BAB III Persoalan Penugasan Multi Kriteria A. Pengertian...

15

Eka Arifani Putri, 2014

Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu15

BAB III

Persoalan Penugasan Multi Kriteria

A. Pengertian Penugasan

Masalah penugasan (assignment problem) adalah suatu masalah mengenai

pengaturan objek untuk melaksanakan tugas, dengan tujuan meminimalkan biaya,

waktu, jarak, dan sebagainya ataupun memaksimalkan keuntungan yang salah satu

penyelesaiannya menggunakan metode Hungaria (Soemartojo, 1997). Masalah

umum penugasan meliputi n tugas yang harus ditetapkan kepada m pekerja dimana

setiap pekerja memiliki kompetensi yang berbeda dalam menyelesaikan setiap

tugasnya.

B. Persoalan Penugasan Sederhana

Persoalan penugasan sederhana adalah persoalan penugasan yang hanya

memiliki satu tujuan kriteria, yaitu memaksimalkan atau meminimalkan suatu

sumber daya (biaya, waktu, kualitas atau jarak) yang digunanakan untuk

menyelesaikan tugas. Masalah penugasan merupakan jenis khusus pemrograman

linier dimana sumber-sumber dialokasikan kepada kegiatan-kegiatan atas dasar satu-

satu (one-to-one basis) (Hillir,dkk,1990:242). Jadi setiap sumber atau petugas

(assignee) seperti mesin atau karyawan ditugasi secara khusus kepada suatu kegiatan

atau tugas. Ada suatu biaya cij yang berkaitan dengan petugas i (i = 1,2,…,m) yang

melakukan tugas j (j = 1,2,…,n), sehingga tujuannya adalah untuk menentukan

bagaimana semua tugas harus dilakukan untuk meminimumkan total biaya.

Jadi persoalan penugasan akan mencakup sejumlah m pekerja yang

mempunyai n tugas. Dengan asumsi n = m, sehingga akan ada n! penugasan yang

mungkin dalam suatu masalah karena harus berpasangan satu-satu. Apabila pekerja

i(i = 1,2,…,m) ditugaskan kepada tugas j(j = 1,2,…n) maka akan muncul biaya

penugasan cij, sehingga jelas bahwa tujuan dari penugasan adalah mencari

16




penggunaan total biaya yang minimum dari semua pekerja dalam menyelesaikan

semua tugas. Banyak cara menyelesaikan persoalan penugasan, salah satunya adalah

dengan metode Hungaria.

C. Model Matematis Persoalan Penugasan Sederhana

Persoalan penugsan yang sederhana dengan mempertimbangkan situasi

penugasan m pekerja ke n tugas. Ketika pekerja i (i = 1, 2, ..., m) ditugaskan ke tugas

j ( j = 1, 2, ..., n), maka pekerja i dalam menyelesaikan tugas j memerlukan biaya cij.

Sehingga tujuannya adalah menugaskan pekerja - pekerja tersebut ke tugas -tugas

(satu pekerja per satu tugas) dengan biaya total terendah. Suatu masalah umum

penugasan yang hanya berkaitan dengan biaya operasi dapat direpresentasikan

seperti pada Tabel 3.1. Ada n tugas yang akan ditugaskan untuk m pekerja, cij adalah

biaya operasi pekerja i untuk melaksanakan tugas j.

Tabel 3.1 Matriks Biaya Operasi

Pekerja Tugas

1 2 3 … j … n

1 c11 c12 c13 … c1j … c1n

2 c21 c22 c23 … c2j … c2n

3 c31 c32 c33 … c3j … c3n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i ci1 ci2 ci3 … cij … cin

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m cm1 cm2 cm3 … cmj … cmn

17




Bila pada suatu masalah ditemui adanya jumlah tugas dan pekerja berbeda

(jumlah baris ≠ jumlah kolom), maka untuk menyamakan jumlahnya perlu

ditambahkan suatu variabel semu (F.S Hillir, dkk:243) , yaitu ditambahkan suatu

tugas (kolom) semu jika jumlah tugas (kolom) lebih kecil daripada jumlah pekerja

(baris) dan sebaliknya ditambahkan suatu pekerja (baris) semu jika jumlah pekerja

(baris) lebih kecil daripada jumlah tugas (kolom). Penambahan baris ataupun kolom

semu ini merupakan langkah awal dalam pembuatan tabel matriks penugasan agar

dapat diselesaikan menggunakan metode Hungaria. Dengan demikian diasumsikan

bahwa jumlah pekerja sama dengan jumlah tugas (m = n).

