Bab 1revisi.doc.docx

1GETARAN HARMONISDalam kehidupan sehari-hari tanpa sengaja kita telah melakukan gerakan-gerakan yang merupakan fenomena getaran. Kegiatan menggosok gigi, menghapus papan tulis, mengunyah makanan, dan sebagainya merupakan gerakan yang berulang-ulang yang bersifat periodik. Gerakan ayunan jam dinding antik, gerakan bolak-balik piston pada mesin, gerakan ke atas dan ke bawah benda di permukaan air yang bergelombang juga merupakan fenomena gerakan yang periodik. Gerakan yang demikian disebut osilasi. Suatu getaran akan terjadi bila suatu sistem diganggu dari posisi setimbang stabilnya. Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak yang bersifat periodik, yaitu berulang-ulang atau bolak-balik di sekitar titik setimbang. Sebagai contoh, gerak pegas bolak-balik di sekitar titik setimbang sesaat setelah dilepas dari tarikan.Sebelum membicarakan gelombang, kita perlu memahami getaran terlebih dahulu, sebab getaran merupakan sumber gelombang. Sebagai contoh, gelombang bunyi ditimbulkan oleh getaran benda yang menjadi sumber bunyi. Misalnya bunyi rebana, suara manusia, bunyi seruling, bunyi petikan gitar dan sebagainya. Pada contoh-contoh tersebut sistem yang bergetar menghasilkan osilasi pada molekul-molekul udara di sekitarnya. Getaran ini akan menjalar melalui udara atau melalui medium lain, sehingga menghasilkan gelombang bunyi yang diterima oleh pendengar. Jadi, gelombang akan muncul jika terdapat obyek yang bergetar dalam suatu medium atau dengan kata lain gelombang adalah getaran yang merambat.Dalam bab ini akan dibahas tentang getaran sebagai sumber gelombang, baik yang sederhana (tunggal) maupun yang lebih rumit (getaran bergandeng), yang meliputi getaran mekanik dan elektromagnetik. Agar dapat menguasai konsep getaran ini dengan baik diharapkan Anda sudah memahami konsep fungsi trigonometri.

1 Getaran Harmonis Sederhana Sistem Pegas MassammmkKeadaan Setimbangx

FP( + x) Keadaan umum, bekerja gaya Pemulih (FP) FP

( - x)

Gambar 1.1. Getaran harmonis sederhana sistem pegas massa

Salah satu contoh dari sistem getaran mekanis sederhana adalah suatu pegas heliks dengan konstanta pegas k, dengan sebuah massa m yang melekat pada ujungnya. Gambar 1.1 menunjukkan suatu sistem pegas massa yang terletak di atas bidang datar licin tanpa gesekan. Jika massa disimpangkan sejauh x dari kedudukan setimbangnya, maka sesuai dengan hukum Hooke pegas akan mengerjakan gaya sebesar kx. Gaya ini dinamakan gaya pemulih.Fp = -kx(1.1)Tanda minus menunjukkan bahwa arah gaya pemulih berlawanan dengan arah simpangannya. Kecepatan sesaat massa tersebut adalah(1.2) Sedangkan percepatan sesaat dari massa tersebut adalah :(1.3)Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak untuk massa m dengan mengabaikan gaya gesekan, adalah : (1.4)Jika k/m = 2, maka(1.5)Persamaan (1.5) ini merupakan persamaan getaran umum dengan frekuensi .Persamaan getaran umum merupakan persamaan diferensial orde dua yang mempunyai penyelesaian atau .(1.6)Salah satu dari kedua penyelesaian dapat digunakan tergantung dari posisi awalnya.Bukti bahwa x (t) = A cos ( t + o) merupakan solusi (penyelesaian) dari persamaan getaran umum (1.5) adalah sebagai berikut :

