitu
sekuritas D, C, dan E
i Nama
Saham
E(Ri)
Bi 𝜎𝑒𝑖2 ERBi Ci Zi Wi
1
2
3
D
C
E
23
27
25
1,50
2,00
1,80
5,0
7,5
2,0
8,677
8,5
8,333
7,091
7,787
8,114
0,159
0,103
0,197
0,346
0,224
0,429
Total 1,000
Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus 5.b, sebagai berikut:
Z1=(1,50/5,0)(8,677 – 8,114) = 0,159
Z2=(2,00/7,5)(8,5 – 8,114) = 0,103
Z3=(1,80/20)(8,333 – 8,114) = 0,197
Besarnya nilai Σ Zj adalah sebesar Z1 + Z2 + Z3 atau 0,159 + 0,103 + 0.197=0,459.
Nilai wi merupakan proporsi sekuritas ke-i. dapat dihitung berdasarkan rumus 5.a
W1 = 0,159/0,459 = 0,346 = 34,6%
W2 = 0,103/0,459 = 0,225 = 22,5%
W3 = 0,197/0,459 = 0,429 = 42,9%
TERIMA KASIH
IHSG ditutup naik 0,77% di awal pekan
JAKARTA. Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) melaju di awal pekan terakhir 2015, Senin (28/12). Mengacu data RTI menunjukkan, indeks berakhir naik 0,77% atau 34,707 poin ke level 4.557,255.
Tercatat, 182 saham naik, 94 saham turun 94 saham, dan 74 saham stagnan. Perdagangan hari ini melibatkan 8,76 miliar dengan nilai transaksi mencapai Rp 5,67 triliun.
Sembilan dari 10 indeks sektoral menghijau. Sektor agrikultur naik 2,67% dan sekaligus memimpin penguatan. Sementara, hanya sektor industri dasar yang memerah atau turun 0,46%.
Di sisi lain, aksi jual menyelimuti perdagangan terutama di pasar reguler sebesar Rp 58,601 miliar. Sementara itu, secara keseluruhan perdagangan lebih diwarnai aksi beli, di mana net buy asing sebesar Rp 429,162 miliar.
Saham-saham yang masuk top gainers LQ45 antara lain: PT United Tractors Tbk (UNTR) naik 5,23% ke Rp 16.100, PT Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF) naik 3,94% ke Rp 5.150, dan PT PP London Sumtra Indonesia Tbk (LSIP) naik 3,67% ke Rp 1.305.
Sedangkan, saham-saham yang masuk top losers LQ45 antara lain: PT Perusahaan Gas Negara (PGAS) turun 3,85% ke Rp 2.745, PT Sawit Sumbermas Sarana Tbk (SSMS) turun 3,17% ke Rp 1.680, dan PT Matahari Putra Prima Tbk (MPPA) turun 2,17% ke Rp 1.575.
Di sisi lain, bursa Asia tergelincir hari ini. Terseret oleh penurunan terburuk bursa China dipicu menurunnya laba industri negeri tirai bambu itu.
Indeks MSCI Asia Pacific tergelincir kurang dari 0,1 % menjadi 131,14 pada 04:01 di Hong Kong, menghapus keuntungan sebanyak 0,3 % sebelumnya.
Indeks Shanghai Composite turun 2,6 % dan saham daratan di Hong Kong merosot karena kekhawatiran atas perlambatan pertumbuhan penyelidikan dan korupsi ekonomi.
Di sisi lain, indeks Hang Seng China Enterprises saham daratan di Hong Kong anjlok 1,7 % , sedangkan benchmark indeks Hang Seng turun 1 %, dengan volume perdagangan 42 % di bawah rata-rata 30 -hari. Indeks Taiex Taiwan dan Indeks Straits Times Singapura baik kehilangan 0,1 %. Indeks Kospi Korea Selatan tergelincir 1,3 %.
