1

BAB I

DINAMIKA PARTIKEL DALAM SATU DIMENSI

I.1 Pengantar

Mekanika adalah cabang fisika yang terpenting,

karena dengan mekanika kita dapat memahami hukum-

hukum yang bersangkutan dengan keadaan statis dan

dinamis suatu benda. Supaya kerumitan keadaan tersebut

dapat dihilangkan dari hakikatnya, maka peninjauan kita

lakukan dengan memperlakukan obyek benda sebagai titik

materi. Dalam hal ini pengertian titik materi tidak berarti

mutlak bahagian terkecil suatu benda, melainkan dapat

mempunyai makna relatif. Bulan misalnya, dalam

peredarannya mengelilingi bumi, dapat dipandang sebagai

benda titik ditinjau dari kerangka bumi. Demikian pula bumi

dalam mengelilingi matahari; dan masih banyak contoh lain

yang dapat dikemukakan.

Dalam mekanika jika kita hanya menggambarkan

gerak suatu benda, maka kita membatasi diri pada

kinematika yaitu dengan pertanyaan dimana (posisi) dan

kapan (waktu); sedangkan jika kita ingin menghubungkan

gerak suatu benda terhadap gaya-gaya penyebabnya dan

2

juga sifat/karakteristik benda yang bergerak tersebut, maka

kita menghadapi permasalahan dinamika. Jadi kinematika

zarrah artinya penggambaran gerak suatu zarrah tanpa

menghubungkan dengan gaya penyebabnya, sedangkan

dinamika adalah penggambaran gerak benda dengan

mengaitkannya dengan gaya-gaya penyebabnya.

Tinjaulah suatu titik materi yang bergerak melalui

suatu lintasan x terhadap suatu titik tetap O sebagai pusat

pengamatan. Gerak titik materi ditentukan oleh hukum

Newton kedua, yakni:

dt

pdF

(I.1.1)

dengan F menyatakan gaya total yang bekerja pada titik

materi dan p sebagai momentum linearnya. Momentum

suatu benda didefinisikan sebagai:

vmp

(I.1.2)

dimana v menyatakan kecepatan gerak benda sepanjang

lintasannya dan m sebagai massa benda. Dalam hal ini

3

massa benda adalah merupakan suatu besaran yang

menyatakan ukuran bobot kelembamannya. Adapun

kecepatan v menyatakan panjang lintasan yang ditempuh

benda pada suatu titik pada lintasan benda persatuan selang

waktu infinitesimal. Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai

kecepatan rata-rata pada selang waktu yang sangat pendek.

dihitung dalam limit t secara infinitisimal sangat kecil,

mendekati nol, yakni:

dt

xd

t

xv

t

0lim (I.1.3)

Karena dt infinitesimal, maka jelas dx juga haruslah

infinitesimal agar v besarnya terbatas. Sebagai akibatnya

kecepatan v akan senatiasa menyinggung sepanjang lintasan

x. Ini berarti bila benda membelok, maka pada titik

beloknya itu arah kecepatan benda juga akan berubah pula.

Selanjutnya menurut defenisi (I.1.2) maka gaya

yang bekerja pada titik materi akan ditentukan oleh

persamaan:

vmdt

dF

(I.1.4)

4

Dalam banyak hal, kecuali benda bergerak dengan kelajuan

(besar kecepatan) yang mendekati orde kelajuan cahaya,

selama benda utuh (maka massanya tetap), sehingga

persamaan geraknya akan ditentukan oleh:

amdt

vdmF

(I.1.5)

dengan komponen-komponennya adalah:

xx maF (I.1.6a)

yy maF (I.1.6b)

zz maF (I.1.6c)

dengan a menyatakan percepatan rata-rata didefinisikan

sebagai laju perubahan kecepatan, atau perubahan kecepatan

dibagi dengan waktu yang dibutuhklan selama perubahan

tersebut, yakni

2

2

0lim

dt

xd

dt

vd

t

va

t

(I.1.7)

5

Contoh 1: Sebuah mobil bergerak sepanjang jalan lurus

(arah sumbu x) dengan kecepatan 15 m/s.

