143

BAB V

PERHITUNGAN INTEGRAL

(ANTI DIFERENSIAL)

Perhatikan Gambar V.1. Selang [a , b] dipartisi atas n bagian yang sama, dan dibangun

dua macam persegipersegi panjang. Persegipersegi panjang yang pertama seluruhnya

berada di bawah grafik y = f(x). Sedangkan yang kedua meliput grafik y = .(x).

Jika disajikan :

mi : luas persegi panjang yang seluruhnya

berada di bawah grafik,

Mi : luas persegi panjang yang memuat

grafik,

maka

mi = f(xi)n

ab , i = 1, 2, . . . , n1,

Mi = f(xi+1) n

ab , i = 1, 2, . . . , n1,

Dalam hal ini, f(x0)=f(a) dan f(xn) = f(b).

Selanjutnya, tulis m(n) =

=

1n

1iim , M(n) =

=

1n

1iiM . Jika nilai )n(mLimn dan nn MLim ada dan

berhingga, maka nn mLim = nn MLim = b

a

dx)x(f .

Formulasi b

a

dx)x(f dinamakan integral tentu dari fungsi y = f(x) dengan batas bawah

x = a dan batas atas x = b. Jika nilai-nilai batas integral tidak disajikan, sehingga

formulasinya menjadi dx)x(f , maka bentuk integral ini dinamakan integral tak tentu dari

fungsi y = f(x). Perbedaan antara integral tentu dengan tak tentu adalah, Integral tentu

X

y = f(x)

. . . x2 x1 xn-1 b=xn X0=a

Y

Gambar V.1. Konsepsi integral

144

hasilnya sebuah bilangan (konstanta), sedangkan integral tak tentu, sebuah fungsi. Fungsi

f(x) pada bentuk integral (baik tentu maupun tak tentu) dinamakan integrand.

V.1. Fungsi Primitif

Menghitung integral sebuah fungsi, baik integral tentu maupun tak tentu, dengan

menggunakan konsepsi limit, tidak semudah pada perhitungan difrensial. Sebab untuk

keperluan perhitungan integral perlu didefinisikan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi

primitif atau biasa dinamakan antidiferensial. Hal ini karena pada formulasi integral

terlibat operator diferensial, dx.

Definisi

Fungsi y = F(x) dinamakan fungsi primitif (antidiferensial) dari y = f(x), jika berlaku

hubungan

)x(d)x(dF

= f(x)

untuk setiap x pada domain y = f(x).

Sebagai contoh, fungsi primitif dari y = Cos x adalah y = Sin x, sebab )x(d

)x(dSin = Cos x

Selanjutnya untuk dapat melakukan proses perhitungan integral perlu dipahami dalil

berikut ini.

Dalil

Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b], dan y = F(x) fungsi primitif dari

y = f(x), maka

b

a

dx)x(f = b

a)x(F = F(b) F(a)

Bukti

Perhatikan Gambar V.1.

Berdasarkan gambar, maka dapat disajikan barisan nilai

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn-1 < xn = b,

145

sehingga dengan cara menambahkan suku baru dan mengurangkan kembali, diperoleh

formulasi

F(b) F(a) = F(xn) F(xn-1) + F(xn-1) . . . F(x1) + F(x1) F(x0) = =

n

1i1ii )}x(F)x(F{

Karena y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), yang berarti F(x) = f(x), maka y = F(x)

merupakan fungsi diferensiabel dengan turunannya kontinu di S, sehingga berdasarkan dalil

nilai tengah, ada ix , xi-1 < ix < xi, sedemikian rupa sehingga

F(xi) F(xi-1) = f( ix )(xi xi-1), atau F(b) F(a) = =

n

1i1iii )xx)(x(f ,

sehingga jika kedua ruas dihitung nilai limitnya untuk n , maka

{ })a(F)b(FLimn

= =

n

1i1iiin)xx)(x(fLim .

Karena F(b) F(a) sebuah konstanta, maka { })a(F)b(FLimn

= F(b) F(a), ada dan

merupakan nilai berhingga. Sehingga =

n

1i1iiin)xx)(x(fLim juga ada dan berhingga.

Berdasarkan konsepsi integral, maka =

n

1i1iiin)xx)(x(fLim =

b

a

dx)x(f = F(b) F(a).

Contoh 1

Tunjukan bahwa 2

1

xdx = 121

Jawab :

Fungsi primitif f(x) = x adalah F(x) = 21

x2, sebab

2x21

dxd

= 21

.2.x2-1 = x.

Karena F(x) = 21

x2, maka

==

==

2)2(21

)2(F

21

)1(21

)1(F

2

2

, sehingga 2

1

xdx = 2 21

= 121

.

146

Contoh 2

Hitunglan

41

0

dx)x(Cos !

Jawab :

Sudah ditunjukan bahwa fungsi primitif dari f(x) = Cos x, adalah F(x) = Sin x, sehingga

F(41 ) = Sin(

41 ) = 2

21

f(0) = Sin(0) = 0

41

0

dx)x(Cos = Sin(41 ) Sin(0) = 2

21

0 = 221

Dari paparan dalil, dapat disajikan pernyataan sebagai berikut. Jika batas integral a

dengan b pada integral tentu b

a

dx)x(f dihilangkan, sehingga diperoleh bentuk dx)x(f ,

maka

dx)x(f = F(x) +k,

dengan k konstanta, yang nilainya dapat dihitung, jika ada tambahan ketentuan.

