ALJABAR BOOLE

Ir. Tahir Ali dan Ir. Elyas

ALJABAR BOOLE

Pada tahun 1854 Boole menemukan cara baru untuk berfikir dan menjelaskan berbagai hal. Boole melihat adanya suatu pola dalam cara berfikir kita yang memungkinkan untuk menciptakan Logika Simbolis. Suatu penalaran berdasarkan pada manipulasi huruf-huruf dan lambang-lambang. Logika simbolis menyerupai aljabar biasa.

1. Hukum-hukum Dasar Aljabar Boole

a. Hukum Asosiatif

A.B.C = (A.B).C = A.(B.C) = (A.C).B

A + B + C = ( A + B ) + C = A + ( B + C) = ( A + C ) + B

Jika penyalinannya berbeda-beda, maka hukum ini tidak berlaku

A.B + C ( A.(B + C)

b. Hukum Komutatif

A . B = B . A

( A + B ) = ( B + A )

AB(A.B)(B.A)AB(A+B)(B+A)

0

0

1

10

1

0

10

0

0

10

0

0

10

0

1

10

1

0

10

1

1

10

1

1

1

c. Hukum Idempotent (Hukum Perluasan)

A.A = A

A+A = A

A.A.A ...= A

A+A+A+...+A = A

d. Hukum Identitas

A = A = A = ...dst

e. Hukum Komplementasi

A.(A = 0

A +(A = 1

A(AA.(AA+(A

0

11

00

01

1

f. Hukum penyalinan dengan suatu konstanta

A.1 = AA+1 = 1

A.0 = 0A+0 = A

g. Hukum pembalikan

A = A

A = A

h. Hukum Absorbsi

A+(A.B) = A

A(A+B) = A

Bukti :

Bukti :

A+(A.B) = A

A.(A+B) = A

(A.1)+(A.B)= A

(A.A)+(A.B) = A

A.(1 + B)= A

A + A.B = A

A.1= A

(A.1)+(A.B) = A

A.(1+B) = A

A.1 = A

A + ((A.B) = A + B

A.((A + B) = A.B

Bukti :

Bukti :

A+((A.B) =(A.A)+((A.B)

A.((A + B) = (A.(A) + (A.B)

=(A+(A).(A+B)

= 0 + (A.B)

= 1 . (A+B)

= A.B

= (A + B)

ABA.BA+(A.B)ABA+BA(A+B)

0

0

1

10

1

0

10

0

0

10

0

1

10

0

1

10

1

0

10

1

1

10

0

1

1

A(AB(A.BA+((A.B)A+B(A+BA.((A+B)A.B

0

0

1

11

1

0

00

1

0

10

1

0

00

1

1

10

1

1

11

1

0

10

0

0

10

0

0

1

i. Hukum Distributif

A.(B+C) = (A.B) + (A.C)

ABCB+CA.(B+C)A.BA.C(A.B)+(A.C)

0

0

0

0

1

1

1

10

0

1

1

0

0

1

10

1

0

1

0

1

0

10

1

1

1

0

1

1

10

0

0

0

0

1

1

10

0

0

0

0

0

1

10

0

0

0

0

1

0

10

0

0

0

0

1

1

1

A+(B.C) = (A+B).(A+C)

ABCB.CA+(B.C)A+BA+C(A+B).(A+C)

0

0

0

0

1

1

1

10

0

1

1

0

0

1

10

1

0

1

0

1

0

10

0

0

1

0

0

0

10

0

0

1

1

1

1

10

0

1

1

1

1

1

10

1

0

1

1

1

1

10

0

0

1

1

1

1

1

j. Hukum De Morgan

Hukum-hukum De Morgan termasuk yang terpenting dalam aljabar Boole

a. Pengalih suatu fungsi AND yang terdiri dari elemen-elemen variabel yang dibalikkan menjadi fungsi OR yang di balik.

Contoh : A.B = (A + (B (A + (B = A.B

b. Penyalinan suatu fungsi OR dari elemen-elemen variabel yang dibalikkan (diinversi) menjadi fungsi AND yang dibalikkan

Contoh : (A + (B = A.B (A.(B = A+B (A.(B = A + B

Bukti :

(AAB(B(A.(B(A+(BA+BA.B

1

1

0

00

0

1

10

1

0

11

0

1

01

0

0

01

1

1

00

1

1

10

0

0

1

(AAB(BA+BA.B(A+(B(A.(B

1

1

0

00

0

1

10

1

0

11

0

1

01

0

0

01

1

1

00

0

0

10

1

1

1

Maka untuk melakukan pengubahan menggunakan Hukum De Morgan berlaku asas :