Kemudian sopir menginjak rem sehingga

setelah 5 detik kecepatan mobil turun menjadi

5 m/s. berapakan percepatan rata-rata mobil?

Jawab.

2

12

12 /0,20,5

)/0,15)/0,5(sm

s

smsm

tt

vv

t

va

Jika massa dan gaya diketahui, hukum Newton di

atas dapat digunakan untuk menjelaskan keadaan

dinamikanya. Jika seseorang menggunakan gaya sebesar

100 newton untuk memindahkan sebuah benda bermassa 5

kilogram tanpa ada gesekan , maka percepatan rata-ratanya

adalah:

2det20

5

100 mkg

newton

m

Fa ext

Selanjutnya dapat dikembangkan hubungan keadaan

dinamika lebih lanjut. Jika dibuat keadaan awalnya diam,

6

setelah 3 detik kemudian, kecepatan dan jarak yang

ditempuh dapat dihitung, yakni:

meterxmxats

mxmtav

90det9)det/(202

1

2

1

det/60det3)det/(20

222

2

Contoh 2. Sebuah balok bermassa m yang ditarik sepanjang

bidang datar licin oleh gaya F membentuk sudut

45o terhadap bidang horizontal.

a. Jika massa balok adalah 2,0 kg, berapa besar

gaya F yang dibutuhkan agar balok mendapat

kecepatan horizontal 4,0 m/s dalam 2,0 s

mulai dari keadaan diam.

b. Tentukan besar gaya normalnya.

Jawab.

a. Percepatan benda:

20 m/s 0,20,2

)0()0,4(

t

vva , sehingga

besarnya

gaya F adalah:

7

Nma

F

maF

2425,0

2.2

45cos

45cos

b). Karena ay = 0, maka:

N + Fsin45 - mg =0,

NFmgN 1625,0.242045sin

Hal yang penting dapat ditarik dari uraian ini ialah

apabila jumlah gaya total yang bekerja pada suatu benda

lenyap, maka berarti momentumnya tetap. Hal ini dikenal

sebagai pernyataan hokum kekekalan momentum.

Besaran lain yang memiliki sifat kekekalan ialah

yang disebut “momentum sudut” . Dalam hal ini momentum

sudut suatu benda terhadap suatu titik O yang dilambangkan

dengan L didefenisikan sebagai:

pxrL

(I.1.8)

dengan r merupakan vector letak benda titik terhadap titik

pengamatan O. Untuk mendapatkan persamaan yang analog

dengan persamaan (I.1.1) bagi L, didefenisikan besaran yang

disebut momen gaya yang diberikan oleh sangkutan:

8

vmdt

dxrFxr

(I.1.9)

Dengan mengenakan operasi turunan pertama terhadap

waktu t bagi besar L yang dikenal sebagai torka (momen

gaya), diperoleh:

Frxvmxvvmdt

dxrvmx

dt

rd

vmxrdt

dpxr

dt

dL

dt

d

(I.1.10)

Suku pertama pada ruas kanan otomatis lenyap, sehingga

diperoleh:

dt

Ldvmxr

dt

d

(I.1.11)

Tampak bahwa suatu benda titik yang berpresisi terhadap

suatu titik, persamaan geraknya ditentukan oleh persamaan

(I.1.11) yang merupakan analogi persamaan (I.1.1).

Terhadap keadaan ini , bila jumlah total momen gaya yang

9

bekerja pada suatu benda lenyap, maka momentum sudut

totalnya tetap. Ini berarti besaran momentum sudut L

bersifat kekal.

Selanjutnya kita tinjau kerja yang dilakukan oeh

gaya luar F terhadap titik materi dari kedudukan (1) ke

kedudukan (2) . Dalam hal ini, kerja tersebut didefenisikan

sebagai:

xdFW

12

(I.1.12)

Karena dt

dvmtF )( dan untuk massa tetap, maka kerja

yang dilakukan diberikan oleh:

12

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

12

2)(

2

TT

vvm

dtvdt

dm

dtvdt

vdmxd

dt

vdmxdFW

(I.1.13)

10

dengan 2

2

1mvT menyatakan energi kinetic titik materi.