Sebelumnya sudah dikemukan, b

a

dx)x(f adalah sebuah konstanta, sedangkan dx)x(f

sebuah fungsi. Hal ini tersurat pada sajian bahwa b

a

dx)x(f = F(b) F(a), yang merupakan

sebuah konstanta, dan dx)x(f = F(x) + k, sebuah bentuk fungsi.

147

Contoh 3

Hitunglah ( ) +

dx1x

22

, jika untuk x = 0 nilainya sama dengan 1 !

Jawab :

Fungsi primitif dari f(x) = ( )21x

2+

, x 1 adalah F(x) = 1x1x

+

, sehingga

( ) +dx

1x

22

= 1x1x

+

+ k

Subtitusikan x = 0 pada hasil integrasi 1010

+

+ k = 1 k = 2

Sehingga ( ) +

dx1x

22

= 1x1x

+

+ 2 = 1x1x3

++

Fungsi yang memiliki nilai integral pada domain S, dinamakan integrabel, pada domain

S. Jika menelaah paparan yang telah disampaikan, syarat perlu dan cukup agar sebuah

fungsi integrabel pada domain S adalah kontinu di mana-mana pada S. Sedangkan agar

diferensiabel, kekontinuan fungsi hanya merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup. Hal ini

menyatakan bahwa, sebuah fungsi integrabel tidak perlu diferensiabel, sedangkan jika

fungsi diferensiabel, maka integrabel. Sebagai contoh fungsi y = x. Fungsi ini

integrabel pada domain bilangan riel, tetapi tidak diferensiabel di titik (0 , 0). Hal ini dapat

ditelaah pada fakta, dxx =

+

0 x ,K x21

0 x , Kx21

2

2

. Yang berarti integralnya ada, tetapi

h)0(f)h0(f

0hLim

+

= 1, sedangkan

h)0(f)h0(f

0hLim

+

+ = 1. Yang berarti

h)0(f)h0(f

0hLim

+

tidak ada.

148

V.2. Dalil dasar tentang integral

Untuk lebih memudahkan perhitungan integral perlu dipahami dalil dasar tentang

integral.

1. kdx = kx + c , k, c : konstanta

Bukti

( )ckxdxd + = kx1-1 + 0 = k

2. dxxn =

1n1+

xn+1 + k ; n 1 , k : konstanta

Bukti

++

+ Kx1n

1dxd 1n =

1n1+

(n+1)x(n+1)-1 + 0 = xn

3. dxx1

= ln x + k ; k : konstanta

Bukti

( )kxlndxd + =

x1

+ 0 = x1

4. dxex = ex + k ; k : konstanta

Bukti

( )kedxd x + = ex + 0 = ex

5. dx)x(Sin = Cos(x) + k, dan dx)x(Cos = Sin(x) + k ; k ; konstanta

Bukti

Sudah disampaikan sebagai contoh pada definisi fungsi primitif

149

6. ( ) + dx)x(g)x(f = dx)x(f + dx)x(g

Bukti

( )( )i1i1n

11

ii xx)x(g)x(f + +

= = ( )( )i1i

1n

11

i xx)x(f +

= + ( )( )i1i

1n

11

i xxx(g +

=

( )( )

+ +

= i1i

1n

11

iin

xx)x(g)x(fLim

= ( )( )

+

= i1i

1n

11

in

xx)x(fLim + ( )( )

+

= i1i

1n

11

in

xx)x(gLim

Berdasarkan konsepsi integral, jika masing-masing limit nilainya ada dan berhingga,

maka ( ) + dx)x(g)x(f = dx)x(f + dx)x(g

7. dx)x(kf = k dx)x(f

Bukti

Gunakan analogi pembuktian dalil 6, dengan menyatakan kf(x) sebagai perjumlahan atas

k buah fungsi f(x)

V.3. Cara menghitung sebuah integral

Menghitung integral sebuah fungsi dengan menggunakan konsepsi seperti yang telah

dipaparkan cukup sulit, dan proses perhitungannya relatif tidak sesederhana perhitungan

diferensial. Ada beberapa metode untuk menghitung integral sebuah fungsi.

1. Integral sebagai sebuah antidiferensial

Berdasarkan dalil pada fungsi primitif, tersurat bahwa ( ) dx)x(fdxd

= f(x). Dari

pernyataan ini dapat disimpulkan, sebuah integral dapat diselesaikan jika diketahui fungsi

primitifnya, sehingga untuk menyelesaikan sebuah integral dengan cara ini, diperlukan

150

sebuah direktori fungsi primitif yang lengkap. Metode ini dapat digunakan jika bentuk

integrandnya cukup sederhana.

2. Metode subtitusi

Ada beberapa cara subtitusi yang dapat digunakan, diantaranya

a) Subtitusi aljabar

Contoh 4

Hitunglah ( )+ dxe)3x2( 1x3x

2

Jawab :

Subtitusikan y = x2 3x + 1 dy = (2x 3)dx dx = 3x2

dy

( )

+ dxe)3x2( 1x3x2

=

3x2dy

e)3x2( y = dyey = ey + k = e(x - 3x + 1) + k

Contoh 5

Hitunglah ++ dx)1x2x(Tg)1x(2

Jawab :

Subtitusikan y = (x2 + 2x 1) dy = (2x + 2)dx dx = 2x2

dy+

=

+1xdy

21

Dengan menggunakan dalil 7,

++ dx)1x2x(Tg)1x(2 = +

+1x

dy21

)y(Tg)1x( = dy)y(Tg(21

= dy})y(Cos)y(Sin

21

Subtitusikan z = Cos(y) dz = Sin(y)dy

dy})y(Cos)y(Sin

21