Fungsi objektif pada persolan penugasan ini dapat ditulis sebagai berikut

∑ ∑

∑

∑

xij = {

(3.1)

Dimana Z adalah jumlah optimum yang hendak dicapai.

D. Metode Hungaria

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah

penugasan adalah metode Hungaria. Metode ini di temukan oleh Horald Kuhn pada

tahun 1955 dan disempurnakan oleh Jones Munkes pada tahun 1957 keduanya

berkebangsaaan Hungaria. Oleh karena itu metode Hungaria biasa disebut juga

algoritma Kuhn-Munkes. Metode Hungaria ini mempunyai kelebihan dalam segi

kesederhaan algoritma dan dari segi kemudahan untuk dipahami. Oleh karena itu

metode ini merupakan pilihan para peneliti untuk menyelesaikan masalah

penugasan.

18




Metode Hungaria adalah metode yang memodifikasi baris dan kolom

dalam matriks efektifitas sampai muncul sebuah komponen nol tunggal dalam setiap

baris atau kolom yang dapat dipilih sebagai alokasi penugasan (Prawisentono, 2005).

Semua alokasi penugasan yang dibuat adalah alokasi yang optimal, dan saat

diterapkan pada matriks efektifitas awal, maka akan memberikan hasil penugasan

yang paling minimum.

Menurut Taha (1996) memaparkan syarat-syarat metode Hungaria, yaitu

sebagai berikut:

1. Jumlah baris harus sama dengan jumlah kolom yang harus diselesaikan

2. Setiap sumber harus mengerjakan satu tugas

3. Jika jumlah sumber tidak sama dengan jumlah tugas atau sebaliknya, maka perlu

ditambahkan variabel semu sumber atau variabel semu tugas

4. Terdapat dua permasalahan yaitu meminimuman kerugian atau memaksimumkan

keuntungan

Jadi dalam penyelesaiannya, secara umum persoalan penugasan dibagi dua

yaitu masalah maksimalisasi dan minimalisasi. Langkah- langkah proses

penyelesaian masalah penugasan menggunakan metode Hungaria dengan matriks

adalah sebagai berikut:

a. Masalah Minimalisasi

Langkah-langkah untuk masalah minimalisasi adalah sebagai berikut:

1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabell matriks

penugasan

2. Menentukan nilai terkecil dari setiap baris, kemudian mengurangkan setiap

nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya

3. Periksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol. Bila sudah

dilanjutkan pada langkah ke-4 , jika belum, dilakukan penentuan nilai

terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap

nilai pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya

4. Lakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis

vertika/horizontal seminimal mungkin. Bila jumlah garis sudah sama dengan

19




jumlah baris atau kolom, maka tabel telah optimal. Jika jumlah garis belum

sama dengan jumlah baris atau kolom maka dilanjutkan pada langkah ke-5

5. Ditentukan nilai terkecil dari nilai-nilai yang tidak tertutup garis. Lalu semua

nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, dan

nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut

6. Kembali pada langkah ke-4

(Dodi Rahardjo, 2010:9)

Untuk dapat melihat lebih jelas dalam proses minimalisasi, diberikan sebuah

contoh sebagai berikut:

Table 3.2 Contoh Matriks Masalah Minimalisasi

Pekerja Tugas

A B C D

P1 4 2 1 3

P2 7 8 9 6

P3 5 5 4 2

P4 6 3 2 4

Tentukan nilai terkecil dari setiap barisnya, lalu kurangkan setiap nilai dalam

baris tersebut dengan nilai terkecilnya. Maka diperoleh:

