1

8. TRANSFORMASI LINIER

8.1. TRANSFORMASI LINIER UMUM

Definisi:

Jika T : V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor W, maka

T disebut transformasi linier dari V ke W jika untuk semua vektor

u dan

v di V dan

semua skalar c berlaku:

a. T(

u +

v ) = T(

u ) + T(

v )

b. T( c

u ) = c T(

u )

Jika V = W, maka T : V V disebut operator linier.

Contoh:

1. Buktikan bahwa pemetaan T : V W T(

v ) = 0 untuk

v V adalah

transformasi linier , dimana V dan W adalah ruang vektor. T dalam hal ini disebut

trnasformasi nol.

2. Misalkan V adalah ruang vektor. Pemetaan I : V V dengan I (

v ) =

v adalah

operator linier. Buktikan!

3. Misalkan V adalah ruang vektor dan k skalar. Buktikan bahwa pemetaan

T : V V dengan T(

v ) = k

v adalah operator linier.

4. T adalah proyeksi ortogonal dari V pada W, dimana W adalah subruang

berdimensi hingga dari V, T(

v ) =

vproyW . Apakah T merupakan

transformasi linier?

5. Misalkan

p = p(x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + cnx

n adalah polinom di Pn. Buktikan

T : Pn Pn dengan T (

p ) = T(p(x)) = p(ax+b) = c0 + c1 (ax+b) + c2 (ax+b)2 + ...

+ cn (ax +b)n adalah operator linier.

6. Misalkan T : Mnn R, dengan T(A) = det(A). Mnn adalah himpunan matriks

berukuran n x n dan R adalah himpunan bilangan riil. Apakah T merupakan

transformasi linier?

2

Secara sederhana, jika nvvv

,...,, 21 adalah vektor-vektor di V dan c1, c2, ...,cn adalah

skalar-skalar, maka untuk membuktikan transformasi linier dapat dilakukan dengan

membuktikan bahwa T( )(...)()()... 22112211 nnnn vTcvTcvTcvcvcvc

Teorema 8.1.1

Jika T : V W adalah transformasi linier, maka:

a. T(

0 ) =

0

b. T(-

v ) = - T(

v ),

v V.

c. T(

v -

w ) = T(

v ) T(

w ),

v ,

w V.

Jika T : V W adalah transformasi linier dan jika { nvvv

,...,, 21 }adalah sebarang basis

untuk V, maka bayangan T(

v ) dari sebarang vektor

v V dapat dihitung dari bayangan-

bayangan vektor-vektor basis, yaitu T( 1

v ),T( 2

v ), ..., T( nv

).

Caranya adalah:

1. Nyatakan

v sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis, yaitu

v = nn vcvcvc

...2211

2. T(

v ) = T( nn vcvcvc

...2211 )

= )(...)()( 2211 nn vTcvTcvTc

Jadi, suatu transformasi linier ditentukan secara lengkap oleh bayangan-bayangan vektor

vektor basis.

Contoh:

Misalkan basis S = { 321 ,,

vvv } basis di R3, dimana 1

v = (1,1,1), 2

v = (1,1,0) dan

3

v = (1,0,0). T : R3

R3 operator linier T( 1

v ) = (2, -1,4), T( 2

v ) = (3,0,1) dan

T(3

v

) = (-1, 5,1). Cari formula untuk T(x1,x2,x3) dan kemudian hitung T(2,4,-1)!

3

Definisi :

Jika T1 : UV dan T2 : VW adalah transformasi linier, komposisi dari T2 dengan T1

dinotasikan dengan T2 T1 adalah fungsi dengan formula (T2 T1)(

u ) = T2 (T1(

u )),

dimana

u U. Perhatikan gambar 1 !

Gambar1

Teorema 8.1.2

Jika T1 : UV dan T2 : VW adalah transformasi linier, maka (T2 T1) : UW juga

transformasi linier.

Catatan : Komposisi transformasi linier dapat juga didefinisikan untuk lebih dari dua

transformasi linier.

8.2. KERNEL DAN RANGE

Definisi :

Jika T : V W adalah transformasi linier, Kernel dari T (ker(T)) adalah himpunan

semua vektor-vektor di V yang dipetakan ke

0 . Range dari T (R(T)) adalah himpunan

semua vektor di W yang merupakan bayangan oleh T dari paling sedikit satu vektor di V.

Contoh :

1. TA : Rn R

m adalah perkalian oleh matriks Amxn, atau AX = b.

