72

KUANTOR

Cara terbaik untuk membuat notasi simbol dari logika predikat adalah dengan contoh-

contoh yang relevan. Perhatikan contoh pernyataan berikut :

Contoh 6-1 :

Dogy adalah seekor anjing

Berdasarkan aturan pada bab 5 dapat ditulis :

ekspresi logika predikat : anjing(Dogy)

fungsi proposisional : K(d)

Notasi di atas dapat dibaca “anjing Dogy”.

Contoh 6-2 :

1. Semua kambing mempunyai tanduk

2. Beberapa mahasiswa mangambil mata kuliah logika matematika.

3. Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks

4. Ada penduduk kota Jayakarta yang terkena Flu Burung

Semua pernyataan di atas mengidikasikan seberapa sering pernyataan-pernyataan

tersebut bernilai benar. Untuk memperlihatkan hal tersebut, orang mengunakan kuantor-

kuantor, sedangkan proses pemberian kuantor disebut pengkuantoran. Ada dua jenis

kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

6.1 Kuantor Universal

Kuantor universal memiliki simbol , yang memiliki arti “semua” atau “setiap”.

Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua

73

individual- individualnya. Kuantor dan variabel terikat yang mengikutinya diperlakukan

sebagai satu unit, dan unit tersebut bertindak seperti suatu perangkai unary.

Pada pernyataan ketiga pada contoh 6-2, yaitu “Setiap mahasiswa harus belajar dari

buku teks”, jika ingin ditulis memakai logika predikat, maka ditentukan B untuk “harus

belajar dari buku teks” dan x untuk “mahasiswa” sehingga jika ditulis B(x), berarti “x

harus belajar dari buku teks”. Kata “setiap mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar

untuk semua x, maka penulisan yang lengkap adalah “

Contoh 6-3 :

xBx

Contoh di atas dibaca “untuk semua x, x harus belajar dari buku teks”. Akan tetapi,

notasi tersebut belum sempurna karena x belum menunjukkan mahasiswa, maka

harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :

Contoh 6-4 :

xBxMx

yang dapat dibaca “Untuk semua x, jika x adalah mahasiswa, maka x harus belajar

dari buku teks”.

Contoh yang mirip adalah pernyataan berikut “Semua bilangan prima adalah ganjil”,

maka dapat ditulis seperti berikut :

Contoh 6-5 :

xOxPx

dimana P mengganti “bilangan prima”, sedangkan O mengganti “ganjil” sehingga

dapat dibaca “untuk semua x, jika x adalah bilangan prima, maka x adalah ganjil”.

Untuk lebih memperjelas tahap demi tahap pengkuantoran universal, maka diberikan

contoh seperti berikut :

Contoh 6-6 :

Semua mahasiswa harus rajin

74

Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut dilakukan langkah-

langkah seperti berikut :

Langkah 1 :

Carilah lingkup dari kuantor universal, yaitu :

“jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”

Selanjutnya, akan ditulis :

xbelajarrajin harusxmahasiswa

Langkah 2 :

Berilah kuantor universal di depannya :

xbelajarrajin harusxmahasiswax

Langkah 3 :

Ubahlah menjadi suatu fungsi :

xBxMx

Perhatikan penulisan fungsi tersebut terutama pada peletakan tanda kurung biasa.

Tanda kurung biasa yang berada di dalam tanda kurung di belakang kuantor universal

diperlakukan mirip proposisi majemuk, sedangkan kuantor universal mirip perangkai

unary.

6.2 Kuantor Eksistensial

Kuantor eksistensial memiliki simbol yang artinya “ada” atau “tidak semua”, atau

“beberapa”. Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai

benar untuk semua individual-individualnya.

Dalam pengertian bilangan prima, pernyataan di atas tentunya salah. Logika tidak

berhubungan dengan definisinya yang benar, tetapi hanya berhubungan dengan

semantiknya. Jika ingin ditulis benar, maka pernyataannya adalah “Ada bilangan prima

yang genap”.