Jadi persamaan adalah salah satu bentuk persamaan getaran. Coba Anda buktikan bahwa x (t) = A sin ( t + o) adalah salah satu penyelesaian dari persamaan (1.5) !Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa persamaan x (t) = A cos ( t + o) dan x (t) = A sin ( t + o) disebut persamaan getaran harmonis, karena :1. Dinyatakan dalam persamaan sinusoidal.2. Selalu bekerja gaya yang menuju titik setimbang dan besarnya sebanding dengan simpangannya.Secara empiris, x fungsi t dapat digambarkan dengan cara menambatkan pensil pada pegas vertikal, sehingga pensil dapat melukis di atas kertas. Ketika pegas berosilasi dan kertas ditarik ke kiri dengan laju konstan, maka kurva yang dilukiskan dapat berupa kurva sinusoidal. Kurva tersebut dapat dituliskan dengan persamaan x = A cos ( t + o) dengan A, , o merupakan konstanta. Besarnya simpangan merupakan proyeksi dari titik yang bergerak melingkar beraturan pada garis tengahnya.y

t

02T/8T/83T/84T/85T/86T/87T/8T

Gambar 1.2. Getaran Harmonis Sederhana (GHS) sebagai proyeksi titik P yang melakukan gerak melingkar beraturan pada salah satu garis tengahnya. Simpangan getaran dinyatakan dengan x = A cos ( t + o), dengan 0 =0

Karena cos ( t + o) = sin ( t + o + /2) (1.7)maka persamaan getaran dapat ditulis sebagai fungsi sinus atau kosinus tergantung dari phase awalnya (besarnya sudut phase pada saat t = 0). Besarnya simpangan maksimum disebut amplitudo, ( t + o) disebut phase getaran, dan o disebut konstanta phase.Setelah bergetar satu kali, besarnya sudut phase bertambah 2 , dan pada saat itu, benda memiliki posisi dan kecepatan yang sama dengan posisi awal, karena cos ( t + o + 2) = cos ( t + o). Dari kenyataan ini dapat ditentukan phase setiap satu periode getaran T, yaitu pada saat t = T maka phasenya adalah phase pada waktu t + 2 (t + T) + o = ( t + o) +2(1.8) t + T + o = t + o + 2 T = 2(1.9)Jika , maka T = 2 atau T = 2 (1.10)dan f = (1.11)Contoh 1.1 Sebuah partikel disimpangkan sejauh x dari sistem pegas massa yang digantung vertikal. Setelah dilepas, pegas berosilasi dengan persamaan x(t) = - 5 cos (2t + /5) dengan x dalam meter dan t dalam sekon.a Berapakah frekuensi, periode, amplitudo, frekuensi sudut, dan konstanta phase getaran ?b Dimanakah partikel pada saat t = 1 sekon ?c Carilah percepatan dan kecepatan pada setiap saat t !d Carilah posisi dan kecepatan awal partikel !PenyelesaianDari persamaan x(t) = - 5 cos (2t + /5) dikonversi ke persamaan umum getaran x (t) = A cos ( t + o), maka diperoleh :a) Amplitudo A = 5 m (tanda menunjukkan bahwa simpangan awal dalam arah negatip) t = 2t, sehingga = 2 rad/s Karena = 2f, maka f = 1/ = 1/(3,14) Hz dan T = 3,14 so = /5b) Saat t = 1, posisi partikel, x = -5 cos {2(1) + /5} = -3,9400 mc) kecepatan dan percepatan setiap saat t adalah e Posisi dan kecepatan awal dapat dicari dengan menyulihkan t = 0 ke dalam persamaan x dan v sehingga diperoleh :

