Bahan Ajar Barisan dan Deret

www.briliantprivate.co.cc


BARISAN DAN DERET

PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan bilangan asli yang dihubungkan

dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.

Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan Aritmetika dan barisan

Geometri.

1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)

1.1 BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu

bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan

dengan b.

Contoh-contoh barisan Aritmetika :

1) 1,3,5,.... bedanya b = ...

2) 0,5,10,... bedanya b = ...

3) 100,97,94,... bedanya b = ...

4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... .

Suku ke-n barisan aritmetika

Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka :

Un = a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika

a : suku pertama

n : banyak suku

b : beda/selisih

b = 1−− nn UU

Contoh 1 : Tentukan beda dari :

a) 1,5,9 b) 10,81

2,7,...

Jawab : a) ………….

b) ………….

Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !

Jawab : ……………

Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !

Jawab : …………..


Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !

Jawab : …………….

Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U 5 21= dan U10 41= . Tentukan U15 !

Jawab : …………….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !

a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...

b) 1,11

2,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...

2. Tentukan suku yang diminta !

a) 4,10,16,... suku ke-25

b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40

3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :

a) b = 4, U 6 21= , a = ...

b) a = -5, U 20 33= , b = ...

c) a = 9, b = -2, U n = −19 , n = ...

d) U 4 1= , U 7 8= − , a = ... , b = ...

e) U 3 71

2= , U 6 15= , U10 =...

4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 280, maka

tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !

6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali menabung Rp.25.000.

Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000 jika bunganya tidak diperhitungkan !

1.2 DERET ARITMETIKA

Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika.

Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika

abababUbUUS

UbUbUbabaaS

UUUUUS

nnnn

nnnn

nnn

++++++−+−+=

+−+−++++++=

+++++= −

)()2(.......)2()(

)()2(..........)2()(

....... 1321

+

)(2

)()()(........)()()(2

nn

nnnnnnn

UanS

UaUaUaUaUaUaS

+=

++++++++++++=


S n a Un n= +1

2( ) , karena U a n bn = + −( )1 , maka :

])1(2[2

1bnanSn −+= Sn : jumlah n suku pertama

U S Sn n n= − −1

Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !

a) 1+3+5+...sampai 50 suku

b) 2+5+8+...+272

Jawab : a) ……………..

b) …………….

Contoh 2: Tentukan x jika 5+7+9+……+ x = 192

Jawab : ……………

Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 - 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 !

Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = 1S =……..

Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 + 80 + 100 = 2S = ……

Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 = 1S - 2S = ……..

Contoh 4: Tentukan U10 jika S nn =2

Jawab : …………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari :

a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku

b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku

c) -7-3+1+ ... + 53

d) 25+21+17 + ... + 1

2. Tentukan x jika ;

a) 1+3+5+ ... + x = 441

b) 1+5+9+ ... + x = 561

3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :

a) a = 2, S b22 737= =, ...

b) b=5,U S10 1546= =, ...

c) U U S4 7 109 18= = =, , ...


4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3

5. Tentukan U8 jika S n nn = +2 2

6. Tentukan jarak yang ditempuh bola yang dijatuhkan pada ketinggian 20 m, jika bola pantulannya

1/2 dari tinggi semula dan pada pantulan ke-6

2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)

2.1 BARISAN GEOMETRI

Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya.

Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r.

Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...

Jawab : …………..

Suku ke-n barisan geometri

Jika suku pertama u a1 = dan rasio = r, maka :

1−= n

n arU

Dimana 1−

=n

n

U

Ur

Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....

Jawab : …………….

Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...

Jawab : ………………

Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 4= dan U5 16= . Tentukan U8 !

Jawab : ……………….

Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27, tentukan

ketiga bilangan itu !

Jawab : Misal ketiga bilangan itu xrxr

x,, maka 32727.. 3 =⇔=⇔= xxxrx

r

x


Jadi

9,3,13

1,3,93

1

0)3)(13(0310313333 2

abilangannyr

abilangannyr

rrrrrxrr

⇒=

⇒=

=−−⇔=+−⇒=++

Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !

Jawab : ……………..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :

a) 1,3,9,..... suku ke-7

b) 3,6,12,....suku ke-8

c) 16,8,4, ... suku ke-10

2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :

a) 1

4

1

21, , ,....

b) 2 2 2 4, , ,....

3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :

a) a U U= = =4 324 6, , ...

b) b U a= = =1

335, , ...

c) U U U3 6 58 64= = − =, , ...

d) U U U3 5 21 25= = =, , ...

4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan hasilkalinya 216, tentukan

ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !

6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap bakteri membelah

menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul 21.20 !

2.2 DERET GEOMETRI

Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.

Jumlah n suku pertama deret geometri

nnn

n

nnn

n

ararararararrS

rxarararararaS

++++++=

++++++=

−−

−−−

1232

1232

.............

..............

-

n

nn ararSS −=−

1,1

)1(

1

)1(≠

−

−=

−

−= r

r

ra

r

raS

nn

n dimana U S Sn n n= − −1


Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....