Contoh 6-6 :

Ada bilangan prima yang genap

Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut dilakukan

langkah-langkah seperti berikut :

75

Langkah 1 :

Carilah ruang lingkup dari kuantor eksistensial, yaitu :

“ada x yang adalah bilangan prima, dan x genap”

Selanjutnya, akan ditulis :

xgenapxprimabilangan

Langkah 2 :

Berilah kuantor eksistensial di depannya :

xgenapxprimabilanganx

Langkah 3 :

Ubahlah menjadi suatu fungsi :

xOxPx

Contoh 6-7 :

Ada mahasiswa memperoleh beasiswa prestasi

Langkah 1 :

Carilah ruang lingkup dari kuantor eksistensial, yaitu :

“ada x yang adalah mahasiswa, dan x memperoleh beasiswa prestasi”

Selanjutnya, akan ditulis :

xprestasibeasiswamemperolehxmahasiswa

Langkah 2 :

Berilah kuantor eksistensial di depannya :

xprestasibeasiswamemperolehxmahasiswax

Langkah 3 :

Ubahlah menjadi suatu fungsi :

xBxMx

Perhatikan penulisan fungsi tersebut terutama pada peletakan tanda kurung biasa. Tanda

kurung biasa yang berada di dalam tanda kurung di belakang kuantor eksistensial

diperlakukan mirip proposisi majemuk, sedangkan kuantor eksistensial mirip perangkai

unary sama seperti kuantor universal.

76

Untuk lebih mempermudah pemberian nilai pada pengkuantoran universal dan

pengkuantoran eksistensial, perhatikan gambar berikut ini :

Pernyataan Jika Benar Jika Salah

xAx xA benar untuk semua x Ada x yang mana xA salah

xAx Ada x yang xA benar xA salah untuk semua x

Gambar 6-1 Pemberian nilai kuantor

Tanda kurung biasa yang menyertai penulisan fungsi proposisi di belakang kuantor

sangat penting, sedangkan tanda kurung kuantor boleh dihilangkan. Lihat contoh berikut :

Contoh 6-8 :

yx,yMx

y,xyMxBxFx

xBxMx

xBxMx

Penulisan seperti di atas diperbolehkan. Akan tetapi, perlu diingat bahwa jangan

mengabaikan tanda kurung biasa untuk fungsi yang terletak di belakang kuantor

karena kurung itu mempengaruhi proses manipulasi.

6.3 Pempredikatan Satu dan N-Aritas

Contoh berikut merupakan pernyataan untuk semakin memahami cara menulis simbol

dengan logika predikat. Perhatikan dengan seksama bagaimana huruf besar menggantikan

predikat dan huruf kecil menggantikan variabel (objek).

Contoh 6-9 :1) Komang seorang mahasiswa kM

2) Jika Komang rajin belajar, maka ia akan lulus kLkB 3) Semua rumput berwarna hijau yHyRy

Tidak selalu harus menggunakan huruf kecil x untuk variabel yang umum, tetapi

yang penting konsisten. Jadi, contoh terakhir tidak boleh ditulis xHyRy .

Ada sesuatu yang sangat penting, dan tentunya tidal lepas dari perhatian kita, yakni

situasi-situasi yang melibatkan penggunaan kuantor.

77

Jika pernyataan memakai kuantor universal , maka digunakan perangkai

implikasi , yakni: “Jika semua ……, maka ……”.

Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial , maka digunakan perangkai

konjungsi , yakni: “Ada……yang …… dan ……”

Contoh-contoh di atas berhubungan dengan predikat unary atau relasi satu tempat (objek

hanya satu), dan tentu saja penulisan simbol harus mampu menunjukkan predikat n-ary,

yakni relasi dimana objeknya sebanyak n buah. Lihat contoh berikut :

Contoh 6-10 :

1) Setiap orang mencintai Bali b,xCx

2) Setiap bilangan genap dapat dibagi 2 2,xBxGx

3) Ada suatu kota besar yang terletak di sebelah barat kota Bekasi, Krawang dan

Cirebon c,k,b,xBxKx

4) Tak ada bilangan prima di antara 23 dan 29 29,23,xAxPx

5) Dinda mengenal setiap benda x,dKx

6) Dinda mengenal setiap orang x,dKx

Untuk dua pernyataan terakhir, mungkin saja seseorang menggunakan dua simbol

predikat yang hampir sama, yakni memakai K1 dan K2. akan tetapi, penggunaan

tersebut terasa agak aneh, dan bisa saja diterima jika pada kumpulan pernyataan

terdapat dua predikat yang sama, tetapi dengan variabel berbeda. Bagaimanapun juga,

sebaiknya tetap bisa dibedakan agar tidak terjadi salah penafsiran atau ambiguitas.

