Bab2Orbitdalamruang

8/13/2019 Bab2Orbitdalamruang

http://slidepdf.com/reader/full/bab2orbitdalamruang 1/41

Suryadi Siregar Mekanika Benda

Langit

Bab 2

Orbit Dalam Ruang _____________________________________________________________________

Pada paragraf yang lalu telah diuraikan bahwa suatu lintasan di dalam ruang

ditentukan oleh bentuk orbit dan orientasinya. Bentuk geometri suatu orbit dicerminkan

oleh oleh dua unsur yaitu elemen geometri dan elemen orientasi. Elemen orientasi

adalah sudut simpul naik, Ω, argumen perihelium ω dan inklinasi i . Sedangkan elemen

geometri ialah setengah sumbu panjang elips, a , eksentrisitas, e .

Gambar ! "rbit anggota #ata Surya relatif terhadap bidang ekliptika dengan $atahari

sebagai salah satu titik api lintasan berbentuk elips.

Periode orbit, P dan saat terakhir melewati titik terdekat dengan titik fokus

lintasannya yang berbentuk elips,T disebut elemen dinamik. Seandainya kala edar P

diketahui maka masalah yang harus dipecahkan adalah bagaimana menyatakan koordinat

polar benda langit sebagai fungsi waktu. %ari pengetahuan ini kita akan dapat

menentukan posisi benda langit tersebut dalam koordinat ekuatorial, asensio rekta, α dan

deklinasi, δ. &ntuk keperluan ini tinjaulah ilustrasi yang diragakan dalam Gambar. !

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+




Langit

Gambar ! *lustrasi orbit elips dan lintasan bantu 'epler lingkaran putus!putus dengan

jejari , a-

(ndaikan m adalah Satelit Planet- yang bergerak mengorbit Bumi $atahari-, m+ dan

misalkan pula koordinat polar titik massa m pada saat t adalah r , f -. %alam hal ini r ,

menyatakan jarak m terhadap m+ sedangkan f , adalah sudut yang dibentuk oleh radius

ektor r terhadap sumbu referensi yang kita pilih. Selanjutnya definisikan besaran

berikut/

a- (nomali benar true anomaly- f , adalah sudut yang diukur searah dengan gerak

titik perige terhadap garis ektor yang menghubungkan m dengan m+.

b- (nomali eksentrik eccentric anomaly- E, yaitu sudut pada pusat lingkaran yang

diukur dari perige dalam arah yang sama seperti halnya f .

c- (nomali rata!rata mean anomaly- M , dinyatakan sebagai sudut yang ditempuh

oleh radius ektor r , rata!rata selama satu satuan waktu sejak meninggalkan titik

perige.

( ) ( )T t nT t P

M −=−= π

!+-

0arga n dapat ditentukan dari kaedah hukum 'epler *** yaitu /

( ) 121++ −

+= amk n !-

%alam hal ini 3 T 4 saat terakhir melewati perige1perihelium

k 4 konstanta Gauss

m 4 dinyatakan dalam massa Bumi1$atahari

n 4 dalam radian persatuan waktu

2.1 Pernyataan persamaan lintasan&ntuk membahas persamaan lintasan akan digunakan bantuan geometri seperti

yang diperlihatkan dalam Gambar. !.

'ita lihat bahwa/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !




Langit

S 2 K : LK = b : a atau r sin f : a sin E !2-

#erlihat pula bahwa/

S 1 K = r cos f = a cos E –ae !5-

dan S 2 K = r sin f = a + sine E − !6-

%ari kedua pernyatan ini dapat dihitung bahwa/

(r cos f)2 +(r sin f)2 = a2( + – e2 ) sin 2 E + ( a cos E – ae )2 !7-

(tau r = a ( + – e cos E ) !8-

%engan mengingat hubungan trigonometri, cos f 4 +! sin f 1- dengan cara yang sama

kita peroleh/

( ) ( ) sin + + cos

f r a e E = + −

( ) ( ) cos + + cos

f r a e E = − +

(tau+

tan tan +

f e E

e

+=

− !9-

Berdasarkan hukum 'epler *** dapat juga diturunkan dengan cara berikut/ yaitu pada

saat T , m ada di titik terdekat dengan massa m+ selanjutnya terlihat pula bahwa/

:uas S+SP 4 ( ) ( )+ +

ab t T ab t T abM P P π π − = − = ÷

%isamping itu luas S+SP dapat juga dihitung dengan cara yang lain yakni/

:uas S+SP 4 :uas 'PS ; :uas S+S'

abM

+ 4 ( ) ( )

+ +cos sin sin cos

ab E e E ab E E E − + − , atau dapat ditulis

M = E –e sin E !<-

Persamaan ini disebut dengan persamaan 'epler. =ilai E dapat dihitung dari persamaan

'epler bila M dan e diketahui. Bila eksentrisitas, e cukup kecil, dalam hal ini e > ?,

seperti halnya orbit planet dan mayoritas satelit buatan, persamaan ini dapat diuraikandalam deret )ourier yang bentuknya dinyatakan oleh persamaan berikut/

+

-sink

k

E M J ke kM k

∞

=

= + ∑ !+?-

%alam hal ini J k adalah fungsi Bessel, contoh untuk k 4 2 adalah/

2+sin sin 2sin 2 sin -

9

e E M e M M e M M = + + + − !++-

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !2




Langit

&ntuk keperluan praktis akan lebih mudah kalau persamaan 'epler diselesaikan dengan

metoda numerik =ewton!@aphson. Aaranya diberikan dalam algoritma dan flowchart

berikut/

2.2 Algoritma Newton-Raphson(f( E !f"( E ! E #! ! M $an E

+. Berikan nilai pemula E ? untuk harga E

. 0itung?

??

-

-

f E E E

f E = −

2. #est apakah, | E ! E ? | ≤ ε | E ? | bila ya proses dihentikan dan E adalah nilai

yang memenuhi. Bila tidak ambil E ? 4 E kembali ke langkah

Simbol pada algoritma diatas adalah ( ) f E persamaan 'epler dan ( ) f E ′ turunan

pertamanya. Sedangkan ε adalah presesi yang kita inginkan dan E ? harga pendekatan

awal anomali eksentrik yang kita ambil. Bila E telah dapat ditentukan maka r dan f dapat

kita hitung dari persamaan !8- dan !7-.

Sewaktu menggunakan algoritma ini perlu diperhatikan nilai pemula E ? . Perlu dihindari

titik stasioner yaitu titik dimana turunan pertama fungsi 'epler, ( )? f E ′ 4 ? dan titik

belok, yaitu titik dimana terjadi peralihan dari cekung ke atas ke cekung ke bawah atau

sebaliknya. #itik belok memenuhi syarat ( ) f E ′′ 4 ?, iterasi tidak akan pernah konergen

pada kedua titik ini. &ntuk itu dalam program komputer perlu dibuat subroutine guna

menghindari kedua kasus ini. )lowchart pada Gambar !.2 tidak meninjau kasus seperti

ini.

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !5




Langit

Gambar ! )lowchart solusi persamaan 'epler. %alam hal proses tidak konergen

ulangi proses dengan mengambil harga E ? yang berbeda.

2.% &ontoh 'asusSebuah titik massa m, CdilemparC dari planet Bumi dengan tujuan $ars. (ndaikan dalam

perjalanannya ke planet $ars, titik massa itu hanya dipengaruhi oleh gaya graitasi

$atahari. #entukankanlah kordinat r , f - titik massa tersebut, bila diketahui jarak $arsdari $atahari pada saat titik massa m dilemparkan adalah +,29 S( .

Penyelesaian 3

%eskripsi persoalan ini dijelaskan dengan diagram bantu seperti yang diragakan dalam

Gambar !5

Start

$,E? dan ε

|E!E? | ≤

E akar yang

dicari

E4E? ! fE-1fDE-

Selesai

E? 4 E

ya

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !6




Langit

Gambar ! %iagram lintasan $ars, gerak wahana yang dianggap sebagai titik massa m

dan orbit Bumi. ahana berpindah orbit dari orbit lingkaran ke orbit lingkaran yang lebih

besar.

