Bagian I2010

Bahan ajar bagi Mahasiswa Jurusan Fisika, Tahun 2010

Bagian I. Dinamika Partikel; Prof. Dr. H. Eko Hadi Sujiono, M.Si, Jurusan Fisika, UNM 1

BAGIAN I

DINAMIKA PARTIKEL

1. Deskripsi Gerak

Dalam kenyataan sehari-hari, setiap benda berada di dalam ruang. Di dalam

ruang tersebut terdapat titik-titik dimana benda itu berada yang disebut posisi

atau kedudukan benda. Jika benda bergerak, maka posisinya berubah tr

. Jadi

posisi benda menggambarkan gerak dari benda tersebut. Dengan kata lain posisi

berubah setiap saat berarti benda bergerak. Deskripsi gerak benda akan lebih

lengkap apabila kecepatan tv

dan percepatan ta

dari gerak benda itu

diketahui. Dalam mekanika untuk menyatakan gerak (dinamika) sebuah benda

pada sebuah ruang, diperlukan sebuah sistem acuan. Selanjutnya sistem acuan

tersebut disebut sebagai sistem koordinat.

Konsep lain yang juga penting dalam cabang ilmu mekanika adalah konsep

tentang partikel atau titik massa yang mewakili keseluruhan massa, tetapi tidak

memiliki arti ruang (hanya berupa titik). Dengan kata lain, konsep titik massa

adalah suatu hal ideal (yang tidak pernah ada), sebab pada kenyataannya walau

benda sekecil elektron juga memiliki massa. Ide tentang titik massa ini sangat

bermanfaat sebagai sebuah pendekatan dalam mempelajari mekanika, di mana

terkadang ukuran sebuah benda menjadi tidak penting lagi. Contoh: Bumi

misalnya dapat dipandang sebagai sebuah partikel berupa titik, jika kita berbicara

tentang mekanika jagat raya [3].

Untuk mempelajari lebih lanjut tentang deskripsi gerak suatu benda maka kita

harus mengenal sistem koordinat suatu ruang. Dua jenis koordinat yang sering

digunakan yakni sistem koordinat kartesian dan sistem koordinat polar. Namun

secara umum pada pembahasan tentang kasus yang lebih khusus yang

menyangkut simetri sebuah sistem juga digunakan koordinat bola, dan koordinat

silinder. Pada pembahasan bagian pertama, tentang dinamika partikel akan

dikemukakan beberapa sistem koordinat tersebut.



2. Sistem Koordinat Kartesius

Seperti telah dikemukakan bahwa, gerak dilambangkan adanya posisi tr

,

kecepatan dt

rdtv

(perubahan posisi terhadap waktu), dan percepatan

2

2

dt

rd

dt

vdta

(perubahan kecepatan terhadap waktu).

Dalam koordinat kartesius posisi dapat dinyatakan sebagai :

Dimisalkan ada partikel, berada

pada posisi tr

dari pusat

koordinat.

ktzjtyitxtr ˆˆˆ

dimana, 1ˆsatuanVektorˆˆ iii

Perubahan posisi terhadap waktu (v)

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdtv ˆˆˆ

,untuk (x, y, z = konstan).

dapat dituliskan :

kvjviv zyxˆˆˆ

sehingga di dapatkan,

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx ;;

(x,y,z)

tr

k

i

j y

z

x

x

z

y



Untuk percepatan dinyatakan dalam :

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xd

dt

vda ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

Dapat ditulis,

kajaia zyxˆˆˆ

sehingga di dapat,

dt

dva

dt

dva

dt

dva

dt

zda

dt

yda

dt

xda

zz

y

yx

x

zyx

;;

,atau;;2

2

2

2

2

2

dimana :

x = menyatakan komponen dari r

dalam arah i atau proyeksi r

terhadap

sumbu x

vx = menyatakan komponen dari v

dalam arah i atau proyeksi v

terhadap

sumbu x.

Dalam hal ini ,ˆ,ˆ,ˆ kji adalah vektor-vektor

satuan yang membentuk ruang 3 dimensi dalam

koordinat kartesian. Dengan kata lain semua

vektor dalam ruang dapat dinyatakan dengan

kji ˆ,ˆ,ˆ .