6.4 Domain Penafsiran Kuantor Ganda

Domain penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan

digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Persoalan selanjutnya adalah

bagaimana jika memakai dua kuantor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang

berasal dari satu pernyataan. Perhatikan contoh pernyataan berikut :

Contoh 6-11 :

78

Setiap orang dicintai oleh seseorang

Dengan notasi pada logika predikat, akan ditulis seperti contoh berikut :

o x,yCyx

yang dapat dibaca “untuk semua x, jika x adalah orang, maka ada y tertentu juga

orang, dan y tersebut mencintai x”.

Ternyata pembacaannya lebih sulit dan lebih banyak kekurangannya, yakni x dan y

sebenarnya menunjukkan domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol

tersebut ternyata berbeda. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai

variabel yang sama.

Contoh 6-12 :

x,yCyOyxOx

Cara membacanya akan sama seperti pada kalimat di atas, tetapi lebih cocok seperti

yang diinginkan. Perhatikan dengan seksama pemakaian perangkai implikasi

dan konjungsi . Kuantor universalmenggunakan perangkai implikasi sedangkan

kuantor eksistensial menggunakan perangkai konjungsi.

Sekarang perhatikan pernyataan berikut ini :

Contoh 6-13 :

Seseorang dicintai oleh semua orang

Pernyataan di atas dapat ditulis :

x,yCyx

Penulisan di atas seharusnya diperbaiki agar domain penafsirannya lebih tepat.

x,yCyOyxOx

79

Nilai benar atau salah pada pengkuantoran ganda dapat dilihat pada Gambar 9-2 berikut :

Pernyataan Jika Benar Jika Salah

y,xAxy

y,xAyx

y,xA benar untuk semua

pasangan x,y

Ada pasangan x,y yang mana y,xA salah

y,xAyx Untuk semua x maka ada y yang mana y,xA benar

Ada x yang mana y,xAsalah untuk semua y

y,xAyx Ada x yang mana y,xA benar untuk semua y

Untuk semua x maka ada y yang mana y,xA salah

y,xAxy

y,xAyx

Ada pasangan x,y yang mana

y,xA benar y,xA adalah salah untuk

semua pasangan x,y

Gambar 6-2 Pengkuantoran ganda

6.5 Hubungan Antar Kuantor

Sebelumnya telah dibahas bahwa terdapat hubungan yang erat antara kuantor

universal dengan kuantor eksistensial. Hubungan tersebut dapat ditunjukkan secara

matematis dengan memakai suatu pernyataan yang relepan dan mampu menunjukkan

hubungan tersebut. Lihat contoh pernyataan berikut :

Contoh 6-14 :

Semua orang tidak pintar

Dengan dapat ditulis

xPxOx

Simbol tersebut dapat dibaca “untuk semua x, jika x adalah orang, maka x tidak

pintar”.

Pernyataan di atas tidak benar karena kenyataannya ada saja orang pintar di setiap

negara walaupun jumlah orang tidak pintarnya atau bodoh jauh lebih banyak dari orang

pintar.

Jadi, misalkan pernyataan tersebut diperbaiki maksudnya, maka akan menjadi seperti

berikut :

Contoh 6-15 :

Tidak semua orang pintar

80

Tentunya pernyataan ini lebih tepat karena orang dapat menafsirkan bahwa ada orang

yang pintar, tetapi ada juga yang tidak pintar. Tidak ada masalah ambiguitas pada

pernyataan ini sehingga penulisan simbol dengan mudah adalah :

xPxOx

Jika pada logika proposisional ada hukum BABABA , maka jika

dipakai pada simbol tersebut akan menjadi : [ xO disamakan A, dan xP

disamakan B].

xPxOx

Munculnya perangkai konjungsi pada mengingatkan pada situasi umum yang

melibatkan kuantor eksistensial sehingga jika x diganti dengan x , akan

diperoleh :

xPxOx

yang dapat dibaca “ada x, dan x adalah orang dan x tersebut tidak pintar” dan pasti

bisa ditafsirkan sama dengan pernyataan “tidak semua orang pintar”.