Perhatikan gambar diatas, untuk titik m berlaku/

+. Farak Bumi!$ars pada saat itu merupakan sumbu panjang lintasan elips yang

akan ditempuhnya, jadi a 4 + ; +,29 4 ,29 S( dengn demikian a 4 +,+< S(

. Periode P dapat dicari dari hukum 'epler ***/

( ) 121++ −

+= amk n 4 ?,?+8+,+<- !+,6 4 ?,?+2 rad1hari

sehinggga P 4 π1n 4 587 hari

2. $enentukan eksentrisitas e/

Posisi perihelion r p = a+- e- 4 + S(Posisi aphelion r a 4 a+; e- 4 +,29 S(

%engan demikian kita peroleh eksentrisitas e 4 ?,+7 sehingga radius ektornya

dapat dihitung dari /+ - +,+7

+ cos - + ?,+7cos

a er

e f θ ω

−= =

+ − +&ntuk menentukan radius ektor r dan anomali benar f pada saat tertentu, kita

harus mengetahui lebih dahulu posisi Bumi dan $ars pada saat yang

bersangkutan konfigurasi umum ini diragakan pada Gambar !+6

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !7




Langit

Gambar ! 'onfigurasi planet $ars merah- dan Bumi biru-. Farak $ars dari Bumi

dapat dihitung dengan rumus kosinus / cos R r Rr ρ φ = + −

Sebagai contoh, misalkan kita ingin mendaratkan wahana pada saat jarak Bumi dan

$ars minimum yaitu sekitar tangggal ? (gustus +<7+. Fadi titik massa m harus kitaluncurkan P 1 atau 29 hari sebelum ? (gustus +<7+ jadi tanggal 7 %esember +<7?.

(nomali benar dan jarak wahana dari $atahari untuk berbagai tanggal diberikan dalam

#abel !+ berikut.

#abel ! Farak wahana dan anomali benar untuk berbagai saat pengamatan

=o #anggal

+<7+H

t!T

hari-

M

@adian-

f

derajad-

r

S(-

+ )ebruari, + 26 ?,572 27,5 +,?2

$aret ,+ 75 ?,958 75,7 +,?<

2 (pril, + <6 +,66 <?,5 +,+7

5 $ay, + +6 +,766 ++,7 +,56 Funi, + +67 ,?7 +2,7 +,2?

7 Fuli, + +97 ,57? +6?,9 +,26

8 (gustus, + +8 ,98 +79,7 +,28

Fika posisi wahana diketahui maka jarak wahana dari Bumi bisa dihitung, untuk itu

paragraf berikut menjelaskan cara menghitung koordinat ekuatorial wahana tersebut

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !8




Langit

Gambar ! Posisi m dalam sistem kartesis IJK. m+ menyatakan matahari dan m,

menunjukkan wahana.

%ari gambar diatas kita lihat bahwa /

x 4 r cos b cos l

4 r cos b sin l !+-

! 4 r sin b

atau dalam sistem koordinat yang baru dimana sumbu xD dambil sebagai garis

nodal, maka dapat dilihat bahwa/ xD 4 r cos b cos l ! Ω - 4 r cos f ; ω -

D 4 r cos b sin l ! Ω - 4 r sin f ; ω - cos i !+2-

! D 4 r sin b 4 r sin f ; ω - sin i

"leh sebab itu jika r ,b,l dan Ω diketahui maka xD, D dan ! D bisa dihitung.

Selanjutnya dari pernyataan ini dapat diturunkan beberapa hal yaitu/ menentukan

hubungan koordinat ekuatorial heliosentrik dan elemen posisi wahana

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !9




Langit

Gambar ! :intasan titik massa m dalam ruang. Sumbu x mengarah pada titik ernal

ekuinok posisi matahari terbit tanggal + $aret-.

%ari pernyataan !+2- dapat dilakukan beberapa kombinasi bila ini dilakukan maka dari

pernyataan diatas kita lihat bahwa/

tan ( l ! Ω ) = tan ( f + ω ) c"# i !+5-

tan b = sin ( l - ω ) tan i !+6-

Pernyataan ini menunjukkan bahwa bila inklinasi, i 4 π1 maka tan l ! Ω - 4 ? atau l 4

Ω , sedangkan b tidak dapat didefinisikan, demikian pula halnya apabila sin l ! ω - 4 ?

maka berakibat b 4?.

Fika m+ menyatakan $atahari dan kita ingin menentukan posisi m dalam tata

koordinat ekuatorial, maka kedudukan m dengan koordinat l ,b- bila dilihat dari Bumi

merupakan posisi m dalam koordinat ekuatorial heliosentrik. &ntuk menentukan α,δ-

bila dilihat dari Bumi dapat dicari dengan melakukan transformasi koordinat ekuatorial

heliosentrik ke koordinat ekuatorial geosentrik/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !<




Langit

Gambar ! 'onersi posisi ekuatorial heliosentrik ke tata koordinat ekuatorial

geosentrik.

%alam gambar diatas P menyatakan planet atau benda langit lainnya sedangkan

koordinat ekuatorial, α,δ- digunakan bila diamati dari Bumi dan l ,b- menyatakan

kedudukan titik massa m bila dilihat dari $atahari. Selanjutnya E, menyatakan Bumi

sebagai titik asal koordinat jadi posisinya adalah ?,?,?- dan S menyatakan $atahari

dengan koordinat $ ,% , & - dapat dilihat pada =autical (lmanac atau dihitung dengan

menggunakan algoritma $eeus +<<8-. (ndaikan bidang ξ!η adalah bidang ekuator

Bumi, maka $atahari akan mempunyai koordinat $ ,% , & -. 'edudukan relatif P terhadap

S adalah/

ξ = ξ ' + $ = ρ cos δ cos α

η = η ' + % = ρ cos δ sin α !+7-

ζ = ζ ' + & = ρ sin δ

(kibatnya kita mempunyai /

tan α 4ξ

η dan sin δ 4 ξ ξ ; η; ζ - !+1 !+8-

%engan demikian α dan δ dapat kita tentukan.

2- )enentu*an +lemen Orbit$enghitung orbit benda langit identik dengan menentukan elemen orbitnya

yaitu3 a e i Ω ω dan T . 'arena ada enam konstanta yang harus dihitung maka paling

sedikit harus ada tiga pasang data pengamatan mengenai α dan δ sebagai fungsi waktu.

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+?




Langit

$isalkan α+,δ+- , α,δ- menyatakan posisi ekuatorial geosentrik planet tersebut pada

saat t+ dan t dan λ,β- adalah longitude dan latitude planet tersebut. Farak planet ke

Bumi dinyatakan sebagai ρ maka dari pengetahuan tentang transformasi koordinat yangtelah dipelajari pada (stronomi Bola, dapat ditunjukkan bahwa/

sin β = sin δ cos ε - cos δ sin ε sin α

cos β sin λ = sin δ sin ε - cos δ cos ε sin α !+9-

cos β cos λ = cos δ cos α

%alam hal ini untuk perhitungan yang tidak memerlukan ketelitian tinggi dapat diambil

nilai ε 4 2?8D dengan demikian dari pernyataan diatas dapat dihitung λ+, β+ - dan λ,

β -, yaitu nilai λ, β - pada saat t+ dan t. $aka koordinat siku!siku ekliptika geosentrikadalah/

&ntuk waktu t+

x1 = ρ 1 cosβ 1 cos λ 1

1 = ρ 1 cos β 1 sin λ 1

! 1 = ρ 1 sin β 1

&ntuk waktu t

x2 = ρ 2 cos β 2 cos λ 2 2 = ρ 2 cos β 2 sin λ 2 !+<-

! 2 = ρ 2 sin β 2

'arena bidang orbit Bumi identik dengan bidang ekuator $atahari maka dapat dianggap

latitude $atahari , B ≅ ?

&ntuk waktu t+

$ 1 = R1 cos L1

% 1 = R1 sin L1

& 1 =

&ntuk waktu t

$ 2 = R2 cos L2

% 2 = R2 sin L2 !?-

& 2 =

%alam hal ini R dan L masing!masing adalah jarak Bumi!$atahari dan longitude

geosentrik $atahari. 'oordinat kartesis $atahari $ ,% , & - dapat dilihat pada =autical

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !++




Langit

(lmanac untuk setiap waktu t. &ntuk lebih jelas perhatikanlah Gambar !9 dengan

S,P,E dan r masing!masing menyatakan $atahari, Planet, Bumi dan jarak matahari ke

Planet.

Gambar ! 'onersi koordinat ekliptika heliosentrik ke sistem koordinat ekliptika

geosentrik.