Tabel 3.3 Hasil Perhitungan Pertama

Pekerja Tugas

A B C D

P1 3 1 0 2

P2 1 2 3 0

P3 3 3 2 0

P4 4 1 0 2

Karena pada Tabel 3.3 belum semua kolom memiliki nilai nol, maka tentukan

nilai terkecil pada setiap kolomnya lalu kurangkan nilai pada kolom tersebut

dengan nilai terkecilnya. Kemudian lakukan penarikan garis seminimal mungkin

terhadap nilai nol. Maka diperoleh:

Tabel 3.4 Hasil Perhitungan Kedua

20




Pekerja Tugas

A B C D

P1 2 0 0 2

P2 0 1 3 0

P3 2 2 2 0

P4 3 0 0 2

Berdasarkan Tabel 3.4 jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom

artinya penyelesaian sudah optimal. Maka diperoleh kesimpulannya yaitu P1

mengerjakan tugas B, P2 mengerjakan tugas A, P3 mengerjakan tugas D dan P4

mengerjakan tugas C. Dengan nilai optimalnya adalah Z = 2 + 7 + 2 + 2 = 13

b. Masalah Maksimalisai

Langkah-langkah untuk maksimalisasi adalah sebagai berikut:

1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabel matriks

penugasan

2. Ditentukan nilai terbesar dari setiap baris, kemudian nilai terbesar tersebut

dikurangkan dengan setiap nilai dalam barisnya

3. Diperiksa apakah setiap kolo telah mempunyai nilai nol. Bila sudah

dilanjutkan pada langkah ke-4, jika belum, dilakukan penentuan nilai terkecil

dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai

pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya

4. Dilakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertikal/

horizontal seminimal mungkin. Bila jumlah garis sudah sama dengan jumlah

garis atau kolom, maka tabel telah optimal.jika jumlah garis belum sama

dengan jumlah garis atau kolom, maka dlanjutkan pada langkah ke-5.

5. Ditentukan nilai terkecil dari nilai-nilai yang tidak tertutup garis. Lalu semua

nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, dan

nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut.

6. Kembali pada langkah ke-4.

(Dodi Rahardjo, 2010:9)

21




Untuk dapat lebih jelas dalam memahami proses maksimalisasi, diberikan

sebuah contoh sebagai berikut:

Tabel 3.5 Contoh Matriks Masalah Maksimalisasi

Pekerja Tugas

A B C D

P1 2 2 3 5

P2 4 4 9 7

P3 6 1 7 8

P4 5 3 9 8

Tentukan nilai terkecil dari setiap barisnya, lalu kurangkan setiap nilai dalam

baris tersebut dengan nilai terkecilnya. Maka diperoleh:


Pekerja Tugas

A B C D

P1 3 3 2 0

P2 5 5 0 2

P3 2 7 1 0

P4 4 6 0 1






Pekerja Tugas

A B C D

P1 1 0 2 0

P2 3 2 0 2

P3 0 4 1 0

P4 2 3 0 1

22




Terlihat pada Tabel 3.7 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau

kolom, maka perlu dilakukan perbaikan. Sehingga diperoleh:

Tabel 3.8 Hasil Perbaikan

Pekerja Tugas

A B C D

P1 1 0 3 0

P2 2 1 0 2

P3 0 4 2 0

P4 1 2 0 0

Berdasarkan Tabel 3.8 jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom

artinya penyelesaian sudah optimal. Maka diperoleh kesimpulannya yaitu P1

mengerjakan tugas B, P2 mengerjakan tugas C, P3 mengerjakan tugas A dan P4

mengerjakan tugas D. Dengan nilai optimalnya adalah Z = 2 + 9 + 6 + 8 = 25

E. Persoalan Penugasan Multi Kriteria

Banyak penelitian telah dikembangkan untuk memecahkan masalah

penugasan. Sebagian besar metode yang dikembangkan untuk masalah

penugasan hanya mempertimbangkan situasi satu tujuan, seperti masalah

meminimumkan biaya penugasan, meminimumkan waktu penyelesaian masalah.