Bila medan gaya yang bekerja sedemikian rupa kerja yang

dihasilkan meliputi lintasan tertutup lenyap , yakni:

0SdF

(I.1.14)

maka gaya yang bersangkutan dikatakan bersifat konservatif

dimana usaha/kerja oleh gaya konservatif tidak bergatung

pada lintasan, tetapi hanya bergantung pada keadaan awal

dan akhir. Secara fisis suatu system tak akan bersifat

konservatif bila ada geseran dan gaya-gaya disipasi lainnya.

Dengan bantuan integral Stokes, yakni:

AdFxldFC S

sehingga persamaan (I.1.14) dapat ditulis sebagai:

0)( AdFxSdFC S

k

(I.1.15)

dimana berlaku untuk sembarang S yang dibatasi oleh C.

Karena harus berlaku untuk sembarang S dan C, maka:

11

0 Fx

(I.1.16)

Ini berarti gaya yang bersifat konservatif haruslah

merupakan gradient suatu fungsi scalar, dimana dipenuhi:

VF

(I.1.17)

di maana disebut sebagai “energi potensial” dan tanda

negative menunjukkan bahwa arah F berlawanan arah

dengan V. Dari (I.1.17) segera kita dapat menghitung kerja

yang dilakukan oleh system gaya konservatif sebagai

berikut:

12

2

1

2

1

2

1

12

VV

dzz

Vdy

y

Vdx

x

V

SdVSdFW

(I.1.18)

12

Jadi kerja yang dilakukan oleh gaya ini dalam

perpindahannya dari posisi (1) ke posisi (2) adalah sama

dengan selisih antara energi potensial diantara kedua titik

tersebut. Kalau hasil ini dihubungkan dengan persamaan

(I.1.13), maka dapat diperoleh:

tan)(2211 konsEVTVT

(I.1.19)

Menurut persamaan ini, bila gaya yang bekerja pada suatu

titik materi adalah gaya konservatif, maka energi totalnya

T+V tetap. Ini mengungkapkan pernyataan kekekalan energi

suatu system.

Sebaliknya dapat pula ditunjukkan kaitan bentuk

energi dan bentuk gaya, yakni bahwa energi mekanik

dinyatakan sebagai:

)(2

1 2 rVmvVTE

(I.1.20)

13

Dengan mengambil turunannya terhadap waktu, maka:

vFdt

vdvmvV

dt

vdm

vVdt

vdvm

dt

rdV

dt

vdvm

dt

dE

k

(I.1.21)

Bila E kekal, maka 0dt

dE, sehingga

dt

vdmF k

. Dan bila

E tidak kekal, maka NKFdayadt

dE , sehingga:

NKk FFdt

vdm

(I.1.22)

I.2 Dinamika Sistem Banyak Titik Materi

Pada uraian yang lalu telah di bahas mengenai

dinamika partikel titik materi, maka sekarang akan diperluas

ke system banyak materi. Dalam rangka perluasan tersebut,

maka harus dibedakan antara gaya luar yang bekerja pada

14

system partikel-partikel dengan gaya internal yang berasal

dari proses interaksi antara partikel ke k dengan yang

lainnya. Jika kedua macam gaya itu bekerja, maka hukum

kedua Newton berbentuk:

kj

i

kj

e

kkk FFpF )()(

(I.2.1)

di mana suku pertama pada ruas kanan melambangkan gaya

luar (gaya eksternal) dan suku kedua sebagai gaya internal

yang berhubungan dengan interaksi partikel ke j dengan ke

k. Seperti halnya dengan )(e

kF , maka kjF diandaikan juga

memenuhi hukum Newton ketiga, yaitu gaya yang

dikerjakan oleh suatu benda terhadap benda lain senantiasa

sama besarnya tetapi berlawanan arah dengan gaya reaksi

yang diberikannya meskipun tidak harus satu garis lurus

(untuk bentuk kuat Hukum Newton III terletak pada satu

gairis lurus). Tentu saja ada system yang tidak mengikuti

hokum ini, misalnya gaya elektromagnetik diantara benda

bermuatan yang bergerak.