%alam sistem baru ini l dan b adalah longitud dan latitude planet P dan ini adalah

koordinat heliosentrik P. 'emudian jika x?, ?, ! ?- menyatakan koordinat kartesis P

didalam sistem heliosentrik, maka kita mempunyai/ x = x – $ = r cos b cos l

= – % = r cos b sin l !+-

! = ! – & = r sin b

Pada saat t+ kita dapatkan/

x(t 1 ) = x1 – $ 1 = r 1 cos b1 cos l 1

(t 1 ) = 1 – % 1 = r 1 cos b1 sin l 1 !-

! (t 1 ) = ! 1 – & 1 = r 1 sin b1

Sedangkan untuk t kita peroleh/

x(t 2 ) = x2 – $ 2 = r 2 cos b2 cos l 2

(t 2 ) = 2 – % 2 = r 2 cos b2 sin l 2 !2-

! (t 2 ) = ! 2 – & 2 = r 2 sin b2

Substitusi persamaan !?- dan !+- pada pernyataan diatas maka kita peroleh/

r 1 cos b1 cos l 1 = ρ 1 cos β 1 cos λ 1 – R1 cos L1

r 1 cos b1 sin l 1 = ρ 1 cos β 1 sin λ 1 – R1 sin L1 !5-

r 1 sin l 1 = ρ 1 sin β 1

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+




Langit

dan /

r 2 cos b2 cos l 2 = ρ 2 cos β 2 cos λ 2 – R2 cos L2

r 2

cos b2

sin l 2

= ρ 2

cos β 2

sin λ 2

– R2

sin L2

!6-r 2 sin b2 = ρ 2 sin β 2

dalam pernyataan ini harga R1 R2 L1 L2 ,atau $ 1 % 1 $ 2 % 2 dapat dilihat pada =autical

(lmanac untuk saat t+ dan t . Selanjutnya nilai λ dan β dapat kita hitung. (ndaikan

lintasan planet mengelilingi $atahari dalam bentuk lingkaran, dengan perkataan lain r + 4

r jadi hanya satu besaran r yang perlu ditentukan. Selanjutnya ρ l dan b untuk t+ dan t

dapat kita tentukan. %engan mengambil kuadrat pernyataan r 2 cos b2 sin l 2 dan r 2 cos b2

cos l 2 dari persamaan !6- dan kemudian menjumlahkannya diperoleh/

r 22 = ρ 22 + R2

2 -2 ρ 2 R2 cos β 2 cos ( λ 2 –l 2 ) !7-

tetapi r + 4 r akibatnya jika r + diketahui maka ρ dapat dihitung dengan demikian pernyataan !2- dapat digunakan untk mencari l dan b . demikian pula jika ρ + dapat

ditaksir, r + dapat ditentukan dengan begitu l + dan b+ dapat dihitung. Sekarang kita harus

melihat bagaimana besaran ini dapat dipergunakan untuk menentukan elemen orbit.

%alam Gambar !+?, misalkan P+ dan P menyatakan posisi planet pada saat t+ dan t .

Gambar ! 'edudukan planet P+ dan P pada bola langit. Segitiga bola dan bidang

ekliptika. Panjang busur * dapat dihitung dengan menggunakan sifat segitiga bola.

%engan menggunakan hukum kosinus untuk segitiga bola P+ =P kita mempunyai

hubungan/cos * = sin b1 sin b2 + cos b1 cos b2 cos (l 2 – l 1 ) !8-

%alam hal ini /

* adalah busur lingkaran yang ditempuh planet dalam interal waktu t L t+-. Fika

koordinat l +,b+- dan l ,b- diketahui maka * dapat juga dihitung dari hukum 'epler ***/

mk

a P

+=

+

12

π

, P dinyatakan dalam satuan hari

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+2




Langit

$assa planet dapat diabaikan karena ia jauh lebih kecil dari massa $atahari

maka /

12

a

k

P =

π !9-

Busur ( ditempuh dalam waktu/

( ) *t t P

=−+

π !<-

Gabungkan !9- dan !<- diperoleh busur tempuhannya adalah/

( )+12

t t a

k * −= !

2?-

=ilai * yang dihitung dengan persamaan !<- haruslah sesuai dengan pernyataan !2?-dan ini hanya berlaku bila l +,b+- dan l ,b- menunjukkan hasil yang benar. Fadi !<-

dan !2?- dapat kita gunakan untuk menentukan l +, b+- dan l ,b- dengan cara iterasi

numerik. Prosedurnya sebagai berikut/

2., Algoritma ( ρ# ! ti ! λi ! i ! R i ! i i 1!2

+. Berikan harga ρ? sembarang pada ρ+

. #entukan r +,l +,b+- dari pernyataan !5-

2. %ari pernyataan !7- hitung ρ dalam hal ini r 4 r +5. Gunakan !6- untuk menghitung l dan b

&ntuk menentukan i ω , dan Ω perhatikanlah segitiga bola yang diragakan pada Gambar

!++ berikut.

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+5




Langit

Gambar ! (plikasi rumus =apier dalam segitiga bola untuk menghitung elemenorbit dan analoginya pada hubungan i ω dan Ω suatu lintasan pada segitiga bola.

%engan kaedah =apier untuk saat t+ kita memperoleh/

sin l 1 - Ω - = tan – i - tan b1 !+-

0al yang sama untuk t/

sin l 2 - Ω - = tan <? – i - tan b2 !-

Selanjutnya gunakan cara berikut/

l 2 - Ω - = l 1 - Ω -+ l 2 – l 1 - maka pernyataan !- dapat ditulis sebagai/

tan i M sin l 1 - Ω - cos l 2 – l 1 - + cos l 1 - Ω - sin l 2 – l 1 -N = tan b2 !2-

Gabungkan !2- pada !+- maka kita peroleh/

tan b1 Mcos l 1 - Ω - + tan i cos l 1 - Ω - sin l 2 – l 1 -N = tan b2 !5-

Substitusi !+- pada !5- maka kita peroleh hasil sebagai berikut/

tan b+Mcos l 2 – l 1 ) + ( )+

+

tan

sin

b

l − Ω tan i cos l 1 - Ω - sinl 2 – l -N =tan b2 atau dapat juga

ditulis sebagai/

( ) ( )

( )+ +

+

+ +

tan sintan

tan tan cos

b l l l

b b l l

−− Ω =

− − !6-

%engan menggunakan kembali pada pernyataan !+- ataupun pada ! - nilai i dapat

kita hitung. 0arga Ω dapat dicari dari pernyataan lihat juga Gambar !++-

sin Ω cos i = sin l 2 – Ω - cos b1 – cos l 1 – Ω -sin b1 cos

= sin l 1 – Ω - cos b1

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+6




Langit

dan

cos ω = cos l 1 – Ω - cos b1 + sin l 1 – Ω - sin b1 cos

= cos l 1

– Ω - cos b1

%ari kedua persamaan diatas diperoleh/

( )+tantan

cos

l

i

− ΩΩ = !7-

Perlu diiingat bahwa ω dan l + L Ω - berada dalam kuadran yang sama. Fadi dengan proses

diatas bila P diketahui maka i Ω dan ω dapat ditentukan. Selanjutnya tinjaulah kasus jika

radius ektor sebuah objek diketahui pada tiga posisi di langit untuk waktu yang

berbeda. $aka elemen lintasan dapat kita tentukan dengan cara berikut. $isalkan benda

langit bergerak mengitari $atahari dengan lintasan elips, periodenya P andaikan pula

posisi koordinat heliosentrik ekliptika diberikan oleh pernyataan/

→→→→

++= k ! , i xr ++++ pada saat t+

→→→→

++= k ! , i xr

pada saat t !8-

→→→→

++= k ! , i xr 2222 pada saat t2

Selanjutnya kita andaikan bahwa koordinat polar lb- pada tiga saat tersebut diketahui

dengan demikian koordinat kartesis+

r ,r dan

2r pada saat itu dapat ditentukan.