Meminimumkan biaya dalam masalah penugasan terfokus pada bagaimana

memberikan tugas kepada pekerja sehingga total biaya operasi dapat

diminimalkan, begitu juga dalam meminimumkan waktu penyelesaian hanya

terfokus pada bagaimana memberikan tugas kepada pekerja sehingga total waktu

operasi dapat diminimalkan. Dalam pembahasan penugasan multi kriteria ini

akan digunakan lebih dari satu kriteria atau faktor yang digunakan sekaligus

untuk menentukan satu pekerja tepat bersesuaian dengan satu tugas.

Persoalan penugasan multi kriteria adalah persoalan penugasan yang

melibatkan lebih dari satu kriteria, baik berupa kuantitatif maupun kualitatif.

Sehingga tujuan yang hendak dicapai adalah untuk menetapkan masing-masing

23




pekerja yang tepat terhadap satu tugas sehingga dapat meminimumkan atau

memaksimalkan penyelesaian setiap tugas dengan beberapa kriteria yang ada

(Chiao-Pin Bao,dkk, 2007).

1. Mengoptimalkan dua kriteria

Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan

dua kriteria, katakanlah biaya operasi dan waktu yang diperlukan yaitu

bagaimana menetapkan tugas agar biaya dan total waktu operasi dapat

minimum secara bersamaan. Tabel matriks dengan dua kriteria ditunjukkan

pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.9 Matriks Biaya dan Waktu Operasi

Pekerja Tugas

1 2 3 … j … n

1 c11

t11

c12

t12

c13

t13 …

c1j

t1j …

c1n

t1n

2 c21

t21

c22

t22

c23

t23 …

c2j

t2j …

c2n

t2n

3 c31

t31

c32

t32

c33

t33 …

c3j

t3j …

c3n

t3n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i ci1

ti1

ci2

ti2

ci3

ti3 …

cij

tij …

cin

tin

. . . . . . . .

24




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m cm1

tm1

cm2

tm2

cm3

tm3 …

cmj

tmj …

cmn

tmn

Karena proses penyelesaian mempertimbangkan dua kriteria , maka secara

matematis bobot dari masing-masing tujuan harus ditetapkan terlebih dahulu,

agar dapat mengetahui kriteria mana yang lebih penting daripada kriteria

yang lain atau tingkat kepentingan dari masing-masing kriteria

Maka fungsi tujuannya adalah

Minimumkan C,T = ∑ ∑

+ ∑ ∑

(3.2)

Dimana C adalah total biaya operasi dari pekerja, T adalah total waktu

operasi dari pekerja. Sedangkan α adalah besar bobot yang dimiliki setiap

kriteria, dengan ∑ . cij dan tij adalah biaya dan waktu operasi

pekerja yang telah dinormalisasikan. Data biaya dan waktu yang dinormalkan

yaitu menyetarakan semua data dengan cara membagi data biaya dan waktu

dengan data maksimum dari masing-masing biaya dan waktu. Selanjutnya

digunakan metode Hungaria untuk mengoptimalkan biaya dan waktu secara

bersamaan. Untuk lebih jelasnya, diberikan sebuah contoh masalah

minimalisasi dengan menggunakan kriteria biaya (ribuan) dan waktu (hari)

sebagai berikut:

Tabel 3.10 Contoh Matriks Dua Kriteria

Tempat Barang

B1 B2 B3 B4

T1 8 9 7 6

3 4 3 2

T2 8 8 5 9

25




3 4 2 3

T3 9 8 6 7

3 3 2 2

T4 7 6 7 9

3 2 2 3

Data pada Tabel 3.10 harus dinormalisasikan dahulu, sebelum dikerjakan

dengan metode Hungaria. Maka diperoleh:

Tabel 3.11 Data Normalisasi Dua Kriteria

Tempat Barang

B1 B2 B3 B4

T1 0.889 1 0.778 0.667

0.75 1 0.75 0.5

T2 0.889 0.889 0.556 1

0.75 1 0.5 0.75

T3 1 0.889 0.667 0.778

0.75 0.75 0.5 0.5

T4 0.778 0.667 0.778 1

0.75 0.5 0.5 0.75

Misalkan untuk kedua bobot diketahui α1= biaya= 0,5 dan α2 = waktu= 0,5

dengan menggunakan fungsi (3.2) maka diperoleh:

Tabel 3.12 Jumlah Data Penormalan Biaya dan Waktu

Tempat Barang

B1 B2 B3 B4

T1 0.8194 1 0.7638 0.5833

T2 0.8194 0.9444 0.5277 0.8750

T3 0.8750 0.8194 0.5833 0.6388

T4 0.7638 0.5833 0.6388 0.8750

26




Selanjutnya digunakan metode Hungaria. Tentukan nilai terkecil dari setiap

barisnya, lalu kurangkan setiap nilai dalam baris tersebut dengan nilai

terkecilnya. Maka diperoleh:


Tempat Barang

B1 B2 B3 B4

T1 0.2361 0.4167 0.1806 0

T2 0.2916 0.4166 0 0.3472

T3 0.2917 0.2361 0 0.0556

T4 0.1806 0 0.0556 0.291667






Tempat Barang

B1 B2 B3 B4

T1 0,0555 0,4167 0,1805 0

T2 0,1111 0,4166 0 0,3472

T3 0,1111 0,2361 0 0,0556

T4 0 0 0,0556 0,2916

27




Terlihat pada Tabel 3.14 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau

kolom, maka perlu dilakukan perbaikan. Sehingga diperoleh:

Tabel 3.15 Hasil Perbaikan Pertama

Tempat Barang

B1 B2 B3 B4

T1 0 0,3612 0,1805 0

T2 0,0556 0,3611 0 0,3472

T3 0,0556 0,1806 0 0,0556

T4 0 0 0,1111 0,3471

Karena pada Tabel 3.15 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau

kolom, maka perlu dilakukan perbaikan lagi. Sehingga diperoleh:

Tabel 3.16 Hasil Perbaikan Kedua

Tempat Barang

B1 B2 B3 B4

T1 0 0,3612 0,2361 0

T2 0 0,3055 0 0,2916

T3 0 0,1250 0 0

T4 0 0 0,1667 0,3471

Berdasarkan Tabel 3.16 jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau

kolom artinya penyelesaian sudah optimal. Maka diperoleh kesimpulannya

yaitu T1 memilih barang B4, T2 memilih barang B1, T3 memilih barang B3

dan T4 memilih barang B2. Dengan jumlah biaya sebesar 6 + 8 + 6 + 6 = 26

(ribuan) dan dengan jumlah waktu selama 2 + 3 + 2 + 2 = 9 (hari)

2. Mengoptimalkan tiga Kriteria

28




Masalah penugasan dengan tiga kriteria yaitu pengoptimalan biaya, waktu

dan kualitas dimana semua tujuan harus diminimumkan. Sebelumnya harus

disumsikan bobot dari biaya, waktu dan kualitas, yaitu α1, α2, α3 dengan α1 +

α2 + α3 = 1,sehingga gabungan fungsi tujuannya adalah

Minimumkan C,T,Q = ∑ ∑

+

∑ ∑

+

∑ ∑

(3.3)

Dimana C,T,Q adalah biaya operasi dari pekerja, waktu operasi dari pekerja

dan kualitas barang yang dihasilkan. Sedangkan α1, α2, α3 adalah bobot dari

biaya, waktu dan kualitas.

Tabel 3.17 Matriks Biaya, Waktu dan Kualitas

kerja Tugas

q 2 3 … j … n

1 c11,t11,q11 c12,t12,q12 c13,t13,q13 … c1j,t1j,q1j … c1n,t1n,q1n



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i ci1,ti1,qi1 ci2,ti2,qm2 ci3,ti3,qi3 … cij,tij,qij … cin,tin,qin

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m cm1,tm1,qm1 cm2,tm2,qm

2

cm3,tm3,qm

3 …

cmj,tmj,qm

j …

cmn,tmn,qm

n

BAB III Persoalan Penugasan Multi Kriteria A. Pengertian...

Documents

Transcript of BAB III Persoalan Penugasan Multi Kriteria A. Pengertian...