Ker(TA) = nullspace (ruang nol) dari A

R(TA) = ruang kolom dari A

2. T : V W adalah transformasi nol

Ker(T) = V dan R(T) = {

0 }

3. I : V V adalah operator identitas

Ker(T) = {

0 }dan R(T) = V

4

4. T : V V dengan T(

v ) = 3

v

Ker(T) = dan R(T) =

5. T : R2 R2, dengan T(x,y) = (2x - y, -8x + 4y)

Ker(T) = dan R(T) =

Teorema 8.2.1

Jika T : V W adalah transformasi linier, maka

a. Kernel dari T (ker(T)) adalah subruang dari V

b. Range dari T (R(T)) adalah subruang dari W

Definisi :

Jika T : V W adalah transformasi linier, maka dimensi dari range T disebut rank dari

T atau rank(T), dimensi dari kernel T disebut nullitas dari T atau nullitas (T).

Teorema 8.2.2

Jika A adalah matriks mxn dan TA : Rn

Rm

adalah perkalian oleh matriks Amxn, maka

a. nullitas(TA) = nullitas dari A

b. rank(TA) = rank (A)

Teorema 8.2.3

Jika T : V W adalah transformasi linier dari ruang vektor V berdimensi n ke ruang

vektor W, maka rank(T) + nullitas (T) = n.

8.3 INVERS TRANSFORMASI LINIER

Definisi :

Suatu transformasi linier T : V W disebut satu-satu jika T memetakan setiap vektor

yang berbeda di V ke vektor yang berbeda di W.

Contoh :

1. TA : Rn

Rn adalah perkalian dengan matriks A

TA satu-satu jika dan hanya jika A invertible ( teorema 4.3.1)

Untuk nomor 2-4, tentukan apakah T satu-satu ?

5

2. T : Pn Pn+1 , dengan T(

p ) = T(p(x)) = xp(x),

3. T : R2 R2, T(x,y) = (x + y, x - y)

4. T : R2 R2, T(x,y) = (0, 2x +3y)

Teorema 8.3.1

Jika T : V W adalah transformasi linier, maka yang berikut ekivalen

a. T satu-satu

b. Ker(T) = {

0 }

c. Nullitas (T) = 0

d. ika W = V maka R(T) = V

Jika T : V W adalah transformasi linier dan satu-satu maka ada invers dari T, yaitu T-1

.

Jika T memetakan

v V ke

w = T(

v )W maka T-1

memetakan

w = T(

v )W

ke

v V .

Perhatikan gambar 2 :

T-1

(T(

v )) = T-1

(

w ) =

v

T (T-1

(

w )) = T(

v ) =

w

Domain dari T-1

adalah range dari T atau R(T).

Gambar2

Contoh :

T : R3

R3, apakah T mempunyai invers ? Jika ya, cari T

-1 !

1. T(x1,x2,x3) = (x1+5x2+2x3, x1+2x2+x3, -x1+x2)

2. T(x1,x2,x3) = (x1+4x2-x3, x1+2x2+x3, -x1+x2)

6

T(

x )

x

T

Vektor di V

Vektor di Rn

[(T(

x )]B

A Vektor

di Rm

Vektor

di W

[

x ]B

Teorema 8.3.3

Jika T1 : UV dan T2 : VW adalah transformasi linier satu-satu, maka

a. (T2 T1) satu-satu

b. (T2 T1) -1

= T1-1

T2-1

Secara umum,

( Tn Tn-1. T2T1 )-1

= T1-1

T2-1

Tn-1-1

Tn-1

8.4. MATRIKS DAN TRANSFORMASI LINIER

Misalkan: V ruang vektor berdimensi n, B merupakan basis V

W ruang vektor berdimensi m, B merupakan basis W

T : VW

Perhatikan bagan berikut !

A[

x ]B = [T(

x )]B

A disebut matriks untuk T relatif terhadap basis B dan B.

Bagaimana bentuk A?

Misalkan B ={ nuuu

,...,, 21 }, B = { },...,, 21 mvvv

.

Akan dicari A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

sedemikian hingga A[

x ]B = [T(

x )]B,

x V.

Sehingga persamaan A[

x ]B = [T(

x )]B juga berlaku untuk nuuu

,...,, 21 V.