$isalkan +, dan 2 ektor satuan seperti yang diperlihatkan pada Gambar. !<

+ →

ektor satuan pada garis nodal dengan arah ke titik simpul naik

→

ektor satuan yang tegak lurus pada+

→ dan terletak pada bidang orbit

2 →

ektor satuan yang tegak lurus

→dan

+ →

jadi2

→ 4

+ →

×

→

%apat dilihat bahwa/

+

- →

4 cos Ω-→

i ;sin Ω- ,

→

4 cos i sin Ω-→

i ;cos i cos Ω- , ;sin i-→

k !9-

2

- →

4 sin i sin Ω-→

i ! cos Ω sin i- , ;cos i-→

k

%ari ektor+

r danr cari ektor satuan yang tegak lurus

+r dan

r dengan cara

sebagai berikut/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+7




Langit

×

×

→→

→→

+

+

r r

r r *+

→

i ; * , ; *2 →

k !<-

Oektor ini tegak lurus terhadap bidang orbit dan identik dengan2

- ®

, oleh sebab itu

dapat ditulis/

*1 = sin i sin Ω -

*2 = - ( cos Ω sin i- !2?-

*. = ( cos i )

%ari sini kita peroleh/

i =arc cos (*. ) dan Ω = arc tan

−

+

*

* !2+-

Fadi bila+

r ,r dan

2r diketahui maka i, Ω dapat kita hitung dan hanya berlaku bila

+r ,

r dan

2r non!collinear, persamaan lintasan dapat ditulis kembali sebagai/

+ - + -

+ cos + cos -

a e a er

e f e / ω

− −= =

+ + − !2-

%alam hal ini f adalah anomali benar dan / sudut yang dibentuk dari titik simpul naik ke

arah radius ektor pada bidang orbit, selanjutnya kita lihat bahwa bila dinyatakan dalam

besaran skalar maka/

e cosω r 1 cos /1 – r 2 cos /2 - + e sinω r 1 sin /1 – r 2 sin /2 - = r 2 – r 1

e cos ω r 1 cos /1 – r . cos /. - + e sin ω r 1 sin /1 – r . sin /.- = r . – r 1 !22-

#etapi r cos / 4+

→→

• - r dan r sin / 4

→→

• - r !25-

"leh sebab itu persamaan !22 - dapat ditulis sebagai/

+ + + +cos sine r r e r r r r ω ω

→ → → → → → − • + − • = − ÷ ÷

!26-

+ 2 + + 2 2 +cos sine r r - e r r - r r ω ω

→ → → → → → − • + − • = − ÷ ÷

'arena Ω dan i diketahui maka sistem persamaan linier ini dapat diselesaikan bila bentuk

e cos ω - dan e sinω - telah ditentukan.

$isalkan diketahui e cos ω - = α 1 dan e sin ω - = α 2 maka kita peroleh/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+8




Langit

( ) +

+ α α +=e

dan+

+

tan α

ω α

− = ÷

!27-

'arena e ?, kuadran ω ditentukan oleh tanda aljabar dari besaran e cos ω - dan besarane sin ω -. %ari persamaan !2- setengah sumbu panjang elips dapat kita tentukan, yaitu/

( )+

cos sin

+

r r e r ea

e

ω ω → → → →

+ • + •=

− !28-

Setiap harga r yang dipergunakan harus memberikan hal yang sama, karena tadi kita

andaikan periode P diketahui maka dengan menggunakan kaedah hukum 'epler ***,

setengah sumbu panjang elips a dapat ditentukan. %emikian pula sebaliknya bila P tidak

diketahui maka a harus dihitung lebih dahulu. Saat melewati perihelion dapat dicari

dengan bantuan pernyataan/ r = a+ – e - dan persamaan 'epler M = E-esin E , dalam halini M dapat ditentukan pada setiap saat pengamatan t . =ilai T dapat diperoleh dari/

( )T t P

M −= π

!29-

&ntuk mencari elemen orbit a e i Ω ω dan T sebenarnya hanya diperlukan dua posisi

dalam koordinat polar, dengan menggunakan konstanta luas dan persamaan yang

diuraikan diatas nilai ae, dan ω dapat diturunkan. Berikut diberikan sebuah contoh cara

menentukan elemen orbit dari suatu benda langit.

2-/ 0lustrasi'oordinat heliosentrik sebuah objek yang bergerak diberikan oleh #abel !

dibawah ini. %ari pengamatan diketahui gerak harian rata!rata objek adalah, 5?,?<21hari.

Pertanyaannya tentukanlah elemen orbit benda langit tersebut

#abel ! Posisi koordinat polar objek pada tahun +<7?

=o #anggal l b r S(-

+ Funi, +, ?h &# +5? 56D 5?C 7? 69D52C ?,25??

Funi 7, ?h &# +77? 28D 67C 7? ?9D58C ?,28?

2 Funi ++, ?h &# +97? 69D 52C 5? 26D6+C ?,2<978

%ari pernyataan ! - transformasi koordinat polar ke koordinat kartesis kita peroleh

harga x, dan ! untuk ketiga data pengamatan tersebut/ #abel ! Posisi kartesis objek pada tahun +<7?

=o #anggal r S(- x !

+ Funi, +, ?h &# ?,25?

?

!

?,8?6

?,?65 ?,?5+6

Funi 7, oh &# ?,28?

!

?,269+

?,?96+? ?,?2<75

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+9




Langit

2 Funi ++, ?h &# ?,2<97

8

!

?,2<555

!

?,?599

?,?2+<6

Fadi posisi benda langit dalam bentuk ektor adalah/→→→→

++−= k ,ir ?5+66,??65,?8?6,?+

→→→→

++−= k ,ir ?2<75,??96+?,?269+,?

→→→→

+−−= k ,ir ?2+<6,??599,?2<555,?2

%engan demikian hasil kali ektor r + dan r dan ektor satuannya adalah/

+ ? 8?6 ? ?65 ? ?5+66 ? ??57?8 ? ??5+8 ? ?6?678

? 269+ ? ?96+? ? ?2<75

i , k

r r 0 i 0 , 0 k

→ → →

→ →

× = − = − +−

rr r

+

+

? ?<?2 ? ?9+95 ? <<65r r

i , k

r r

→ →→ → →

→ →

×= − +

×

Fadi

i =cos-+ ?,<<65-48? ?D !2<-

+ ? ?,?<?2tan 58 58 ,7

?,?9+95Ω − = = ÷

!5?-

"leh sebab itu/

+ ?,78+9+ ?,85?8 i ,= + !5+-

?, 826+< ?, 7779? ?,++98 i , k = − + +

2 ?, ?<?2 ?, ?9+95 ?,<<65 i , k = − +

'ita lihat bahwa 2 identik pernyataan momentum sudut, sehingga3→→→→→

++=− k ,ir r ??+<+,?+?2,??9898,?+ !

5-

→→→→→

++=− k ,ir r ??<7?,?628?,?+5+<,?2+

%ari persaaman !5+ - dan !5 -

+59+6,?++ =• − →→→

- r r dan +59+6,?+ =• − →→→

- r r !52-

8+26,?+2+ =•

−

→→→ - r r dan ?8<?5,?

2+ =•

−

→→→ - r r

"leh sebab itu dengan melihat persamaan !26- kita peroleh/

?,+59+6 e cosω ; ?,?+697 esin ω 4 ?,?9 !55-

?,8+26 e cosω ; ?,?8<?5 esin ω 4 ?,?6778

%engan menyelesaikan persamaan ini diperoleh/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+<




Langit

e sin ω 4 ?,?<<77 dan e cosω 4 ?,+8<9+, sehingga didapat/

e 4 ?,?67 dan ω 4 9? 6<D,9

Selanjutnya, gunakanlah data ini untuk menentukan r , E + dan T . Setengah sumbu panjang a, dapat dihitung dari pernyataan !28-.

a 4?57,?+

-?<<77,?-25?8,?-+8<9+,?-?<5?,?25??,?

−

++

atau a 4 ?,298?

karena nilai e sudah diketahui maka, untuk tanggal Funi +,?

r 1 = a +!e cos E 1 - atau ?,25??4?,298?+!?,?67 cos E 1 -

atau

cos E 1 4 ?,67687 atau E 1 4 66? 2D,8

%ari persamaan 'epler diperoleh M 1 ingat E 1 dinyatakan dalam radian-. Fadi/

M 1 = E 1 – e Sin E 1 4 ?,<7<55! ?,?67-?,9568- 4 ?,8<<<+ radian"leh sebab itu dari persamaan diatas, kita peroleh

( )T t P

M −= π

atau ?,8<<<+ 4 ?,?8+5t 1 – T - dengan demikian t 1 – T -4 ++,??

%an karena t 4 Funi +,?? 4 Q$ay 2,?? Q maka kita peroleh #4 +<7? $ay ?,9?? .

'esimpulan akhir diragakan dalam tabel berikut/

#abel ! Eleman orbit objek

=o Elemen orbit %ata

+. Saat terakhir lewat perihelium, T +<7? $ay ?,9??