Dengan menjumlahkan semua gaya yang bekerja

pada partkel diperoleh:

15

k kj

kj

k

e

k

k

kk FFrmdt

d )(

2

2

(I.2.2)

Berdasarkan hokum III Newton , jelas suku kedua pada

persamaan (I.2.2) akan lenyap karena jkkj FF .

Selanjutnya untuk mereduksi ruas kiri persamaan (I.2.2),

kita definisikan vector letak pusat massa R system sebagai:

k

kk

k

k

k

k

k

rmMm

rm

R

1

(I.2.3)

Dengan mensubstitusikan persamaan (I.2.3) kedalam

persamaan (I.2.2), maka diperoleh:

)()(

2

2e

k

e

k FFdt

RdM

(I.2.4)

16

Pernyataan ini mengungkapkan, bahwa gaya luar seperti

hanya bekerja pada seluruh massa system dan terpusat pada

pusat massanya dan tampak bahwa gaya internal sama sekali

tak ada pengaruhnya terhadap gerak pusat massa system.

Selanjutnya momentum sudut total suatu system

banyak partikel akan dapat dituliskan sebagai:

k

k

kk pxrL

(I.2.5)

Analog dengan pernyataan momen gaya satu partikel, maka

untuk system banyak pertikel akan dapat disajikan sebagai:

17

jk

k jk

k

e

i

k

i FxrFxr

)(

(I.2.6)

dimana suku terakhir tiada lain dari pada kontribusi dari

gaya internal. Bila berlaku juga bentuk kuat hokum Newton

ketiga, yang memenuhi syarat, yakni:

Sama besar

Berlawanan arah

Terlatak satu garis lurus

O

rk

rj

rk –rj

Gambar. 1.1a

rk –rj

kjF

jkF

j

Gambar 1.1b

18

maka jkkj FF (Gambar 1.1b), sehingga:

0 jkjkkjjk FxrrFxrr

atau dengan menggunakan sifat hokum aksi-reaksi, kita

dapat menuliskan:

k kj

jkjk

k kj j jk

kjjjkkjk

k jk

k

Fxrr

FxrFxrFxr

2

1

2

1

dimana jkkj FF dan kjjk rrr

sehingga

jkkjjkjk FxrFxrr

. Karena jkkj rr

, maka diproleh:

jkjkkjjkjkkj FxrFxrFxr

atau

jkjkkjjkjkjkkj FxrrFxrFxr

Ini berarti 0jkkj Fxr

. Dengan demikian, diperoleh momen

gaya (torka) total adalah sama dengan jumlah semua momen

gaya eksternal hanya jika bentuk kuat hokum ketiga Newton

dipenuhi, yakni:

19

)(e

k

k

Qk Fxrr

(I.2.7)

Momentum sudut partikel ke k (relative terhadap titik Q),

yakni:

QkQk

kQkkQ

rrdt

dmxrr

pxrrL

(I.2.8)

Momentum sudut total:

dt

rdrrm

dt

rdxrrmLL

Q

Qkkk

Qkk

kk

kQQ

(I.2.9)

Dan laju terhadap waktu:

20

k Q

Qkk

Q

Qkk

Qkk

Qk

Q

dt

rdxrr

dt

dm

dt

rdxrrm

dt

pdxrr

dt

rdmxrr

dt

d

dt

Ld

2

2

2

2

2

2

dt

rdxrRM

dt

rdxrRM

dt

pdxrr

dt

Ld

Q

QkQ

Q

Qk

k

kQk

Q

(I.2.10)

Bentuk persamaan (I.2.10) akan menjadi seperti bentuk

linear, yakni:

Q

Q

dt

Ld

(I.2.11)

Persamaan (I.2.10) hanya betul jika:

Titik Q adalah pusat massa

Titik Q tidak dipercepat (inersial), atau

Titik Q dipercepat sepanjang garis hubung dengan

pusat massa.