Contoh 1.2.Suatu pegas yang mempunyai panjang 2 m, digantung pada atap. Suatu benda dengan massa 1,5 kg digantungkan pada ujung pegas, dan menyebabkan pegas bertambah panjang 30 cm dalam kesetimbangan. Kemudian massa ditarik kebawah 5 cm dan dilepas. Jika massa pegas diabaikan, tentukan persamaan gerak getaran massa !PenyelesaianKonstanta pegas diperoleh dengan mengingat persamaan Hukum HookePada saat t = 0, atau Persamaan gerak getaran : Atau 1.2. Perpindahan Energi dalam Getaran MekanikPada persamaan getaran sistem pegas massa yang dinyatakan dengan x(t) = xo cos t(1.12)artinya massa ditarik sejauh xo, dan pada t = 0 massa tersebut dilepas. Sebelum melepaskan massa, pegas menyimpan energi potensial sebesar kxo2(1.13) Setelah dilepas, massa bergerak ke arah negatif dan memperolah energi kinetik mv2(1.14) Pada waktu yang sama, pegas kehilangan energi potensialnya karena simpangan menjadi lebih kecil dari xo.Untuk sebarang kedudukan, energi potensial sistem adalah :EP = kx2 = kxo2 cos 2 t (1.15)Adapun energi kinetik sistem adalah :EK = mv2(1.16)Karena maka EK = m 2 xo2 sin2 t(1.17)Sehingga energi total sistem adalah ET = Ep + EK = kxo2 cos 2 t + m 2 xo2 sin2 tUntuk sistem pegas massa, sudah kita ketahui bahwa maka energi total sistem menjadiET = kxo2 cos 2 t + mxo2 sin2 t = kxo2 (cos 2 t + sin2 t) = kxo2(1.18)

t = X maksV =000X0T/8X0V20X=0V maksT/4

3T/8

0T/2

5T/80X=0V maks3T/4

7T/8X maksV =00TX0X0V2Gambar 1.3. Gambar skema posisi massa pada setiap saat yang berkaitan dengan energi potensial dan energi kinetiknya

Dari uraian tersebut dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut Jika pada posisi awal EK = 0 dan EP = kxo2 cos 2 t, Ep mencapai maksimum jika harga cos2 t = 1, sehingga energi total ET = kxo2. Jika pada posisi awal EP = 0 dan EK = m 2 xo2 sin2 t, Ek mencapai maksimum jika harga sin2 t =1, sehingga energi total ET = m 2 xo2 = mxo2 = kxo2.Dari dua kasus tersebut, tampak jumlah energi potensial dan energi kinetik pada setiap kedudukan adalah konstan, yaitu ET = kxo2. Ini berarti bahwa sebenarnya dalam sistem pegas massa yang berosilasi adalah energinya. Besarnya energi total dari getaran sistem pegas-massa adalah konstan. Hal ini dapat dibuktikan dengan memperhatikan persamaan gerak (1.19)Persamaan (1.19) kita kalikan dengan kecepatan v(1.20)KarenaPersamaan (1.20) dapat ditulis sebagaiatau(1.21)

x (t)

T T

v (t)

T T

Energi

T TEK + EP = ET

Gambar 1.4. Grafik simpangan x(t), kecepatan v(t), dan energi dari suatu getaran Gambar 1.4. adalah grafik simpangan, kecepatan, dan energi dari suatu getaran.