. Setengah sumbu!panjang elips, a ?,298? S(

2. Eksentrisitas, e ?,?67

5. *nklinasi, i 8? ?D

6. Sudut simpul naik, Ω 58? 58D,7

7. (rgumen perihelium, ω 9? 6<D,9

&ntuk memeriksa apakah harga a yang kita peroleh sudah benar, dapat diuji dengan

menggunakan hukum 'epler ***/

-+,

2

mk

a P

+

=π

'arena m >> + makan

k k

P a ==

π

2

atau a 42

?8+5,?

?+8?,?

4 ?,298+ S(

%alam hal ini tampak sampai desimal ketiga hasil ini cukup signifikan dengan nilai

setengah sumbu panjang a, yang diragakan dalam tabel diatas. Fadi dapat dikatakan

setengah sumbu panjang elips adalah ?,298 S(

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !?




Langit

2- Orbit paraboli*%ari pembahasan terdahulu. Bila kita mempunyai suatu sistem orbit yang berbentuk

elips, maka pada lintasan tersebut berlaku/

+. 'onstanta 'epler1t

1 r 2 θ =

. Persamaan energi sistemr

Mmk 3m E

+−= dengan M 4 m+ ; m dan

m >> m+

2. Persamaan lintasan( )

+ cos

r e

µ

θ ω =

+ − dan

k M µ =

(pabila lintasan berubah menjadi parabola maka E 4 ? atau dengan perkataan lain

+

M 3 k r

= , kemudian nyatakan 3 sebagai 1r dan untuk saat t 4 T misalkan r 4 4

maka kita peroleh M4k 2 = , dengan demikian untuk mencari persamaan lintasan

yang berbentuk parabola dapat dilakukan dengan mengganti pada pernyataan elips, kita

peroleh/

sec

+ cos

4 f r 4

f

= = ÷+ !56-

%alam hal ini f disebut anomali benar, diukur dari perihelion, untuk lebih jelas perhatikan

gambar berikut ini

Gambar ! *lustrasi komet yang melintasi $atahari dalam orbit parabola

Selanjutnya dari konstanta luas setelah mengganti θ dengan f - , kita peroleh/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !+




Langit

5 sec sec sec tan

f f f f f f f r 4 4

t t t

= = = + ÷ ÷

oleh sebab itu dapat ditulis/

2

sec sec tan

k M f f f t f

4

= + ÷

!57-

(ndaikan/

+. Pada saat # komet ada di perihelion f 4 ?-

. Pada saat t, komet ada di tempat lain f ≠?-

$aka bila persamaan diatas diintegrasikan dari saat T ke t , ruas kanan harus kita

integrasikan dari ? sampai f , bila diselesaikan diperoleh/

( )2

2

+tan tan

2

f f M k t T

4

+ = − ÷

!58-

Pernyataan ini disebut persamaan Baker. &ntuk menyederhanakannya misalkanlah/

tan cot cot tan

f 5 5 5= = − akibatnya,

2 2 2tan 2tan cot tan

f f 5 5= − + −

Substitusikan persamaan ini pada !58- dan ambillah M sebagai satuan maka kita

peroleh/

( )2 2

2

2cot tan

k t T 5 5

4

−− = !59-

$isalkan lagi,

+2

cot cot #5 = ÷

substitusi ke !59- diperoleh

( )

( )+

2

2+cot

cot

k t T #

#4

−− =

atau( )

( )2

2cot

k t T #

4

−= !5<-

"leh sebab itu untuk menentukan f harus diselesaikan lebih dahulu tiga persamaan

berikut secara berurutan.

+.( )

( )2

2cot

k t T #

4

−=

.+2

cot cot

#5

= ÷

2. tan cot

f 5=

0arap diingat, dalam hal massa matahari, M diambil sebagai satuan, maka nilai k adalah

konstanta Gauss dan 4 dalam satuan astronomi

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !




Langit

2. 3ari 4ulian (4ulian Day

Bilangan Fulian atau lebih sering disebut J/lian a F%- adalah jumlah hari yangdihitung secara berkesinambungan sejak 58+ tahun sebelum $asehi tahun !58+-. F%

dimulai pada saat tengah hari di Greenwich, oleh sebab itu tepat pada jam + h siang G$#

Greenwich $ean #ime- atau disebut juga &niersal #ime &#-. Fika F% diperlukan

untuk waktu yang mendatang ataupun yang telah berlalu maka dia disebut waktu dinamis

atau Ephemeris #ime. Sehingga Fulian %ay F%- dinyatakan sebagai Fulian %ay

Ephemeris F%E-. Sebagai contoh misalnya untuk waktu yang sudah lewat/

+<88 (pril 7,5 &# 4 F% 552 6<,<

+<88 (pril 7,5 F% 4 F%E 552 6<,<

Sebagai catatan perlu diketahui bahwa3

+ F% 4 + hari Gregorian 4 5 jam 4 +55? menit 4 975?? detik %alam pembahasan selanjutnya, sebagai acuan diambil pada saat reformasi kalender

Gregorian dimulai, yaitu tanggal 5 "ktober +69 ditambah dengan sepuluh hari menjadi

+6 "ktober +69. Perubahan sistim kalender Gregorian pada waktu itu tidak serta merta

diikuti oleh semua negara. 'erajaan *nggris baru mengadopsi pada tahun +86 sedangkan

negara *slam, #urki misalnya baru diawal tahun +<8. %alam catatan sejarah, kalender

Fulian digunakan pada Raman kerajaan @omawi pada tahun L 56 $ dan mencapai

kesempurnaan pada tahun ;9 $, waktu itu belum dikenal terminologi bulan Fanuari,

)ebruari dan seterusnya, namun dengan sistim yang sekarang kita bisa mentransformasi

F% dan ternyata pada tanggal 9 bulan (gustus +?2 sebelum $asehi pernah terjadi

gerhana $atahari.

2.5 6ransformasi 'alen$er 7regorian *e 4ulian DayFika ?? Fuli ,?< ditulis dalam notasi dalam kalender Gregorian bentuknya

adalah JJJJ$$%%,dd

%alam hal ini JJJJ4 ??

$$ 4 ?8 Bulan Fuli-

%% 4 hari bulan-

?,dd 4 fraksi hari contoh jam +3??4 ?.6?-

Algoritma (8888))DD!$$

+- Fika $$ maka y 4JJJJ dan m 4$$

- Fika $$ maka y 4JJJJ!+ dan m 4$$; +

2- Fika JJJJ$$%%,dd T +69+?+6 maka ( 4 *nty1+??- dan B4 ! ( ; *nt(15-

5- Fika JJJJ$$%%,dd> +69+?+6 maka B4?

6- F% 4 *nt276,6y- ; *nt2?,7??+m;+- -; %%,dd ; +8?<<5,6 ; B

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !2




Langit

'onstanta +69+?+6 berkorelasi dengan keputusan Paus Gregory I*** yang

mendeklarasikan pada tanggal 5 "ktober +69 perlu ditambah +? hari dalam kalender

yang berlaku pada saat itu, sehingga tanggal 6 "ktober +69 keesokan harinya haruslah

dianggap sebagai tanggal +6 "ktober +69.

%ari algoritma diatas dapat dihitung bahwa tanggal 8 Fanuary 222 pada jam +h siang

Fulian %ay hari itu adalah, F% 4 +95 8+2,?.

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !5




Langit

yes

yes

yes

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !6

Start

JJJ$$%%,dd

$$

y4JJJJ!+

m4$$; +

y4JJJ

m4$$

JJJJ$$%%

,ddT+69+?+

6

B4?

(4*nty1+??-

B4!(;*nt(15-

F%4*nt276,6y-;*nt2?,7??+m;+--;%%,dd;+8?<<5,6 ; B

Selesai

Gambar ! )lowchart konersi penanggalan Gregorian %ay ke Fulian %ay.




Langit

Sebagai latihan coba anda tentukan berapa jumlah hari yang telah anda lewati sejak lahir

sampai sekarang.