Sehingga jika posisi sebuah partikel dinyatakan dalam: ktzjtyitxtr ˆˆˆ

,

tr

z

y

x



maka:

zsbkrz

ysbjry

xsbirx

.ˆ//yangkomponen

.ˆ//yangkomponen

.ˆ//yangkomponen

Dalam sistem 2 dimensi.

krz

jry

ir

irx

ˆ

ˆ

ˆ

terhadapproyeksi,

Kecepatan ktVjtVitVtV zyxˆˆˆ:

dt

dzV

dt

dyV

dt

dxV

dt

rdtV

zyx

;;

Percepatan (menyatakan cepatnya perubahan kecepatan)

2

2

ˆˆˆ

dt

rd

dt

Vd

ktajtaitata zyx

sehingga,

2

2

2

2

2

2

dt

zd

dt

dVa

dt

yd

dt

dVa

dt

xd

dt

dVa

zz

y

y

xx

X x i

r



Tugas I:

1. Koordinat-koordinat x dan y dari partikel P yang sedang bergerak adalah x = 4 +

3t + t2

dan y = 6 + 4t + 0,5t2 ; t dalam detik, x dan y dalam meter.

(a) Tentukan vektor posisi dan vektor kecepatan pada saat t sebarang

(b) Kapankah komponen horizontal dan vertikal dari kecepatan sama besarnya ?

berapakah kelajuan P dan jarak P dari titik asal pada saat itu ?

2. Sebuah partikel P sedang bergerak dalam lintasan lurus dan posisinya terhadap

titik asal O , adalah x = 3 t2 - 24 t + 36. Tentukan :

(a) Kecepatan awal P

(b) Kecepatan P pada t = 2

(c) Jarak maksimum yang ditempuh P di ukur dari titik asal O

3. Sistem Koordinat Bola

Kartesius, r

= (x, y, z)

v = (vx, vy, vz)

a = (ax, ay, az)

(i, j, k)

, sudut antara r

pada bidang yz

terhadap sumbu z.

, sudut antara proyeksi r

terhadap

bidang xy terhadap sumbu x.

Dalam koordinat bola,

ˆ,ˆ,ˆ

,,

,,

,,

r

aaaa

vvvv

rr

r

r

r

r

r sin

r sin

y

x

z



x

yarcrz

z

yxarcry

zyxrrx

tancos

tansinsin

cossin

2

122

2

1222

r , vektor satuan yang searah r

, Vektor yang menyinggung permukaan

lintasan.

, Vektor yang tegak lurus permukaan.

Hubungan antara vektor satuan r

dengan ji ˆ,ˆ ,dan k

r

rkjir

r

kzjyix

r

rr

ˆcosˆsinsinˆcossinˆ

ˆˆˆˆ

pada bidang = konstan

.ˆsinˆsincosˆcoscos

.ˆ90cosˆsin90sinˆcos90sin

,90ˆˆ

000

0

kji

kji

r

pada bidang yang tetap

rr

posisiterhadap90diputarˆˆ 0

r

r

x

y

z



Sedangkan untuk menyatakan , terlebih

dahulu kita gambarkan dalam bidang berikut :

ji

ij

ˆcosˆsin

ˆsin1ˆcos1ˆ

Dengan demikian vektor satuan ,r , dan dapat ditulis :

cosˆsinˆˆˆ

,0ˆ

,cosˆˆ

,ˆˆ

,sinˆˆ

,ˆˆ

ˆcosˆsinˆ

ˆsinˆsincosˆcoscosˆ

ˆcosˆsinsinˆcossinˆ

rp

r

rr

ji

kji

kjir

Dalam koordinat kartesian,

k

j

ir

vvrv

kvjvivv

r

zyx

ˆ

ˆ

ˆ

0sinsin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

det R = 1

RT= R

-1

R-1

R=1, RT.R=1 dipenuhi oleh matriks ortogonal

Invers dari matriks adalah Transforsnya.

x

y r sin

i

i

i

j



R

v

v

v

v

v

v

z

y

xr

0sinsin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Percepatan,

ˆˆˆ

ˆˆˆ

aara

kajaiaa

r

zyx

z

y

xr

a

a

a

a

a

a

0sinsin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

Jika posisi partikel,

,rrtr

maka, untuk kecepatan berlaku :

,ˆˆ rrrrdt

rdv

, dimana ˆsinˆˆ r

sehingga,

ˆˆˆ

ˆsinˆˆ

vvrvdt

rdv

rrrrv

r

maka, sin,, rvrvrvr

untuk percepatan berlaku :

ˆsinˆcosˆsinˆsin

ˆˆˆˆˆ

rrrr

rrrrrrrdt

vda

dimana,

ˆcosˆsinˆ

ˆcosˆˆ

ˆsinˆˆ

r

r

r



maka,

sincos2sin2

cossin2

sin

2

222

rrra

rrra

rrrar

jika unit vektor untuk koordinat bola ˆ,ˆ,r , ditulis persamaan umum vektor

ˆˆˆ AArAA r

di dapat,

ˆcossin

ˆcosˆsin

dt

dA

dt

dA

dt

dA

dt

dA

dt

dA

dt

dAr

dt

dA

dt

dA

dt

dA

dt

dA

r

rr

Dengan demikian persamaan a

menjadi :