Gambar

Contoh 1.3Kita tinjau suatu sistem pegas massa, dalam keadaan setimbang massa dipukul dengan cepat dengan energi 0,1 joule. Jika konstanta pegas 30 N/m dan massa yang dipasang pada sistem pegas horisontal 0,5 kg, tentukan persamaan gerak yang menggambarkan gerak osilasi massa.PenyelesaianMisal persamaan gerak umum sistem pegas massa x (t) = xo cos (t +o)k = 30 N/m; m = 0,5 kg; E = 0,1 joule. = 7,746 rad/sEnergi pemukul E = k xo 2 0,1 = . 30. xo2 sehingga xo2 = 6,666 dan xo = 0,082 mKarena keadaan awal setimbang, maka pada t = 0, x (t) = 0.x (t) = xo cos (t + o) 0 = 0,082 cos (7,7459 (0) + o ) 0 = cos (0 + o) o = /2Jadi persamaan gerak sistem pegas massa tersebut adalah x (t) = 0,082 cos (7,746 t + /2)1.3. Contoh Getaran Harmonis Sederhana LainSeperti yang sudah kita bahas sebelumnya, apabila gaya pemulih bekerja pada suatu massa, maka akan terjadi getaran (osilasi). Seperti kita ketahui, dalam getaran mekanik akan terjadi dua hal, yaitu kemampuan menyimpan energi potensial (oleh pegas) dan kemampuan menyimpan energi kinetik (oleh massa). Di dalam getaran rotasi, torka pemulih dan momen kelembaman menggantikan gaya pemulih dan gaya yang bekerja pada massa. Di bawah ini adalah contoh getaran harmonis sederhana.Bandul sederhana adalah benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa, yang digantungkan pada tali ringan yang tidak dapat mulur. Jika bandul ditarik kesamping dari posisi seimbangnya dan dilepaskan, maka bandul akan berayun dalam bidang vertikal, karena pengaruh gravitasi. 1.3.1.Ayunan matematis ( Bandul sederhana) l T P M Mg sin Mg cos Gambar 1.5. Ayunan SederhanaGerak bandul merupakan gerak osilasi dan periodik. Gambar 1.5 menunjukkan sebuah bandul yang panjang talinya l dengan massa partikelnya M, membentuk sudut dengan vertikal. Gaya yang bekerja pada M adalah Mg, yaitu gaya gravitasi, dan T gaya tegang tali. Jika Mg diuraikan atas komponen radial sebesar Mg cos dan komponen tangensial sebesar Mg sin . Komponen radial dari gaya tersebut memberi sumbangan pada gaya sentripetal yang dibutuhkan agar benda tetap bergerak pada busur lingkaran. Komponen tangensialnya berlaku sebagai gaya pemulih yang bekerja pada M, untuk mengembalikan ke titik seimbang. Jadi gaya pemulihnya adalah F = - Mg sin (1. 22)Sehingga persamaan gerak massa adalah F = - Mg sin M . a = - Mg sin M . dv/dt = - Mg sin Karena maka Untuk sudut kecil, sin , maka (1.23)jika , maka persamaan (1.23) menjadi (1.24)Persamaan (1.24) adalah persamaan getaran harmonis sederhana dengan frekuensi getaran sebesar : (1.25)1.3.2.Bandul puntiranORP QPenjepittetap