2.1# 6ransformasi Penanggalan 4ulian Day *e 7regorian

Day%efinisikan/

)ormat JJJJ$$%%,dd 4 tahunbulanhari,fraksiharikalender Gregorian-

F% 4 0ari Fulian Fulian %ay-

(lgoritma JJJJ$$%%,dd-

+. K 4 *ntF%;?,6-

. ) 4 )raksiF%;?,6-

2. 4 *ntK!+978+7,6-12765,6-5. Fika K ><<+7+ maka ( 4 K . 'alau tidak (4 K;+;;*nt15-

6. B 4 (;+65

7. A 4 *ntB!+,+1276,6-

8. % 4 *nt276,6A-

9. E 4 *ntB!%-12?,7??+-

<. j 4 B!%!*nt2?,7??+E-;)

+?. Fika E>+2,6, m 4 E!+. 'alau tidak m 4 E!+2

++. Fika m ,6 maka a 4 A!58+7. 'alau tidak a 4 A!58+6

+. JJJJ$$%%,dd 4 a;?,?+m;?,?+j-

%alam hal ini format JJJJ$$%%,dd adalahJJJJ4#ahun yang merupakan empat angka pertama

$$ 4 Bulan merupakan angka ke lima dan ke enam

%% 4 0ari dalam dua digit merupakan angka ke tujuh dan ke delapan

dd 4 @asio hari yaitu angka yang terdapat dibelakang titik desimal

=ama hari dapat juga ditentukan dengan cara sebagai berikut/

+. #entukan F% pada tanggal bersangkutan untuk jam ?h

. #ambahkan +,6 pada hasil dilangkah +

2. Bagi dengan 8, hasil pada langkah

5. Sisa dari pembagian ini adalah /

? 4 $inggu, + 4 Senin, 4 Selasa, 2 4 @abu, 5 4 'amis, 6 4 Fumat dan 7 4 Sabtu

&ontoh 3 'omet 0alley melewati perihelium pada tanggal +7 =oember +926 dan ?

(pril +<+?. Berapakah interal waktu antara kedua titik perhelium ini U

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !7




Langit

4awab9 Fika tidak diberikan waktu yang eksak jam berapa komet itu lewat perihelium,

orang menganggap jam +h siang sebagai waktu acuan/

+7 =oember +926 4 F% 2<+ 6<9,6 hari Senin-

? (prill +<+? 4 F% 5+9 89+,6 hari @abu-

Fadi beda waktu antara dua perihelium tersebut adalah 8+92 hari 4 85, 5 tahun. *ni

sekaligus menginformasikan bahwa periode orbit komet 0alley adalah 85,5 tahun

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !8




Langit

Gambar ! )lowchart konersi penanggalan Fulian %ay ke Gregorian %ay.

Start

F%

K4*nt%F;?,6-

)4)ract%F;?,6

-

4*ntK!

+978+7,6-12765,6

K><<+7+

( 4 K ; + ; ;*nt15-

B 4 ( ;+65

A 4 *nt B!+,+-1276,6-

% 4 *nt276,6 A-

E 4 *nt B L %-12?,7??+-

j 4 B L % L *nt2?,7??+ E -; )

( 4 K

E > +2,6m 4 E !+

$ 4 E !+2

$ > ,6 a 4 A ! 58+6

a 4 A ! 58+7

JJJJ$$%%,dd 4 a ; ?,?+ m ; ?,?+ j -

Selesai

yes

yes

yes

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !9




Langit

2.11 0lustrasi

:tu$i 'asus 1. 'omet $alam orbit parabola

Bongkahan es raksasa datang dari awan "ort dan bergerak mengelilingi $atahari,ketika mendekati Fupiter orbitnya diganggu sehingga menjadi parabola. Sesaat setelah

melewati $atahari bongkahan es tadi mencair dan kandungan gas beku menguap ke

dalam ruang antar planet, selanjutnya benda terlihat sebagai komet

Persoalannya

a- hitung kecepatan lingkaran benda tersebut 6 ? pada jarak tahun cahaya dari

$atahari

b- hitung kecepatan komet di titik (lihat gambar-, ketika ia berjarak r (4 S( dan

ketika ia berada di perihelion, r P 4 +S(

c- tentukan persamaan r = r( θ ) dalam kasus geraknya parabola

Penyelesaian

a- untuk orbit lingkaran/

jarak komet ke matahari r 4 tahun cahaya4 ×<,6 +?+6 4 +<×+?+6 meter

+ 7

8

9M 6

r

é ùê ú=ê úë û

4 95 m1det

b-

Gambar ! :intasan parabola sebuah komet, P titik perihelion sedangkan ( titik

sembarang pada orbit, p menyatakan lotus rectum, V jarak perihelion dan hubungannya

adalah p4V

Persamaan energi yang berlaku adalah/?

?

+ +

r r"

K P *

r* r*

9Mm 9Mm E E m6 m6 r

r r D D

é ùê ú= - = = -®ê úë û

ò

'arena

+- r ? 4 ly merupakan jarak yang jauh lebih besar dibandingkan dengan r (4 S(

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !<




Langit

2) 6 6 *

maka dapat ditulis

2?

*

" " * *

r *

9M 9M 6 6

r r

∞ = − = → =

km1det

5 5

P

" " P P

r P

9M 9M 6 6

r r

∞ = − = → =

km1det

c- persamaan irisan kerucut/

+ - + -

+ cos + cos + cos

; a e 4 er

e e eθ θ θ

− += = =

+ + +

&ntuk lintasan parabola berlaku, e4+, jadi diperoleh bentuk/

sec

+ cos cos+ cos sin

4 4 4r 4

θ

θ θ θ θ = = = =

+ + −

(tau secara singkat / sec

r 4 θ =

%alam hal ini 4 titik terdekat komet perihelium-

:tu$i 'asus 2. )enentu*an massa bintang gan$a ;isualPendekatan two!body problem dapat digunakan untuk menentukan massa bintang

ganda isual, bila magnitudo bolometrik magnitudo untuk seluruh panjang gelombang -

diketahui. &ntuk itu dalam mempelajari dinamika system bintang berdua isual ada

beberapa pernyataan yang dapat digunakan untuk menghitung jarak dan massa bintang.

1. Parala* $inami*

#injau hukum harmonik/

( )

2

+

5 a P

9 M M

π =

+

&ntuk bintang ganda isual M 1 dan M 2 hampir sama besarnya, massa bintang yang satu

tidak bisa diabaikan terhadap massa yang lain, selain itu setengah sumbu panjang orbit,

a dinyatakan dalam detik busur dan jarak dinyatakan dalam parsek sedangkan massa

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !2?




Langit

dalam satuan massa $atahari. 'arena paralak ;=17 dalam detik busur, maka a pada

pernyataan diatas harus dinyatakan dalam detik busur dengan cara sebagai berikut/

( ) ( )

2 2

+ +

5 5a P P

9 M M ; 9 M M

π α π = → = ÷ ÷ ÷+ +

Fika P dalam tahun, massa dalam satuan massa matahari maka bentuk pernyataan diatas

ini menjadi

( )2+

; P M M

α =

+

Pernyataan diatas, dikenal sebagai paralak dinamik dalam hal ini/ ;! paralak dalam detik busur dan setengah sumbu panjang, α dalam detik busur

P !periode reolusi dinyatakan dalam tahun

M i massa bintang ke! i dalam satuan massa matahari

2. )agnitu$e bolometri< ;ersus parala*

L"<;m M bb 66++=

$ b L magnitude absolute bolometric

m b L magnitude semu bolometrik

p Lparalak

%. 3ubungan massa-luminositas

L"< M = 1× (> - M b ) bila ? > M b > 8,6

L"< M = 1? ×(?2 - M b ) bila 8,6 > M b > ++

%alam hal ini M L massa bintang

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !2+




Langit

Sebagai contoh akan dihitung massa dan jarak bintang ganda isual (%S +822 dengan

elemen orbit sebagai berikut/

#abel ! *nformasi tentang bintang ganda isual (%S +822

+lemen Orbit uminositas

α 4 +C,782 mb149,+ magnitude semu bolometrik bintang primer

e 4 ?,57. mb24<,+ magnitude semu bolometrik bintang sekunder

P 4 +79,2?2 tahun.

%alam nomenklatur simbol setengah sumbu panjang orbit elips, α umumnya diganti

dengan a. 0asil iterasi diperlihatkan dalam tabel berikut/

#abel ! *terasi untuk mencari paralak, magnitude absolut bolometric dan massa bintang

berdua (%S +822. Proses dihentikan ketika presesi relatie dicapai pada decimal kedua.

%alam tabel diatas sebagai nilai awal diambil M + ; M 4 . Pada iterasi ke sepuluh

konergensi sudah dicapai.&ntuk nilai awal bisa juga dimulai dengan mengambil ;

sebagi awal iterasi.