ˆsincos2sin2

ˆcossin2ˆsin

ˆsincosˆsinˆcosˆsin

ˆsinˆcosˆˆˆˆsinˆˆ

ˆcosˆsinsinˆcosˆsin

ˆsinˆcosˆˆˆˆsinˆˆ

2222

222

2

rrr

rrrrrrra

rrrrr

rrrrrrrrrra

rrrr

rrrrrrrra

Tugas II

Buktikanlah bahwa untuk koordinat bola, berlaku :

1). 1ˆˆˆ r

2). rr ˆˆˆˆ

3). Apa beda pokok antara ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ rdankji

4). Buktikan ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ rrr



5). Vektor kecepatan dan percepatan diuraikan dalam sistem kartesis dan

koordinat bola berturut-turut adalah sebagai berikut :

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

aarakajaiaa

vvrvkvjvivv

rzyx

rzyx

a. Carilah matriks V dan A, dimana

z

y

xr

z

y

xr

a

a

a

A

a

a

a

v

v

v

V

v

v

v

;

Bandingkan kedua matriks tersebut terhadap matriks R

b. Buktikanlah bahwa :

sincos2sin2

cossin2

sin

sin;;

2

222

rrra

rrra

rrra

rvrvrv

r

r

4. Sistem Koordinat Silinder

Telah ditunjukkan bahwa notasi dalam sistem koordinat kartesius dan bola

adalah

Sedang dalam koordinat Silinder posisi sebuah partikel dinyatakan dalam (, , z),

dimana:

zz

yx

x

yx

y

x

y

yx

21

22

1

21

22

11

21

22

cos

sintan

r

z

z

k

Kartesius (x, y, z)

Bola (r, , )



Vektor posisi untuk koordinat silinder dinyatakan :

zz

y

xji

jyix

ji

kk

sin

cos,ˆsinˆcos

ˆˆˆ

ˆcosˆsinˆ

ˆˆ

kaaaa

kvvvv

kz

rrr

kzjyixr

z

z

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

Jika posisi r diberikan oleh :

kzr ˆˆ

maka bentuk turunannya, menghasilkan:

zza

zzdt

rd

dt

vda

zzdt

rdv

ˆˆ2ˆ

ˆˆ2ˆ

ˆˆˆ

2

2

2

2

i

j

x

y

ˆ

ˆˆ

ˆ

d

d

d

d



Dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Komponen kecepatan dalam koordinat silinder terhadap koordinat kartesius:

z

y

x

z v

v

v

v

v

v

100

0cossin

0sincos

Komponen percepatan dalam koordinat silinder terhadap koordinat kartesius:

z

y

x

z a

a

a

a

a

a

100

0cossin

0sincos

Sedangkan vektor satuan jika diturunkan

ˆˆ

ˆ

)ˆcosˆsin(ˆ

0ˆ

dt

d

jidt

pd

dt

kd

kzr

kk

ji

ii

zz

y

x

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆcosˆsinˆ

ˆsinˆcosˆ

sin

cos

Persamaan yang didapatkan , , z serta turunannya :

kza

a

a

kzv

v

v

z

p

z

p

2

)( 2



Contoh :

(1) Sebuah partikel bergerak menurut : kzjtaitatr ˆˆ5sinˆ5cos)(

Merupakan gerak spiral (gerak melingkar ke atas)

(2) Gerak partikel dalam medan magnet

BvqEqr

(3) Sebuah partikel dalam koordinat silinder posisinya dinyatakan dalam, ktar ˆˆ

Selanjutnya jika )ˆ,ˆ,ˆ(ˆ,ˆ,ˆ kz atau bila ditulis berurutan adalah untuk koordinat

silinder :

unit vektor, k,ˆ,ˆ

kAAA kˆˆˆ A

Jika vektor di atas diturunkan, akan didapatkan persamaan umum :

kdt

dA

dt

dA

dt

dA

dt

dA

dt

dA

dt

d k ˆˆ

A

Adapun keadaan khusus dari persamaan

dt

dA untuk :

1. Vektor kecepatan, jika diketahui posisi partikel kkr ˆˆ

.

kkdt

rdv ˆˆ0ˆ0

maka,

kkv ˆˆˆ



2. Vektor kecepatan, jika diketahui kecepatan partikel kkv ˆˆˆ

kka

kkdt

d

dt

d

dt

vda

ˆˆ)(ˆ

ˆˆˆˆ

2

maka,

kka ˆˆ)2(ˆ2

Koordinat silinder dapat digambarkan :

Jika, ketiga sistem koordinat digambarkan secara bersama :

k

r

z

x

y

x

z j

i

k

k

z

x

y

x

z j

i

k

r

y



Dari definisi zzyyxx BABABA BA dan kita gunakan unit vektor untuk

koordinat bola ˆ,ˆ,r dimana unit vektor juga berlaku untuk koordinat silinder.