1. Simbol penyalinan fungsi AND diubah menjadi fungsi NOR.

2. Simbol penyalinan menggunakan fungsi OR nerubah menjadi NAND.

3. Tiap-tiap suku dari dari ungkapan dibalik sendiri-sendiri.

Contoh :

A.(B+C) = (A + (B+C) = (A + ((B.(C)

A.(B.C) = (A + (B.C) = (A + ((B+(C)

2. Penyederhanaan Fungsi-fungsi Persamaan Boole

2.1. Penyederhanaan fungsi secara Aljabar.

Penyederhaan fungsi-fungsi secara aljabar dilakukan dengan menggunakan hukum-hukum dasar Aljabar Boole.

Contoh 1: Sederhanakan fungsi-fungsi persamaan dibawah ini:

E = A.C +A.D + B.C + B.D

Maka dengan menggunakan hukum Distributif, akan diperoleh :

E = {A.(C+D)} + {B.(C+D)}

E = (A+B).(C+D)

Fungsi tersebut sebelum penyederhanaan membutuhkan 4 buah gerbang AND 2 input dan 1 buah gerbang OR 4 masukan. Sedangkan setelah proses penyederhanaan hanya membutuhkan 2 gerbang OR 2 input dan 1 gerbang AND 2 input.

Contoh 2:

Diruang kontrol terdapat 3 buah alat pendingin yang harus diawasi melalui 4 buah lampu. Persyaratannya: Bila tidak alat yang bekerja maka lampu L1 menyala, bila satu alat yang bekerja lampu L2 menyala, bila dua alat yang bekerja maka lampu L3 menyala, dan bila tiga alat yang bekerja maka lampu L4 menyala. Tuliskan persamaan Aljabar Boole-nya dengan cara SOP dan POS.

Solusi :

Input Output

ABCL1L2L3L4

0

0

0

0

1

1

1

10

0

1

1

0

0

1

10

1

0

1

0

1

0

11

0

0

0

0

0

0

00

1

1

0

1

0

0

00

0

0

1

0

1

1

00

0

0

0

0

0

0

1

Dari tabel kebenaran dapat dilihat :

L1 menyala bila (A =1 (B=1 dan (C =1 sehingga:

L1 = (A.(B.(C

L2 menyala bila, (A=1,(B=1, C=1 atau (A=1, B=1, dan (C=1 atau A=1,(B=1, dan(C=1 sehingga dapt dituliskan menjadi: L3=((A.(B. C +(A. B.(C + A.(B.(C)

L3 menyala bila, (A=1, B=1 dan C=1 atau A=1,(B=1 dan C=1 atau A=1, B=1 dan (C=1 sehingga dapat dituliskan menjadi L3 = ((A. B. C + A.(B. C + A. B.(C)

L4 menyala bila A=1, B=1 dan C=1 sehinga diperoleh persamaan L4 = A.B.C

Keempat persamaan Aljabar Boole diatas dituliskan dalam bentuk standart disjunctif atau biasanya disebut Sum Of Product (SOP). Bentuk standart disjunctif dibuat dengan menyalin terlebih dahulu secara konjunctif tiap-tiap besaran masukan yang berlogika-1 pada outputnya dan kemudian dijalin lagi bentuk konjunctif tersebut secara disjunctif.

Kebalikan dari bentuk standart disjunctif adalah bentuk standar konjucntif yang biasa disebut Product Of Sum (POS). Bentuk standat konjuctif dibuat dengan menyalin dahulu secara disjunctif tiap-tiap besaran input yang berlogika-0 pada outputnya dan kemudian menyalin lagi bentuk disjunctif tersebut secara konjunctif.

Contoh 3 :

Perhatikan tabel kebenaran berikut ini, buatlah persamaan Boolenya secara SOP dan POS

ABT

0

0

1

10

1

0

11

0

1

1

Bentuk disjunctif (SOP)

T = ((A.(B ) + ( A.(B ) + ( A + B )

Dengan melakukan perluasan pada A.(B tanpa mengubah nilai logika T, persamaan diatas menjadi:

T = ((A.(B ) + (A.(B) + (A.B) + (A.(B)

T = {(B ((A + A)} + {A.((B + B)}

T = ((B.1) + ( A.1)

T = A +(B

Bentuk standart konjuctif (POS)

T = A +(B

Gambar :

Contoh 4 :ABT

0

0

1

10

1

0

10

0

1

0

SOP (disjucntif)

T = A.(B

POS (Konjunctif)

T = ((A +(B ).( A+(B ).( A + B )

Dilakukan perluasan terhadap ( A+(B) dengan tidak merubah nilai logika output-T, sehingga diperoleh :

T = (A+B).(A+(B).((A+(B).(A+(B)

T = {A + (B.(B)}.{(B + (A.(A)}

T = A.(B

2.2. Penyederhanaan Persamaan Boole Dengan Metode Grafik

Metode penyederhanaan persamaan Boole, yang paling sering digunakan, melalui metode ini adalah menggunakan PETA KARNAUGH VEITCH atau yang sering juga disebut sbg DIAGRAM KARNAUGH (KARNAUG MAP).