0terasi M 1 = M 2 p 1 M b2 M b M 1 M 2

0 2 0,04356 6,305457 7,305457 0,691367 0,495118

1 1,593243 0,04699 6,470037 7,470037 0,654402 0,468646

2 1,358145 0,049559 6,585597 7,585597 0,629634 0,450909

3 1,219344 0,051372 6,66363 7,66363 0,613442 0,439313

4 1,13605 0,052598 6,714845 7,714845 0,603042 0,431865

5 1,085478 0,053402 6,747805 7,747805 0,596442 0,427138

6 1,054529 0,05392 6,768743 7,768743 0,592287 0,424163

7 1,035489 0,054248 6,781931 7,781931 0,589685 0,422299

8 1,023737 0,054455 6,790193 7,790193 0,58806 0,421136

9 1,016466 0,054585 6,795352 7,795352 0,587049 0,42041110 1,011963 0,054665 6,798566 7,798566 0,586419 0,41996

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !2




Langit

'esimpulan

+. Paralak dinamik bintang ganda tersebut adalah ?C,?65 atau jaraknya d 4+9,6

parsek

. $assa dari bintang ganda tersebut adalah M 1 4 ?,69 $? dan M 2 4 ?,5 $?

2. $agnitudo absolut bolometrik bintang tersebut adalah 1 M b 4 7,8< dan 2 M b 4 8,8<

:tu$i 'asus %. )enentu*an perio$e $ari luas $aerah yang

$isapu

%iketahui sebuah planet bergerak dalam orbit elips, dengan ) adalah posisi

$atahari seperti gambar berikut ini, busur BPBD ditempuh dalam waktu #+. Sedangkan

untuk busur BD(B, diperlukan waktu #

Pertanyaannya, buktikan bahwa

+

eT

T e

π

π

−=

+

Bu*ti

#injau lintasan setengah elips BPBD

$enurut hukum 'epler 3 %ua kali luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetapyaitu sebesar h momentum sudut- dengan/

+

r 9Ma( e )t

θ = = −

:uas ∆ B)BD 4

ae( b ) abe=

:uas daerah PB)BD adalah3 :uas BPBD L :uas ∆B)BD 4 ( )+

+

ab abe T p - = 4 h#+

:uas daerah B)BD( 4 Sisa luas daerah 4 ( )+

ab abe T p + = 4 h#

@asio luas kedua daerah tersebutPB)BD1B)BD(- adalah /

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !22




Langit

+

+

+

ab abe eT

T

ab abe e

π π

π

π

− −= =

+ +"leh sebab itu jika T 1 dan T 2 diketahui maka setengah periode orbit,# dapat dicari, yaitu

T= T 1 + T 2 atau periode P=2T

:tu$i 'asus . )enentu*an $efinisi 1 satuan astronomi pa$a

saat asteroi$ men$e*ati BumiBeberapa dekade yang lalu Eros mendekati Bumi, banyak informasi yang dapat

dipelajari tatkala ada benda langit yang mendekati Bumi. Pada saat oposisi dilakukan

pengamatan Eros dari dua obseratorium ( dan B yang terpisah sejauh +6+< kilometer,masing!masing obseratorium mengamati Eros dan bintang standard yang sama lihat

gambar-. Sudut diantara dua objek tadi adalah S(E4 7″ sedangkan sudut EBS4 9″.

'etika pengamatan dilakukan Eros dan Bumi sedang berada diperihelium. (ndaikan

Bumi dan Eros adalah co!planar hitunglah paralak harian Eros. Selain itu definisi satuan

astronomi juga bisa direisi kembali dengan datangnya Eros. Fika Eros mempunyai

periode P 4 75 hari dan eksentrisitasnya, e 4 ?,2 tentukanlah jarak Bumi ke $atahari

pada saat Eros diamati dalam satuan kilometer dan bandingkan hasilnya dengan data

sebelumnya

Penyelesaian

a- Farak Eros/

Gambar ! &ntuk mengukur jarak Eros ditentukan sudut S(E dan sudut SBE dengan

satu bintang standar, S, dan bintang akan terlihat sejajar baik dari titik ( maupun titik B

Pendekatan yang dilakukan

+. jarak (B bisa diabaikan terhadap jarak Eros!Bumi

. bintang yang sama terlihat sejajar dari ( dan B

dengan demikian/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !25




Langit

tan (EB 4 tan (EB4(B1 BE4(B1BE dalam hal ini BE adalah jarak eros ke Bumi, d

dengan demikian, sudut (EB4 7W;9W4+5W

+6+<29????

tan+5W tan+5W

*@ = = = kilometer4,29 ×+?7 km

Besaran ini merupakan jarak minimum Eros ke Bumi, sehingga paralaknya menjadi

maksimum yaitu/

sin 69,9W R

; arA

⊕ = = ÷

b- dari hukum 'epler3

22

+ + 568

a

a P P = → = = S(

Pada saat Eros di perihelion dan Bumi di aphelion berlaku/

Farak $atahari!Eros3 SE4a(1-e-4+,568×+!?,2-4+,58×?,8884+,+2 S(

Farak $atahari!Bumi3SB4a(1+e)=+× +;?,?+78-4+,?+78 S(

Farak Eros ke Bumi 4 SE!SB→,29 ×+?7 km4 ?,+5< S(

Sehingga / definisi + S( 4 ,29×+?7 1 ?,+5< 4 +6?, ×+?7 km ≈ +6? ×+?7 kilometer

Pesan dari soal ini adalah, ternyata dengan mengamati asteroid orang bisa mereisi

kembali definisi satu satuan astronomi.

Gambar ! Geometri posisi Bumi dan Eros pada saat pengamatan dalam hal ini S

menyatakan $atahari, B!Bumi dan E! Eros

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !26




Langit

:tu$i 'asus ,. )enentu*an parala* trigonometri $ari $ua

tempat $i Bumi

Pada tanggal +2 (pril ?<, sebuah asteroid <<<5!(pophis mendekati Bumi, pada saat itu jaraknya adalah ?,+? :% lunar distance 4 jarak rerata Bumi!Bulan-.

Sekelompok astronom akan mengukur paralak asteroid tersebut dari "bseratoire de

Paris dan =aal "bseratory ashington, secara simultan. Posisi geografi kedua

obseratorium tersebut adalah/

"bseratoire de Paris)rance-3

λ+ 4 o?D+5″ #imur 4 ! o?D+5″ dan ϕ+ 4 59o6?D++″ &tara 4 ; 59o6?D++″ =aal "bseratory ashington&S(-/

λ 4 88o?2D67″ Barat 4 ;88o?2D67″ dan ϕ 4 29o66D+8″ &tara 4 ;29o66D+8″

Pertanyaannya30itunglah jarak linier kedua obseratorium tersebut dan berapakah

paralak asteroid tersebut bila dihitung U

Penyelesaian

Fika koordinat geografi, longitudebujur-, λ dan latitudelintang-, ϕ dua titik di

permukaan Bumi maka jarak sudut keduanya d, dapat dihitung dari/

+ + + cos sin sin cos cos cos - φ φ φ φ λ λ = + −

Farak liniernya dapat dihitung dari/

+9?

1 RS

π =

@, jari!jari Bumi yaitu 728+ kilometer dan d dalam derajad maka S dalam kilometer

Fika d dalam radian maka R1 S = dalam hal ini S dalam kilometer

%engan memasukkan data diatas diperoleh jarak ashington!Paris adalah, S4 7+9+,7 km

Farak asteroid d 4 ?,+ :% 4 ?,+×2955?? km 4 2955? km

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !27




Langit

Gambar ! Efek projeksi kedudukan asteroid pada bola langit relatif terhadap bintang

latar belakang.

Paralak asteroid α, dapat dihitung dari/

27? +9? +9? 7+9+ 7

2955? 2955?