21

Selanjutnya kita tinjau energi system banyak

partikel. Seperti halnya dengan system titik titik materi,

maka kerja yang dilakukan bagi semua gaya dalam

pemindahan system dari konfigurasi awal (1) ke konfigurasi

akhir (2) yang didefenisika melalui persamaan:

2

12

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

12

2

1dengan,

2)(

2

kk

k

k

k

kk

k

k

kkk

k

k

kk

vmTTT

vvm

dtvdt

dm

Sdvdt

vdmSdFW

(I.2.12)

Energi kinetic total system adalah:

22

22

222

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

2

1

kk

k

R

Rk

k

kkk

k

R

kRkRk

k

kRk

k

vmMv

vvmvmMv

vvvvmvvmT

(I.2.13)

22

Suku pertama pada persamaan (I.2.13) adalah energi kinetic

pusat massa sedangkan suku ke dua adalah energi kinetic

relative terhadap pusat massa.

Usaha dapat juga dituliskan sebagai:

k k j

kkj

k

k

K

kk

NK

k

k

k

j

kj

e

k

k

k

SdFSdFSdF

SdFFSdFW

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

12

k j

kkj

eeNK SdVVVWW

2

1

)(

1

)(

212

(I.2.14a)

dimana

jkjkkjjkkkj

jk

FVVrrVF

rrVV

)(

)(

(I.2.14b)

Dengan demikian:

23

k kj

jk

eeNK

k kj

jjkkkj

eeNK

rrVVVW

SdVSdVVVWW

2

1

)(

1

)(

2

2

1

)(

1

)(

212

)(

Energi potensial total:

)(,...),(,...),( 21

)(

21 jk

k kj

e rrVrrVrrV

(I.2.15)

Diperoleh juga hubungan energi sepert biasa, yaitu:

NK

NK

WVTT

VVWTTW

1122

121212

V

(I.2.16)

Suku pertama dan kedua pada persamaan (I.2.15) masing-

masing adalah energi potensial eksternal dan energi

potensial internal system. Secara umum energi potensial

internal itu tidak lenyap dan malahan dapat bergantung

pada waktu. Hanya untuk system benda tegar, energi

potensial internal itu tetap, karena rkj juga tetap. Oleh karena

24

itu benda tegar dapat didefenisikan sebagai system dengan

rkj tetap dan tidak berubah terhadap waktu. Gaya internal

pada benda tegar tidak pernah bekerja, dan karena itu energi

potensial internalnya harulah tetap. Jika demikian pengaruh

energi potensial internal untuk system benda tegar dapat

diabaikan, karena otomatis terhapus, karena hanya

menjumlah sebagai tetapan terhadap energi potensial

eksternal.

I.3 Gerak Dengan Gaya Konstan

Secara umum aksi gaya pada sebuah partikel dapat

bergantung pada posisi, kecepatan dan waktu. Persamaan

geraknya adalah:

trrFrm ,,

(I.3.1)

Persamaan ini adalah sebuah persamaan diferensial orde dua

dalam koordina ruang dan setelah diintegrasi dua kali akan

diperoleh lintasan partikel. Bila persamaan (I.3.1)

diintegrasi terhadap waktu, akan diperoleh:

t

t

t

t

dtFdtrm

00

25

atau

t

t

dtFvrm

0

)( 0

(I.3.2)

dimana kita telah memilih syarat awal pada t=t0,

kecepatannya adalah v0. Besaran pada ruas kanan dalam

persamaan (I.3.2) disebut impuls-gaya. Selanjutnya

integrasikan persamaan (I.3.2) sekali lagi terhadap waktu,

diperoleh:

t

t

t

t

dtFdtm

ttvrr

0 0

1)( 000

(I.3.2)

dimana r dan t0 adalah masing-masing vector posisi partikel

pada t=t dan t=t0.

Sebagai contoh persamaan gerak dengan gaya

konstan, tinjaulah sebuah balok dengan massa m terletak

pada suatu permukaan horizontal yang licin, dan ditarik

dengan seutas tali yang dihubungkan dengan balok lain

dengan massa M melalui sebuah katrol (Gambar 1.2). Katrol

dianggap tidak mempunyai massa dan gesekan, dan hanya

berfungsi untuk membelokkan arah gaya tarik tali, maka

26

percepatan sistem dan tegangan tali dapat dicari melalui cara

berikut:

Gambar 1.2

a. Dua buah benda dihubungkan

dengan tali

b. Diagram benda bebas untuk m

c. Diagram benda bebas untuk M

Karena panjang tali adalah tetap, maka balok m dan balok

M mempunyai percepatan yang sama. Gaya tarik tali (T),

menarik balok ke kanan, sedangkan mg adalah gaya tarik

oleh bumi, yaitu berat balok m. Gaya N adalah gaya normal

oleh bidang datar pada balok. Balok hanya bergerak dalam

arah-x, sehingga ay = 0 maka:

N-mg = 0

T = ma

Sedangkan gaya-gaya yang bekerja pada M ditunjukkan

pada gambar 1.2c. Karena M bergerak dipercepat, maka

persamaan gerak dari M adalah Mg – T = Ma

m

M mg

T x

N y

Mg

x

T y

a b c

27

sehingga diperoleh:

gMm

Ma

dan g

Mm

MmT

I.4 Gaya Bergantung Pada Waktu: F=F(t)

Dalam kasus ini, gaya akan diberikan )(tFF yang

bergantung waktu secara eksplisit, sehingga hukum Newton

kedua dapat ditulis sebagai:

)(tFdt

dvm

(I.4.1)

bila diintegrakan dengan mengasumsikan bahwa v=v0 pada

t=t0, maka:

t

t

dttFm

vv

0

)(1

0

(I.4.2)

Tinjau persamaan gerak yang diturunkan dari gaya yang

bergantung waktu:

28

tFF sin0

(I.4.3)

Untuk sederhananya, tinjau gerak hanya satu dimensi

sepanjang sumbu-x. Persamaan geraknya adalah:

tm

Fx sin0

(I.4.4)

Integrasikan persamaan (I.4.4) untuk sebuah partikel yang

pada t=0, x=x0 dan v=v0 , diperoleh:

tm

F

m

Fv

tm

Fvx

cos

cos1

000

00

(I.4.5)

Integrasikan sekali lagi persamaan (I.4.5), diperoleh:

t

m

Ft

m

Fvxx

sin

2

0000

29

Contoh: Sebuah balok bermassa m diam diatas permukaan

tanpa gesekan. Pada waktu t=0, sebuah gaya yang

digunakan diberikan oleh )exp(0 tFF , dimana

adalah sebuah konstanta positif lebih kecil dari satu).

Hitung x(t) dan v(t). Bagaimana nilainya bila:

a. t sangat kecil

b. t sangat besar

Jawab:

Dari hokum Newton kedua:

)exp(0 tFFdt

dvm (1)

atau

dttm

Fdv )exp(0

(2)

yang bila diintegrasikan akan diperoleh:

Ct

m

Fv

)exp(0

Jika syarat awal pada t=0, v=v0 =0, diperoleh:

30

m

FC 0

Jadi kecepatan dapat dinyatakan dalam persamaan, yakni:

)exp(10 tm

Fv

(3)

Substitusi dt

dxv ke dalam persamaan (3), maka:

dttm

Fdx )exp(10

(4)

yang bila diintegrasikan dengan kondisi awal pada t=0, x=0,

maka:

tm

Ft

m

Fx

0

2

0 1)exp(

(5)

Jika t sangat kecil, persamaan (3) dan (5) menghasilkan x=0

dan v=0 . Dan jika t sangat besar, maka dari persamaan (3)

dan (5) akan diperoleh:

31

2

000 dan, m

Ft

m

Fx

m

Fv

(6)

I.5 Gaya Bergantung Pada Kecepatan: F=F(v)

Dalam banyak keadaan sehari-hari, sering ditinjau

keadaan dimana dilakukan penambahan pada gaya konstan

dengan gaya yang fungsi dari kecepatan. Sebagai contoh,

jika benda bergerak dalam medan gravitasi, baik jatuh

maupun bergerak ke atas, penambahan pada gaya gravitasi

dengan gaya gesekan sebagai fungsi kecepatan dapat

dilakukan sebagai upaya agar system yang ditinjau

mendekati keadaan yang sesungguhnya. Dalam kasus ini,

hokum Newton keda dapat dituliskan sebagai:

dt

dvmvF )(

(I.5.1)

atau

dx

dvmv

dt

dx

dx

dvmvF )(

(I.5.2)

32

Tampak dari gaya F(v) , kedua persamaan ini dapat

diselesaikan dengan untuk menganalisa persamaan gerak,

yaitu menghitung nilai x sebagai fungsi dari t. Untuk

maksud tersebut, kita mulai dengan persamaan (I.5.1),

dengan menuliskannya sebagai:

)(vF

dvmdt

setelah diintegrasikan akan menghasilkan:

)(

)(vF

dvmvtt

(I.5.3)

Solusi ini memberikan v sebagai fungsi dari t, yakni v=v(t) .