Gambar 1.6. Bandul Puntiran. Garis yang ditarik dari pusat P berosilasi diantara Q dan R, menyapu sudut sebesar dengan adalah amplitudo sudutGambar 1.6 adalah sebuah piringan yang digantungkan pada ujung sebuah batang kawat yang dipasang pada pusat massa piringan. Batang kawat dibuat tetap terhadap sebuah penyangga yang kokoh dan terhadap piringan tersebut. Dari pusat piringan ditarik sebuah garis OP (seperti gambar). Jika piringan dirotasikan dalam arah horisontal kearah posisi radial Q, kawat akan terpuntir. Kawat yang terpuntir akan melakukan torka pada piringan yang cenderung akan mengembalikannya ke posisi P. Torka ini disebut torka pemulih. Untuk puntiran kecil, torka pemulih sebanding dengan pergeseran sudut (Hukum Hooke), sehingga(1.26)adalah konstanta yang bergantung pada sifat kawat dan disebut konstanta puntiran (torsional). Tanda negatip menunjukkan bahwa torka tersebut berlawanan arah dengan simpangan sudut. Persamaan (1.26) adalah syarat untuk gerak harmonik sudut sederhana (simple angular harmonic motion).Persamaan gerak untuk sistem tersebut adalahDengan I adalah momen inertia (kelembaman rotasi) dan percepatan sudut. Dengan menerapkan persamaan (1.26) akan kita perolehatau(1.27)Persamaan (1.27) adalah persamaan getaran harmonik sudut sederhana, dengan penyelesaian(1.28)dan dengan periode(1.29)Contoh 1.4Sebuah batang kecil dengan massa 0,10 kg dan panjang 0,10 m digantungkan pada kawat pada pusatnya dan tegak lurus pada panjangnya. Kawat dipuntir dan batang mulai berosilasi dengan periode 2,0 s. Jika sebuah keping datar dengan bentuk sembarang digantungkan pada kawat tersebut pada pusatnya, ternyata mempunyai periode 5,0 s. Tentukan momen kelembaman keping tersebut terhadap sumbu.PenyelesaianMomen kelembaman batang adalah atau1.3.3. Bandul fisisSembarang benda tegar yang digantungkan sehingga benda dapat berayun dalam bidang vertikal terhadap sumbu yang melalui benda tersebut dinamakan bandul fisis. Bandul fisis merupakan perluasan dari bandul sederhana, yang hanya terdiri dari tali tak bermassa yang digantungi sebuah partikel tunggal. Pada kenyataannya semua benda yang berayun adalah bandul fisis.Seperti Gambar 1.7, kita pilih sebagai bandul fisis adalah benda pipih dengan bentuk tak beraturan dipasak pada sumbu tanpa gesekan yang melalui P. Benda dalam posisi seimbang jika dalam keadaan pusat massa benda C terletak vertikal di bawah P. Jarak dari pasak ke pusat massa adalah d. Momen kelembaman benda terhadap sumbu yang melalui pasak adalah I. Massa benda adalah M. Jika benda disimpangkan dari posisi seimbangnya sebesar sudut , maka torka pemulih dalam keadaan simpangan sudut yang disebabkan oleh komponen tangensial gaya gravitasi adalahPP CdMg(1.30)

Gambar 1.7. Bandul fisis yang berupa benda pipih dengan pusat massa C, dipasak di P dan disimpangkan dengan sudut dari posisi seimbangnya. Torka pemulih disebabkan oleh berat Mg. Jika simpangan sudut kecil, maka berlaku pendekatan yang sangat baik , sehingga untuk amplitudo kecil, ataudenganTetapiSehinggaJadi periode bandul fisis yang berosilasi dengan amplitudo kecil adalah(1.31)Contoh 1.5Sebuah piringan yang berjari-jari 10,2 cm yang dipasak di bagian tepinya, mengalami osilasi kecil terhadap pasak tersebut. Periode osilasi adalah 0,784 s. Berapakah percepatan gravitasi di tempat tersebut ?PenyelesaianMomen kelembaman piringan terhadap sumbu yang melalui pusatnya adalahdengan r adalah jari-jari piringan dan M adalah massanya.

Momen kelembaman terhadap pasak di tepi piringan adalah dengan d = r, periodenya adalah1.4. Getaran Elektromagnetik t = 0 s

VC (t) C L VL(t) +qo

-qo i (t)

Gambar 1.8. Getaran ElektromagnetikKapasitor diberi muatan sebesar qo Coulomb, kemudian secara cepat dihubungkan dengan induktor L. Muatan yang semula tersimpan di dalam kapasitor mengalir ke induktor dan akan menimbulkan arus listrik dalam rangkaian. Potensial induktor VL = L (di/dt)Potensial kapasitor VC = q/C