Jadi sekarang ada kesamaan secara logis antara x dengan x , atau :

xx

Untuk lebih menunjukkan hubungan antara kuantor universal dengan kuantor

eksistensial, dapat dilihat pada bagian berikut ini.

Contoh 6-16 :

Tidak seorang pun bijaksana

Pernyataan tersebut memiliki kuantor “Tidak seorang pun”, dan tidak memiliki

individual dengan properti yang menyertainya. Jika diartikan “tidak ada”, maka tidak

akan ada individu yang disebut pada pernyataan di atas.

Dalam logika predikat, tidak seorang pun dengan properti berupa A tidak akan bisa

diekspresikan langsung. Oleh karena itu, untuk mengekspresikan tidak ada x untuk

suatu ekspresi A yang akan bernilai benar, digunakan : Ax atau Ax berarti

“Tidak seorang pun bijaksana”, maka dengan kata lain :

Ax Ax

81

Sebenarnya masih banyak kata-kata yang dapat menunjukkan adanya kuantor, yakni

“sedikit”, ”beberapa”, “kebanyakan”, dan masih banyak lagi lainnya.

6.6 Menegasi Kuantor

Pernyataan yang akan digunakan untuk menunjukkan contoh hubungan antara kedua

kuantor tersebut akan mempergunakan pernyataan sederhana berikut ini :

Contoh 6-17 :

Semua mahasiswa Manajemen Informatika mengambil kuliah Pengantar Logika

Matematika

Pernyataan di atas diubah ke logika predikat dengan memakai kuantor universal akan

terlihat seperti berikut :

xKx

K(x) adalah pernyataan yang berarti “x mengambil mata kuliah Pengantar Logika

Matematika”.

Jika pernyataan tersebut dinegasikan, maka dapat dibaca “Tidak benar semua

mahasiswa Manajemen Informatika mengambil mata kuliah Pengantar Logika

Matematika”. Pernyataan ini sama saja sebenarnya dengan “Ada mahasiswa

Manajemen Informatika tidak mengambil mata kuliah Pengantar Logika

Matematika”. Selanjutnya, pernyataan ini dengan pengkuantoran eksistensial dengan

menegasi fungsi proposisinya akan menjadi :

xKx

Jadi secara mudah diubah menjadi kesamaan atau ekuivalen dari :

xKxxKx

Contoh pernyataan berikut akan menggunakan kuantor eksistensial :

Contoh 6-18 :

Ada mahasiswa Manajemen Informatika mengambil kuliah Pengantar Logika

Matematika.

Pernyataan di atas diubah ke logika predikat dengan memakai kuantor eksistensial

akan terlihat seperti berikut :

82

xKx

Dengan K(x) adalah pernyataan yang berarti “x mengambil mata kuliah Pengantar

Logika Matematika”.

Menegasi pernyataan tersebut maka akan menjadi “Tidak Ada mahasiswa

Manajemen Informatika mengambil kuliah Pengantar Logika Matematika”.

Pernyataan tersebut sama saja artinya dengan pernyataan “Semua mahasiswa

Manajemen Informatika tidak mengambil kuliah Pengantar Logika Matematika”.

Jelas pernyataan terakhir akan berbentuk :

xKx

Kesamaan atau ekuivalennya terlihat seperti berikut :

xKx xKx

Agar bentuk negasi dari kuantor terlihat lebih jelas, maka dapat dilihat gambar berikut:

Negasi Ekuivalen Negasi Benar Negasi Salah

xKx xKx K(x) salah untuk semua x Ada x yang K(x) adalah benar

xKx xKx Ada x yang K(x) adalah salah

K(x) benar untuk semua x

Gambar 6-3 Negasi kuantor