7

Berarti A[ 1

u ]B = [T( 1

u )]B

A[ 2

u ]B = [T( 2

u )]B

A[ nu

]B = [T( nu

)]B

Tetapi

[ 1

u ]B =

0

0

1

, [ 2

u ]B =

0

1

0

dan [ nu

]B =

1

0

0

sehingga

A[ 1

u ]B =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

0

0

1

=

1

21

11

ma

a

a

= [T( 1

u )]B

A[ 2

u ]B =

2

22

12

ma

a

a

= [T( 2

u )]B , , A[ nu

]B =

mn

n

n

a

a

a

2

1

= [T( nu

)]B

Berarti, A =

''2'1 )]([||)]([|)]([ BnBB uTuTuT = [T]B,B

Jadi matriks untuk T relatif terhadap basis B dan B adalah [T]B,B dengan sifat :

[T]B,B[

x ]B = [T(

x )]B

Jika T : VV operator linier dengan basis B = { nuuu

,...,, 21 }, maka matriks T relatif

terhadap basis B adalah

[T]B =

BnBB uTuTuT )]([||)]([|)]([ 21

dengan sifat

[T]B[

x ]B = [T(

x )]B

8

Teorema 8.4.1

Jika T : Rn

Rm

adalah transformasi linier dan jika B dan B adalah basis standar untuk

Rn

dan Rm

, maka

[T]B,B = [T]

Untuk

x Rn, maka [T]

x = T(

x )

T : V W adalah transformasi linier. Untuk mencari T(

x ) perhatikan gambar 3.

Gambar 3

Langkah-langkah mencari T(

x )

I. Cara Langsung

II. Cara tidak langsung :

1. Cari matriks koordinat [

x ]B

2. Kalikan [

x ]B dengan [T]B,B dari kiri, diperoleh [T(

x )]B

3. Berdasarkan [T(

x )]B, cari T(

x )

Contoh :

1. T : P2 P3 adalah transformasi linier dengan T(p(x)) = x p(x)

a. Cari matriks untuk T relatif terhadap basis standar B = { 321 ,,

uuu }dan

B={ },,, 4321

vvvv , dimana 1

u = 1, 2

u = x , 3

u = x2 ; 1

v = 1, 2

v = x, 3

v =

x2 dan 4

v = x3.

Jawab :

9

[T]B,B =

''2'1 )]([|)]([|)]([ BnBB uTuTuT

T( 1

u ) = T(1) = x, T( 2

u ) = T(x) = x2 dan T( 3

u ) = T(x2) = x

3

[T( 1

u )]B =

0

0

1

0

, [T( 2

u )]B =

0

1

0

0

dan [T( 3

u )]B =

1

0

0

0

sehingga

[T]B,B =

100

010

001

000

.

b. Hitung dengan cara tidak langsung T(2+x+2x2)

Misalkan

p = p(x) = 2+x+2x2

[

p ]B =

2

1

2

, [T]B,B[

p ]B = [T(

p )]B

[T(

p )]B =

100

010

001

000

2

1

2

=

2

1

2

0

[T(

p )] = 0 + 2x + x2

+ 2x3 = 2x + x

2 + 2x

3

c. Hitung dengan cara langsung

[T(

p )] = T(2+x+2x2) = x(2+x+2x

2) = 2x+x

2+2x

3

2. T : R2 R3, dengan T

2

1

x

x=

0

2

1

21

x

xx

a. Cari matriks [T]B,B, dengan B = { 21 ,

uu } dan B = { },, 321

vvv dengan

10

1

u =

3

1, 2

u =

4

2, 1

v =

1

1

1

, 2

v =

0

2

2

dan 3

v =

0

0

3

b. Apakah memenuhi formula [T]B,B[

x ]B = [T(

x )]B ,

x R2 ?

8.5. SIMILARITAS

Misalkan T : R2

R2, dengan T

2

1

x

x=

21

21

42 xx

xx.

Jika B basis standar atau B = { 21 ,

ee }maka matriks untuk T yang bersesuaian

dengan basis B adalah [T]B =

BB eTeT )]([|)]([ 21 =

42

11

Jika B = { 21 ,

uu } bukan basis standar, dimana 1

u =

1

1, 2

u =

2

1, maka matriks

untuk T yang bersesuaian dengan basis B adalah

[T]B =

'2'1 )]([|)]([ BB uTuT =

30

02

Teorema 8.5.1

Jika B dan B adalah basis untuk ruang vektor V berdimensi hingga dan jika I : V V

adalah operator identitas, maka [I]B,B adalah matriks transisi dari B ke B

Gambar 4

Permasalahan

1. Bagaimana cara mendapatkan matriks untuk T dalam bentuk yang paling

sederhana ?