Jawab : ……………

Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243

Jawab : ………………

Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 2 2 2552+ + + + =.... n

Jawab : ………………

LATIHAN SOAL


a) 1

4

1

21 10+ + + =.... ...S

b) 36+18+9+.... S6 =...

c) 2 2 2 2 8+ + + =... ...S


a) 1/3+1+3=....+81

b) 32+16+8+....+1/8

3. Tentukan n jika :

a) 3 3 3 3 3632 3+ + + + =... n

b) 2 2 2 2 10222 3 1+ + + + =−... n

4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :

a) U U S1 3 550 200= = =, , ...

b) a r S nn= = = =1 3 29524, , , ...

c) S r a8 155

6

1

2= = =, , ...

5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah 27 tahun jumlah

penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk semula !

2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Sa r

r

a

r

r

rn

n n

=−

−=

−−

−

( )1

1 1 1

Untuk n→ ∞ maka :

=∞S ∞→n

Lim )

11(

r

r

r

a n

−−

−

Untuk –1 < r < 1 maka :

=∞Srr

a

−−

− 1

0

1 sehingga =∞S

r

a

−1 syarat –1 < r < 1

Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1


Contoh 1: Hitung ....4

1

2

11 +++

Jawab : ………………

Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)

Jawab : ……………….

Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama dengan 9, maka

tentukan rasionya !

Jawab : …………………….

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah jumlahnya dari :

a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….

b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….

c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….

d. 1/2+1/3+2/9+…. h. ....122 +++

2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :

a. r = -2/5, =∞S 15 maka a = ….

b. a = 2, 8

13 =U maka =∞S ….

c. 27

1,9 72 == UU maka =∞S ….

d. 8

1,2

9531 ==+ UUU maka =∞S ….

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi semula. Hitung

jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti

4. Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di samping 8 cm, maka

tentukan jumlah luas keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga

tak terhingga jumlahya.

3. NOTASI SIGMA

Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat keteraturan digunakan

notasi sigma yang dilambangkan dengan ""∑=

b

ai

ix dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan

batas atas b sedangkan ix adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks

menggunakan huruf kecil.

∑=

b

ai

x1 dibaca “sigma dari ix untuk harga i dari a sampai b”.


Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari ∑=

+5

1

)12(k

k

Jawab : ∑=

+5

1

)12(k

k = ………………… = …………

Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. + 28

Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..

Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi rumus sigma

sifatnya tidak unik.

∑∑+

=

−

=

=ck

cn

cn

k

n

n xx0

Contoh 3 : Ubahlah ∑=

+5

0

)34(k

k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !

Jawab : ∑∑∑=

+

==

−=+−=+12

7

75

7

5

0

)254(3)7(4)34(kkk

kkk

LATIHAN SOAL

1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

+

−

−

n

k

k

n

k

ki

i

k

xe

n

nd

kc

ib

ka

1

6

0

10

1

7

3

2

7

1

2.

2.

3)1(.

.

)45(.

2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :

144.........941.

56.........642.

256.......421.

20

21......

3

4

2

32.

101......261710.

41......951.

74......852.

++−+−

−−+−

++++

++++

++++

−−−−−

++++

g

f

e

d

c

b

a


3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

+

−

−

−

n

i

x

x

n

k

i

id

c

nb

ka

0

10

7

10

3

8

0

2

1.

2.

)210(.

)43(.

4. INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus dalam matematika dengan

menggunakan pola bilangan asli.

Misalkan Pn suatu pernyataan dan n∈Asli sedemikian sehingga :

1. nP benar untuk n = 1

2. Misal kP benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n sehingga menyebabkan 1+kP

benar pula, maka nP benar untuk n∈Asli.

Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan jarak yang sama

sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan jatuh pula.

Contoh 1 : Buktikan )1(2

.....321 +=++++ nn

n dengan menggunakan induksi matematika !

Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = )11(2

1+ benar.

Misal untuk sembarang n = k maka )1(2

.....321 +=++++ kk

k benar.

Sehingga untuk n = k+1 :

)2(2

1

2

)1(2)1(

2)1()1(

2)1(......321 +

+=

+++=+++=++++++ k

kkk

kkk

kkk benar.

Jadi )1(2

.....321 +=++++ nn

n benar untuk n∈Asli.

LATIHAN SOAL

Buktikan dengan induksi matematika !

( )

738.9

33.8

2.7

1222........222.6

)11(2

5)530(.......152025.5

11)212(.....6810.4

2

)15()35(.......1272.3

)12(.......531.2

)1(2.....642.1

2

3

2

32

2

2

+

+−

+

−=++++

−=−++++

−=−++++

−=−++++

=−++++

+=++++

n

nn

darifaktor

nndarifaktor

nndarifaktor

nnn

nnn

nnn

nn

nnn

Bahan Ajar Barisan dan Deret

Documents

Transcript of Bahan Ajar Barisan dan Deret