Selanjutnya, kita dapat pula menyatakan kecepatan sebagai

fungsi dari x, yaitu:

dttvdxatautvdt

dxv )(,)( (I.5.4)

33

bila diintegrasikan akan diberikan:

dttvtxx )()(

(I.5.5)

Hal yang sama, jika kita mulai dengan persamaan (I.5.2) ,

diperoleh:

)(vF

vdvmdx

(I.5.6)

integrasinya menghasilkan:

)(

)(vF

vdvmtxx

(I.5.7)

Persamaan (I.5.5) dan (I.5.7) yang diturunkan perpindahan x

sebagai fungsi waktu t tampak berbeda, tetapi setelah

dievaluasi mereka menghasilkan hubungan yang sama.

Sebagai contoh kasus khusus, andaikan sebuah mobil

bergerak dengan kecepatan v0 di atas jalan yang mulus tanpa

34

gesekan, tiba-tiba mesinnya mati. Asumsikan bahwa

hambatan udara berbanding lurus dengan kecepatan, yakni:

kvvFF rr )(

(I.5.8)

Asumsikan bahwa pada t=0, v=v0 , kita akan menghitung v

dan x sebagai fungsi t. Persamaan gerak system dapat ditulis

sebagai:

dt

dvmkvvFr )(

(I.5.9)

Sehingga:

v

vv

dv

k

mdt

0

Hasil integrasinya adalah:

0

lnv

v

k

mt

(I.5.10)

Atau

t

m

kvv )(exp0

(I.5.11)

35

Bila disubstitusikan dt

dxv ke dalam persamaan, akan

diperoleh dttm

kvdx

)(exp0 , yang hasil integrasinya

setelah diambil syarat batasnya t=0 saat x=0, dan pergeseran

x pada saat t diberikan oleh:

tmkk

mvx /(exp10

(I.5.12)

Jelas tampak bahwa pada persamaan (I.5.11) dan (I.5.12)

ketika t=0, v=v0, x=0. Kita juga catat dari persamaan

(I.5.11) akan memberikan nilai v=0 ketika t= , dan dari

persamaan (I.5.12) , txk

mvx 0 dimana xt adalah jarak

pada batas awal. Selanjutnya dengan mengekspansikan ruas

kanan pada persamaan (I.5.11) dan (I.5.12 dengan deret

Taylor ( ...)!3!2

1exp32

xx

xx , maka:

atv

tm

Fvt

m

kvvv r

0

00

0 ...... (I.5.13)

Hal yang sama:

36

2

0

200

200

2

1

...2

1...

2

1

attv

tm

Ftvt

m

kvtvx

(I.5.14)

I.6 Gaya Bergantung Pada Posisi: F=F(x)

Ada beberapa keadaan dimana persamaan gerak

obyek bergantung pada posisi, misalnya gaya gravitasi, gaya

Coulomb dan gaya elastic. kasus penting Persamaan

diferensial yang bersangkutan dengan gerak obyek yang

berada dibawah pengaruh gaya yang bergantung pada posisi

adalah:

)(2

2

xFdt

xdm

(I.6.1)

atau dapat pula dinyatakan dalam v sebagai fungsi pososi,

yakni:

37

)(2

1

dx

d

atau)(

2 xFmv

xFdx

dvmv

(I.6.2)

Bila energi kinetic dari partikel adalah T=(1/2)mv2, maka

persamaan (I.6.2) dapat ditulis sebagai:

)(xFdx

dT

Integrasinya diberikan oleh:

x

x

x

x

dxxFmvmv

dxxFTT

0

0

)(2

1

2

1

)(

2

0

2

0

(I.6.3)