Jumlah kotak persegi empat pada K-Map ditentukan oleh jumlah kemungkinan kombinasi dari semua variabel masukannya(input). Misalnya jika terdsapat dua variable input pada masukannya maka jumlah kemungkinan variasi adalah 22= 4 kemungkinan jumlah kotak persegi pada K-Map.

Bila jumlah kotak persegi pada K-Map sudah ditentukan, maka tiap-tiap kotak harus ditandai sendiri-sendiri.Sebagai contoh bila variabel input data ada 2, maka ada 4 kotak yang ditandai dengan A,(A, B dan(B. Urutan penandaan diatur sedemikan rupa sehingga pada peralihan dari satu kotak kekotak disebelahnya hanya boleh berbeda satu variabel (satu nilai logika) saja. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut :

B A(AA

(A.(BA.(B0010atau(B

(A.BA.B0111B

Untuk menyatakan fungsi logika dengan tiga variabel masukan :

(AA(A(B(A BA BA(B

(C(A(B(C(A B(CA B(CA(B(C(C

C(A(B C(A B CA B C A(B CatauC

(BB(B

Titik total penyederhanaan (minimmisasi) dengan diagram K-Map terletak pada bentuk standart disjunctif. Bentuk standart yang diperoleh dari tabel kebenaran dapat disederhanakan dengan bantuan diagram. Diagram merupakan terjemahan dari persamaan yang dibentuk dari tabel kebenaran. Karena tiap-tiap kotak diuji dengan nilai logika-1 atau 0 sesuai dengan output dari tabel kebenaran.

Penyederhanaan atau minimisasi dilakukan dengan mengelompokkan kotak-kotak yang bertetangga, yang bernilai logika-1, menjadi satu blok yang bergantung daari besarnya digram, dapat terdiri dari 2,4,8 kotak,... dsb. Blok demekian dapat dianggap satu kotak yang ditandai dengan variabel dipinggirnya. Satu kotak yang telah dikelompokkan dalam satu blok dapat dikelompokkan lgi dengan blok lain. Selama pengelompokkan dapat menciptakan blok yang baru, maka pengelompokan berganda dari suatu kotak selalu membawa penyederhanaan.

Kotak yang tidak termasuk dalam suatu kelompok atau blok akan ditandai oleh variabel berpadanan seperti semula. Persamaan baru yang disederhanakan merupakan penjumlahan dari semua blok dari sisa kotak yang berlogika 1.

Contoh 5 : sederhanakan

ABT

0

0

1

10

1

0

11

1

0

0

Solusi :

a) Berdasarkan tabel kebenaran diatas, maka persamaan Al-Jabarnya adalah T=((A.(B)+((A.B)...... standart disjunctif.

b) Selanjutnya dibuat diagram K-Map dengan mengalihkan persamaan kedalam kotak-kotak berpadanan.

c) Selanjutnya menyusul pengelompokan kotak-kotak bertetangga yang bernilai logika-1. Diagram diatas memungkinkan pembentukan 1 blok berkotak-kotak secara khas yang ditandai dengan huruf pinggir (A. Tidak ada kotak yang bernilai logika-1 yang tersisa. Sehingga hasil penyederhanaannya adalah : T = (A.

Aturan Dasar Untuk Melakukan Penyederhanaan Dengan Menggunakan K-Map

a) Peta digambar sedemikan rupa sehingga kotak-kotak yang bersebelahan hanya berbeda satu variabel.

b) Suku-suku dari persamaan yang akan disederhanakan dimasukkan kedalam kotak yang besesuaian dengan cara memberi logika-1 didalamnya.

c) Bila pada kotak persegi yang bersebelahan terdapat logika-1, maka variabel yang berbeda pada kedua kotak tersebut dihilangkan (Hukum komplementasi). Sehingga pada suku tersebut hanya Variabel yang sama yang merupakan bagian dari hasil akhir dari hasil penyederhanaan.

d) Jika semua suku telah disederhanakan, persamaan akhir diperoleh dengan menuliskan semua suku-suku yang telah disederhanakan itu dalam bentuk standar disjunctif.

