1. BAB III BUNGA DAN ANUITAS Dalam asuransi yang berkaitan dengan masalah pinjaman terdapat istilah bunga. Untuk lebih memahaminya, pada sub bab ini akan dibahas lebih lanjut tentang bunga yang nantinya akan digunakan pada sub bab selanjutnya. TIK : Setelah mempelajari sub bab ini, diharapkan mahasiswa dapat menghitung bunga dan anuitas dari suatu pinjaman 3.1. Pengertian Bunga Bunga adalah pembayaran yang dilakukan oleh si peminjam sebagai balas jasa atas pemakaian yang dipinjam. Sejumlah uang yang menghasilkan bunga disebut pokok (principal), sedangkan hasil pembungaan dalam satu tahun terhadap pokok sebesar 1 (satu) satuan disebut tingkat bunga (biasanya dinyatakan dalam persen). Jika uang sebesar Rp. 200.000 dipinjamkan dalam 1 tahun dengan bunga 5 %, maka jumlah uang pada akhir tahun menjadi : Rp. 200.000 +bunga (5 % dari 200.000) = Rp. 210.000,- Secara umum, jika S = jumlah uang pada akhir tahun P = uang pokok (modal) i = tingkat bunga Maka, S = P + P i , atau S = P + I , dengan I = P i Contoh : Seorang meminjam uang di Bank sebesar Rp.5000.000,- . Pada akhir tahun dia harus mengembalikan sebesar Rp 5250.000,- . Berapakah tingkat bunga per tahun ? Penyelesaian : P = Rp.5000.000,- S = Rp.5250.000,- 2. Maka I = S P = Rp. 250.000,- Sedangkan I = P i 250.000 = 5000.000 i i = 250.000/ 5000.000 = 1/ 20 = 0,05 Jadi besarnya tingkat bunga per tahun adalah 5 % Berdasarkan perhitungannya bunga dibedakan menjadi 2 macam, yaitu : - Bunga Tunggal - Bunga Majemuk 3.1.1. Bunga Tunggal Pada prinsipnya, bunga tunggal adalah bunga yang dihitung berdasarkan pada pinjaman yang menjadi hutang pada periode yang lalu. Bunga ini tidak termasuk modal pada periode yang akan datang. Jika : S = jumlah uang setelah berbunga P = uang pokok ( modal ) i = tingkat bunga (suku bunga) t = periode waktu (jangka waktu peminjaman) Maka jumlah uang seluruhnya yang harus dibayar pada akhir tahun adalah : S = P + P i t S = P ( 1 + i t ) Jangka Waktu a. Jangka waktu yang dinyatakan dengan banyaknya hari, bulan dan tahun (misal 60 hari) b. Jangka waktu yang dinyatakan dengan tanggal, bulan dan tahun (misal dari tgl. 5 September 1999 sampai dengan 26 Juni 2000) Berdasarkan perhitungan terdapat dua macam jangka waktu, yaitu : - Bunga Tunggal Biasa : 1 tahun = 360 hari 1 bulan = 30 hari (approximate time) - Bunga Tunggal Eksak : 1 tahun = 365 hari 1 bulan dihitung sesuai kalender (exact time) 3. Contoh : 1. Seseorang meminjamkan uang sebesar Rp.1000.000,- dengan tingkat bunga 7 % selama 3 tahun. Berapakah jumlah uang pada akhir tahun ke tiga ? Penyelesaian : Jumlah uang pada akhir tahun ke tiga adalah : S = P (1 + i t) = 1000.000 (1 + (0,07)3) = Rp. 1.210.000,- 2. Tentukan bunga tunggal biasa dan bunga tunggal eksak dari modal sebesar 2 juta rupiah dari tanggal 20 Juni 2006 s/d 24 Agustus 2006 dengan tingkat bunga 5 %. Penyelesaian : Menentukan jangka waktu : Exact time : Sisa hari dalam bulan Juni + jumlah hari dalam bulan Juli + jumlah hari bulan Agustus pada tanggal yang ditentukan. : 10 + 31 + 24 = 65 Approximate time : Agustus 2006 = 2006 : 8 : 24 Juni 2006 = 2006 : 6 : 20 --------------- - 0 : 2 : 4 Berarti jangka waktunya adalah 2 bulan 4 hari, atau 64 hari Menghitung bunga : Gunakan rumus I = P i t dengan P = 2000.000, i = 5 % - Bunga tunggal biasa : t = 360 64 (Approximate time ) I = 2000.000 (0,05) ( 360 64 ) = 17777,6 - Bunga tunggal eksak : t = 365 65 (Exact time ) I = 2000.000 (0,05) ( 365 65 ) = 17808,2 4. Latihan 3.1: 1. Tentukan bunga tunggal dari pinjaman sebesar $ 1000 dengan tingkat bunga : a. 4,5 % untuk 1 tahun b. 5,25 % untuk 2 tahun c. 3,5 % untuk 0,5 tahun d. 6 % untuk 8 bulan 2. Berapa tingkat bunga tunggal untuk : a. $ 2000 menjadi $ 2110 dalam 1 tahun b. $ 720 menjadi $ 744 dalam 10 bulan 3. Pinjaman sebesar $ 2000 dengan tingkat bunga 5 %. Berapakah waktu yang diperlukan sehingga menjadi $ 2125 ? 