Jika dicari hubungan dengan r dan . Kita bisa tuliskan hubungan ˆ,ˆ,ˆ,ˆ rk

berdasarkan gambar di sebelumnya dan persamaan :

jiji ˆcosˆsinˆ,ˆsinˆcosˆ

Selanjutnya kita dapatkan hubungan untuk ketiga sistem koordinat tersebut adalah:

ji

kjik

kjikr

ˆcosˆsinˆ

ˆsinˆsincosˆcoscosˆcosˆsinˆ

ˆcosˆsinsinˆcossinˆsinˆcosˆ

TUGAS III

(1) Tunjukkan bahwa hubungan antara k,ˆ,ˆ dan kji ˆ,ˆ,ˆ dapat dituliskan

dalam bentuk matriks.

k

j

i

M

k ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

c. Carilah M

d. Buktikan bahwa M ortogonal !

e. Buktikan bahwa M ini juga merupakan matriks penghubung antara

zvvv ,, dan zyx vvv ,, , juga antara

zaaa ,, dan

(2) Pada salah satu jari-jari sebuah roda yang berputar dengan laju sudut yang

terdapat sebuah bola kecil. Bola tersebut bergerak sepanjang jari-jari dengan

laju tetap c. Gesekan antara bola dari jari-jari diabaikan. Jika mula-mula jari-

jari tempat bola berada sejajar x dan bola terletak di pusat roda. Tentukan

vektor-vektor posisi, kecepatan, percepatan bola setiap saat!

c

x



(3) Sebuah benda bergerak melingkar menurut sinˆcosˆ jibr

dengan

laju sesaat v = ct ; c suatu tetapan positif, mula-mula partikel berada pada =

0. Tentukan posisi sudut , laju sudut dan percepatan sudut .

Referensi

1. Symon, K.R., Mechanics (Third Edition), Addision-Wesley Publishing Co.,

Reading Massachusetts, 1971.

2. Klepner, D. and Kolenkow, R. J., An Introduction to Mechanics, Mc. Graw-

Hill, 1984.

3. Muris, Diktat Mekanika, Jurusan Fisika UNM, 2002.

4. Eko Hadi Sujiono, Diktat Perkuliahan Mekanika I & II, Jurusan Fisika UNM,

2005.



Lampiran:

Definisi: Ruang yang di dalamnya terdapat vektor-vektor = ruang vektor. Vektor

merupakan elemen-elemen dalam ruang vektor, yang tidak harus memiliki arah.

Notasi Vektor

zyxzyx

zyxzyx

BBBkBjBiBB

AAAkAjAiAA

,,ˆˆˆ

,,ˆˆˆ

Operasi di dalam ruang tersebut :

- Penjumlahan

- Perkalian vektor dengan skalar

- Perkalian titik BA

- Perkalian silang BA

Penjumlahan :

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

maka, kBAjBAiBABA zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(

Perkalian titik :

cosBABA

*)

jika dinyatakan,

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ



0ˆˆˆˆˆˆ

tetapi1ˆˆˆˆˆˆ

:maka

10cosˆˆˆˆ,Sehingga.1ˆˆˆ,Sedangkan

.danantarasudut

.vektorbesarmenyatakanatau

cos

0

222

222

kjkiji

kkjjii

iiiikji

BA

BBBB

AAAAA

BABA

zyx

zyx

zzyyxx

zyxzyx

BABABA

kBjBiBkAjAiABA

contoh

ˆˆˆˆˆˆ

:

0ˆˆˆˆˆˆ

1ˆˆˆˆˆˆ

kjkiji

kkjjii (menurut *)

Perkalian silang :

jikikjkji

kkjjii

BABA

BAC

CBA

ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ

0ˆˆˆˆˆˆ,karena

sin

sin

Dengan demikian akan didapatkan,

xyyxzxxzyzzy BABABABAjBABAiBA ˆˆ

atau sama dengan,

xxx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

ˆˆˆ

Bagian I2010

Documents

Transcript of Bagian I2010