Pilih basis untuk V yang membuat matriks untuk T sesederhana mungkin, yaitu

pertama cari matriks untuk T yang bersesuaian dengan sebarang basis, misal basis

11

standar. Kemudian basis tersebut diubah sedemikian hingga matriks untuk T

menjadi lebih sederhana.

2. Jika B dan B adalah basis untuk ruang vektor berdimensi hingga V dan

T: V V adalah operator linier, apa hubungan antara [T]B dengan [T]B ?

Perhatikan gambar 5!

Gambar 5

T = I T I

[T]B ,B = [IT I] B ,B = [I]B ,B [T]B, B[I]B,B atau

[T]B = [I]B ,B [T]B[I]B,B

Misalkan P adalah matriks transisi dari B ke B atau P = [I]B,B, maka [I]B ,B = matrik

transisi dari B ke B = P-1

. Jadi,

[T]B = P-1

[T]B P

Contoh:

1. Misalkan T : R2 R2 dengan T

2

1

x

x=

21

21

42 xx

xxdengan basis standar .

Maka [T]B =

42

11.

Misalkan B={ ',' 21

uu } dengan 1

u =

1

1, 2

u =

2

1, maka matriks transisi dari B

ke B = P adalah P =

BB uu ]'[|]'[ 21 =

21

11dan P

-1 =

11

12

Sehingga [T]B = P-1

[T]B P =

11

12

42

11

21

11=

30

02.

12

2. Misalkan T : R2 R2 dengan T

2

1

x

x=

21

21

42 xx

xx. Cari sebuah basis untuk R

2

sedemikian hingga matriks untuk T diagonal !

Definisi :

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar, B dikatakan similar dengan A jika terdapat

matriks P yang invertibel sedemikian hingga B = P-1

AP.

Definisi :

Suatu sifat dari matriks bujur sangkar disebut similarity invariant atau invarian di bawah

similaritas jika sifat tersebut dimiliki oleh dua matriks yang similar.

Tabel 1. Similarity invariant :

1.Determinan A dan P-1

AP mempunyai determinan yang sama

2. Invertibility A invertible jika dan hanya jika P-1

AP invertible

3.Rank A dan P-1

AP mempunyai rank yang sama

4. Nullitas A dan P-1

AP mempunyai nullitas yang sama

5. Trace A dan P-1

AP mempunyai trace yang sama

6. Polinomial karakteristik A dan P-1

AP mempunyai polinomial karakteristik

yang sama

7. Nilai eigen A dan P-1

AP mempunyai nilai eigen yang sama

8. Dimensi ruang eigen Jika nilai eigen dari A dan P-1AP, maka ruang

eigen dari A yang berkaitan dengan dan nilai

eigen dari P-1

AP yang berkaitan dengan

mempunyai dimensi yang sama.

Nilai Eigen dari Operator Linier

Misalkan T: V V adalah operator linier. Misalkan (ada)

x 0 V T

x =

x ,

maka:

disebut nilai eigen dari T

x adalah vektor eigen untuk T yang bersesuaian dengan .

Ker ( I T) = ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan .

13

Sifat :

Jika B sebarang basis untuk ruang vektor V, maka:

1. Nilai-nilai eigen dari T = nilai-nilai eigen dari [T]B

2. Vektor

x adalah vektor eigen dari T jika dan hanya jika vektor [

x ]B adalah

vektor eigen dari [T]B.

Soal-soal:

1. Misalkan T : R2 R2 pemetaan dengan T(x,y) = (2x-y, -8x +4y).

a. Apakah T satu-satu ? Jelaskan!

b. Apakah ( -3,11) anggota dari range T? Jelaskan !

c. Apakah (1,2) anggota kernel T ? Jelaskan !

d. Cari matriks transformasinya

e. Perlihatkan bahwa setiap titik pada bidang xy dipetakan ke garis y = 4

1x.

2. B = {(1,2), (2,3)} dan B = {(1,3),(1,4)} adalah basis-basis untuk R2. Jika

T : R2

R2 pemetaan dengan T(x,y) = (2x-3y, x + y), carilah :

a. Matriks standar dari T

b. Matriks transformasi [T]B

c. Matriks transformasi [T]B

d. Tunjukkan bahwa [T]B dan [T]B similar.

3. T1 : P1 P2 transformasi linier sehingga T1(p(x)) = xp(x).

T2 : P2 P2 sehingga T2(p(x)) = p(2x+1)

B = {1,x} adalah basis P1 dan B = {1,x,x2} adalah basis P2.

a. Tunjukkan bahwa T2 adalah operator linier

b. Carilah [T2]B, [T1]B,B dan [T2T1]B,B