Suku pada bagian kanan adalah kerja yang dilakukan

memindahkan partikel dari posisi x0 keposisi x. Dan bila

ditinjau energi potensial pada titik ini dengan menamakan

V(x) sebagai fungsi potensial, maka:

38

x

x

dxxFxVxV

atauxFdx

xdV

0

)()()(

)()(

0

(I.6.4)

Dengan melakukan penggabungan persamaan (I.6.3) dengan

(I.6.4), diperoleh:

ExV

dt

dxm

ataukonsExVTxVT

)(2

1

tan)()()(

2

00

(I.6.5)

Persamaan ini menunjukkan bahwa jika sebuah partikel

sedang bergerak dibawah aksi dari sebuah gaya bergantung

pada posisi, maka jumlah energi kinetic dan energi potensial

adalah konstan selama gerak partikel, dan persamaan (I.6.5)

disebut hukum kekekalan energi. Sebagai gambaran gerak

partikel dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

(I.6.5), yaitu:

39

m

xVE

dt

dxv

)(2

(I.6.6)

Integrasinya menghasilkan:

)(2

0

xVEm

dxtt

(I.6.7)

Dimana kita tidak meninjau yang berhubungan tanda

negative, yang berkaitan dengan pembalikan waktu. Dalam

peninjauan solusi persamaan (I.6.7), hanya nilai x yang

memungkinkan besar dari E-V(x) bernilai positif.

Sebagai contoh penggunaan gaya bergantung posisi,

tinjau gerak sebuah partikel ydengan gaya:

kxxF )(

(1)

yang dikenal sebagai hokum Hooke. Energi potensial yang

digunakan untuk membawa dari titik kesetimbangan xs=0,

adalah:

40

2

0

2

1

)()()(

kx

dxkxdxxFxV

xx

xs

(2)

Sekali lagi, bahwa energi total gerak adalah konstan dan

dapat ditunjukkan sebagaai:

kxdxdvmv

ataukxxFdx

dvmv

)(

(3)

Hasil integrasinya adalah:

totalEnergi2

1

2

1atau

konstan2

1

2

1

22

22

Ekxmv

kxmv

(4)

Sekarang kita dapat menggunakan persamaan (I.6.7) dengan

V(x) yang diberikan oleh persamaan (2). Dengan meninjau

hanya bagian positifnya saja, maka:

41

22

0

21

2

2

12x

E

k

m

E

dx

kxEm

dxtt

(5)

Substitusikan kedalam;

ddxE

kx

E

ksin

2dansin

2

(6)

maka kita dapatkan:

)( 0

0

k

md

k

mt

(7)

Seperti biasa, kecepatan sudut atau frekuensi sudut

didefenisikan sebagai m

k , maka:

0 t

(8)

42

Dengan menggabung persamaan (8) dengan persamaan (6),

maka diperoleh:

)(sin

2sin

0

0

1

tAx

atautxE

k

(9)

dimana A adalah amplitude yang diberikan oleh k

EA

2

Soal latihan:

1. Sebuah benda bermassa m jatuh hanya dibawah

pengaruh gaya gravitasi. Asumsikan bahwa benda

mengalami hambatan udara yang berbanding lurus

dengan kecepatan v yang dapat ditulis sebagai –kv.

Carilah pernyataan kecepatan dan posisi sebagai

fungsi waktu t.

2. Sebuah bola bermassa m dilempar ke atas dengan

kecepatan awal v0 di atas permukaan horizontal

dimana mendapat gaya perlambatan yang sebanding

43

dengan akar kecepatan. Carilah pernyataan

kecepatan dan posisi bola sebagai fungsi waktu.

3. Sebuah partikel bermassa m digerakkan oleh gaya:

)sin()exp(0 ttFF

Hitunglah nilai v(t) dan x(t). Bagaimana besar

kecepatan akhir pada kasus ini.

4. Sebuah parikel bermassa m digerakka oleh gaya

F=a-2bx, dimana a dan b adalah konstan.

a. Carilah energi potensial V(x)

b. Buatlah plot untuk F(x) dan V(x)