" " "

S

α α

π π π

×= = → = 4 <o,+

jadi paralaknya adalah α 4 <o,+

2.12 Ragam :oal atihan

+- Planet $ars mempunyai elongasi ϕ+4 7?? dan pada saat bersamaan sebuah asteroid

tampak dengan sudut phase β 4 2?? dan elongasi ϕ 4 56?. Fika jarak $ars!$atahari

+,6 Satuan (stronomi dan kamu sekarang berumur +8 tahun, namun sejak lahir kamu

tinggal di $ars berapakah umurmu sekarang dalam penanggalan $ars U Selanjutnya

hitunglah.

a- jarak asteroid itu dari $atahari r + -

b- jarak $ars dari Bumi r -

c- jarak asteroid dari $ars r 2 -

d- tempo yang diperlukan asteroid untuk kembali ke posisi semula relatif terhadap

bintang latar belakang

- "rbit Parabola

a. Energi #otal, E t, sistem dua benda yang bergerak mengitari pusat massanya

dapat dinyatakan dalam pernyataan3

E k ; E p 4 E t

%alam hal ini E k dan E p masing!masing menyatakan energi kinetis dan energi

potensial. Energi total dapat berharga negatif, nol dan positif. %eskripsikan kriteria

energi sistem untuk lintasan elips, parabola dan hiperbolaX &raikan jawab saudaraX

b. 'omet periode panjang dianggap mempunyai lintasan parabola. (nomali

benar f komet tersebut dapat dicari dari persamaan Baker3

2

2

+tan tan -

2

f f M k t T

4

+ = − ÷ ÷

sedangkan jaraknya ke $atahari dihitung dari pernyataan3

sec

f r 4=

*ngat, jika massa $atahari, M , diambil sebagai satuan, jarak dalam satuan astronomi

S(-, waktu dalam tahun year-, maka konstanta Gauss k , nilainya adalah, k 4

?,?+8??<9<6

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !28




Langit

Pertanyaannya3 Seandainya komet I berada di perihelium pada tanggal 7 Fanuari

??< pada pukul 53?? dengan jarak V 4+, S(, berapakah jaraknya ke $atahari dan

anomali benar komet tersebut pada tanggal 9 Fanuari ??< pada jam yang samaU

&ntuk menjawab pertanyaan ini, gunakan metoda numerikX :engkapi prosedur

perhitungan dengan diagram alir fl"5Aart -X

2- Sebuah asteroid bergerak mengelilingi $atahari dengan periode 5,6 tahun dan

mempunyai setengah sumbu pendek lintasannya yang berbentuk elips 2, S(. Bila

eksentrisitas asteroid itu e 4 ?,5 . Berapakah luas daerah yang telah disapu oleh

asteroid itu selama +,6 tahun. Seandainya asteroid itu beroposisi pada tanggal 2+ Fuli

??7, tanggal berapakah ia akan beroposisi kembaliU

5- Sebuah asteroid bergerak dengan orbit elips, jika eksentrisitasnya adalah e buktikan

bahwa rasio kecepatan kuadrat di aphelion terhadap kecepatan kuadrat di perihelion

adalah/

( )

( )

+

+

a

;

e6

6 e

−= ÷ ÷ +

6- Sekelompok peneliti cuaca meluncurkan roket dari titik ( yang terletak di ekuator

menuju pulau kecil B2??:&- yang ada diatasnya. Fika tempo yang dibutuhkan untuk

tiba di pulau B tersebut adalah +? menit. Pertanyaannya, apakah roket itu akan jatuh

di pulau B itu U, jika tidak dimanakah ia jatuh U (mbil untuk Bumi, jejari, @ 4 7289

km dan periode rotasi 4 5 jam

7- Berikut diberikan data bintang ganda isual/

#abel ! *nformasi tentang bintang ganda isual α Aentauri, η Aas dan ε 0yd

Bintang Oisual P

tahunH

a

″H

Spectrum ;

″Hm+ m S+ S

α Aentauri !?.?5 +.29 8<.< +8.69 G '6 ?. ″86+

η Aas 2.58 8. 59?.? ++.<< G? $? ?. ″+87

ε 0yd 2.8 5.9 +6.? ?.+ G? U ?. ″?+5

*ngat dalam fotometri, jika kita ingin menggunakan hubungan massa!luminositas

magnitude isual harus dinyatakan dulu dalam magnitude bolometrik. Pertanyaannya/

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !29




Langit

a. Fika kita menggunakan iterasi perlukah dilakukan koreksi terhadap magnitude semu U.

b. 0itunglah massa masing!masing bintang dengan cara/

+. sebagai tebakan awal ambil M +; M 4 +

. sebagai nilai awal paralak dinamik ambil ; 4 ?.+

c. 0itunglah galat relatif paralak dinamik tiap bintang jika sebagi acuan diambil data

paralak yang dipercaya orang selama ini,

α Aentauri 4 ?.C86+

η Aas 4 ?.C+87

ε 0yd 4 ?.C?+5

8- %anby F.$.(, Aelestial $echanics, +<9<, p.+58- #unjukkan bahwa untuk komet yang

bergerak dalam lintasan parabola jika jaraknya ke $atahari r dinyatakan dalam satuan

astronomi maka kecepatannya dalam meter1detik memenuhi pernyataan /

7 +86 6

r =

9- %anby F.$.(, Aelestial $echanics, +<9<, p.+58- Suatu komet bergerak pada bidang

ekliptika dengan orbit parabola mempunyai jarak perihelium 4 4 ?,98 56 au. %engan

mengandaikan anggota #ata Surya berikut bergerak dalam bidang ekliptika dan

mempunyai orbit lingkaran dengan jejari a. 0itunglah berapa lama dalam hari surya

rata!rata, mean #"lar a#- dia berada dalam orbit3 a- Bumi, b- $ars, c- Fupiter, dan d-

Pluto

<- %anby F.$.(, Aelestial $echanics, +<9<, p.+58- &ntuk komet dalam soal 9-

tentukanlah kecepatannya di perihelium, dan jumlah hari sesudah ia melewati periheliumdengan kecepatan <?, 9?, dan 6? persen dari kecepatannya di perihelium. #entukan pula

waktu yang ia lewati bila kecepatannya 2? km1det. 0itung anomali benar pada ke empat

posisi ini.

+?- %anby F.$.(, Aelestial $echanics, +<9<, p.+27- Farak perihelium komet yang

bergerak dalam orbit parabola 4 > + S(. (ndaikan komet bergerak dalam bidang

ekliptika, tunjukkan jika t dinyatakan dalam tahun sideris maka interal waktu selama

komet berada dalam orbit Bumi adalah/

( )+

+ 2

t 44π

= −+

++- %anby F.$.(, Aelestial $echanics, +<9<, p.+27- #entukan interal waktu, t yang

dibutuhkan selama komet dengan orbit parabolik bergerak dari titik!titik ujung lat/#

reAt/m dinyatakan dalam jarak perihelium, 4. Selanjutnya jika 4 4 7Y+?8 miles tunjukkan

t 4 ++5 hari

+- Setengah sumbu panjang komet yang bergerak dalam orbit ellips, a dan

eksentrisitasnya e. (ndaikan komet bergerak dalam bidang ekliptika, jika t dinyatakan

dalam tahun sideris berapakah interal waktu t, selama komet berada dalam orbit Bumi U

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !2<




Langit

%aftar *si

Bab ...................................................................................................................................+"rbit %alam @uang..............................................................................................................+

.+ Pernyataan persamaan lintasan.....................................................................................

. (lgoritma =ewton!@aphsonfE-,fDE-,E?,ε, $ dan E-................................................5

.2 Aontoh 'asus................................................................................................................6

!5 $enentukan Elemen "rbit ..........................................................................................+?

.6 (lgoritma ρ? , ti , λi , βi , @i , :i - i4 +,................................................................+5

!7 *lustrasi........................................................................................................................+9

!8 "rbit parabolik ...........................................................................................................+

.9 0ari Fulian Fulian %ay-..............................................................................................2

.< #ransformasi 'alender Gregorian ke Fulian %ay.......................................................2

.+? #ransformasi Penanggalan Fulian %ay ke Gregorian %ay.......................................7

.++ *lustrasi......................................................................................................................<

.+ @agam Soal :atihan...................................................................................................28

%aftar Gambar

%aftar #abel

%aftar *ndeZ

(nomali benar.............................., 8, 28

(nomali eksentrik..................................

(nomali rata!rata...................................

bola langit.............................................28

deret )ourier...........................................2

eksentrisitas..............................+, 2, 7, 29

elemen orientasi....................................+

elemen dinamik......................................+

elemen geometri.....................................+

Eros................................................25, 26

Greenwich $ean #ime.........................2

hukum 'epler ***.........., 2, 7, +2, +9, ?

_______________________________________________________________________

_

''!(stronomi, )$*P(!*#B !5?




Langit

Fulian day.............................................2

Fulian %ay Ephemeris..........................2

kalender Gregorian.........................2, 7

konstanta Gauss.........................., , 28

koordinat ekuatorial geosentrik........<, +?

koordinat ekuatorial heliosentrik.......9, <

latitude............................................++, 27

longitude........................................++, 27

magnitudo bolometrik..........................2?

[email protected]

orbit parabola...........................+, <, 2<

persamaan 'epler................................+9

persamaan Baker............................, 28

persamaan 'epler.....................2, 5, 6, ?

radius ektor..........................., 7, +7, +8

rumus =apier........................................+6

two!body problem................................2?

Bab2Orbitdalamruang

Documents

Transcript of Bab2Orbitdalamruang