4. Bandingkan bunga tunggal biasa dengan bunga tunggal eksak pada pinjaman sebesar $ 2500 dengan tingkat bunga 5 % dari tanggal 15 April 2006 s/d 25 Juni 2006. 3.1.2. Bunga Majemuk Bunga Majemuk adalah bunga periode yang lalu ditambahkan pada pokoknya (modalnya), sehingga menjadi modal baru yang kemudian dibungakan lagi untuk periode berikutnya (bunga berbunga) Misal modal sebesar P dengan tingkat bunga i %, maka setelah : 1 tahun menjadi )1( iP + 2 tahun menjadi 2 )1( iP + 3 tahun menjadi 3 )1( iP + dts Secara umum, jika modal sebesar P dibungakan secara majemuk dengan tingkat bunga i %, maka pada akhir tahun ke n akumulasi dananya menjadi n iP )1( + . Jika jumlah akumulasi dana dalam n tahun adalah A, maka : 5. n iPS )1( += Atau n iSP += )1( Jika vi =+ 1 )1( , maka : n n i S SvP )1( + == , nilai v dapat dilihat pada tabel CSO 1941 Contoh : Seseorang meminjamkan uang sebesar Rp. 1000.000,- yang dibungakan selama 3 tahun dengan tingkat bunga 7 % per tahun, secara majemuk. Berapakah jumlah uang pada akhir tahun ke tiga ? Penyelesaian : n iPS )1( += = 1000.000(1+0,07)3 =1.225.040 Jika sejumlah uang P dengan tingkat bunga i % per tahun dan dalam n tahun terdapat m periode, maka pada akhir tahun ke n menjadi : nm m i PS )1( += Contoh : Pada tanggal 20 Maret 1977 seseorang menanamkan modal sebesar $ 200 di Bank dengan tingkat bunga majemuk 5 % per tahun dan penggabungan bunganya per 6 bulan (compounded semianually). Berapakah jumlah uangnya pada tanggal 20 September 1993 ? Penyelesaian : Jika penggabungan bunga per 6 bulan, berarti dalam 1 tahun terdapat (12/6) periode atau m = 2 dan jangka waktunya adalah = 20 : 9 : 1993 20 : 3 : 1977 ____________ _ 6 : 16 Jadi jangka waktu adalah 16 tahun 6 bulan = 16,5 tahun, sebungga n = 16,5 (2) = 33 6. Jadi jumlah uang pada tgl. 20 September 1993 adalah : 33 ) 2 %5 1(200 +=S = 200(2,258851) = $ 451,7 ( lihat tabel IV ) Catatan : Salah satu jenis penyimpanan uang di Bank adalah deposito, yaitu suatu sistem penyimpanan uang dengan ketetuan bahwa uang tidak dapat diambil setiap saat, tetapi berdasarkan jangka waktu tertentu, misalnya 6 bulan, kwartalan(4 bulan), 1 tahun dsb. Salah satu keuntungan dari deposito yaitu dapat menghitung besarnya uang secara pasti pada saat waktu pengambilannya. Modal mula-mula yang disimpan disebut Nilai Tunai ( P ) dan Besarnya uang pada saat pengambilan disebut Nilai Akhir ( S ) Contoh : Uang sebesar Rp. 250.000,- didepositokan untuk jangka waktun 3 tahun dengan tingkat bunga majemuk 6 % per tahun. Berapakah besarnya nilai akhir ? Penyelasian : n iPS )1( += = 250.000(1 + 0,06)3 = 250.000(1,19101600) = 297 754 Jadi besarnya nilai akhir adalah Rp. 297 754 Latihan 3.2: 1. Seseorang menanamkan modal sebesar $1000 selama 8 tahun dengan tingkat bunga 7 % per 3 bulanan (compounded quartily). Berapakah besarnya bunga majemuk ? 2. Berapa tingkat bunga yang dimajemukkan setengah tahunan untuk $ 100 menjadi $ 215 dalam waktu 15,5 tahun. 3. Berapa tahunkah modal sebesar $ 2000 menjadi $ 3650 dengan tingkat bunga 4 % dimajemukkan setengah tahunan. 7. 3.2. Anuitas Tertentu (Anuitas Biasa) Suatu anuitas tertentu adalah deretan pembayaran yang sifatnya periodik yang dapat dibayarkan dalam jangka waktu tertentu (pembayaran pasti dilakukan pada saat jatuh temponya). Pembayaran ini dapat sama besarnya dapat pula berbeda. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan mengenai anuitas yang jangka waktunya tahunan dan tiap pembayaran besarnya sama. 3.2.1 Jumlah Dan Nilai Tunai Dari Anuitas Misalkan suatu anuitas tertentu pembayaran per tahun sebesar $ 1000 untuk 4 tahun dengan tingkat bunga (bunga) 5 %, maka jumlah S dari anuitas adalah gabungan dari berbagai pembayaran tiap akumulasi pada akhir jatuh tempo. Karena pembayaran pertama bertambah dengan bunga untuk 3 tahun, pembayaran kedua untuk 2 tahun, pembayaran ketiga untuk 1 tahun dan pembayaran keempat tunai, maka : 1000)05,1(1000)05,1(1000)05,1(1000 23 +++=S Atau bentuk kebalikannya : 32 )5,01(1000)05,1(1000)05,1(10001000 ++++=S Sehingga : (i). S = })05,1()05,1()05,1(1{1000 32 +++ = 1000(1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625) = 1000(4,310125) = $ 4310,12 Perhatikan pada (i) : Jumlahan dalam kurung adalah jumlah deret geometri dengan suku pertama adalah 1 dan pembanding 1,05 sehingga (i) dapat ditulis sebagai : 125,310.4$)310125,4(1000 005,0 121550625,1 1000 1)05,1( 1)05,1( 1000 4 == = =S 8. Jika A adalah jumlah nilai tunai dari berbagai pembayaran pada setiap permulaan tempo, maka : 4321 )05,1(1000)05,1(1000)05,1(1000)05,1(1000 +++=A = ])05,1()05,1()05,1()05,1[(1000 4321 +++ = 1 51 )05,1(1 )05,1()05,1( 1000 = 1)05,1( )05,1(1 1000 4 = 05,0 82270247,01 1000 = $ 3.545,95 3.2.2. Rumus Anuitas Dari contoh di atas, maka secara umum diperoleh rumus untuk anuitas sebagai berikut : Jika : R = pembayaran periodik dari anuitas i = suku bunga per periodik n = jumlah imterval pembayaran (jumlah periode bunga) S = jumlah dari anuitas (nilai akhir dari anuitas) A = nilai tunai dari anuitas Maka : i i RSRS n in 1)1( + == i i RaRA n in + == )1(1 Contoh : 1. Tentukan jumlah dan nilai tunai dari anuitas sebesar $ 150 per bulan selama 3 thn. 6 bln, dengan suku bunga 6 % digabungkan per bulanan. 9. Penyelasaian : R = 150, 005,0 12 %6 ==i , n = 3,5 x 12 = 42 Maka dengan Tabel XII ( buku 2 ), diperoleh : Jumlah nilai akhir : )60654,46(150150 005,042 === SSRS in = $ 6.990,98 Nilai tunai : 74,669.5$)79830,37(150150 005,042 ==== aaRA in Jika persen suku bunga tidak tersedia dalam tabel, maka perhitungan harus menggunakan logaritma. 2. Untuk 10 tahun yang lalu, X telah mendepositokan uang Rp. 500.000,- per akhir tahun dalam Bank dengan suku bunga 3,5 % efektif. Berapakah jumlah simpanannya setelah 10 tahun disimpan ? Penyelesaian : R = 500 000, i = 0,035 dan n = 10 Sehingga jumlah simpanan : )73139,11(500000500000 035,010 === SSRS in = Rp. 5.865 695,- Latihan 3.3 : 1. Hari ini Mamat membeli sebuah anuitas $2.500 per tahun untuk 15 tahun dari suatu perusahaan asuransi dengan suku bunga 3 % digabungkan per tahunan. Jika pembayaran pertama dilakukan dalam satu tahun, berapakah nilai tunainya ? 2. Perusahaan telivisi XYZ menawar mesin dengan Rp.2000.000 sebagai uang muka dan Rp. 25.000 per bulan untuk 12 bulan mendatang. Jika bunga dibebankan 9 % digabungkan bulanan, tentukan nilai tunai mesin tersebut. 3. Buktikan : a. !)1( )1( =+ + inin SSi b. ik h ihikn SiSS + ++= )1()( 10. c. ik h ihikh aiaa + ++= )1()( 11. TUGAS I 1. Hitunglah peluang seorang yang berusia 25 th akan meninggal setelah ulang tahunnya yang ke 55. 2. Hitunglah peluang orang yang berusia 65 th akan hidup dalam 10 kemudian, tetapi tidak lebih dari 15 th lagi. 3. Dapatkan peluang dari dua orang yang berusia 15 th dan 20 th akan hidup 40 th lagi. 4. Selesaikan tabel berikut : x lx dx qx px ex xe 95 1000 96 700 97 400 98 100 99 10 100 0 5. Kemungkinan orang yang berusia 20 th akan hidup 20 th lagi adalah 0,9 dan kemungkinan orang yang berusia 40 th akan hidup 10 th lagi adalah 0,7. Berapakah kemungkinan bahwa orang yang berumur 20 th akan : a. hidup 30 th lagi b. mati sebelum usia 50 th c. mati antara usia 50 th dan 60 th 12. 6. Buktikan identitas berikut : a. 121 +++ = nxxxxxn ppppp b. mxnxmxnm qpq +=/ c. xn nxxx nxxxx p eee eeee = +++ +++ +++ )1()1)(1( 21 121 d. 1221 =+++ ++ xxxxx qpqpq 7. Lihat di Mathematics of Finance , Schaums, halaman 48, no. 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29. 8. Lihat di Mathematics of Finance , Schaums, halaman 72, no. 18, 19, 20, 21, 23.