Selanjutnya aturan pembentukan Loop dapt kita perluas untuk banyak variabel masukan (input), SEBAGAI CONTOH 5 Variabel input, berikut ini:

Output (T) = Output-Loop I + Output Loop-II

Sehingga hasil akhir proses penyederhaan akan menghasilkan T = (A.B.(D)+((A.D(E)

3. Dari Tabel-Tabel Kebenaran Karnaugh Map

Kadang-kadang bukan persamaan Boole yang diberikan tetapi tabel kebenarannya. Karena baik tabek kebenaran maupun peta karnaugh menyajikan semua kombinasi variabel yang mungkin terjadi, maka pemetaan karnaugh sebenarnya hanya merupakan cara penyajian yang lain dari suatu tabel kebenaran.Jadi data dapat langsung dialijkan dari tabel kebenaran ke karnaugh map dan persamaan dapat diturunkan dari peta dalam bentuk disjunctif.

Contoh, misalkan suku A.B.(C.D dari sebuah fungsi mempunyai 4 variabel input, maka suku ini harus dimasukkan kedalam peta karnaugh sebagai nilai satu pada kotak yang berpadanan. Pada tabel kebenaran suku-suku ini diwakili oleh kode input 1101 yaitu logika-1 untuk input D, logika1-0 untuk input C logika-1 untuk input B dan logika-1 untuk input A. Serta bila suku A.B.(C.D muncul dalam persamaan (fungsi), maka niali fungsi (suku A.B.(C.D) ini diberi logika-1. Hal ini berarti bahwa bila logika-1 muncul pada lajur fungsi dari kolom fungsi maka pada kotak yang berpadanan dari peta karnaugh juga diberi logika-1.

Contoh 6: Sederhanakan tabel kobenaran dibawah ini :

DCBAT(Output)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

10

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

10

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

10

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

10

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

Solusi :

Berdasarkan hasil pembentukan loop pada K-map maka diperoleh hasil penyederhanaan

Sebagai berikut :

T = (A.(B) + C

4. Keadaan Tidak Diacuhkan (Dont Care)

Pada tabel kebenaran, kadang-kadang, terdapat kondisi yang tidak perlu diacuhkan. Artinya untuk kombinasu nilai variabel yang bersangkutan kondisi fungsi tidak dipersyaratkan, jadi bisa 0(nol), atai bisa 1(satu). Situasi seperti ini dapat terjadi bila kombinasi nilai variabel tertentu tidak mungkin terjadi.

Misalnya dari suatu tabel kebenaran, dapat saja terjadi bahwa hanya 6 kombinasi (dari 8 kombinasi) keadaan variabel saja yang digunakan dalam sistem logika yang di desain, karena kedua variabel tidak akan pernah muncul (110 dan 111).

Dalam keadaan yang demikian variabel yang tidak digunakan diberi tanda X (silang) dilajur fungsinya pada tabel kebenaran dan jugha pada peta K-Map didalam suku-suku kotak yang bersesuaian.

Pada proses penyederhanaannya (atau pembentukan bloknya) keadaan dont care ini dapat dianggap sebagai logika-1 atau logika-0, tergantung mana yang sesuai untuk penyederhanaan.

Contoh 7: sederhanakanlah persamaan berikut ini :

T = (A.(B.C.D +(A.(B.C.(D +(A.B.C.D + A.(B.(C.(D

Dengan dont care A.B.(C.(D, A.B.(C.D, A.B.C.D, A.(B.C.D, A.B.C.(D, A.(B.C.(D.

Solusi :

Hasil penyederhanaannya adalah :

T =(A.(D)+(C.D)+((B.C)

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

EMBED Visio.Drawing.4

Syarat pembentukan Loop harus bersebrangan dengan beda variabel berlogika-1.

Harus diperhatikan urutan variabel dari tabel kebenaran dan peta karnough

1.Nilai x (dont care) bergantung pada pembentukan loop-nya.

2.Dalam proses pembentukan loop yang harus diperhatikan adalah suku yang berlogika-1, dont care tidak perlu diperhatikan.

3.Dont care boleh digunakan, dan boleh juga tidak digunakan, dalam pembentukan loop. Sehingga apabila sudah tidak ada yang berlogika 1 maka dont care (x) tidsa perlu digunakan lagi.

_982124545.vsd

_982131726.vsd

_982137340.vsd

_982137381.vsd

_982139842.vsd

_982134866.vsd

_982137250.vsd

_982132753.vsd

_982129740.vsd

_982131162.vsd

_982125564.vsd

_981873884.vsd

_982082395.vsd

_981873173.vsd