s

Sesuai hukum Kirchoff, untuk rangkaian tertutup berlakuVC + VL = 0sehingga q/C + L (di/dt) = 0 atau q/C = - L (di/dt)(1.32)Jika i = dq/dt, maka di/dt = d2q/dt2, dengan demikian persamaan (1.32) dapat dituliskan menjadi :(1.33)Jika , maka persamaan (1.33) merupakan persamaan getaran secara umum yang mempunyai penyelesaian q = qo sin ( t + o), atau (1.34)q = qo cos ( t + o).(1.35)Persamaan (1.34) dan (1.35) adalah persamaan getaran dengan frekuensi(1.36)Seperti dijelaskan di depan bahwa kapasitor diberi muatan awal sebesar qo. Persamaan yang menyatakan besarnya muatan pada setiap saat misalnyaq = qo cos t (1.37)Sedangkan besarnya arus adalah(1.38)Sehingga energi listrik yang tersimpan di dalam kapasitor adalah(1.40)Sedang energi magnetik yang tersimpan di dalam induktor adalah(1.41)Mengingat , maka kita dapatkan bahwa jumlah energi listrik dan energi magnetik adalah konstan(1.42)Jumlah kedua macam energi sama dengan besarnya energi listrik yang tersimpan di dalam kapasitor. Kapasitor dan induktor selalu bertukar energi secara periodik, mirip dengan pegas dan massa pada sistem energi mekanik.Pada rangkaian LC seperti gambar di samping, saklar S ditutup untuk beberapa saat, kemudian dibuka. pada t = 0, tentukan pernyataan untuk arus yang mengalir dalam rangkaian LC tersebut dan tentukan besar muatan dalam kapasitor !t = 0 2 s

5 F 2 mH + 12 V - Contoh 1.6

PenyelesaianBesarnya arus mula-mula yang melewati induktor adalah io = V/R = 6A, maka Jadi persamaan arus yang mengalir dalam rangkaian adalah i (t) = 6 cos 104 t ampere dq/dt = i, maka dq = i dtSehingga muatan dalam kapasitor adalah

Catatan : kondisi awal berbeda dengan keadaan pada Gambar 1.81.5. Getaran Teredam (Damped Oscillation)Selama ini kita menganggap bahwa semua kasus pada getaran harmonis sederhana adalah sesuatu yang ideal, yaitu energi yang terbuang selama sistem bergetar diabaikan. Sebagai contoh, dalam sistem pegas massa horisontal antara massa beban dan lantai dianggap tidak terjadi gesekan. Demikian pula dalam rangkaian LC, kita menganggap bahwa tidak ada hambatan dalam rangkaian. Padahal pada kenyataannya, dalam peristiwa getaran, sebagian energi getaran diubah menjadi energi panas yang dipancarkan melalui medium di sekitarnya, sehingga getaran tidak terjadi secara terus menerus.1.5.1. Getaran teredam pada kapasitorMisal kapasitor dengan muatan qo dihubungkan secara cepat dengan induktor L melalui R, maka menurut Hukum Kirchoff untuk rangkaian tertutup berlaku :

t = 0 Rs

+qo VC (t) C L VL(t) -qo

i (t)

Gambar 1.9. Rangkaian LCR

Dengan mengingat , maka Kita peroleh persamaan diferensial untuk muatan q(t), sebagai berikut(1.43)Jika besar tahanan R limit mendekati nol, maka , maka berlakulah persamaan getaran harmonis Penyelesaian dari persamaan (1.43) tidak ada, karena terdapat derivatif orde pertama. Jika tidak ada L, maka muatan di dalam kapasitor teredam secara eksponensial dengan = konstanta redaman, maka: (1.44)Dengan tanpa menuliskan qo e- t, dan menyulihkan persamaan (1.44) ke persamaan (1.43) diperoleh :(1.45)yang berlaku setiap saat t, sehingga koefisien cos t dan sin t harus sama dengan nol (1.46)Dari persamaan (1.46) diperoleh = R/2L, dan . Fungsi q (t) = qo e- t cos t secara kualitatif diperlihatkan dalam grafik sebagai berikut : +qo

qo e- t 0 v (t) = t / 2

- qo e- t - qo

Gambar 1.10. Kelakuan muatan di dalam kapasitor dalam Gambar 1.9

Perlu ditekankan bahwa solusi ini hanya berlaku untuk kasus redaman kecil (